2020-2021學年上海市楊浦區高一上學期期末數學試卷

一、單選題(本大題共4小題，共12.0分)

已知不等式歸-懈上工成立的一個充分不必要條件是加”口，則實數懶的取值范圍是()

A.電血：；的4—B.0<—

罷%

C.哪?<㈣或耀漸二D.

己知函數f(%)=?“去鍬；“空嫄若/(2一。2)>f(Q),則實數Q的取值范圍是()

2.

Q3瓦:一宏1，塞r0

A.(-00,-1)0(2,4-00)B.(-1,2)

C.(-2,1)D.(—8,-2)U(l,+8)

(lfx>0

定義符號函數sgzi%={o,x=0,則函數/(%)=/sgnx的圖象大致是()

(-1,%<0

4.3、已知命題P：實數m滿足加一1工0,命題q：函數j=(9—4m>是增函數。若pvq為真

命題，為假命題，則實數m的取值范圍為

A.(1,2)B.(0,1)C.[1,2]D.[0,1]

二、單空題(本大題共12小題，共36?0分)

5.函數/(%)=%2-4%,%€［0,a］的值域是［-4,0］,則。的取值范圍為

6,下列是函數/(%)(連續不斷的函數)在區間［1,2］上一些點的函數值

X11.251.371.4061.4381.51.621.751.8752

/(X)-2-0.9840.260-0.0520.1650.6251.9852.6454.356

由此可判斷：當精確度為0.1時，方程/(x)=0的一個近似解為(保留兩位有效數字).

7.函數/(n)=-log7的定義域為.

2

8.設全集U=Z,集合4={x\x-x-2>0fxeZ}9則C〃1=(用列舉法表示).

9.己知點(4,2)在幕函數y=/(%)的圖象上，則不等式/(%)>2的解集為.

10.設函數/。)=釬+1，6(2)的定義域為[一瓦一(1]“￡1,句,其中0<a<b.若函數f(x)在區間

[a,回上的最大值為6,最小值為3,則f(x)在區間[-瓦-a]上的最大值與最小值的和為.

11.使1。92%<%2<2、成立的自變量x的取值范圍是.

12.若函數/(%)=sin3x+島-1(x6[-2018,2018])的值域為口口，則a+b=.

13.設函數熊滿是定義在R上的奇函數，且對任意嘉至霾都有激冠=，拆升陽,當需電G北夠時，

顏減：=2的，則底?014—觀：2014=_。

14.已知函數y=f(x)(x€R),對函數y=g(x)(xCR),定義g(x)關于/(x)的''對稱函數”為函數

y=h(x)(xeR),y=h(x)滿足:對任意％GR,兩個點(x,/i(x)),(x,g(x))關于點(x,f(x))對稱.若

h(x)是g(x)=44-中關于/'(%)=3x+b的“對稱函數"，且/i(x)>g(x)恒成立，則實數b的

取值范圍是.

15.下列5個判斷：①若—2ax在[-1,+8)上增函數，則a=l；②函數/。)=2"-/只

有兩個零點；③函數y=ln12+l)的值域是&④函數y=2M的最小值是1；⑤在同一坐標

系中函數y=2*與y=2-*的圖象關于y軸對稱.其中正確命題的序號是.

09

16.已知a=logi,i0.9,b=l.l,c=log070.9,則這三個數從小到大排列為.

三、解答題(本大題共5小題，共52.0分)

17.已知函數/'(%)=lg(l+2x)—lg(l-2x).

(1)證明:函數y=f(x)是奇函數;

(2)解不等式/(x)>0.

18.以保護環境，發展低碳經濟為宗旨，某單位在國家科研部門的支持下進行技術改革，采用新公

益，把二氧化碳轉化為一種可以利用的化工產品，已知該單位每月處理二氧化碳最少為400噸,

最多為600噸，月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數關系可近似地表示為y=之/-

200x-10000,且每月處理一噸二氧化碳該單位可得到價值為100元的可利用的化工產品.

(1)記每月處理雙噸)二氧化碳該單位可以獲得的利潤為S(元)，試用S(元)表示成雙噸)的函數，并寫

出函數的定義域；(利潤=可利用的化工產品德爾價值-成本)

(2)吐過丹迪政府對發展低碳經濟的愜意給予專項獎勵，每處理一噸二氧化碳給予160元專項獎勵，

那么該單位每月處理多少噸二氧化碳使，才能使本單位在低碳經濟的發展中獲得處理二氧化碳

的最大經濟效益？

19.(1)設尤21,y>1,證明x+y+=s—+—+xy；

‘幫席胖

(2)1<a<b<c,證明logab+log6c+logca<logba+logcb+logac.

20.已知四礴是定義在(0,+8)上的增函數，且滿足翼璇仁.頻噴出煲同“肺口=工

⑴求加卿I的值；⑵求不等式四減海曾夫踴次一?的解集.

21.已知某條有軌電車運行時，發車時間間隔t(單位：分鐘)滿足：2StS20,t€N.經測算，電車

載客量p(t)與發車時間間隔t滿足：p(t)=竹*一2(1°~02;？，其中tGN.

(4UU10WtWZU

(1)求p(5),并說明p(5)的實際意義；

(2)若該線路每分鐘的凈收益為Q=四產-60(元)，問當發車時間間隔為多少

時，該線路每分鐘的凈收益最大？并求每分鐘最大凈收益.

參考答案及解析

1.答案：B

解析：試題分析：因為|耳:-叫y口鼻-卜耳:一硼熄"畿/嗑蟋甌瞪，則其成立的一個充分不必要條

件，即為絕對值不等式的子集，可知即”二1包含于集合歸-則《小，那么結合數軸法得到結論為

Iw-l<-￥

,>香；“㈣三懶E”，故選8.

I”

a.

考點：本試題考查了充分條件的運用。

點評：解決該試題的關鍵是能運用集合的思想，根據小集合是大集合成立的充分不必要條件的運用。

屬于基礎題。

2.答案：C

解析：試題分析：由已知條件，可知道函數/(x)在整個定義域內為增函數，因為/(2-。2)>/g),

所以2-a2>a,解得-2<a<1,故選C.

考點：1.分段函數；2.函數得到調性.

3.答案：B

(x2,x>0

解析：解：函數/'(%)=/sgnx=，0,%=0,

(^―x2,x<0

故選：B.

%2,%>0

根據新定義可得函數/(%)=/sgnx=<0,1=0，根據函數的單調即可判斷

—x2,x<0

本題考查了新定義和函數圖象的識別，屬于基礎題.

4答案:A

解析：解：由題意得：命題p：m<1

因為函數J=(9-4加廠是增函數，所以9—4m>1,解得：m<2

所以命題q：m<2

因為pvq是真命題，尸是假命題，所以命題p,q一真一假

若p真q假，則nt解；若p假q真，貝故選A.

5.答案：［2,4］

解析：解：?.?函數/(x)=/一人的圖象是開口方向朝上，以直線x=2為對稱軸的拋物線；

在區間［0,2］上是減函數，在［2,+8)上是增函數，

且f(0)=f(4)=0,f(x)min=f(2)=-4,

若定義域為［0,a］,值域為［-4,0］,

則2<a<4

故答案為：［2,4］.

由已知函數的解析式，我們可以判斷出函數圖象的形狀，單調性及最值，根據函數/(久)=M-4x,

x6［0,。］的值域是［-4,0］,易結合二次函數的圖象和性質得到答案.

本題考查的知識點是二次函數的性質，其中根據已知條件確定二次函數的圖象和性質，是解答本題

的關鍵.

6.答案：1.4

解析：解：由所給的函數值的表格可以看出，

在x=1.406與x=1.438這兩個數字對應的函數值的符號不同，

即/'(1.406)/(1.438)<0,

二函數的零點在(1.406,1.438)上，

故當精確度為0.1時，方程f(x)=0的一個近似解為1.4

故答案為：1.4

由表格可得,在％=1.406與x=1.438處對應的函數值的符號不同，BP/(1.406)/(1.438)<0,根據

零點判定定理可得零點的位置.

本題考查函數的零點的判定定理，解題的關鍵是看清那兩個函數值之間符號不同，屬基礎題.

7.答案:(0,4］

解析：

本題考查函數的定義域及其求法，考查了對數不等式的解法，是基礎題.

由根式內部的代數式大于等于0,然后求解對數不等式得答案.

解：由2-log2X20,得log2xW2,解得0<xW4.

函數/(工)-log",的定義域為

故答案為：(0,4］.

8.答案：{0,1)

解析：解：由集合4中的不等式/—%—220,因式分解得:

(x-2)(x+1)>0,

可化為:{":怒:或仔二票

<-%+1>0lx+1<0

解得：x>2或x<-1,

［A={久|%22或xW-1,且x6Z},又全集U=Z,

???CyA={x［—1<%<2,且x6Z)=［0,1}.

故答案為：{0,1)

求出集合4中一元二次不等式的解集，確定出集合4根據全集(7=2,求出集合4的補集，找出補集

解集中的整數解，列舉出集合4的補集即可.

此題考查了補集及其運算，以及一元二次不等式的解法，做題時學生注意審清題意，求補集時注意

全集的范圍.

9.答案：［4,+8)

解析：解：設基函數的解析式為"X)=xa,

由嘉函數f(x)的圖象過點(4,2),得2=4%

解得：a=

所以/'(X)=Vx；

所以f(x)的定義域為［0,+8),且單調遞增；

故/'0)22,即日22,解得：X>4,

故不等式的解集是［4,+8),

故答案為：［4,+8).

設出幕函數的解析式，求出函數的解析式，得到關于x的不等式，解出即可.

本題考查了求察函數的解析式問題，考查不等式問題，是一道基礎題.

10.答案：一5或9

解析：解:令g(x)=%a,定義域為［一比一a］U［a,b］,則

???函數/'(x)=X。+l(aGQ)在區間［a,0上的最大值為6,最小值為3,

g(x)=x。在區間［a,b］上的最大值為5,最小值為2,

若g(x)=x。是偶函數，則g(x)=/在區間［-瓦-團上的最大值為5,最小值為2,.?.函數f(x)=X。+

l(a€Q)在區間［-仇-可上的最大值為6,最小值為3,最大值與最小值的和9；

若g(x)是奇函數，則g(x)=針在區間［一仇一團上的最大值為一2,最小值為-5,.??函數/(%)=

X。+l(a6Q)在區間［一比一可上的最大值為一1,最小值為一4,最大值與最小值的和一5；

f(x)在區間［-b,-a］上的最大值與最小值的和為-5或9

故答案為：一5或9.

令g(x)=%a,定義域為［—仇—a］U［a,b］,g(x)=%。在區間［a,b］上的最大值為5,最小值為2,再分

類討論，即可得到結論.

本題考查函數的最值，考查函數的奇偶性，考查分類討論的數學思想，正確運用募函數的性質是關

鍵.

11.答案：0<x<2,或x>4

解析：解：由條件知久>0,

由圖可知：

當0cx<2時，y=log2%,y=x2,y=2*三個函數的圖

象依次從下到上排列，

二10g2X</<2",成立.

又當x=4時，42=24,

y-x2,y=2才函數的圖象在x=4時相交，

根據這三個函數的圖象可知，

2X

當x>4時，log2x<x<2

二使不等式log2%<久2<2”成立的自變量x的取值范是：0<生<2,或久>4,

故答案為：0cx<2,或x>4.

分別作出三個函數的圖象，利用數形結合即可求出自變量的取值范圍.

本題考查對數函數的圖象與性質、指數函數的圖象、事函數的圖象，利用數形結合是解決本題的關

鍵.

12.答案：0

解析：解：函數/'(x)=sin3x+一1=siJi3x+沼^.

由/'(-x)=sin(-3x)+工^0-(sin3x+察)=-/(x).

可知/'(x)是奇函數，

它在％G[-2018,2018])上的最大值與最小值互為相反數，最大值與最小值的和為0.

a+h=0,

故答案為：0

利用函數的奇偶性求解x6[-2018,2018]的最值，可得a+b.

本題考查函數的奇偶性，屬于函數函數性質應用題，較容易.

13.答案：L

2

解析：試題分析：根據題意，由于函數.非：蹴是定義在R上的奇函數，且對任意第德索都有

,我磁=暮'#硼:，可知周期為4,那么可知/(2012)=/(0)=0,同時f(2013)=f(1)=-f(-l)=

--故答案為L。

22

考點：函數的奇偶性函數的周期性

點評：解決的關鍵是將大變量轉化為已知區間的函數值，結合函數的解析式求解得到。屬于基礎題。

14.答案：(2國+8)

解析：解：根據“對稱函數”的定義可知，幽13三

2

即九(%)=6%+2b—V4—%2,

若九(%)>g(%)恒成立，

則等價為6%+2b—V4—x2>V4—%2,

即3x+b>，4一%2恒成立,

設V1=3%+b,y2=-干2,

作出兩個函數對應的圖象如圖，

當直線和上半圓相切時，圓心到直線的距離d=裊=

罌=2,

Vio

即|b|=2"U，

???b=2A/TU或—舍去)，

即要使九(%)>g(x)恒成立，

則b>2同,

即實數b的取值范圍是(26。+8),

故答案為：(2-/10,+oo)

根據對稱函數的定義，將不等式恒成立轉化為直線和圓的位置關系，即可得到結論.

本題主要考查對稱函數的定義的理解，以及不等式恒成立的證明，利用直線和圓的位置關系是解決

本題的關鍵.

15.答案：④⑤

解析：解：①若就減=/-融毓,在［T,+8)上增函數，a<-1；

②在同一坐標系中作出竄=蜜“9=3?,有三個交點，即函數有三個零點；

③因為一(?胃逆工，所以值域是［0,+8);

④因為忖空娜，所以羅=鎮的最小值是1：

⑤用_'冢代替?=室中的第:，圖象關于〃軸對稱.

故答案為④⑤.

16.答案：a<c<b

0,9

解析:解:*?,a=logltl0.9<0,b=l.l>1,c=log070.9<log070.7=1,

--a<c<b.

故答案為：a<c<b.

利用指數函數與對數函數的單調性即可得出.

本題考查了指數函數與對數函數的單調性，屬于基礎題.

17.答案：(1)證明：解得一

IJL—LX>U//

所以函數y=/(x)定義域(一表》，關于原點對稱，

又因為/(r)=lg(l-2x)-lg(l+2x)=-/(%),

所以函數y=f(x)是奇函數；

(2)解：即lg(l+2x)-lg(l-2x)>0,

BPlg(l+2x)>lg(l-2x),

?，-1+2x>1—2.x,且%解得：0<x<5，

所求不等式解集為｛x|0<x<i］.

解析：(1)根據對數函數的真數大于0可求出函數的定義域，然后利用奇函數函數的定義進行判定即

可；

(2)根據對數函數的單調性，建立不等式，結合函數的定義域可求出所求.

本題主要考查了函數奇偶性的判定，以及對數不等式的解法，同時考查了學生的運算求解能力，屬

于基礎題.

18.答案：解：(1)由題意，

S=100x-(|x2-200x-10000)

=-|x2+300x+10000,

函數的定義域為[400,600]；

(2)設該單位在低碳經濟的發展中，獲得處理二氧化碳的最終利潤為〃元)，

則L=S+160x

=--x2+300%+100004-160x

2

=--x2+460x+10000,

2

=-i(x-460)2+205800；

故當x=460e[400,600]時,L有最大值205800；

故該單位每月處理460噸二氧化碳時,才能使本單位在低碳經濟的發展中獲得處理二氧化碳的最大經

濟效益205800元.

解析：(1)由題意，寫出S=100%-(12-200%一10000)=一)2+300%+10000并函數的定義

域為[400,600]；

(2)設該單位在低碳經濟的發展中，獲得處理二氧化碳的最終利潤為L(元)，則/,=5+160%,配方求

最值.

本題考查了函數在實際問題中的應用及配方法求最值，屬于中檔題.

19.答案：(1)見解析(2)見解析

解析：(1)由于xNl,y>1,

要證》+yd-----<—+-+xy,

蹄需胖

只需證+y)+14y+x+(xy)2.

因為[y+%+(xy)2]一[%y(x+y)+1]

=[(xy)2—1]—\xy(x4-y)—(x+y)]

=(xy+l)(xy—1)—(%+y)(xy—1)

=(xy—l)(xy—x—y4-1)

=(xy-l)(x-l)(y-1).

由條件x21,y>1>得(xy—l)(x—l)(y—1)20,

從而所要證明的不等式成立.

』』

(2)設logab=x,log6c=y,由對數的換底公式得logcd=—,logba=一,\ogcb=—,logac=xy.

于是，所要證明的不等式即為x+y+二±t+-+xy.

'敏雷般

其中x