2024屆河南省信陽市高考仿真模擬數學試卷注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數的圖象大致為A． B． C． D．2．要得到函數的圖象，只需將函數的圖象上所有點的（）A．橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向左平移個單位長度B．橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再向右平移個單位長度C．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向左平移個單位長度D．橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再向右平移個單位長度3．要排出高三某班一天中，語文、數學、英語各節，自習課節的功課表，其中上午節，下午節，若要求節語文課必須相鄰且節數學課也必須相鄰（注意：上午第五節和下午第一節不算相鄰），則不同的排法種數是（）A． B． C． D．4．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．5．根據黨中央關于“精準”脫貧的要求，我市某農業經濟部門派四位專家對三個縣區進行調研，每個縣區至少派一位專家，則甲，乙兩位專家派遣至同一縣區的概率為（）A． B． C． D．6．對于定義在上的函數，若下列說法中有且僅有一個是錯誤的，則錯誤的一個是（）A．在上是減函數 B．在上是增函數C．不是函數的最小值 D．對于，都有7．將4名大學生分配到3個鄉鎮去當村官，每個鄉鎮至少一名，則不同的分配方案種數是()A．18種 B．36種 C．54種 D．72種8．公差不為零的等差數列{an}中，a1+a2+a5=13，且a1、a2、a5成等比數列，則數列{an}的公差等于()A．1 B．2 C．3 D．49．我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”．如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦至少有2個陽爻的概率是（）A． B． C． D．10．若的二項展開式中的系數是40，則正整數的值為（）A．4 B．5 C．6 D．711．已知全集，集合，則=（）A． B．C． D．12．已知表示兩條不同的直線，表示兩個不同的平面，且則“”是“”的()條件.A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數列是等比數列，，則__________.14．設、、、、是表面積為的球的球面上五點，四邊形為正方形，則四棱錐體積的最大值為__________.15．已知雙曲線的左右焦點分別關于兩漸近線對稱點重合，則雙曲線的離心率為_____16．等邊的邊長為2，則在方向上的投影為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列滿足，等差數列滿足，（1）分別求出，的通項公式；（2）設數列的前n項和為，數列的前n項和為證明：．18．（12分）已知為坐標原點，點，，，動點滿足，點為線段的中點，拋物線：上點的縱坐標為，.（1）求動點的軌跡曲線的標準方程及拋物線的標準方程；（2）若拋物線的準線上一點滿足，試判斷是否為定值，若是，求這個定值；若不是，請說明理由.19．（12分）已知函數，函數.（Ⅰ）判斷函數的單調性；（Ⅱ）若時，對任意，不等式恒成立，求實數的最小值.20．（12分）已知，.（1）當時，證明：；（2）設直線是函數在點處的切線，若直線也與相切，求正整數的值.21．（12分）已知橢圓的左，右焦點分別為，直線與橢圓相交于兩點；當直線經過橢圓的下頂點和右焦點時，的周長為，且與橢圓的另一個交點的橫坐標為（1）求橢圓的方程；（2）點為內一點，為坐標原點，滿足，若點恰好在圓上，求實數的取值范圍.22．（10分）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.（1）求B；（2）若的面積為，周長為8，求b.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由題可得函數的定義域為，因為，所以函數為奇函數，排除選項B；又，，所以排除選項A、C，故選D．2、C【解析】

根據三角函數圖像的變換與參數之間的關系，即可容易求得.【詳解】為得到，將橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），故可得；再將向左平移個單位長度，故可得.故選：C.【點睛】本題考查三角函數圖像的平移，涉及誘導公式的使用，屬基礎題.3、C【解析】

根據題意，分兩種情況進行討論：①語文和數學都安排在上午；②語文和數學一個安排在上午，一個安排在下午.分別求出每一種情況的安排方法數目，由分類加法計數原理可得答案．【詳解】根據題意，分兩種情況進行討論：①語文和數學都安排在上午，要求節語文課必須相鄰且節數學課也必須相鄰，將節語文課和節數學課分別捆綁，然后在剩余節課中選節到上午，由于節英語課不加以區分，此時，排法種數為種；②語文和數學都一個安排在上午，一個安排在下午.語文和數學一個安排在上午，一個安排在下午，但節語文課不加以區分，節數學課不加以區分，節英語課也不加以區分，此時，排法種數為種.綜上所述，共有種不同的排法.故選：C．【點睛】本題考查排列、組合的應用，涉及分類計數原理的應用，屬于中等題．4、B【解析】

由題意得出的值，進而利用離心率公式可求得該雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，由題意可得，因此，該雙曲線的離心率為.故選：B.【點睛】本題考查利用雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率，利用公式計算較為方便，考查計算能力，屬于基礎題.5、A【解析】

每個縣區至少派一位專家，基本事件總數，甲，乙兩位專家派遣至同一縣區包含的基本事件個數，由此能求出甲，乙兩位專家派遣至同一縣區的概率.【詳解】派四位專家對三個縣區進行調研，每個縣區至少派一位專家基本事件總數：甲，乙兩位專家派遣至同一縣區包含的基本事件個數：甲，乙兩位專家派遣至同一縣區的概率為：本題正確選項：【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.6、B【解析】

根據函數對稱性和單調性的關系，進行判斷即可．【詳解】由得關于對稱，若關于對稱，則函數在上不可能是單調的，故錯誤的可能是或者是，若錯誤，則在，上是減函數，在在上是增函數，則為函數的最小值，與矛盾，此時也錯誤，不滿足條件．故錯誤的是，故選：．【點睛】本題主要考查函數性質的綜合應用，結合對稱性和單調性的關系是解決本題的關鍵．7、B【解析】

把4名大學生按人數分成3組，為1人、1人、2人，再把這三組分配到3個鄉鎮即得.【詳解】把4名大學生按人數分成3組，為1人、1人、2人，再把這三組分配到3個鄉鎮，則不同的分配方案有種.故選：.【點睛】本題考查排列組合，屬于基礎題.8、B【解析】

設數列的公差為.由，成等比數列，列關于的方程組，即求公差.【詳解】設數列的公差為，①.成等比數列，②，解①②可得.故選：.【點睛】本題考查等差數列基本量的計算，屬于基礎題.9、C【解析】

利用組合的方法求所求的事件的對立事件,即該重卦沒有陽爻或只有1個陽爻的概率,再根據兩對立事件的概率和為1求解即可.【詳解】設“該重卦至少有2個陽爻”為事件.所有“重卦”共有種；“該重卦至少有2個陽爻”的對立事件是“該重卦沒有陽爻或只有1個陽爻”,其中,沒有陽爻（即6個全部是陰爻）的情況有1種,只有1個陽爻的情況有種,故,所以該重卦至少有2個陽爻的概率是.故選：C【點睛】本題主要考查了對立事件概率和為1的方法求解事件概率的方法.屬于基礎題.10、B【解析】

先化簡的二項展開式中第項，然后直接求解即可【詳解】的二項展開式中第項.令，則，∴，∴（舍）或.【點睛】本題考查二項展開式問題，屬于基礎題11、D【解析】

先計算集合，再計算，最后計算．【詳解】解：，，．故選：．【點睛】本題主要考查了集合的交，補混合運算，注意分清集合間的關系，屬于基礎題．12、B【解析】

根據充分必要條件的概念進行判斷.【詳解】對于充分性：若，則可以平行，相交，異面，故充分性不成立；若，則可得，必要性成立.故選：B【點睛】本題主要考查空間中線線，線面，面面的位置關系，以及充要條件的判斷，考查學生綜合運用知識的能力.解決充要條件判斷問題，關鍵是要弄清楚誰是條件，誰是結論.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據等比數列通項公式，首先求得，然后求得.【詳解】設的公比為，由，得，故.故答案為：【點睛】本小題主要考查等比數列通項公式的基本量計算，屬于基礎題.14、【解析】

根據球的表面積求得球的半徑，設球心到四棱錐底面的距離為，求得四棱錐的表達式，利用基本不等式求得體積的最大值.【詳解】由已知可得球的半徑，設球心到四棱錐底面的距離為，棱錐的高為，底面邊長為，的體積，當且僅當時等號成立.故答案為：【點睛】本小題主要考查球的表面積有關計算，考查球的內接四棱錐體積的最值的求法，屬于中檔題.15、【解析】

雙曲線的左右焦點分別關于兩條漸近線的對稱點重合，可得一條漸近線的斜率為1，即，即可求出雙曲線的離心率．【詳解】解：雙曲線的左右焦點分別關于兩條漸近線的對稱點重合，一條漸近線的斜率為1，即，，，故答案為：．【點睛】本題考查雙曲線的離心率，考查學生的計算能力，確定一條漸近線的斜率為1是關鍵，屬于基礎題．16、【解析】

建立直角坐標系，結合向量的坐標運算求解在方向上的投影即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，由題意可知：，，，則：，，且，，據此可知在方向上的投影為.【點睛】本題主要考查平面向量數量積的坐標運算，向量投影的定義與計算等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)（2）證明見解析【解析】

（1）因為，所以，所以，即，又因為，所以數列為等差數列，且公差為1，首項為1，則，即.設的公差為，則，所以（），則（），所以，因此，綜上，．（2）設數列的前n項和為，則兩式相減得，所以，設則，所以.18、（1）曲線的標準方程為.拋物線的標準方程為.（2）見解析【解析】

（1）由題知|PF1|+|PF2|2|F1F2|，判斷動點P的軌跡W是橢圓，寫出橢圓的標準方程，根據平面向量數量積運算和點A在拋物線上求出拋物線C的標準方程；（2）設出點P的坐標，再表示出點N和Q的坐標，根據題意求出的值，即可判斷結果是否成立．【詳解】（1）由題知，，所以，因此動點的軌跡是以，為焦點的橢圓，又知，，所以曲線的標準方程為.又由題知，所以，所以，又因為點在拋物線上，所以，所以拋物線的標準方程為.（2）設，，由題知，所以，即，所以，又因為，，所以，所以為定值，且定值為1.【點睛】本題考查了圓錐曲線的定義與性質的應用問題，考查拋物線的幾何性質及點在曲線上的代換，也考查了推理與運算能力，是中檔題．19、(1)故函數在上單調遞增，在上單調遞減;(2).【解析】試題分析：（Ⅰ）根據題意得到的解析式和定義域，求導后根據導函數的符號判斷單調性．（Ⅱ）分析題意可得對任意，恒成立，構造函數，則有對任意，恒成立，然后通過求函數的最值可得所求．試題解析：（I）由題意得，，∴.當時，，函數在上單調遞增；當時，令，解得；令，解得.故函數在上單調遞增，在上單調遞減.綜上，當時，函數在上單調遞增；當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減.（II）由題意知.，當時，函數單調遞增．不妨設，又函數單調遞減，所以原問題等價于：當時，對任意，不等式恒成立，即對任意，恒成立.記，由題意得在上單調遞減.所以對任意，恒成立.令，，則在上恒成立.故，而在上單調遞增，所以函數在上的最大值為.由，解得.故實數的最小值為．20、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）令，求導，可知單調遞增，且，，因而在上存在零點，在此取得最小值，再證最小值大于零即可.（2）根據題意得到在點處的切線的方程①，再設直線與相切于點，有，即，再求得在點處的切線直線的方程為②由①②可得，即，根據，轉化為，，令，轉化為要使得在上存在零點，則只需，求解.【詳解】（1）證明：設，則，單調遞增，且，，因而在上存在零點，且在上單調遞減，在上單調遞增，從而的最小值為.所以，即.（2），故，故切線的方程為①設直線與相切于點，注意到，從而切線斜率為，因此，而，從而直線的方程也為②由①②可知，故，由為正整數可知，，所以，，令，則，當時，為單調遞增函數，且，從而在上無零點；當時，要使得在上存在零點，則只需，，因為為單調遞增函數，，所以；因為為單調遞增函數，且，因此；因為為整數，且，所以.【點睛】本題主要考