高級中學名校試卷PAGEPAGE2浙江省寧波市九校2023-2024學年高一上學期1月期末聯考數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，，則的子集個數是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，，則，所以，的元素個數為，的子集個數是.故選：C.2.為了得到函數的圖象，可以將函數的圖象（）A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度〖答案〗B〖解析〗為了得到函數的圖象，可以將函數的圖象向右平移個單位長度.故選：B.3.“”是“”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗當時，不妨取，，則，所以，“”“”，另一方面，當時，由不等式的基本性質可得，所以，“”“”，因此，“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.已知菱形的邊長為1，若，則（）A. B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗，所以.故選：D.5.若函數為偶函數，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.或〖答案〗A〖解析〗函數為偶函數，的定義域為，且為偶函數，在(或其子集)上為偶函數，恒成立，恒成立，故選：A.6.某試驗小組研究某種植物在一定條件下的生長規律，根據試驗數據可知，在相同條件下，這種植物每周以的增長率生長.若經過周后，該植物的長度是原來的倍，則再經過周，該植物的長度大約是原來的（）A.倍 B.倍 C.倍 D.倍〖答案〗C〖解析〗設植物原來的長度為，經過周后，該植物的長度為原來的倍，即，即，即，再過周后該植物的長度為，因此，再經過周，該植物的長度大約是原來的倍.故選：C.7.已知函數.若，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗令，對任意的，，故對任意的，，故函數的定義域為，因為，所以，，函數為奇函數，令，則函數在上增函數，函數為增函數，所以，函數在上為增函數，由，可得，所以，，所以，，即，令，當時，則有，顯然成立；當時，則，所以，函數在、上單調遞減，在上單調遞增，又因為函數在上連續，所以，函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，，所以，，解得，此時，；當時，則，所以，函數在上單調遞減，在、上單調遞增，又因為函數在上連續，所以，函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，，所以，，解得，綜上所述，實數的取值范圍是.故選：A.8.已知函數.若為奇函數，為偶函數，且在上沒有最小值，則的最大值是（）A.2 B.6 C.10 D.14〖答案〗B〖解析〗由題意知，因為為奇函數，所以，，因為為偶函數，所以，相加得，又因為，所以，當代入得，即，代入得，即，即；當代入得，即，代入得，即，即；因為在上沒有最小值，設，則，所以，的最大值是6.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列式子化簡正確的是（）A.B.C.D.〖答案〗BD〖解析〗對于A選項，，A錯；對于B選項，，B對；對于C選項，，C錯；對于D選項，，D對.故選：BD.10.已知邊長為的正邊形.若集合且，則（）A.當時，B.當時，C.當時，D.當時，〖答案〗ACD〖解析〗對于A選項，當時，如下圖所示：則，，，同理可得，，，故時，，A對；對于B選項，當時，如下圖所示：，，，此時，，B錯；對于C選項，當時，取中點，連接，則，如下圖所示：易知正五邊形的每個內角都為，則，故，則，由平面向量數量積的定義可得，故當時，，C對；對于D選項，當時，設正六邊形的中心為，如下圖所示：易知正六邊形的每個內角都為，則，故，所以，，，則，由正六邊形的幾何性質可得，則，則，結合圖形可知，故，因此，當時，，D對.故選：ACD.11.若，則（）A.的最小值是B.的最小值是C.的最大值是0D.的最大值是〖答案〗BCD〖解析〗若，則，，，即，對于A，，當且僅當，即，時，等號成立，可得，故A錯誤；對于B，由，可得，所以，當且僅當，即，時，等號成立，故B正確；對于C，由，可得，所以，當且僅當，時，等號成立，故C正確；對于D，由，可得，可知，故，令，可知，，故，當且僅當，即，時，等號成立，故的最大值是，故D正確.故選：BCD.12.下列大小關系正確的是（）A.B.C.D.〖答案〗ABD〖解析〗對于選項A：因為均不為0，且，又因為在定義域內單調遞減，可得，則，所以，故A正確；對于選項B：因為，且，，可得，即，故B正確；對于選項C：因為，則，可得，且，所以，故C錯誤；對于選項D：對于與，如圖所示，可知當時，則，令，可得，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.杭州第19屆亞洲運動會于2023年9月23日至10月8日在中國浙江省杭州市舉行，本屆亞運會的會徽名為“潮涌”，主體圖形由扇面、錢塘江、錢江潮頭、賽道、互聯網符號及象征亞奧理事會的太陽圖形六個元素組成如圖1所示，其中扇面造型突出反映了江南的人文意蘊.會徽的幾何圖形如圖2所示，設弧的長度是，弧的長度是，幾何圖形的面積為，扇形的面積為.若，則__________.〖答案〗2〖解析〗設扇形的面積為，，則，所以，即，所以.故〖答案〗為：2.14.與向量共線的一個單位向量的坐標是__________________.〖答案〗或〖解析〗因為，，所以與向量共線的單位向量為，所以向量共線的一個單位向量的坐標是或.故〖答案〗為：或.15.已知函數在上既有最大值，又有最小值.若，則______，______.〖答案〗0〖解析〗對于函數，當時，它在上沒有最大值，也沒有最小值，所以，由在上既有最大值，又有最小值，必有，所以，其值域為，由得，，，，其中，所以，因為，所以，所以，兩邊平方得，因為，根據題意可得的解集為，所以為方程的根，所以，所以，解得.故〖答案〗為：0.16.設函數，若對任意，都存在唯一的，使得，則實數的取值范圍是______________.〖答案〗〖解析〗設函數在、上的值域分別為、，當時，函數在上為增函數，函數在上為增函數，此時，函數在上為增函數，當時，即當時，函數在上為增函數，當時，則，則，①當且時，，即，此時，函數在上為增函數，則，即，由題意可知，，則，解得，此時，；②當時，函數在上為增函數，則，當時，，當時，，則，此時，，當時，，則，此時，，如下圖所示：若對任意，都存在唯一的，使得，只需，解得，此時，；③當時，，函數在上單調遞減，在上單調遞增，則，當時，，當時，，則，此時，，當時，，則，如下圖所示：若對任意，都存在唯一的，使得，只需，解得，與矛盾，此時，不存在，綜上所述，.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.求解下列各題：（1）計算：；（2）已知，求的值.解：（1）原式.（2）因為，所以，所以，所以.18.已知集合，.（1）當時，求；（2）從①；②；③中任選一個作為已知條件，求實數的取值范圍.解：（1）由，得，得，所以，當時，，所以.（2）若選①，因為，則，當，即，得；當時，則有，解得，綜上，實數的取值范圍是；若選②，因為，則，當，即，得；當時，則有，解得，綜上，實數的取值范圍是；若選③，因為，則，當，即，得；當時，則有，解得，綜上，實數的取值范圍是.19.已知向量.（1）求函數的〖解析〗式及其單調遞減區間；（2）若函數在區間上有且僅有兩個零點，求實數的取值范圍.解：（1），由，得，即函數的單調遞減區間為.（2）當時，令，則函數在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，且，函數在區間上有且僅有兩個零點，等價于函數的圖象與函數在上有兩個公共點，所以，或，即的取值范圍是.20.已知一個半徑為米的水輪如圖所示，水輪圓心距離水面米，且按順時針方向勻速轉動，每秒轉動一圈.如果以水輪上點從水面浮現時（圖中點位置）開始計時，記點距離水面的高度關于時間的函數〖解析〗式為.（1）在水輪轉動的一周內，求點距離水面高度關于時間的函數〖解析〗式；（2）在水輪轉動的一周內，求點在水面下方的時間段.解：（1）由題意知的最大值為，最小值為，所以，，解得，由題意可知，函數的最小正周期為，則，所以，當時，，即，可得，又，所以，所以，.（2）令，得，由，得，所以，解得，即在水輪轉動的一圈內，點在水面下方的時段是秒到秒.21.已知函數.（1）若函數為定義域上的偶函數，求實數的值；（2）當時，對，不等式恒成立，求實數的取值范圍.解：（1）定義域為，由題知，即，化簡得，即對任意恒成立，得.（2）當時，，因為不等式對恒成立，所以①，且②對恒成立，由①得，②即對恒成立，令，則，當且僅當時，所以，綜上：的取值范圍是.22.已知函數有3個不同的零點，且.（1）求實數的取值范圍；（2）若存在，使不等式成立，求實數的取值范圍.解：（1）由已知得，當時，在上單調遞增，只有1個零點，不符合題意；當時，因為函數有3個不同的零點，且在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，所以時，有1個根，時，有2個根，故，解得；當時，當時，方程判別式，可知無解，所以函數不可能有3個不同的零點，所以不符合題意，綜上：的取值范圍是.（2）由（1）知，是方程的兩個不等實根，則，是方程的大根，即，由，得，記，則，即等價于存在，使，即，因為，顯然在上單調遞增，所以，所以的取值范圍是.浙江省寧波市九校2023-2024學年高一上學期1月期末聯考數學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，，則的子集個數是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，，則，所以，的元素個數為，的子集個數是.故選：C.2.為了得到函數的圖象，可以將函數的圖象（）A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度〖答案〗B〖解析〗為了得到函數的圖象，可以將函數的圖象向右平移個單位長度.故選：B.3.“”是“”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗當時，不妨取，，則，所以，“”“”，另一方面，當時，由不等式的基本性質可得，所以，“”“”，因此，“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.已知菱形的邊長為1，若，則（）A. B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗，所以.故選：D.5.若函數為偶函數，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.或〖答案〗A〖解析〗函數為偶函數，的定義域為，且為偶函數，在(或其子集)上為偶函數，恒成立，恒成立，故選：A.6.某試驗小組研究某種植物在一定條件下的生長規律，根據試驗數據可知，在相同條件下，這種植物每周以的增長率生長.若經過周后，該植物的長度是原來的倍，則再經過周，該植物的長度大約是原來的（）A.倍 B.倍 C.倍 D.倍〖答案〗C〖解析〗設植物原來的長度為，經過周后，該植物的長度為原來的倍，即，即，即，再過周后該植物的長度為，因此，再經過周，該植物的長度大約是原來的倍.故選：C.7.已知函數.若，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗令，對任意的，，故對任意的，，故函數的定義域為，因為，所以，，函數為奇函數，令，則函數在上增函數，函數為增函數，所以，函數在上為增函數，由，可得，所以，，所以，，即，令，當時，則有，顯然成立；當時，則，所以，函數在、上單調遞減，在上單調遞增，又因為函數在上連續，所以，函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，，所以，，解得，此時，；當時，則，所以，函數在上單調遞減，在、上單調遞增，又因為函數在上連續，所以，函數在上單調遞減，在上單調遞增，所以，，所以，，解得，綜上所述，實數的取值范圍是.故選：A.8.已知函數.若為奇函數，為偶函數，且在上沒有最小值，則的最大值是（）A.2 B.6 C.10 D.14〖答案〗B〖解析〗由題意知，因為為奇函數，所以，，因為為偶函數，所以，相加得，又因為，所以，當代入得，即，代入得，即，即；當代入得，即，代入得，即，即；因為在上沒有最小值，設，則，所以，的最大值是6.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列式子化簡正確的是（）A.B.C.D.〖答案〗BD〖解析〗對于A選項，，A錯；對于B選項，，B對；對于C選項，，C錯；對于D選項，，D對.故選：BD.10.已知邊長為的正邊形.若集合且，則（）A.當時，B.當時，C.當時，D.當時，〖答案〗ACD〖解析〗對于A選項，當時，如下圖所示：則，，，同理可得，，，故時，，A對；對于B選項，當時，如下圖所示：，，，此時，，B錯；對于C選項，當時，取中點，連接，則，如下圖所示：易知正五邊形的每個內角都為，則，故，則，由平面向量數量積的定義可得，故當時，，C對；對于D選項，當時，設正六邊形的中心為，如下圖所示：易知正六邊形的每個內角都為，則，故，所以，，，則，由正六邊形的幾何性質可得，則，則，結合圖形可知，故，因此，當時，，D對.故選：ACD.11.若，則（）A.的最小值是B.的最小值是C.的最大值是0D.的最大值是〖答案〗BCD〖解析〗若，則，，，即，對于A，，當且僅當，即，時，等號成立，可得，故A錯誤；對于B，由，可得，所以，當且僅當，即，時，等號成立，故B正確；對于C，由，可得，所以，當且僅當，時，等號成立，故C正確；對于D，由，可得，可知，故，令，可知，，故，當且僅當，即，時，等號成立，故的最大值是，故D正確.故選：BCD.12.下列大小關系正確的是（）A.B.C.D.〖答案〗ABD〖解析〗對于選項A：因為均不為0，且，又因為在定義域內單調遞減，可得，則，所以，故A正確；對于選項B：因為，且，，可得，即，故B正確；對于選項C：因為，則，可得，且，所以，故C錯誤；對于選項D：對于與，如圖所示，可知當時，則，令，可得，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.杭州第19屆亞洲運動會于2023年9月23日至10月8日在中國浙江省杭州市舉行，本屆亞運會的會徽名為“潮涌”，主體圖形由扇面、錢塘江、錢江潮頭、賽道、互聯網符號及象征亞奧理事會的太陽圖形六個元素組成如圖1所示，其中扇面造型突出反映了江南的人文意蘊.會徽的幾何圖形如圖2所示，設弧的長度是，弧的長度是，幾何圖形的面積為，扇形的面積為.若，則__________.〖答案〗2〖解析〗設扇形的面積為，，則，所以，即，所以.故〖答案〗為：2.14.與向量共線的一個單位向量的坐標是__________________.〖答案〗或〖解析〗因為，，所以與向量共線的單位向量為，所以向量共線的一個單位向量的坐標是或.故〖答案〗為：或.15.已知函數在上既有最大值，又有最小值.若，則______，______.〖答案〗0〖解析〗對于函數，當時，它在上沒有最大值，也沒有最小值，所以，由在上既有最大值，又有最小值，必有，所以，其值域為，由得，，，，其中，所以，因為，所以，所以，兩邊平方得，因為，根據題意可得的解集為，所以為方程的根，所以，所以，解得.故〖答案〗為：0.16.設函數，若對任意，都存在唯一的，使得，則實數的取值范圍是______________.〖答案〗〖解析〗設函數在、上的值域分別為、，當時，函數在上為增函數，函數在上為增函數，此時，函數在上為增函數，當時，即當時，函數在上為增函數，當時，則，則，①當且時，，即，此時，函數在上為增函數，則，即，由題意可知，，則，解得，此時，；②當時，函數在上為增函數，則，當時，，當時，，則，此時，，當時，，則，此時，，如下圖所示：若對任意，都存在唯一的，使得，只需，解得，此時，；③當時，，函數在上單調遞減，在上單調遞增，則，當時，，當時，，則，此時，，當時，，則，如下圖所示：若對任意，都存在唯一的，使得，只需，解得，與矛盾，此時，不存在，綜上所述，.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.求解下列各題：（1）計算：；（2）已知，求的值.解：（1）原式.（2）因為，所以，所以，所以.18.已知集合，.（1）當時，求；（2）從①；②；③中任選一個作為已知條件，求實數的取值范圍.解：（1）由，得，得，所以，當時，，所以.（2）若選①，因為，則，當，即，得；當時，則有，解得，綜上，實數的取值范圍是；若選②，因為，則，當，即，得；當時，則有，解得，綜上，實數的取值范圍是；若選③，因為，則，當，即，得；當時，則有，解得，綜上，實數的取值范圍是.19.已知向量.（1）求函數的〖解析〗式及其單調遞減區間；（2）