充分條件與必要條件同步練習

1.已知p:T<x<3,q:x>a,若p是“的充分不必要條件，則實數。的取值范圍

為【

(A){a\a>3}(B){a\a>3}

(C){a\a<-1}(D){tz|tz<-l}

2.(多選)對任意實數a,dc,下列命題中為真命題的是【

(A)"""'是"ac=bc”的充要條件

(B)“a+5”是無理數是“a是無理數”的充要條件

(C)“a>6”是>6”的充分條件

(D)“a<5”是“a<3”的必要條件

3.下面四個條件中，使a>匕成立的必要不充分條件是【

(A)a—l>b(B)a+l>b

(C)\a\>\b\(D)-<-

ab

4.已知則p是q的【

x

(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件

(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件

5.對于任意的x,ywR,“移=0”是+V=0”的【

(A)必要不充分條件(B)充分不必要條件

(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件

6不等式x-4〉0成立的一個充分不必要條件是【

x

(A)一1<%<0或x>l(B)x<-L或0<x<l

(C)x>-l(D)x>l

7.設xeR,則“2—是“|x+l|Wl”的【

(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件

(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件

8"兩個三角形的面積相等”是“兩個三角形全等”的

（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件

（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件

9.設XER,則“九」<L'是"3的【]

22

（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件

（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件

10.（多選）設xeR,則尤>2的必要不充分條件是【】

（A）x>l（B）x>-l（C）x>3（D）x<3

11.已知p:x2+x-6=0,q:爾+1=0,且4是p的充分不必要條件，則實數加的

值為.

h

12.A：X],%2是方程*2+Z?x+c=0（a。0）的兩個實數根;5:斗+%,=——，則A是

a

B的條件.

13.已知集合A={乂區<4},5={上<a},則“a>5”是“AcB”的條

件.

14.若“x>2m2-3”是“-1<x<4"的必要不充分條件，則實數m的取值范圍是

15.若設a:1Wx<4,夕：x<加.若a是P的充分條件,則實數機的取值范圍是

16.求證:“方程ax2+2x+l=0（a中0）至少有一個負根”的充要條件是“a<0或

0<aWl”.

17.求證:方程/+(2左—l)x+/=。的兩個根均大于1的充要條件是左<—2.

充分條件與必要條件同步練習答案解析

1.已知p:-l<x<3,q:x>a,若"是q的充分不必要條件,則實數。的取值范圍

為【

(A){a\a>3}(B){a\a>3}

(C){a\a<-1}(D){a[a<-1}

解析本題考查已知條件的充分必要性，求參數的取值范圍.應從集合的角度考慮

解決問題.

設A={x|-l<x<3},B={x|x>a},由題意可知:A^B.

?*ci—1.

??.選擇答案【D].

2(多選)對任意實數a,"c,下列命題中為真命題的是【

(A)""工’是"公=。°”的充要條件

(B)“a+5”是無理數是“a是無理數”的充要條件

(C)“a>〃”是“/>/，，的充分條件

(D)“a<5”是“a<3”的必要條件

解析本題考查充分必要條件的判斷，其基本思路是：

(1)先確定條件是什么,結論是什么；

(2)嘗試用條件推結論或用結論推條件(必要時舉出反例)；

(3)指出條件是結論的什么條件.

對于(A),“""0"/=反”,但“公=反”不能推出“。="’,所以“。=夕’是

“ac=be”的充分不必要條件；

對于(B)，正確；

對于(C),“。>〃”不能推出“/>6”，且“標>6”也不能推出7>夕，,所以

“a>〃”是“/>〃”的既不充分也不必要條件；

對于(D),“a<5”不能推出“a<3”,但“a<3”能推出“a<5”,所以“a<5”是

“a<3”的必要條件.

.?.選擇答案【BD].

3.下面四個條件中，使a>6成立的必要不充分條件是【】

(A)a—i>b(B)a+l>b

(C)\a\>\b\(D)-<-

ab

解析本題考查充分條件、必要條件、充要條件的探求.這里“a>夕'作為結論.

對于(A),a>匕不能推出a-l>b,不符合題意；

對于(B)，顯然a+l>>,符合題意；

對于(C)，當丁=1力=-2時,a>b,但|@<|母,所以不能推出同>步不符合題

思；

對于(D)，當"=1/=-2時,且所以a>Z?不能推出不符合題

abab

思.

???選擇答案【B].

4.已知則p是夕的【】

(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件

(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件

解析解不等式,<1得:尤<0或X>1.

顯然,p=>q,但q不能推出p

???p是4的充分不必要條件.

??.選擇答案【A].

方法二：設A={x|x>1},3={x|x<0或x>1}.

A:B,.'.p是q的充分不必要條件.

5.對于任意的x,yeR,“移=0”是“/+必=0”的【】

(A)必要不充分條件(B)充分不必要條件

(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件

解析本題考查充分必要條件的判斷.在問題“A是B的什么條件”中,A是條件,3

是結論.

當x=0,y=l時，孫=0,但/+『=],所以孫=。不能推出了2+,2二。；

若X?+y2=0,則X=y=0,顯然X2+y2=0=>孫=0.

...“沖=0”是“x2+y2=0”的必要不充分條件.

???選擇答案【A].

6不等式x-4〉0成立的一個充分不必要條件是【】

x

(A)—l<x<0或x>l(B)x<—1或0(尤<1

(C)x>-l(D)x>l

解析本題考查充分條件、必要條件、充要條件的探求.這里“x-工〉0”作為結論.

解不等式x-^〉0得:-1<無<0或]>1

x

設A={x|-1<x<0或x〉1},x-1〉0成立的一個充分不必要條件構成集合B顯然,

X

B^A.

.?.只有選項【D]符合題意.

7.設xeR,則“2-x三0"是“|x+1|W1”的

（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件

（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件

解析本題考查充分必要條件的判斷.

解不等式2—x>0得:xW2;解絕對值不等式|x+1]W1得:—2Wx<0.

顯然,xW2不能推出—2WxW0,但—2WxWOnxW2.

I.xW2是-2WxWO的必要不充分條件.

??.選擇答案【B].

另外，本題若設A={小<2},B={x|-2<x<0}，顯然,A.

I.“2-x>0”是“|x+1|W1”的必要不充分條件.

8.“兩個三角形的面積相等”是“兩個三角形全等”的

（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件

（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件

解析本題考查充分必要條件的判斷.應從命題的角度考慮解決問題.

原若兩個三角形的面積相等，則這兩個三角形全等.

逆若兩個三角形全等，則這兩個三角形的面積相等.

顯然，原命題為假命題，逆命題為真命題.

???“兩個三角形的面積相等”是“兩個三角形全等”的必要不充分條件.

??.選擇答案【B].

9.設xeR,則“x-工<!”是“力<i”的

22

（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件

（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件

解析解絕對值不等式X-工(工得:0〈尤<1.

22

%3<1,BPx3-l<0,.".(%-1)(%2+%+1)=(%-1)++；<0.

?.[x+g]+；〉0,；.x—1<0,；.x<l,即不等式/<1的解集為{x|x<l}.

顯然,“0〈龍<1"n"x<1”,但“九<1”不能推出"0<x<1

???"X」<L'是“丁<1”的充分不必要條件.

22

???選擇答案【A].

10.(多選)設xeR,則尤>2的必要不充分條件是【】

(A)x>l(B)%>-1(C)無>3(D)%<3

解析本題考查充分必要性的探求.這里無>2作為結論.

設A={x|x>2],x>2的必要不充分條件構成集合氏顯然,A^B.

???只有選項【AB】符合題意.

11.已知“：/+工-6=0,4：爾+1=0,且4是p的充分不必要條件，則實數機的

值為.

解析解方程￡+%-6=0得:%1=2,9=-3.

設A={x|x=2或%=-3},B={x\mx+1=0}.

???q是p的充分不必要條件

J51A,且

-<xx---—[.

ImJ

當-工=2時，解之得:加=-,；

m2

當一^■=一3時，解之得:m=—.

m3

??.實數機的值為-』或L

23

b

12.A:是方程"+bx+c=0（a豐0）的兩個實數根;3:斗+%=——，則A是

a

B的條件.

――一—.h

解析由根與系數的關系定理可得:再+%=—A=>8;

a

._-4

對于方程無2—4x+9=0,若X[=1,%2=3，則x,+x2=---=4成立，但％1=1,%2=3

卻不是方程%2-4x+9=0的兩個實數根，因為該方程無實數根.

.?.由5不能推出A.

???A是B的充分不必要條件.

13.已知集合A={x||x|<4},3={x|x<a},則“a>5”是“AcB”的條

件.

解析A=國乂<4}={x|-4<x<4}.

顯然,a>5=>A口5.

若A03,則a>4.

所以，由A03不能推出a>5.

??.“a>5”是“Ac3”的充分不必要條件.

14.若“x>2m2_3”是“_1<%<4"的必要不充分條件,則實數加的取值范圍是

解析設A={x|x>27〃2—3},3={x[—l<x<4}.

由題意可知：5±A.

2m2—3W—1,解之得:―lW〃zWL

???實數機的取值范圍是[-1』.

15.若設a:1Wx<4,4:x<若a是P的充分條件，則實數機的取值范圍是

解析由題意可知:{鄧<X<4}口{x|x<7〃}.

m24.

???實數機的取值范圍是［4,zo).

16.求證:“方程ax2+2x+l=0(a*0)至少有一個負根”的充要條件是“a<0或

0<aWl”.

分析本題考查充要條件的證明.

由題意可知，本題即證明"a<0或0<aWl”是“方程ax2+2x+l=0(aw0)至少

有一個負根”的充要條件.條件是“a<0或0<aW1”.

本題涉及到的結論：

(1)一元二次方程ax?+^x+c=0(a/0)有兩個負實數根的條件是：

A>0

b

jXj+%2=<0-

a

c

xxx2=—>0

、a

(2)一元二次方程依2+以+。=。(〃。0)有一個正實數根、一個負實數根的條件是:

a>0(a<0

/(0)<0^t/(0)>0即a"(0)<0

再或者:

A>0

<c

xx=—<0

、12a

證明：充分性：???〃<()或0<aWl

**?A=4—4a=4(1—ci)20.

當％=。時,1=0不成立,「?x=。不是方程+2x+1=0(aw0)的根.

???該方程有兩個不等于0的實數根，設為七,馬?

當。<0時,由根與系數的關系定理可得=-<0.

a

??.中有一個正實數根和一個負實數根.

當0<aWl時，由根與系數的關系定理可得：

21

X+冗2=<0,%工2——〉0

laa

...玉<0,%<0,即兩個實數根均為負實數根.

???當〃<0或0<aW1時，方程a/+2x+1=0（aw0）至少有?個負根.

必要性：???方程a/+2x+l=0（a。0）至少有一個負根

???分為兩種情況情況：

①當方程有一個正實數根和一個負實數根時,則有：

A=4-4a>0

<1，解之得:〃<0;

—<0

②當方程有兩個負實數根時，則有：

A=4-4〃20

2

<—<0，解N得:0<aWl.

a

->0

當ax1+2x4-1=0（aw0）至少有一個負根時,a<0或0<aWl.

綜上所述,“方程ax2+2x+l=0（a中0）至少有一個負根”的充要條件是“a<0或

0<aWl”.

17.求證:方程x2+（2左—l）x+/=0的兩個根均大于1的充要條