高中數學高二年級利用導數研究函數的極值一、知識回顧如果對x0附近的所有點x，都有f(x)<f(x0),

則稱函數f(x)在點x0處取極大值，記作y極大值=f(x0)；并把x0稱為函數f(x)的一個極大植點。如果對x0附近的所有點x，都有f(x)>f(x0),則稱函數f(x)在點x0處取極小值，記作y極小值=f(x0)；并把x0稱為函數f(x)的一個極小植點。

已知函數y=f(x)，設x0是定義域（a,b）內任一點，abba◆函數的極大值與極小值統稱為極值.極大值點與極小值點統稱為極值點.1．極值點與極值

yxOx1x2aby=f(x)在極大值點附近在極小值點附近

f

(x)<0

f

(x)>0

f

(x)>0

f

(x)<0(1)如果f

(x0)=0,且在x0附近的左側f

(x)>0，右側f

(x)<0,那么f(x0)是極大值(2)如果f

(x0)=0,且在x0附近的左側f

(x)<0，右側f

(x)>0,那么f(x0)是極小值

f

(x2)=0

f

(x1)=0可導函數f(x)在x0處導數為0是該點為極值點的充要條件為：

2．求可導函數y=f(x)的極值的方法(1)求函數的定義域；(2)求函數的導數f′(x)；(3)令f′(x)＝0，求出全部的根x0；(4)列表：方程的根x0將整個定義域分成若干個區間，把x，f′(x)，f(x)

在每個區間內的變化情況列在一個表格內；(5)判斷得結論：若導數在x0附近左正右負，則在x0處取得極大值；若導數在x0附近左負右正，則在x0處取得極小值;若導數在x0的左右兩側符號不變，則f(x0)不是極值.

3、求可導函數f(x)極值的步驟為：考點一求函數的極值

二、分類突破求函數的極值．f(x)＝x3－3x2－9x＋5解：函數定義域R，f′(x)＝3x2－6x－9.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.當x變化時，f′(x)與f(x)的變化情況如下表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)單調遞增10單調遞減－22單調遞增因此，當x＝－1時函數取得極大值，且極大值為f(－1)＝10；當x＝3時函數取得極小值，且極小值為f(3)＝－22.

歸納總結

判斷一個函數是否有極值，不能只求解，根據函數極值的定義，函數在某點處存在極值，則應在該點的左右鄰域是單調的，并且單調性應相反．方程的根x0將整個定義域分成若干個區間，列表法把x，f′(x)，f(x)在每個區間內的變化情況列在一個表格內，可以清晰地確定極值.考點二由函數的極值求參數已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1時有極值0，求常數a，b的值．參數值進行檢驗參數值進行檢驗

歸納總結

解決此類問題通常是利用函數的導數在極值點處的取值等于零來建立關于參數的方程，從而求出參數的值．需注意的是，可導函數在某點處的導數值等于零只是函數在該點處取得極值的必要條件，所以必須對求出的參數值進行檢驗，看是否符合函數取得極值的條件．考點三含參數的函數極值問題

求函數f(x)＝x3－3ax＋b(a≠0)的極值．解：函數定義域R，f′(x)＝3(x2－a)(a≠0)，當a<0時，f′(x)>0恒成立，即函數在(－∞，＋∞)上單調遞增，此時函數沒有極值；

利用導數求極值，要先討論函數的單調性，涉及參數時，必須對參數的取值情況進行討論．

歸納總結三、課堂檢測1.函數y＝x3－3x2－9x(－2<x<2)有(

)

A．極大值5，極小值－27；

B．極大值5，極小值－11；C．極大值5，無極小值；

D．極小值－27，無極大值．解析：由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3.

∴當x＝－1時，函數有極大值5；而3?(－2,2)，故無極小值．當x<－1或x>3時，y′>0；當－1<x<3時，y′<0.C2.設a∈R，若函數y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的極值點，則(

)解析：∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a，令y′＝ex＋a＝0，則ex＝－a，即x＝ln(－a).又∵x>0，∴－a>1，即a<－1.A3.已知函數f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1既有極大值又有極小值，則實數a的取值范圍是________________________．解析：f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，(－∞，－1)∪(2，＋∞)∵函數f(x)既有極大值又有極小值，∴方程f′(x)＝0有兩個不相等的實根，∴Δ＝36a2－36(a＋2)>0.即a2－a－2>0，解之得a>2或a<－1.①解析：由圖象可知，x＝1，x＝2是函數的