傳統課堂的教學有兩大問題:一是記憶型知識易被遺忘,二是學生對這樣的知識缺乏深入理解[1].當下,有效學習的視角從強調學生的勤學苦練轉變為注重理解和運用知識,理解性學習成為國際教育研究熱點.由格蘭特·威金斯和杰伊·麥克泰格提出的“追求理解的教學設計”(UnderstandingbyDesign,簡稱UbD)正在逐漸發展完善.UbD理論的核心即理解,教學目標、評估證據、教學活動都是幫助學生實現理解的手段,整個教學活動的完成都是圍繞著“理解”進行的[2].UbD理論認為,為達到“理解”這一教學目標,最好的設計應該“以終為始”,UbD理論指導下的教學設計就是一種逆向教學設計,其與傳統教學設計模式的差異是,傳統教學著眼于“輸入端”,逆向教學則是聚焦“輸出端”,認為“輸出”可以倒逼“輸入”[3].1逆向教學設計操作程序本部分以威金斯提出的逆向設計階段為基礎,闡述逆向教學設計的操作程序.逆向教學設計可以分為明確預期的學習結果、確定合適的評估依據、設計學習體驗和教學三個階段,在這里設計者要注意三個階段不是相互獨立的,下一個階段是在上一個階段基礎上得到的.1.1階段一:明確預期的學習結果預期的學習結果要界定出學生通過學習要獲得哪些知識、能運用這些知識干什么,可以從“確定單元目標、確定課時目標、預期的學習結果”三個步驟來確定.預期的學習結果可以分為四部分,“預期的遷移”是學生深入理解所學知識,能夠將所學內容進行遷移運用.“預期的理解”是在可以掌握基礎知識的基礎上,更深層次的理解,實現知識結構構建.“基本問題”是“是什么”“為什么學”“怎么理解”等.“知識與技能”是基礎性目標,主要是學生學完后能學會什么知識技能.1.2階段二:確定合適的評估依據在逆向教學設計中,教學活動不是在確定了預期結果后直接計劃的,而是先針對第一階段的預期結果設計評估依據,再設計教學.在這一階段,需要解決的問題是“怎樣證明學生已經理解、怎樣證明學生達成了預期的學習結果”.這里的評估依據應當貫穿整個學習的過程,既包括學習活動結束后的測試,還包括在學習過程中收集大量的證據,如觀察、提問、探究問題等等.評估依據可以從表現性任務、其他證據、自我評估和反饋三部分確立.1.3階段三:設計學習體驗和教學在確定了清晰的預期結果和評估依據后,就可以規劃相應的教學活動了,依據即為階段一和階段二的預定目標以及評估依據.在該階段,設計者可以運用威金斯和邁克泰格提出的WHERETO七元素.WHERETO元素中W指學習方向和原因,H指吸引和保持,E1指探索和體驗、準備和使能夠,R指反思、重新考慮及修改,E2指評價工作及進展,T指量身定制,O指為最佳效果而組織.2案例設計——以二元一次方程組為例二元一次方程組是方程組的內容主體之一,本階段的學生已經具有一元一次方程的相關知識,但只是初步體會了方程思想.學習二元一次方程組會為將來的一次函數、二次函數、不等式等內容打下基礎.2.1階段一:明確預期的學習結果2.1.1確定單元目標①對方程發展史進行基礎了解,理解相關概念;②能遷移解一元一次方程的內容,并思考如何利用一元來研究二元;③掌握二元一次方程組的解題過程,掌握代入消元法及加減消元法,會驗證解的合理性;④體會“消元”的思想,推導三元一次方程組的解法,初步體會化歸思想;⑤體會方程組的應用價值,培養數學建模意識和數學抽象素養,同時提高解決問題的能力.2.1.2確定課時目標①類比一元一次方程,掌握二元一次方程和二元一次方程組的有關概念并學會辨別,知道二者解的定義;②可以由具體問題抽象出二元一次方程組,可以運用數學思維將實際問題轉化成數學問題,培養學生數學抽象的能力;③能找出實際問題中的數量關系并建立方程的數學模型,培養數學建模素養;④提高問題意識,加強應用意識.2.1.3預期的學習結果(1)預期的遷移.一方面,能夠遷移一元一次方程的知識來學習本節內容;另一方面,能將生活中的實際問題轉化為二元一次方程組,可以將本節課涉及的思想和方法遷移到其他數學問題.(2)預期的理解.首先,可以從“元”、“次”來理解二元一次方程.同時,知道二元一次方程組是表達實際問題的一種數學模型.再者,能自己總結這節課的主要學習內容.最后,能理解出題者的意圖.(3)基本問題.①什么是二元一次方程?它與一元一次方程有何聯系?②什么是二元一次方程組?什么是二元一次方程的解?什么是二元一次方程組的解?③本節課學習的意義是什么?④如何根據具體的問題列二元一次方程組?(4)知識與技能.①掌握本節課涉及的四個定義,清楚二元和一元的區別,清楚方程的解和方程組的解的區別和聯系;②可以根據實際問題列出二元一次方程組,初步擁有數學抽象思維,知道嘗試用建模方式解決實際問題.2.2階段二:確定合適的評估依據2.2.1表現性任務任務1:學生在上課前閱讀關于方程發展背景的文章,研究其在數學史上的作用.任務2:讓學生做小老師,將本節內容經過整理記錄下來,并交給沒上課的同學,并向其講解.任務3:解決實際問題.通過研究實際問題“乒乓球賽問題”,建立數學模型,列出方程.任務4:請每個學生設計一個與本節課相關的習題,小組內互相做題、糾正并給予評價.2.2.2其他證據課上測驗——課上安排小練習;課上問答——通過課上的師生問答判斷學生的學習情況;課下作業——完成書本上的練習題及習題冊上的對應習題;單元測驗——檢測本章的相關知識.2.2.3自我評估和反饋①自評對本節課“多人共車”問題和“雀燕”問題的探究情況,在練習后讓學生判斷自己的掌握情況;②在下課前讓學生思考總結本節課所學內容,談談感想和收獲,評價自己的學習掌握度;③根據課后作業反思自己是否達成了本節課的學習要求;④為學生發放自評表進行填寫.2.3階段三:設計學習體驗和教學(1)布置課前作業,讓學生閱讀整理有關方程數學史和相關背景的文章,繼而完成幾道關于一元一次方程的習題,為學習活動做準備.(E1,R)(2)情景引入:從數學文化引入,讓學生先運用已有一元一次方程知識自行解決《孫子算經》中的“多人共車”問題,教師引導學生思考是否可以設兩個未知數,自然過渡到二元一次方程.(H)(3)教師讓學生明確學習目標,明確表現性任務,介紹這節課涉及的四個基本問題.(W)(4)教師引導學生設兩個未知數解決問題,證明設兩個未知數來列方程的可行性.(O,E1)(5)學生類比多人共車問題探究《九章算數》中的雀燕問題,再次體驗設兩個未知數列方程的過程,同時認識到本節課的必要性.(E1)(6)學生觀察兩個問題中列出的四個方程的共同特性,比較其與一元一次方程的差異,引導從“元”“次”的角度進行總結,歸納二元一次方程定義.(O,E1)(7)教師呈現若干式子,學生判斷哪些是二元一次方程,并說明判斷依據.(E2)(8)教師帶領學生繼續探索,將“雞兔同籠”和“雀燕”問題的方程進行比較,以此為例,總結二元一次方程組的定義.(E1)(9)小組合作討論相關問題,鞏固對二元一次方程組定義的理解,區分易錯點.(E1,O)(10)準備探究解的情況,引導學生從問題中發現二元一次方程、二元一次方程組和一元一次方程的學習順序是一樣的.(E1)(11)探究“多人共車”問題中x,y的取值問題,師生合作總結并體會二元一次方程和二元一次方程組解的定義.(E1,O)(12)學生獨立思考二元一次方程解的個數?二元一次方程組又有幾個解?教師要引導學生注意到二者解之間的聯系與區別.(E1)(13)學生完成一系列典型例題.(E2)(14)學生獨立完成“乒乓球賽”問題,建方程模型解決問題.(T,R)(15)根據本節課所學內容,每個人設計一道習題,小組內互相交換做題.(T,R,E2)(16)教師組織學生反思“多人共車”問題和“雀燕”問題,總結本節課的收獲和疑問.(R,O,E2)(17)讓學生試著當小老師,將本節內容經過自己的整理記錄下來,并交給沒來的同學,同時給他講解這節課的內容.(R,T,O)(18)課下完成練習冊內容后小組內交換練習冊相互評價,給練習冊評分.學生分析錯誤的原因,寫下自己的評語.(R,E2,O)(19)在單元結束時,回顧所學知識,構建知識框架,進行自我總結.(E2,T)3結論與反思基于UbD理念的逆向教學設計在三個階段環環相扣,使教學設計整體在很大程度上體現了教學目標、評估證據、教學活動的一致性.這種注重理解的模式在數學科目上有很大優越性,同時“二元一次方程組”這一范例也證明了其可操作性.首先,UbD理論提供了一個具體可行的反