河北省唐山市遷安沙河驛鎮初級中學高三數學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如圖所示，平面四邊形中，，，將其沿對角線折成四面體，使，則下列說法中不正確的是A. B.

C. D.參考答案：D略2.我們把離心率之差的絕對值小于的兩條雙曲線稱為“相近雙曲線”.已知雙曲線，則下列雙曲線中與是“相近雙曲線”的為（

）.A．

B．C．

D．參考答案：B雙曲線的離心率為，對于A答案，其離心率為，不符合題意；對于B答案，其離心率為，符合題意；對于C答案，其離心率為，不符合題意；對于D答案，其離心率為3，不符合題意.選B.3.如圖是一個正方體被一個平面截去一部分后得到的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是原正方體的體積的（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C試題分析：由圖可知，該幾何體是底面腰長為的等腰直角三角形，高為的直三棱柱，其體積是原正方體的．故選C．考點：由三視圖求面積、體積．4.已知z=2x+y，其中x，y滿足，且z的最大值是最小值的4倍，則m的值是A.

B.

C.

D.參考答案：D5.“”是“是函數的極小值點”的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件參考答案：A，則，令或.檢驗：當時，，為極小值點，符合；當時，，為極小值點，符合.故“”是“函數的極小值點為”的充分不必要條件.6.已知函數,則的

值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D試題分析：因為，所以，故選D．考點：1、函數值；2、推理與證明．7.函數的圖象大致是

參考答案：答案：D8.已知函數f（x）=sin（x+）﹣在上有兩個零點，則實數m的取值范圍為(

)A． B． D．參考答案：B【考點】函數零點的判定定理．【專題】函數的性質及應用．【分析】由f（x）=0得sin（x+）=，然后求出函數y=sin（x+）在上的圖象，利用數形結合即可得到結論．【解答】解：由f（x）=0得sin（x+）=，作出函數y=g（x）=sin（x+）在上的圖象，如圖：由圖象可知當x=0時，g（0）=sin=，函數g（x）的最大值為1，∴要使f（x）在上有兩個零點，則，即，故選：B【點評】本題主要考查函數零點個數的應用，利用三角函數的圖象是解決本題的關鍵．9.

參考答案：B10.已知函數，在同一坐標系中畫出其中兩個函數在第一象限內的圖象，其中正確的是

（

）

參考答案：答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知隨機變量的分布列如下表所示，的期望，則a的值等于

。0123P0．1ab0.2參考答案：略12.已知圓O的半徑為3，從圓O外一點A引切線AD和割線ABC，圓心O到AC的距離為，，則切線AD的長為

參考答案：略13.函數f（x），g（x）的定義域都是D，直線x=x0（x0∈D），與y=f（x），y=g（x）的圖象分別交于A，B兩點，若|AB|的值是不等于0的常數，則稱曲線y=f（x），y=g（x）為“平行曲線”，設f（x）=ex﹣alnx+c（a＞0，c≠0），且y=f（x），y=g（x）為區間（0，+∞）的“平行曲線”，g（1）=e，g（x）在區間（2，3）上的零點唯一，則a的取值范圍是．參考答案：[3e3，+∞）【考點】6H：利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】由題意可得|ex﹣alnx+c﹣g（x）|對x∈（0，+∞）恒為常數，且不為0．令x=1求得常數．再由題意可得f（x）=ex﹣alnx+c在（2，3）上無極值點，運用導數和構造函數，轉化為方程無實根，即可得到a的范圍．【解答】解：由題意可得|ex﹣alnx+c﹣g（x）|對x∈（0，+∞）恒為常數，且不為0．令x=1，可得|e﹣0+c﹣g（1）|=|e+c﹣e|=|c|＞0．由g（x）在區間（2，3）上的零點唯一，可得：f（x）=ex﹣alnx+c在（2，3）上無極值點，即有f′（x）=ex﹣=，則xex﹣a=0無實數解，由y=xex，可得y′=（1+x）ex＞0，在（2，3）成立，即有函數y遞增，可得y∈（2e2，3e3），則a≥3e3，故答案為：[3e3，+∞）．14.設a＞0，b＞0，且a+b=1，則+的最小值為

．參考答案：4【考點】基本不等式．【分析】根據基本不等式的應用，即可求+的最小值．【解答】解：∵a+b=1，∴+=（a+b）（+）=2+，當且僅當，即a=b=時，取等號．故答案為：4．15.對于任意恒成立，則實數a的取值范圍______.參考答案：16.在等差數列{an}中，已知a1＝20，前n項和為Sn，且S10＝S15，求當n=________時，Sn取得最大值.參考答案：略17.給出下列不等式：1＋＋＞1,1＋＋＋…＋＞，1＋＋＋…＋＞2，…，則按此規律可猜想第n個不等式為________．參考答案：1＋＋＋＋…＋＞觀察不等式左邊最后一項的分母3,7,15，…，通項為2n＋1－1，不等式右邊為首項為1，公差為的等差數列，故猜想第n個不等式為1＋＋＋＋…＋＞.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，以坐標原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x﹣y+=0相切．（1）求橢圓C的標準方程；（2）設點P（4，0），A，B是橢圓C上關于x軸對稱的任意兩個不同的點，連結PB交橢圓C于另一點E，證明：直線AE與x軸相交于定點．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程．【專題】計算題；分類討論；方程思想；轉化思想；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】（1）利用橢圓的離心率e，以及圓心（0，0）到直線x﹣y+的距離求出a，b，即可求解橢圓的方程．（2）設直線PB的方程為y=k（x﹣4）聯立，設點B（x1，y1），E（x2，y2），通過韋達定理求出直線方程，即可求出定點坐標．【解答】解：（1）由題意知e==，∴=，即a2=…（2分）又∵圓心（0，0）到直線x﹣y+的距離為，∴b=．∴a=2，故橢圓的方程為：…（4分）（2）由題意知直線PB的斜率存在，設直線PB的方程為y=k（x﹣4）聯立，得（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12=0①…（6分）設點B（x1，y1），E（x2，y2），則A（x1，﹣y1），直線AE的方程為令y=0，得x=，…（8分）再將y1=k（x1﹣4），y2=k（x2﹣4）代入整理得x=②…（10分）由①得x1+x2=，x1x2=，代入②整理得x=1，所以直線AE與x軸相交于定點（1，0）…（12分）．【點評】本題考查直線方程與橢圓方程的綜合應用，橢圓的標準方程的求法，考查分析問題解決問題的能力．19.已知函數f（x）=|x+2|﹣|x﹣2|+m（m∈R）．（Ⅰ）若m=1，求不等式f（x）≥0的解集；（Ⅱ）若方程f（x）=x有三個實根，求實數m的取值范圍．參考答案：【考點】R5：絕對值不等式的解法；R4：絕對值三角不等式．【分析】（Ⅰ）分x≤﹣2，﹣2＜x＜2，x≥2三種情況求解；（Ⅱ）由方程f（x）=x可變形為m=x+|x﹣2|﹣|x+2|．令作出圖象如圖所示．根據圖象求解．【解答】解：（Ⅰ）∵m=1時，f（x）=|x+2|﹣|x﹣2|+1．∴當x≤﹣2時，f（x）=﹣3，不可能非負；當﹣2＜x＜2時，f（x）=2x+1，由f（x）≥0可解得，于是；當x≥2時，f（x）=5＞0恒成立．所以不等式f（x）≥0的解集為．（Ⅱ）由方程f（x）=x可變形為m=x+|x﹣2|﹣|x+2|．令作出圖象如圖所示．于是由題意可得﹣2＜m＜2．20.已知向量=（sinωx﹣cosωx，1），=（cosωx，），設函數f（x）=，若函數f（x）的圖象關于直線x=對稱且ω∈[0，2]（Ⅰ）求函數f（x）的單調遞減區間；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別a，b，c，若a=，f（A）=1，求b+c的最大值．參考答案：【考點】HT：三角形中的幾何計算；9R：平面向量數量積的運算；GL：三角函數中的恒等變換應用．【分析】（Ⅰ）化簡f（x），利用周期公式求出ω得出f（x）的解析式，利用正弦函數的單調性列出不等式解出單調增區間；（Ⅱ）通過f（A）=1，求出A的值，利用余弦定理得到關于b+c的表達式，然后求其最大值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=（sinωx﹣cosωx）cosωx+=sinωx?cosωx﹣cos2ωx+=﹣=sin（2ωx﹣）函數f（x）的圖象關于直線x=對稱，則則，k∈Z且ω∈[0，2]，則ω=1…（4分）∴f（x）=sin（2x﹣），令2kπ+≤2x﹣+2kπ，解得kπ+，k∈Z∴函數f（x）的單調遞減區間為[kπ+，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）f（A）=sin（2A﹣）=1，且A是△ABC內角，∴0＜A＜π，則﹣＜2A﹣，所以2A﹣=，則A=，∵a=，由余弦定理=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc則（b+c）2﹣3bc=3，而bc≤（）2，所以3=（b+c）2﹣3bc≥（b+c）2﹣3×（）2=?b+c，當且僅當b=c=時，所以b+c的最大值為2．【點評】本題考查三角函數的化簡求值，解三角形的知識，二倍角公式、兩角和的正弦函數、余弦定理的應用，考查計算能力，注意A的大小求解，是易錯點．21.圓的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個三角形，當該三角形面積最小時，切點為P（如圖）.（1）求點P的坐標；（2）焦點在x軸上的橢圓C過點P，且與直線交于A，B兩點，若的面積為2，求C的標準方程.參考答案：22.（本題滿分14分）中，，以的中線為折痕，將沿折起，構成二面角．在面內作，且．（I）求證：∥平面；（II）如果二面角的大小為，求二面角的余弦值．參考答案：（1）由得，所以為等腰直角三角形，由為的中點得，以的中線為折痕翻折后仍有，因為，所以∥，又平面，平面，所以∥平面．（2）如果二面角的大小為，由得平面，因此，又，所以平面，從而．由題意，所以中，．設中點為