關于數學模型思想什么是數學模型？原型模型原型就是人們在社會活動和生產實踐中所關心和研究的實際對象，這些實際對象在科技領域通常用系統或過程等詞匯。例如機械系統、交通系統、導彈飛行過程，等等。模型是指人們為一定的目的對原型的某一部分信息加以簡略和提煉而構建出來的這個原型的某個代替物。例如，城市交通圖是城市的一個模型．第2頁,共40頁，2024年2月25日，星期天模型分類物質模型（形象模型）理想模型（抽象模型）直觀模型物理模型思維模型符號模型數學模型模型的分類第3頁,共40頁，2024年2月25日，星期天從廣義上講凡一切數學概念（向量、實數等）、數學理論體系、各種數學公式、各種方程（代數方程、函數方程等等）以及由公式系列構成的算法系統等稱作數學模型從狹義上講只有那些反應特定問題或特定的具體事務系統的數學關系結構才叫數學模型。數學模型：是針對或參照某種事物系統的特征或數量相依關系，采用形式化數學語言，概括地或近似地表達出來的一種數學結構。第4頁,共40頁，2024年2月25日，星期天應用領域了解程度表現特征數學方法人口模型、交通模型、金融模型、環境模型、生態模型、企業管理模型、城鎮規劃模型等等白箱模型、灰箱模型、黑箱模型確定性模型與隨機性模型、靜態模型與動態模型、離散模型與連續模型初等模型、運籌學模型、幾何模型、微分方程模型、概率統計模型等等。數學模型的分類第5頁,共40頁，2024年2月25日，星期天確定性數學模型：模型相應的實際對象具有確定性和固定性，對象間又具有必然的聯系，這類模型的表示形式可以是各種各樣的方程式、關系式、網絡圖等，所使用的方法是經典的數學方法。例如：在標準大氣壓下，把水加熱，當溫度升高到100℃的時候，水必然開始沸騰。第6頁,共40頁，2024年2月25日，星期天隨機性數學模型：這類模型的實際對象具有隨機性，數學模型的表示工具是概率論、數理統計及隨機過程等。例如：在一定的條件下，一只雞蛋可以孵化出一只小雞，小雞是雄是雌卻具有隨機性，它也受一種自然規律的支配。第7頁,共40頁，2024年2月25日，星期天模糊性數學模型：這類模型所對應的實體對象及其關系均具有模糊性，數學模型的基本表示工具是模糊幾何理論及模糊邏輯等。例如：“遠大于10的自然數”。第8頁,共40頁，2024年2月25日，星期天數學模型方法含義應用基本步驟數學理論研究的經典方法；研究自然界和社會實際問題的一般數學方法。第9頁,共40頁，2024年2月25日，星期天數學模型方法——含義數學模型：數學關系結構數學模型方法（mathmaticalmodelingmethod）：簡稱MM方法借用數學模型來研究原型的功能特征及其內在規律，并應用于實際的一種方法。借助數學模型認識事物，數學抽象方法的直接應用和體現。數學方法解決實際問題的第一步。例第10頁,共40頁，2024年2月25日，星期天數學模型、數學模型思想、數學模型方法、

數學建模數學建模：運用數學知識、數學思想方法解決實際問題的過程（建立人口增長模型的過程）數學模型：數學的數式、圖表或算法等數學結構；（人口增長模型）數學模型方法：（依托人口增長模型來分析人口增長趨勢）數學模型思想：將實際問題，化歸成數學問題，構造出相應的數學模型，通過對數學模型的研究和解答，使實際問題得以解決的一種數學化歸思想。第11頁,共40頁，2024年2月25日，星期天根據下表給出的數據資料，確定該國人口增長規律，預測該國2000年的人口數。第12頁,共40頁，2024年2月25日，星期天數學模型方法——例假設：該國的政治經濟社會環境穩定；人口增長數由其人口的生育、死亡引起，與是否移民無關該國的人口數量變化是連續的；該國的每一個人有相同的生育能力和死亡幾率返回第13頁,共40頁，2024年2月25日，星期天數學模型方法——基本步驟基本步驟（現實對象與模型的關系）現實人口增長模型問題數學抽象

數學模型數學推導描點畫圖的函數并檢驗求解返回解釋預測出2000年人口數檢驗現實原型問題數學模型的解

現實原型的解第14頁,共40頁，2024年2月25日，星期天數學模型方法——應用數學之美地心說—日心說—行星運動—海王星廣泛應用原因第15頁,共40頁，2024年2月25日，星期天數學模型與數學教育第16頁,共40頁，2024年2月25日，星期天在中學數學中的體現中學中的兩重含義第17頁,共40頁，2024年2月25日，星期天在中學數學中的體現——課標《義務教育數學課程標準》指出：在數學課程中，應當注重發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想。模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果、并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識。整體體現課程內容的核心。初步學會從數學的角度發現問題和提出問題，綜合運用數學知識解決簡單的實際問題，增強應用意識，提高實踐能力。第18頁,共40頁，2024年2月25日，星期天在中學數學中的體現——課標《普通高中數學課程標準》高中數學課程應提供基本內容的實際背景,反映數學的應用價值,開展“數學建?！钡膶W習活動,設立體現數學某些重要應用的專題課程.高中數學課程應力求使學生體驗數學在解決實際問題中的作用、數學與日常生活及其他學科的聯系,促進學生逐步形成和發展數學應用意識,提高實踐能力要求提高，不僅有數學建模的學習要求，而且要設立專題課程，增加課程中相互學應用的含量和力量。第19頁,共40頁，2024年2月25日，星期天中學數學中的體現——教材波利亞：“早已解決的問題”“輔助問題”中學數學中的一切公式、定理、法則、圖像、函數以及相應的運算系統都可以作為數學模型。函數模型、不等式模型、復數模型、排列組合模型、概率統計模型、線性規劃模型…中學中的數學模型：第20頁,共40頁，2024年2月25日，星期天中學數學中的體現——教材應用題：有純農藥藥液一桶，倒出8升后用水加滿，然后又倒出4升后再用水加滿，此時桶中所含的純農藥藥液不超過桶的容積的28%，問桶的容積最大為多少升？不等式解決實際問題的步驟：設、列、解、答第21頁,共40頁，2024年2月25日，星期天在中學數學中的體現——教材數學建模專題在高一年級四套教材中的位置第22頁,共40頁，2024年2月25日，星期天在中學數學中的體現——課程高中數學建模常規課程運用函數知識建模運用幾何知識建模運用統計知識建模尋找生活中的函數――讓學生在自己的身邊找出３個真實的函數學函數、用函數――讓學生用函數知識解決一個具體問題。1．測量2.與包裝有關的系列問題

1.排行榜中的信息用統計方法解決實際問題2.用隨機模擬的方法解決實際問題第23頁,共40頁，2024年2月25日，星期天每個建模單元四個環節構成選題開題做題結題第24頁,共40頁，2024年2月25日，星期天在中學數學中的體現——課程第25頁,共40頁，2024年2月25日，星期天

集中精力針對核心概念和重要內容，不遍地開花；所用的實際背景應能簡明扼要的闡述清楚，不拖泥帶水.不追求自成體系、自我完善，與原有內容有機銜接，自覺當好配角，讓主角閃亮登場；三

二

一文字簡潔通順，不擺弄嚇人的名詞和概念，做到樸實無華，平易近人。四在中學數學中體現——追求的境界第26頁,共40頁，2024年2月25日，星期天課程內容本身就是數學模型正數、負數；有理數的加法；分式；方程；函數等。

數學教學本身就是教給學生前人已經構造好的數學模型，滲透數學模型思想。如何在教學中滲透數學模型思想？數學教學本身數學建模活動數學建?；顒右呀洺蔀閿祵W教學的主旋律第27頁,共40頁，2024年2月25日，星期天建立數學模型的一般步驟分析現實原型的研究對象及關系結構的性質，以確定所要建立數學模型的類別。對數學模型進行數學推導和計算，得出數學結果。把數學模型應用于原型，得出實際原型問題的解，或得到檢驗，基本符合原型問題的數學模型就是一個成功的模型對原型問題合理簡化，取主舍次，以便進行數學描述，用數學的語言和符號表示各種關系。確定能反映所要研究問題的基本量和關系，分辨量與量之間的關系的主次之分。必要時，可作一些假設。第28頁,共40頁，2024年2月25日，星期天運用數學模型方法解決數學問題的框圖現實原型問題數學模型數學模型的解現實原型問題的解檢驗可推演原則檢驗數學抽象簡化原則反映性原則返回解釋第29頁,共40頁，2024年2月25日，星期天數學建模的的一般原則建立的數學模型一定要有數學意義，對其既能進行理論分析，又能進行計算和推理，且能推演出一些確定的結果.建立的數學模型必須真實地反映原型的特征和關系，即應與原型具有一定的“相似性”。所得模型的解既具有說明現實問題的功能，能回到具體研究對象中去解決問題。A

簡化原則C反應性原則B

可推演原則對原型進行簡化，抓主要因素、主變量，可通過作一些人為假設來減少系統中的變量個數第30頁,共40頁，2024年2月25日，星期天在教學中滲透模型思想3.創設問題情境，引導學生進行實驗探究等活動例子4.積極開展綜合實踐活動例子1.充分展示知識的形成過程例子

2.實現數學化的教學策略例子第31頁,共40頁，2024年2月25日，星期天一個概念的形成，伴隨著數學模型的建立過程?！傲阒笖祪纭钡牟孪搿Ｌ岢霾孪胱寣W生根據同底數冪除法計算和除法計算得到不同的結果。提問學生：為什么會有不同的結果。學生猜想質疑猜想以細胞分裂為情境，提出問題。數軸上的2的正整次冪的位置。驗證猜想驗證這個規定與原來的冪的運算性質是相容的。第32頁,共40頁，2024年2月25日，星期天數學化人們在觀察、認識和改造客觀世界的過程中，運用數學的思想和方法來分析和研究客觀世界的種種現象并加以整理和組織的過程?！トR登塔爾第33頁,共40頁，2024年2月25日，星期天實現數學化的教學策略汽車報廢年限的問題某種汽車購買時費用為10萬元，每年使用的費用為兩部分：一是保險費及汽油費，這一塊我們可看成是固定的，設為9千元。而是汽車的維修費用，這個費用隨著使用年限的增加而增加，平均為第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次遞增，問這種汽車使用多少年報廢最合算（即使用多少年的年平均費用最少）？年平均費用=（購買費+每年的固定費用+維修費）/總年數設汽車使用年限為N年，y為使用該汽車的年平均費用第34頁,共40頁，2024年2月25日，星期天創設問題情境，引導學生進行實踐探究活動《義務教育課程標準》教師在教學中應結合具體的教學內容創設問題情境，以此引導學生進行觀察、操作、探究、歸納、猜想、討論、交流等一系列的活動。在一個國際活動中，來自不同國家的10位代表第一次見面，他們兩兩握手做自我介紹，試問：1）在這次見面中有多少次不同的握手？2）如果代表的人數多于10人，共有多少次握手？對于任意人數赴會，能否找出一種辦法計算不同的握手次數？第35頁,共40頁，2024年2月25日，星期天第36頁,共40頁，2024