《義務教育數學課程標準（2022年版）》

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綱一、《義務教育數學課程標準（2022年版）》解讀二、數學核心素養例析三、基于數學核心素養發展的教學案例分析一、《義務教育數學課程標準（2022年版）》解讀1.課程性質2.課程理念3.課程目標4.課程內容5.學業質量6.課程實施基本視角：對比--從不變中看變化，從發展中看傳承1.課程性質——性質不變，凸顯核心素養2.課程理念——結構不變，聚焦核心素養3.課程目標——素養統籌，三個維度不變4.課程內容——領域不變，關注素養形成5.學業質量——三個方面，刻畫核心素養6.課程實施——延續拓展，追求素養達成1.課程性質--傳承與凸顯（1）數學是研究數量關系和空間形式的科學--傳承數量關系確定性的數量關系—數與代數隨機性的數量關系—統計與概率空間形式—圖形與幾何利用數量關系與空間形式解決問題—綜合與實踐（2）數學源于對現實世界的抽象，通過對數量和數量關系、圖形和圖形關系的抽象，得到數學的研究對象及其關系；基于抽象結構，通過對研究對象的符號運算、形式推理、模型建構等，形成數學的結論和方法；幫助人們認識、理解和表達現實世界的本質、關系和規律。--新增數學源于對現實世界的抽象，通過對數量和數量關系、圖形和圖形關系的抽象，得到數學的研究對象及其關系-用數學眼光看基于抽象結構，通過對研究對象的符號運算、形式推理、模型建構等，形成數學的結論和方法-用數學思維想幫助人們認識、理解和表達現實世界的本質、關系和規律-用數學語言說會用數學的眼光觀察現實世界：抽象能力、幾何直觀、空間觀念、創新意識會數學的思維思考現實世界：運算能力、推理能力會用數學的語言表達現實世界：數據觀念、模型觀念、應用意識（3）數學不僅是運算和推理的工具，還是表達和交流的語言。數學承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分。數學是自然科學的重要基礎，在社會科學中發揮著越來越重要的作用，數學的應用滲透到現代社會的各個方面，直接為社會創造價值，推動社會生產力的發展。隨著大數據分析、人工智能的發展，數學研究與應用領域不斷拓展。--傳承拓展數學不僅是運算和推理的工具，還是表達和交流的語言-工具價值；數學承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分-文化價值；數學是自然科學的重要基礎，在社會科學中發揮著越來越重要的作用-科學價值；數學的應用滲透到現代社會的各個方面，直接為社會創造價值，推動社會生產力的發展-應用價值；隨著大數據分析、人工智能的發展，數學研究與應用領域不斷拓展-科學價值、應用價值。投射-數學及數學教育的功能：義務教育階段為什么要學習數學？

數學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發展中發揮著不可替代的作用。

數學素養是現代每一個公民應當具備的基本素養。

數學教育承載著落實立德樹人根本任務、實施素質教育的功能。（4）課程性質：義務教育數學課程具有基礎性、普及性和發展性--傳承基礎性-掌握適應現代生活及進一步學習必備的基礎知識和基本技能、基本思想和基本活動經驗；普及性-激發學習數學的興趣，養成獨立思考的習慣和合作交流的意愿；發展性-發展實踐能力和創新精神，形成和發展核心素養，增強社會責任感，樹立正確的世界觀、人生觀、價值觀。2.課程理念--傳承與聚焦義務教育數學課程以習近平新時代中國特色社會主義思想為指導，落實立德樹人根本任務，致力于實現義務教育階段的培養目標，使得人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展，逐步形成適應終身發展需要的核心素養。（1）課程目標觀——確立核心素養導向的課程目標（2）課程內容觀——設計體現結構化特征的課程內容（3）課程教學觀——實施促進學生發展的教學活動（4）課程評價觀——探索激勵學習和改進教學的評價（5）課程技術觀——促進信息技術與數學課程的整合（1）課程目標觀——確立核心素養導向的課程目標

義務教育數學課程應使學生通過數學的學習，形成和發展面向未來社會和個人發展所需要的核心素養。

課程目標以學生發展為本，以核心素養為導向，強調學生獲得“四基”，發展“四能”，形成正確的情感、態度和價值觀。

核心素養是在數學學習過程中逐漸形成和發展的，不同學段發展水平不同，是制定課程目標的基本依據。（2）課程內容觀——設計體現結構化特征的課程內容

數學課程內容是實現課程目標的重要載體。

課程內容的選擇-數學學科特征；數學文化與中華優秀傳統文化；科學技術與社會發展需要；學生認知規律；

課程內容組織-重點是對內容進行結構化整合，探索發展學生核心素養的路徑。處理好“三對”關系。

課程內容呈現-注重數學知識與方法的層次性和多樣性：

?適當考慮跨學科主題學習；

?根據學生的年齡特征和認知規律，適當采取螺旋式的方式；

?適當體現選擇性，逐步拓展和加深課程內容，適應學生的發展需求。（3）課程教學觀——實施促進學生發展的教學活動

有效的教學活動是學生學和教師教的統一，學生是學習的主體，教師是學習的組織者、引導者與合作者。

學生的學習：應是一個主動的過程，認真聽講、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等是學習數學的重要方式。

教學活動：

應注重啟發式，激發學習興趣、引發積極思考、鼓勵質疑問難，引導學生在真實情境中發現問題和提出問題，利用觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證、數據分析、直觀想象等方法分析問題和解決問題-四能；

促進學生理解和掌握數學的基礎知識和基本技能，體會和運用數學的思想與方法，獲得數學的基本活動經驗-四基；

培養學生良好的學習習慣、形成積極的情感、態度與價值觀，逐步形成核心素養-情感態度、核心素養。（4）課程評價觀——探索激勵學習和改進教學的評價

評價目的-評價不僅要關注學生數學學習的結果，還要關注學生數學學習過程，激勵學生學習，改進教師教學。

評價標準-通過學業質量標準的建構，融合“四基”“四能”和核心素養的主要表現，形成階段性評價的主要依據；

評價主體與評價方式-采用多元評價主體和多樣評價方式，鼓勵學生自我監控學習的過程和結果。（5）課程技術觀——促進信息技術和數學課程融合

合理利用現代信息技術，提供豐富的學習資源，設計生動的教學活動，促進數學教學方式方法的變革。

在實際問題解決中，創設合理的信息化學習環境，提升學生的探究熱情，開闊學生的視野，激發學生的想象力，提高學生的信息素養。3.課程目標--傳承與發展課程目標的確定，立足學生核心素養發展，集中體現數學課程育人價值。（1）核心素養內涵-重大變化

①核心素養的構成

?會用數學的眼光觀察現實世界-抽象能力、幾何直觀、空間觀念、創新意識

通過數學的眼光：

可以從現實世界的客觀現象中發現數量關系與空間形式，提出有意義的數學問題；

能夠抽象出數學的研究對象及其屬性，形成概念、關系與結構；

能夠理解自然現象背后的數學原理，感悟數學的審美價值；

形成對數學的好奇心與想象力，主動參與數學探究活動，發展創新意識。多葉蘆薈(AloePolyphylla,又稱螺旋蘆薈)

?會用數學的思維思考現實世界-運算能力、推理能力

通過數學的思維：

可以揭示客觀事物的本質屬性，建立數學對象之間、數學與現實世界之間的邏輯聯系；

能夠根據已知事實或原理，合乎邏輯地推出結論，構建數學的邏輯體系；

能夠運用符號運算、形式推理等數學方法，分析、解決數學問題和實際問題；

能夠通過計算思維將各種信息約簡和形式化，進行問題求解與系統設計；

形成重論據、有條理、合乎邏輯的思維品質，培養科學態度與理性精神。

?會用數學的語言表達現實世界-數據觀念、模型觀念、應用意識

通過數學的語言：

可以簡約、精確地描述自然現象、科學情境和日常生活中的數學關系與空間形式；

能夠在現實生活與其他學科中構建普適的數學模型，表達和解決問題；

能夠理解數據的意義與價值，會用數據的分析結果解釋和預測不確定現象，形成合理的判斷或決策；

形成數學的表達與交流能力，發展應用意識與實踐能力。

②在初中階段的主要表現

抽象能力、幾何直觀、空間觀念、創新意識；

運算能力、推理能力；數據觀念、模型觀念、應用意識。（2）總目標-傳承與變化

通過義務教育階段的數學學習，學生逐步學會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界（三會）。學生能：

①獲得適應未來生活和進一步發展必需的數學“四基”。

②體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系，在探究真實情境所蘊含的關系中，發現問題和提出問題，運用數學和其他學科的知識與方法分析問題和解決問題（“四能”）。

③對數學具有好奇心和求知欲，了解數學的價值，欣賞數學美，提高學習數學的興趣，建立學好數學的信心，養成良好的學習習慣，形成質疑問難、自我反思和勇于探索的科學精神（“情感態度”）。（3）學段目標-四個方面→三個維度

?

經歷四個學習領域的學習，獲得“四基”，發展相應的核心素養。

數與代數-抽象能力、模型觀念、運算能力、幾何直觀

圖形與幾何-推理能力、空間觀念、幾何直觀

統計與概率-數據觀念、模型觀念、推理能力

綜合與實踐-應用意識、創新意識

?

“四能”：運用幾何直觀、邏輯推理等方法解決問題，形成模型觀念和數據觀念；合作交流解決問題：嚴謹、準確表達觀點，理解他人思考方法和結論；回顧反思：形成批判性思維和創新意識。?

關注數學相關信息：主動參與數學活動；解決數學問題：樹立信心、體會數學價值，欣賞創造數學美；養成學習習慣：認真勤奮、獨立思考、合作交流、反思質疑。4.課程內容——傳承與聚焦數與代數圖形與幾何統計與概率綜合與實踐數與式方程與不等式函

數圖形的性質圖形的變化圖形與坐標抽樣與數據分析隨機事件的概率項目式學習3個單元2個單元4個單元6個單元5個單元2個單元跨學科主題學習初中數學課程內容由數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐四個學習領域（主題、單元）組成。每一個學習領域以數學核心內容和基本思想為主線循序漸進，每一個領域由若干主題構成，每一個主題由若干單元構成。每一個領域的課程內容由內容要求、學業要求、教學提示三方面呈現

內容要求-學習的范圍和要求；

學業要求-明確學業結束時學習內容與相關核心素養所要達到的程度；

教學提示-針對學習內容和達成相關核心素養而提出的教學建議。（1）數與代數-內容要求

數與代數是學生認識數量關系、探索數學規律、建立數學模型的基石——幫助學生從數量關系的角度清晰、準確地認識、理解和表達現實世界。

數與代數有三個主題：數與式、方程與不等式、函數

數與式-代數的基本語言，字母像數一樣可以進行運算和推理，得到的結論具有一般性。

方程與不等式-揭示數學中最基本的數量關系，是一類廣泛應用的數學工具。

函數-研究變量之間的關系，探索事物變化的規律；借助函數可以認識方程與不等式。

數與代數的學習，有助于形成抽象能力、推理能力、模型觀念，發展幾何直觀、運算能力。①數與式

有理數（增-理解負數的意義。刪-知道

的意義）；

實數（增-知道實數由有理數和無理數組成；能用數軸上的點表示實數，能比較實數的大小；能借助數軸理解相反數和絕對值的意義）

代數式（并-整式與分式。增-能利用乘法公式進行簡單的推理；了解代數推理）。②方程與不等式

方程與方程組（選學變必學-了解一元二次方程的根與系數的關系）；

不等式與不等式組。③函數

函數的概念（增-理解函數值的意義）；一次函數；

二次函數（增-會求二次函數的最大值或最小值，并能確定相應自變量的值；知道二次函數與一元二次方程之間的關系。刪-?知道給定不共線的三點坐標可以確定一個二次函數）；

反比例函數。（1）數與代數-學業要求

立足核心素養，提煉內容要求（四基）。

有理數-運算能力、抽象能力、幾何直觀；

實數-運算能力；

代數式-抽象能力、運算能力、推理能力、幾何直觀

方程與方程組-抽象能力、運算能力、模型觀念

函數-抽象能力、模型觀念、推理能力、幾何直觀（1）數與代數-教學提示

數與代數，是學生理解數學符號，感悟用符號表達事物的性質、關系、規律的關鍵內容，是學生初步形成抽象能力、推理能力、運算能力，感悟用數學的語言表達現實世界的重要載體。

數與式教學-把握數與式的整體性：數量→數→代數式。建立符號意識，提升運算能力。

方程與不等式教學-讓學生經歷對現實問題中量的分析，借助字母表達未知數，建立量與量之間的關系，獲得方程或不等式的過程，體會算術與代數的差異。

函數的教學-通過變量分析，建立變量關系；借助函數圖像與表達式的對應關系，理解函數與對應的方程、不等式的關系，增強幾何直觀；會用函數語言表達現實世界，發展應用意識。

教學過程中，關注數學知識與實際的結合：

引導學生在實際背景中理解數量關系、變化規律，經歷從實際問題中建立數學模型、求解模型、驗證反思的過程，形成模型觀念；

關注基于代數的邏輯推理，如代數運算律的論證、韋達定理的論證、基于圖像的函數想象；

能在比較復雜的情境中提升學生“四能”及有邏輯地表達。（2）圖形與幾何-內容要求

圖形與幾何有三個主題：圖形的性質、圖形的變化、圖形與坐標

圖形的性質-通過實驗探究、直觀發現、推理論證研究圖形：在用幾何直觀理解幾何基本事實的基礎上，從基本事實出發推導圖形的幾何性質與定理，理解和掌握尺規作圖的基本原理和方法。

圖形的變化-從運動變化的觀點研究圖形：理解圖形在軸對稱、旋轉、平移、相似、投影時的變化規律和變化中的不變量。

圖形與坐標-運用數形結合，用代數方法研究圖形：在平面直角坐標系中用坐標表示圖形上點的位置，用坐標分析和解決實際問題。

圖形與幾何的學習，有助于在空間觀念的基礎上，進一步建立幾何直觀、提升抽象能力、推理能力。①圖形的性質

點、線、面、角（并-能用尺規作圖：作一個角等于已知角；作一個角的平分線）；

相交線與平行線（并-能用尺規作圖：作一條線段的垂直平分線；過一點作已知直線的垂線；增-能用尺規作圖：過直線外一點作這條直線的平行線）；

三角形（增-理解角平分線的概念；變-理解等腰三角形的概念；理解直角三角形的概念；并-能用尺規作圖：已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊作三角形；已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形；已知一直角邊和斜邊作直角三角形）；

四邊形（增-理解平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念；理解矩形、菱形、正方形之間的包含關系；變-理解兩條平行線之間距離的概念）；

圓（變-探索并掌握點與圓的位置關系；增-知道同弧（或等弧）所對的圓周角相等；并-能用尺規作圖：過不在同一直線上的三點作圓；作三角形的外接圓、內切圓；作圓的內接正方形和內接正六邊形；增-?過圓外一點作圓的切線；刪-探索切線與過切點的半徑的關系，會用三角尺過圓上一點畫圓的切線）；

定義、命題、定理（變-知道數學思維要合乎邏輯）。②圖形的變化

圖形的軸對稱（變-通過具體實例理解軸對稱的概念）；

圖形的旋轉；

圖形的平移；

圖形的相似；

圖形的投影③圖形與坐標

圖形的位置與坐標（刪-結合實例進一步體會用有序數對可以表示物體的位置）；

圖形的運動與坐標。（2）圖形與幾何-學業要求（略）（2）圖形與幾何-教學提示（略）（3）統計與概率-內容要求

統計與概率有兩個主題：抽樣與數據分析、隨機事件的概率

統計與概率的學習，有助于學生感悟從不確定性的視角認識客觀世界的思維模式和解決問題的方法，初步理解通過數據認識現實世界的意義，感知大數據時代的特征，發展數據觀念和模型觀念。

抽樣與數據分析-根據實際問題背景設計收集數據的方法，經歷更為有條理地收集、整理、描述、分析數據的過程，利用樣本估計總體平均數，利用樣本方差估計總體方差，體會抽樣的必要性和數據分析的合理性。

隨機事件的概率-經歷簡單隨機事件發生概率的計算過程，嘗試用概率定量描述隨機現象發生可能性的大小，理解概率的意義。①抽樣與數據分析——增加：

理解中位數、眾數的意義；

會計算一組簡單數據的離差平方和；

經歷數據分類的活動，知道按照組內離差平方和最小原則對數據進行分類的方法；

會計算四分位數，了解四分位數與箱線圖的關系，感悟百分位數的意義。②隨機事件的概率（3）統計與概率-學業要求（略）（3）統計與概率-教學提示（略）（4）綜合與實踐-內容要求

初中綜合與實踐的學習，可采取項目學習的方式，以問題解決為導向，整合數學與其他學科的知識與思想方法，讓學生從數學的角度觀察與分析、思考與表達、解決與闡釋社會生活以及科學技術中遇到的現實問題，感受數學與科學、技術、經濟、金融、地理、藝術等學科的融合。

積累數學活動經驗，體會數學的價值，提高“四能”，發展應用意識、創新意識和實踐能力。

①在社會生活和科學技術的真實情境中，結合方程與不等式、函數、圖形的變化、圖形與坐標、抽樣與數據分析等內容，經歷現實情境數學化，探索數學關系、性質與規律的過程，感悟如何從數學的角度發現和提出問題，逐步形成“會用數學的眼光觀察現實世界”的核心素養。

②用數學的思維方法，運用數學與其他學科的知識，綜合地、有邏輯地分析問題，經歷分工合作、試驗調查、建立模型、計算反思、解決問題的過程，提升思維能力，逐步形成“會用數學的思維思考現實世界”的核心素養。

③用數學的語言，將現實問題轉化為數學問題，經歷用數學方法解決問題的過程，感悟科學研究的過程與方法，感受數學在與其他學科融合中所彰顯的功效，積累數學活動經驗，逐步形成“會用數學的語言表述世界”的核心素養。

（4）綜合與實踐-學業要求（略）

（4）綜合與實踐-教學提示（略）5.學業質量——新增（1）學業質量內涵

學業質量-學生完成課程階段性學習后的學業成就表現：核心素養要求。

學業質量標準-以核心素養為主要維度，結合課程內容，對學生學業成就具體表現特征的整體刻畫。

數學課程學業質量標準-學業水平考試命題及評價的依據，指導學生學習、教師教學、教材編寫等。（2）學業質量描述

數學課程學業質量標準從三個方面評估學生核心素養達成及發展情況：

一、以結構化數學知識主題為載體，在形成與發展“四基”的過程中所形成的抽象能力、推理能力、運算能力、幾何直觀和空間觀念等。

——“四基”發展中形成的核心素養

二、以學生熟悉的生活與社會情境，以及符合學生認知發展規律的數學與科學情境中，在經歷“用數學的眼光發現和提出問題，用數學的思維與數學的語言分析和解決問題（四能）”的過程中所形成的模型觀念、數據觀念、應用意識和創新意識等。——“四能”提升中形成的核心素養

三、學生經歷數學的學習運用、實踐探索的經驗積累，逐步產生對數學的好奇心、求知欲，以及對數學學習的興趣和自信心，初步養成獨立思考、探究質疑、合作交流等學習習慣，初步形成自我反思的意識。——“情感態度”發展中促進核心素養的形成（3）初中數學課程學業質量標準

一、“四基”發展中形成的核心素養：

能從生活情境、數學情境中抽象概括出數與式、方程與不等式、函數的概念與規則，掌握相關的運算求解方法，合理解釋運算結果，形成一定的運算能力、推理能力和抽象能力（模型觀念）；

知道運動過程中的不變量、圖形運動的變化特征，能運用幾何圖形的基本性質進行推理證明，初步掌握幾何證明方法，進一步增強幾何直觀、空間觀念和推理能力；

知道頻數、頻率和概率的意義，能夠進行簡單的數據分析，形成數據觀念、模型觀念；

綜合運用數學和其他學科的知識與方法解決問題，積累數學活動經驗，發展核心素養（模型觀念、應用意識、創新意識）。

二、“四能”提升中形成的核心素養：

能從具體的生活與科技情境中，抽象出函數、方程、不等式等數學表達形式，用數學的眼光發現并提出（或轉化為）數學問題，用數學的思維探索、分析和解決具體情境中的現實問題，給出數學描述和解釋，運用數學的語言與思想方法，綜合運用多個領域的知識，提出設計思路，制定解決方案。

能夠知道解決問題方法的多樣性，具備一定的應用意識和模型意識，初步會用數學語言表達和交流。

三、“情感態度”發展中促進核心素養的形成：

感悟數學的價值，能夠從數學問題解決過程中獲得數學活動經驗，產生對數學的好奇心和求知欲，增強學習數學的興趣，建立學習數學的自信心。

能夠在解決問題的過程中，學會獨立思考、合作探究，形成批判質疑、克服困難、勇于擔當的科學精神，具備一定的創新意識。

6.課程實施（1）教學建議①制訂指向核心素養的教學目標

教學目標要體現核心素養的主要表現；

處理好核心素養與“四基”“四能”的關系；

教學目標的設定要體現整體性和階段性。②整體把握教學內容

注重教學內容的結構化；

注重教學內容與核心素養的關聯。③選擇能引發學生思考的教學方式

豐富教學方式；

重視單元整體教學設計；

強化情境設計與問題提出。④進一步加強綜合與實踐

明確教學目標；

設計教學活動；

關注教學評價。⑤注重信息技術與數學教學的整合

改進教學方式；

促進自主學習。（2）評價建議①教學評價

評價方式豐富；

評價維度多元；

評價主體多樣；

評價結果的呈現與運用。②學業水平考試

考試性質和目的；

命題原則——堅持素養立意，凸顯育人導向。遵循課標要求，嚴格依標命題。規范命題管理，加強質量檢測；

命題規劃；

試題命制。（3）教材編寫建議（略）（4）課程資源開發與利用（略）（5）教學研究與教師培訓（略）二、數學核心素養例析1.從《2011版》到《2022版》2.運算能力1.從《2011版》到《2022版》《義務教育數學課程標準（2011年版）》

九年一貫——數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識、創新意識。《義務教育數學課程標準（2022年版）》

初中——“三會”抽象能力、空間觀念、幾何直觀、創新意識；運算能力、推理能力；數據觀念、模型觀念、應用意識。《義務教育數學課程標準（2011年版）》：十個核心詞體現在課程設計思路之課程內容、總目標、學段目標的四個方面。《義務教育數學課程標準（2022年版）》：九大核心素養貫穿在課程性質；課程理念；總目標、學段目標的三個維度；課程內容；學業質量；教學建議、評價建議、教材編寫建議、課程資源開發與利用、教學研究與教師培訓。2.運算能力（1）從能力到素養-運算能力（2）2011年版到2022年版-運算能力（3）初中數學涉及“運算能力”的內容與要求（1）從能力到素養-運算能力1912年中學校令試行規則：熟習計算，并使其思慮精確。1923年初級中學算學課程綱要：能熟習算術各項演法，應用于日常生活，不致錯誤。1929年初級中學算學暫行課程標準：助長日常算學的知識與經驗；養成敏速的計算習慣。1932年初級中學算學課程標準：知運算之理由與法則；養成計算純熟準確。1941年修正初級中學數學課程綱要：知運算之理由與法則；養成計算準確迅速。1948年修訂初級中學數學課程標準：知運算之原則與方法；有計算準確迅速之習慣。1950年初中算術精簡綱要（草案）：學習運算算理；熟練演算技能。1951年中學數學科課程標準草案：形數知識-講授數量計算；應用技能-使能準確計算。1956年中學數學教學大綱（修訂草案）：自覺地、迅速地、確信地、合理地運算與恒等變形。1963年全日制中學數學教學大綱（草案）：培養正確而且迅速的計算能力。1978年全日制十年制中學數學教學大綱（試行草案）：具有正確迅速的運算能力。1988年全日制初級中學數學教學大綱（初審稿）：進一步培養運算能力。

運算能力是指邏輯思維能力與運算技能的結合，即不僅會根據法則正確地進行運算，而且要理解運算的算理；能夠根據題目條件尋求簡捷、合理的運算途徑。2001年全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）：發展學生的數感、符號感、空間觀念、統計觀念、應用意識、推理能力。

運算能力

消失了！

2012年全日制義務教育數學課程標準（2011年版）：發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力、模型思想、應用意識、創新意識。

運算能力

回歸！2022年全日制義務教育數學課程標準（2022年版）：發展學生的抽象能力、空間觀念、幾何直觀、創新意識；推理能力、運算能力；數據觀念、模型觀念、應用意識、。（2）2011年版到2022年版-運算能力運算能力（2011版）：

內涵-能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。

價值-培養運算能力有助于理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。運算能力（2022版）：

內涵-根據法則和運算律正確地進行運算的能力。

表現-能夠明確運算的對象和意義，理解算法與算理之間的關系；能夠理解運算的問題，選擇合理簡潔的運算策略解決問題；能夠通過運算促進數學推理能力的發展。

價值-運算能力有助于形成規范化思考問題的品質，養成一絲不茍、嚴謹求實的科學態度。

運算能力包括：理解運算對象、掌握運算法則、探究運算方向、選擇運算方法、設計運算程序、求得運算結果。

表現一：能夠明確運算的對象和意義，理解算法與算理之間的關系。

變化一：負數在初中階段正式引入。

從減法運算封閉性的角度理解負數的產生；

引入負數后，可實現加減運算之間的統一。

變化二：初中階段完整學習方程定義。

讓學生在初中經歷一個完整的“情境→概念→應用→遷移”的方程知識形成過程。

方程概念的形成過程中，重點在“如何構建等量關系”這個算理的分析，從而構造“方程”這個運算對象。

變化三：韋達定理正式進入初中必學內容。

韋達定理揭示方程根與系數的關系，即已知與未知的關系。

韋達定理的證明蘊含代數符號推理，所得結論具有一般性。

表現二：能夠理解運算的問題，選擇合理簡潔的運算策略解決問題。

一座拱橋的縱截面是拋物線的一部分，水面寬是4米，拱頂離水面2米。現在想了解水面寬度變化時，拱頂離水面的高度怎樣變化？實際問題數學模型轉化回歸

表現三：能夠通過運算促進數學推理能力的發展。

代數中的邏輯推理：

從若干運算結果中歸納出有關運算規律-歸納推理；

根據運算法則推演運算的規律或者公式-演繹推理；

根據一類性質類推另一類性質推理方式-類比推理；

借助幾何直觀，通過圖像分析函數關系-函數想象。

教學中：通過數學運算外顯推理過程，讓推理過程“看得見”。

【例1】證明：

是無理數。

證明：設

是有理數，不妨設

，且

，a與b都是正整數。

則

，故a為偶數，可設a=2c，從而

，即

，故b也為偶數。從而a，b均為偶數，這與

矛盾。

【例2】設

是一個四位數，若

可以被3整除，則這個四位數可以被3整除。

證明：

因為

可以被3整除，

故當

可以被3整除時，

這個四位數可以被3整除。

【例3】設

是一個四位數，若

，則這個四位數可以被11整除。

證明：

因為

可以被11整除，

故當

時，

這個四位數可以被11整除。

【例4】研究

平方的規律。

證明：

教學中：通過數學運算使合情推理與演繹推理相融合。

探究：計算下列各式，觀察計算結果，你能發現什么規律？

（1）

，

；

（2）

，

；

（3）

，

；

一般地，二次根式的乘法法則是：

教學中：設計推理任務，通過數學運算讓推理的目標“能達成”。

例如，下圖中8個直角三角形和一個小正方形組成一個大正方形。

（1）不計算，僅觀察圖形，說說的結果和理由；

（2）用代數方法證明（1）中的發現。abab如圖，小明家、食堂、圖書館在同一直線上。小明從家去食堂吃早餐，接著去圖書館讀報，然后回家。其中x表示時間，y表示小明離家的距離。根據圖象回答下列問題：1.食堂離小明家

km，小明從家到食堂用了

min。2.小明在食堂吃早餐用了

min。3.食堂離圖書館

km，小明從食堂到圖書館用了

min。4.圖書館離小明家

km。小明從圖書館回家的平均速度是

。（3）初中數學涉及“運算能力”的內容與要求初中數學哪些內容涉及“運算能力”？運算能力（2022年版）

內涵-根據法則和運算律正確地進行運算的能力。

表現-能夠明確運算的對象和意義，理解算法與算理之間的關系；能夠理解運算的問題，選擇合理簡潔的運算策略解決問題；能夠通過運算促進數學推理能力的發展。探尋依據：

其一，運算對象——初中新出現；

其二，運算法則——初中新出現。

運算對象——初中新出現：

數-有理數、實數（根式）；

式-整式、分式，方程、不等式；

函數-函數及其變換（涉及圖形的變化）。數的運算相關要求有理數理解有理數的意義、理解乘方的意義；掌握有理數的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運算；理解有理數的運算律，能運用運算律簡化運算。實數了解無理數和實數；了解平方根、算術平方根、立方根的概念并會表示它們，會用平方運算求百以內完全平方數的平方根，會用立方運算求千以內完全立方數（及對應的負整數）的立方根，會用計算器計算平方根和立方根；能用計算器進行近似計算，會按問題的要求進行簡單的近似計算；了解二次根式加、減、乘、除運算法則，會用它們進行簡單的四則運算。式的運算相關要求整式理解整式的概念；掌握合并同類項和去括號的法則；能進行簡單的整式加減運算，能進行簡單的整式乘法運算；理解乘法公式

，

，能利用公式進行簡單的計算和推理；能用提公因式法、公式法進行因式分解。分式了解分式和最簡分式的概念，能利用分式的基本性質進行約分和通分，能對簡單的分式進行加、減、乘、除運算。方程掌握等式的基本性質，能解一元一次方程和可化為一元一次方程的分式方程；掌握消元法，能解二元一次方程組；理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數字系數的一元二次方程。不等式了解不等式的意義，探索不等式的性質；能解數字系數的一元一次不等式，并能在數軸上表示出解集；會用數軸確定兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集。函數運算相關要求三角函數探索并認識銳角三角函數；會用計算器由已知銳角求其三角函數值，由已知三角函數值求它的對應銳角；能用銳角三角函數解直角三角