第1章時域離散信號和時域離散系統

1.1引言1.2時域離散信號1.3時域離散系統1.4時域離散系統的輸入輸出描述法——

線性常系數差分方程1.5模擬信號數字處理方法本章學習目標掌握序列的概念及其幾種典型序列的定義，掌握序列的基本運算，并會判斷序列的周期性；掌握線性/時不變/因果/穩定的離散時間系統的概念并會判斷，掌握線性時不變系統及其因果/穩定性判斷的充要條件；理解常系數線性差分方程以及迭代法求解單位抽樣響應；了解對連續時間信號的時域抽樣，掌握奈奎斯特抽樣定理，了解抽樣的恢復過程。§1.1引言信號：信息的物理表現形式/傳遞信息的函數一維時間信號信號的分類:-周期信號/非周期信號

-確定信號/隨機信號

-能量信號/功率信號

-連續時間信號/離散時間信號/數字信號按自變量與函數值的取值形式不同分類：

時間幅度連續時間連續連續信號離散時間離散連續信號數字離散量化信號

1.2時域離散信號——序列1.2.1.定義及表示方法

1.定義：對模擬信號xa(t)進行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到

這里n取整數，非整數時無定義； 在數值上它等于信號的采樣值，即：

x(n)=xa(nT)，-∞＜n＜∞

2.表示：

-集合表示——x(n)={1,2,3,2,1} -圖形表示

-公式表示1.2.2常用的典型序列

1.單位采樣序列δ(n)

2.

單位階躍序列u(n)δ(n)和u(n)間的關系為：這就是u(n)的后向差分。

令n-m=k，代入此式可得

這里就用到了累加的概念。

3.矩形序列RN(n)RN(n)和δ(n)、u(n)的關系為:

4.實指數序列式中，a為實數；當|a|<1時，序列是收斂的;而當|a|>1時，序列是發散的；a為負數時，序列是擺動的。5.復指數序列或式中，ω0是復正弦的數字域頻率。

對第二種表示，序列的實部、虛部分別為：

如果用極坐標表示，則

因此有：

6.

正弦序列

式中:A為幅度;

為起始相位;ω0為數字域的頻率，它反映了序列變化的速率。如果序列是由模擬信號采樣得到，則有：數字頻率ω與模擬角頻率Ω之間的關系為：

表示：凡是由模擬信號采樣得到的序列，模擬角頻率Ω與序列的數字域頻率ω成線性關系；數字域頻率ω等于模擬角頻率Ω相對于采樣頻率fs的歸一化頻率。Cos(ωn)的波形

7.周期序列

如果對所有n存在一個最小的正整數N，滿足則稱序列x(n)是周期性序列，周期為N。

現在討論上述正弦序列的周期性：

由于

而

若Nω0=2πk,當k為正整數時，則

這時的正弦序列就是周期性序列，其周期滿足N=2πk/ω0（N，k必須為整數）。可分幾種情況討論如下。（1）當2π/ω0為正整數時，周期為2π/ω0；（2）當2π/ω0不是整數，而是一個有理數時（有理數可表示成分數），則

式中，k,N為互素的整數，則為最小正整數，序列的周期為N。

（3）當2π/ω0是無理數時，則任何k皆不能使N取正整數。這時，正弦序列不是周期性的。這和連續信號是不一樣的。同樣，指數為純虛數的復指數序列的周期性與正弦序列的情況相同。

例：sin(π/8)n，ω0=π/8，2π/ω0=16,該正弦序列周期為16；sin(4/5)πn，ω0=(4/5)π，2π/ω0=5/2，k=2，該正弦序列是以5為周期的周期序列；ω0=1/4,sin(ω0n)不是周期序列。如果一個正弦型序列是由一個連續信號采樣而得到的，那么，采樣時間間隔T和連續正弦信號的周期T0之間應該是什么關系才能使所得到的采樣序列仍然是周期序列呢？

設連續正弦信號xa(t)為

這一信號的頻率為f0，角頻率Ω0=2πf0，信號的周期為T0=1/f0=2π/Ω0。如果對連續周期信號xa(t)進行采樣，其采樣時間間隔為T，采樣后信號以x(n)表示，則有

如果令ω0為數字域頻率，滿足

用ω0代替Ω0T，可得：這表明，若要2π/ω0為整數，就表示連續正弦信號的周期T0應為采樣時間間隔T的整數倍；若要2π/ω0為有理數，就表示T0與T是互為互素的整數，且有

式中，k和N皆為正整數，從而有

即N個采樣間隔應等于k個連續正弦信號的周期。

1.2.3用單位采樣序列來表示任意序列

用單位采樣序列來表示任意序列對分析線性時不變系統是很有用的。設{x(m)}是一個序列值的集合，其中的任意一個值x(n)可以表示成單位采樣序列的移位加權和，即

其中

用單位采樣序列移位加權和表示序列

1.2.4序列的運算 在數字信號處理中，序列有下面幾種運算，它們是乘法、加法、移位、翻轉及尺度變換。1.乘法和加法 序列之間的乘法和加法，是指它的同序號的序列值項對應相乘和相加。

序列的加法和乘法

多幅去噪處理之后處理之前據理論分析，對M幅含噪聲圖像進行疊加平均，其噪聲水平可以降到原來的。去除指紋圖像的不規則背景干擾2.移位、翻轉及尺度變換

(1)設序列x(n)用圖

(a)表示，其移位序列x(n-n0)(當n0

=2時)用圖

(b)表示；

當n0>0時稱為x(n)的延時序列；

當n0<0時稱為x(n)的超前序列；

(2)x(-n)則是x(n)的翻轉序列，用圖

(c)表示；

(3)x(mn)是x(n)序列每隔m點取一點形成的，相當于時間軸n壓縮（m>1）或拉伸（m<1）了m倍。當m=2時，其波形如圖

(d)所示。

序列的移位、翻轉和尺度變換

§1.3時域離散系統

系統系統是由若干相互依賴、相互作用的事物組合而成的具有特定功能的整體。

系統是將信號進行處理（或變換）以達到人們要求的各種設備。(傳輸、處理、存儲和再現

)系統可以是硬件的，也可以是軟件編程實現系統分類：-連續時間信號系統/離散時間信號系統/數字信號系統-線性系統/非線性系統-時不變系統/時變系統-因果系統/非因果系統-穩定系統/非穩定系統 為了通過系統對信號進行有效的傳輸和處理，就必須對信號自身的特性以及系統的特性有深入的了解，并且要求系統的特性與信號的特性相匹配。這就產生了信號與系統分析的問題。

時域離散系統

設時域離散系統的輸入為x(n)，經過規定的運算，系統輸出序列用y(n)表示。 設運算關系用T［·］表示，輸出與輸入之間關系用下式表示：

1.3.1線性系統

設x1(n)和x2(n)分別作為系統的輸入序列，其輸出分別用y1(n)和y2(n)表示，即:y1(n)=T［x1(n)］，y2(n)=T［x2(n)］那么線性系統一定滿足下面兩個公式：T［x1(n)+x2(n)］=y1(n)+y2(n)——可加性

T［ax1(n)］=ay1(n)——奇次性將以上兩個公式結合起來，可表示成：

y(n)=T［ax1(n)+bx2(n)］=ay1(n)+by2(n)a和b均是常數。可推廣到多個輸入的疊加，即：例：

以下系統是否為線性系統：

y(n)=2x(n)+3很容易證明這個系統不是線性的，因為此系統不滿足疊加原理。

證：

很明顯，在一般情況下

所以此系統不滿足疊加性，故不是線性系統。

同樣可以證明，

1.3.2時不變系統

系統的運算關系T［·］在整個運算過程中不隨時間（也即不隨序列的延遲）而變化，這種系統稱為時不變系統（或稱移不變系統）。 這個性質可用以下關系表達：若輸入x(n)的輸出為y(n)，則將輸入序列移動任意位后，其輸出序列除了跟著移位外，數值應該保持不變，即若

T［x(n)］=y(n)則T［x(n-m)］=y(n-m)（m為任意整數）滿足以上關系的系統就稱為時不變系統。

例：y(n)=ax(n)+b代表的系統是否是時不變系統，式中a和b是常數。解：

y(n)=T[x(n)]=ax(n)+b

T[x(n-n0)]=ax(n-n0)+b y(n-n0)=ax(n-n0)+b

y(n-n0)=T［x(n-n0)］因此該系統是時不變系統。

例：y(n)=nx(n)所代表的系統是否是時不變系統。解：

y(n)=nx(n) y(n-n0)=(n-n0)x(n-n0) T［x(n-n0)］=nx(n-n0)

y(n-n0)≠T［x(n-n0)］因此該系統是時變系統。例：證明

不是時不變系統。

證： 由于二者不相等，故不是時不變系統。 同時具有線性和時不變性的離散時間系統稱為線性時不變（LTI）離散時間系統，簡稱LTI系統。除非特殊說明，本書都是研究LTI系統。

1.3.3線性時不變系統輸入與輸出之間的關系

一.設系統的輸入x(n)=δ(n)，系統輸出y(n)的初始狀態為零，定義這種條件下系統輸出為系統的單位取樣響應h(n)。 即單位取樣響應即是系統對于δ(n)的零狀態響應。公式表示為：

h(n)=T［δ(n)］

h(n)和模擬系統中的h(t)單位沖激響應相類似，都代表系統的時域特征。 設系統的輸入x(n)可表示成單位采樣序列移位加權和為：

則系統的輸出為

由于系統是線性的，可利用疊加原理，則

又由于系統的時不變性，對移位的單位脈沖的響應就是單位脈沖響應的移位。

因此

二.卷積定義法求解過程：

（1）翻褶：先在啞變量坐標m上作出x(m)和h(m)，將h(m)以m=0的垂直軸為對稱軸翻褶成h(-m)；

（2）移位：將h(-m)移位n，即得h(n-m)。當n為正整數時，右移n位，當n為負整數時，左移n位；（3）相乘：再將h(n-m)和x(m)的相同m值的對應點值相乘；（4）相加：把以上所有對應點的乘積累加起來，得y(n)值。依上法，取n=…,-2,-1,0,1,2,…各值，即可得全部y(n)值。設兩序列長度分是N和M，線性卷積后的序列長度為(N+M-1)。

例：設x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。解：

上式中矩形序列長度為4，求解上式主要是根據矩形序列的非零值區間確定求和的上、下限，R4(m)的非零值區間為：0≤m≤3，R4(n-m)的非零值區間為：n-3≤m≤n，其乘積值的非零區間，要求m同時滿足下面兩個不等式：可推出乘積值的非零區間0≤n，n-3≤3，綜合為區間0≤n≤60≤m≤nn-3≤m≤3

n+10≤n≤3

y(n)=7-n4≤n≤60其它

中左邊第一個值對應的序號為序列和不進位乘法求卷積和的初始序號之和，本例中初始序號均為零，因此左邊第一個值對應的序號為零。

：矩陣表示法求卷積和卷積結果應有8個項三.線性時不變系統的性質

1．交換律由于卷積與兩卷積序列的次序無關，即卷積服從交換律，故這就是說，如果把單位脈沖響應h(n)改作為輸入，而把輸入x(n)改作為系統單位脈沖響應，則輸出y(n)不變。

2．結合律可以證明卷積運算服從結合律，即

這就是說，兩個線性時不變系統級聯后仍構成一個線性時不變系統，其單位脈沖響應為兩系統單位脈沖響應的卷積，且線性時不變系統的單位脈沖響應與它們的級聯次序無關。

具有相同單位脈沖響應的三個線性時不變系統

3．分配律卷積也服從加法分配律：

也就是說，兩個線性時不變系統的并聯等效系統的單位脈沖響應等于兩系統各自單位脈沖響應之和。

線性時不變系統的并聯組合及其等效系統

序列本身與單位取樣序列的線性卷積等于序列本身：序列與一個移位的單位取樣序列δ(n-n0)進行線性卷積，就相當于將序列本身移位n0(n0是整常數)：

上式中只有當m=n-n0時，才可能有非零值，因此得到：例：h1(n)系統與h2(n)系統級聯，設

x(n)=u(n)h1(n)=δ(n)-δ(n-4)h2(n)=anu(n)，|a|<1求系統的輸出y(n)。解：先求第一級的輸出m(n)，再求y(n)。

m(n)=x(n)*h1(n)=u(n)*［δ(n)-δ(n-4)］

=u(n)*δ(n)-u(n)*δ(n-4)=u(n)-u(n-4)=R4(n)

y(n)=m(n)*h2(n)=R4(n)*anu(n) =anu(n)*［δ(n)+δ(n-1)+δ(n-2)+δ(n-3)］

=anu(n)+a

n-1u(n-1)+an-2u(n-2)+an-3u(n-3)1.3.4系統的因果性和穩定性

一.系統的因果性

1.如果系統n時刻的輸出，只取決于n時刻以及n時刻以前的輸入序列，而和n時刻以后的輸入序列無關，則稱該系統具有因果性質，或稱該系統為因果系統。

2.如果n時刻的輸出還取決于n時刻以后的輸入序列，在時間上違背了因果性，系統無法實現，則系統被稱為非因果系統。

3.因此系統的因果性是指系統的可實現性。4.線性時不變系統具有因果性的充分必要條件是系統的單位取樣響應滿足下式：

h(n)=0，n<0因果系統的單位取樣響應必然是因果序列。單位取樣響應是輸入為δ(n)的零狀態響應，在n=0時刻以前即n<0時，沒有加入信號，輸出只能等于零，因此得到因果性條件。頻率特性為理想矩形的理想低通濾波器以及理想微分器等都是非因果的不可實現的系統。

數字信號處理往往是非實時的，即使是實時處理，也允許有很大延時。這是對于某一個輸出y(n)來說，已有大量的“未來”輸入x(n+1),x(n+2),…，記錄在存儲器中可以被調用，因而可以很接近于實現這些非因果系統。也就是說，可以用具有很大延時的因果系統去逼近非因果系統。這個概念在以后講有限長單位脈沖響應濾波器設計時要常用到，這也是數字系統優于模擬系統的特點之一。因而數字系統可以比模擬系統更能獲得接近理想的特性。非因果系統的延時實現

二.穩定系統穩定系統是指有界輸入產生有界輸出（BIBO）的系統。如果對于輸入序列x(n)，存在一個不變的正有限值Bx，對于所有n值滿足：

|x(n)|≤Bx<∞

則稱該輸入序列是有界的。穩定性要求對于每個有界輸入存在一個不變的正有限值By，對于所有n值，輸出序列y(n)滿足

|y(n)|≤By<∞

一個線性時不變系統是穩定系統的充分必要條件是單位脈沖響應絕對可和，即：

證：充分條件

若

如果輸入信號x(n)有界，即對于所有n皆有|x(n)|≤Bx，則

即輸出信號y(n)有界，故原條件是充分條件。

必要條件：利用反證法。已知系統穩定，假設

我們可以找到一個有界的輸入

輸出y(n)在n=0這一點上的值為

也即y(0)是無界的，這不符合穩定的條件，因而假設不成立。所以是穩定的必要條件。

要證明一個系統不穩定，只需找一個特別的有界輸入，如果此時能得到一個無界的輸出，那么就一定能判定一個系統是不穩定的。但是要證明一個系統是穩定的，就不能只用某一個特定的輸入作用來證明，而要利用在所有有界輸入下都產生有界輸出的辦法來證明系統的穩定性。

例：設線性時不變系統的單位取樣響應h(n)=anu(n)，式中a是實常數，試分析該系統的因果穩定性。解：由于n<0時，h(n)=0，所以系統是因果系統。

只有當|a|<1時

系統穩定的條件是|a|<1。例：設系統的單位取樣響應h(n)=u(n)，求對于任意輸入序列x(n)的輸出y(n)，并檢驗系統的因果性和穩定性。 解：

因為當n-k<0時，u(n-k)=0；n-k≥0時，u(n-k)=1，因此，求和限為k≤n，所以

該系統是一個累加器，它將輸入序列從加上之時開始，逐項累加，一直加到n時刻為止。該系統是非穩定系統。例：系統y(n)=x(n)+x(n-1)+x(n+1)，檢驗系統的因果穩定性。 解：非因果穩定例：判斷是否具備線性、時不變因果穩定性。 解：線性時不變非因果、穩定1.4時域離散系統的輸入輸出描述法——線性常系數差分方程

描述一個系統，可以不管系統內部的結構如何，將系統看成一個黑盒子，只描述或者研究系統輸出和輸入之間的關系，這種方法稱為輸入輸出描述法。模擬系統微分方程時域離散系統差分方程線性時不變系統線性常系數差分方程1.4.1線性常系數差分方程

一個N階線性常系數差分方程用下式表示：

或者

1.4.2線性常系數差分方程的求解

已知系統的輸入序列，通過求解差分方程可以求出輸出序列。 求解差分方程的基本方法有以下三種：

(1)經典解法。求齊次解和特解，邊界條件求待定系數

(2)遞推解法。

(3)變換域方法。Z域求解

例：設系統用差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，輸入序列x(n)=δ(n)，求輸出序列y(n)。解：該系統差分方程是一階差分方程，需要一個初始條件。(1)設初始條件y(-1)=0

y(n)=ay(n-1)+x(n) n=0時，y(0)=ay(-1)+δ(0)=1 n=1時，y(1)=ay(0)+δ(1)=a n=2時，y(2)=ay(1)+δ(2)=a2 … n=n時，y(n)=an

y(n)=anu(n)

(2)設初始條件y(-1)=1 n=0時，y(0)=ay(-1)+δ(0)=1+a n=1時，y(1)=ay(0)+δ(1)=(1+a)a n=2時，y(2)=ay(1)+δ(2)=(1+a)a2 … n=n時，y(n)=(1+a)an

y(n)=(1+a)anu(n)對于同一個差分方程和同一個輸入信號，因為初始條件不同，得到的輸出信號是不相同的；差分方程本身并不能確定該系統是因果還是非因果系統，還需要用初始條件進行限制；一個線性常系數差分方程描述的系統不一定是線性時不變系統，這和系統的初始狀態有關。例：設系統用一階差分方程y(n)=ay(n-1)+x(n)描述，初始條件y(-1)=1，試分析該系統是否是線性非時變系統。 解：設輸入信號為

x1(n)=δ(n)；x2(n)=δ(n-1)；x3(n)=δ(n)+δ(n-1)(1)x1(n)=δ(n)，y1(-1)=1 y1(n)=ay1(n-1)+δ(n)

輸出如下式：

y1(n)=(1+a)anu(n)(2)x2(n)=δ(n-1)，y2(-1)=1y2(n)=ay2(n-1)+δ(n-1)n=0時，y2(0)=ay2(-1)+δ(-1)=an=1時，y2(1)=ay2(0)+δ(0)=1+a2n=2時，y2(2)=ay2(1)+δ(1)=(1+a2)an=n時，y2(n)=(1+a2)an-1y2(n)=(1+a2)an-1u(n-1)+aδ(n)(3)x3(n)=δ(n)+δ(n-1);y3(-1)=1y3(n)=ay3(n-1)+δ(n)+δ(n-1)n=0時，y3(0)=ay3(-1)+δ(0)+δ(-1)=1+an=1時，y3(1)=ay3(0)+δ(1)+δ(0)=1+a+a2n=2時，y3(2)=ay3(1)+δ(2)+δ(1)=(1+a+a2)an=n時，y3(n)=(1+a+a2)an-1y3(n)=(1+a+a2)an-1u(n-1)+(1+a)δ(n)

由情況(1)和情況(2)，得到：y1(n)=T［δ(n)］y2(n)=T［δ(n-1)］y2(n)≠y1(n-1)因此該系統不是時不變系統。再由情況(3)得到：y3(n)=T［δ(n)+δ(n-1)］≠T［δ(n)］+T［δ(n-1)］y3(n)≠y1(n)+y2(n)因此該系統不是線性系統。若初始條件改為y(n)=0，(n≤-1)，則形成線性時不變系統。§1.5模擬信號數字處理方法

在一些合理條件限制下，一個連續時間信號能由它在離散時刻點上所取得的樣本完全準確的給予表示；連續時