組合知識點及題型歸納總結知識點精講1.單純組合問題2.分選問題和選排問題=1\*GB3①分選問題，幾個集合按要求各選出若干元素并成一組的方法數.=2\*GB3②選排問題，分選后的元素按要求再進行排列的排列數.分組問題和分配問題=1\*GB3①分組問題，把一個集合中的元素按要求分成若干組的方法數；=2\*GB3②分配問題，把一個集合中的元素按要求分到幾個去處的方法數.題型歸納及思路提示題型1單純組合應用問題思路提示把所給問題歸結為從個不同元素中取個元素，可用分類相加、分布相乘，也可用總數減去對立數.例12.21課外活動小組共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名隊長，現從中選5人主持某項活動，依下列條件各有多少種選法？只有一名女生當選；（2）兩隊長當選；（3）至少有一名隊長當選；（4）至多有兩名女生當選；（5）既要有隊長，又要有女生當選.分析注意理解組合與排列問題的不同——取出的元素有無順序.解析（1）1名女生，4名男生，故共有（種）.（2）只需從剩余的11人中選擇3人即可，故有（種）.（3）解法一：（直接法）至少有一名隊長含有兩類：只有一名隊長和兩名隊長，故共有（種）.解法二：（間接法）采用排除法（種）.（4）至多兩名女生含有3類情形：有兩名女生、只有一名女生、沒有女生，故選法為：種.（5）解法一：（直接法）分兩類：=1\*GB3①女隊長當選，故有種；=2\*GB3②男隊長當選，故至少需要另外4名女生中的一名，故種.綜上可知，選法有+=種.解法二：分兩類：=1\*GB3①女隊長當選，故有種；=2\*GB3②男隊長當選，故至少需要另外4名女生中的一名.若另外的4人都是男生，則有種方法，故男隊長當選，且至少有一名女生（且為非女隊長）的方法有種，故共有+=種.變式1某單位要邀請10位教師中的6人參加一個研討會，10人中甲、乙不能都去，共有（）種邀請方法.A.84B.98C.112D.140變式2在四面體的頂點和各棱中共10個點中選4個點不共面，共有（）種不同取法.A.150B.147C.141D.142變式3若，就稱為有伴關系的集合，集合，則的非空子集中，具有有伴關系的集合有（）個.A.15B.16C.D.例12.22在平面直角坐標系中，軸正半軸上有5個點，軸正半軸上有3個點，將軸上5個點和軸上3個點連成15條線段，這些線段在第一象限交點最多有（）個.A.30B.35C.20D.15解析如圖12-21所示，在軸正半軸上5個點中取兩點，在軸正半軸上3個點中取兩點，確定四邊形，其對角線是第一象限的點，能確定多少個四邊形，就可以確定多少個符合第一象限的點，這些點互不重合（這是可以做到的），得這樣的點最多有個，故選A.評注解決與幾何有關的組合問題，必須注意幾何問題本身的限制條件，解題時可借助圖形來幫助.變式1的邊上有四個點，邊上有，五個點，共9個點，連接線斷，若其中兩條線段不相交，則稱之為和睦線對，則共有和睦線（）對.A.30B.60C.120D.160變式2在坐標平面上有一個質點從原點出發，沿軸跳動，每次向正方向或負方向跳動一個單位，若經5次跳動質點落在處，則質點共有______種跳法；若經過次跳動質點落在處，且為偶數，則質點共有______種跳法.題型2分選問題和選排問題思路提示兩個集合，.選，選，共有種方法，選排為選出再排列.例12.236女4男選出4人.（1）女選2，男選2有多少種選法？再安排4個不同工作，有多少方法？（2）至少有一女有多少種選法？（3）至多3男有多少選法？（4）男女都有，有多少種選法？（5）選男甲不選女A,B，有多少種選法？解析（1）女選2，男選2有種選法，再安排4個不同工作有種方法.加法：；減法：.減法：.加法：；減法：.從10-3=7人中選3人，.評注涉及“至多”、“至少”的問題通常用排除法；變式1有7名翻譯，4人會英語，4人會日語，從中選2名英語翻譯和2名日語翻譯，共有多少種選法？變式29名水手，6人會左舵位，6人會右舵位.現選3名右舵手和3名左舵手分坐于6個舵位，共有多少種安排方法？變式3甲組5男3女，乙組6男2女，兩組各選2人，則選出的4人中恰有1女，共有（）種取法.A.150B.180C.300D.345例12.24（2012浙江理6）若從這9個整數中同時取4個不同的數，其和為偶數，則不同的取法共有（）種.A.60B.63C.65D.66解析由數字特征可知，共5個奇數，共四個偶數，取出四個不同的數，和為偶數有以下幾類：四個均為奇數，有種取法；兩個奇數，兩個偶數，有種取法；四個均為偶數，有種取法.共有66種不同的取法，故選D.變式1從這七個數字中任取兩個奇數和兩個偶數，組成無重復數字的四位數，其中有（）個奇數.A.432B.288C.216D.108變式2由數字組成的沒有重復數字的四位數中，個、十、百3位數字之和為偶數的有______個（用數字回答）.變式3從這10個數字中任取4個數，其中第二個大的數字是7的取法有（）種.A.18B.20C.45D.84例12.25（2012陜西理8）兩人進行乒乓球比賽，先贏3局者獲勝，決出勝負為止，所有可能出現的情形各人輸贏局次的不同視為不同情形，則共有（）種.A.10B.15C.20D.30解析根據題意可分3類：當比賽3場結束時，有=種不同的情形；當比賽4場結束時，有種；當比賽5場結束時，有種不同情形.故共有種不同的情形.故選C.變式15名乒乓球運動員，有2名老隊員和3名新隊員，從中選出3人排成號參加團體比賽，則其中至少一名老隊員，且號至少一名新隊員，有______種排法（用數字作答）.變式2已知集合，從3個集合中各取一個元素構成空間直角坐標系的一個點的坐標，則共可確定（）個點的坐標.A.33B.34C.35D.36變式3用4張分別標有的紅色卡片和4張分別標有的藍色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行，如果取出來的4張卡片的數字之和為10，則共有______種排法（用數字作答）.題型3平均分組和分配問題思路提示分組定義：把一個非空有限集A按要求分成若干個互相沒有公共元素的非空子集的并集.=1\*GB3①分組三原則：一組一組的分出來（與順序無關）；=2\*GB3②有若干組為含單一元素的集合，不去管他們，分出其他組即可；=3\*GB3③由若干（個）元素不為1的組，且元素個數相同，把=1\*GB3①=2\*GB3②的結果除以.分配定義：把一個非空有限集A的元素按要求分到若干個去處，每個去處分配元素至少為1個.分配問題共四個類型：=1\*GB3①定向分配問題：各分配去向分配數依次確定.去向122…分配元素（個）…逐方向分配即可，共有分配數：（額配法）.=2\*GB3②不定方向分配問題：各分配方向名額不確定.先把A按要求分成若干組（分組問題），再把每組打包成一個元素，在個分配方向上排列（組排法）.=3\*GB3③信箱問題.3封不同信任意投入4信箱，共有種投法.=4\*GB3④相同元素的分配問題（不定方程組的個數）——隔板問題.，共有組不同的解.例12.26按以下要求分配6本不同的書，各有幾種方法？平均分配給甲、乙、丙3人，每人2本；（2）平均分成3份，每份2本；（3）分成3份，一份1本，一份2本，一份3本；（4）甲、乙、丙3人，一人得1本，一人得2本，一人得3本；（5）分成3份，一份4本，另兩份各1本；（6）甲、乙、丙3人，一人得4本，另外兩個人每人得1本；（7）分給甲、乙、丙3人，每人至少一本.解析（1）解法一：（分步計數原理）因為要分給甲、乙、丙3人，可分三步完成，先從6本書中選擇2本分給甲，其方法有種；再從余下的4本中選2本分給乙，其方法有種，最后的兩本分給丙，方法有種.有分步計數原理，故所求的分配方法有=種.解法二：（定序問題全排消序法）把分配給甲、乙、丙的3堆書看成無序排列（分到每個人的兩本書是無序的）即定序問題，故考慮使用定序問題全排消序法求解，共有種分法.解法三：（先（平均）分組后分配）把6本書平均分成3份，每份2本的方法有種，再分配3個人的方法有種。故有=種.把6本不同的書分成3堆，每堆2本，與把6本不同的書分給甲、乙、丙3人，每人2本的區別在于，后者相當于把6本不同的書，平均分成3堆后，再把每次分得的3堆書分給甲、乙、丙3人，因此，設把6本不同的書，平均分成3堆的方法有種，那么把6本不同的書分給甲、乙、丙3人每人2本的分法有種，即=，從而=種.因為不是均勻分組問題，可以分為3個步驟完成，先在6本書中任取一本，作為一堆，有種取法；再從余下的5本書中任取2本，作為一堆，有種取法；然后從余下的3本書中取3本作為一堆，有種取法，故共有分法=種；組排可以利用先選后排的步驟完成，第一步，方法有=種.第二步，其分配有種，=種.部分均勻問題，解法一：從中取4本作為一堆的方法有種，剩余2本分成兩堆的方法只有1種，從而有種.解法二：分三步，第一步從6本書中取4本，有種，第二步，從剩余2本書中取1本，有種方法；第三步，從剩余1本書中取1本，有種方法，由分步計數原理，共有種方法，但是其中每堆都是1本的兩堆是不計算順序的，故得6本書分成3堆，一堆4，另兩堆各1本的分法有=15種.組排部分均勻問題，可以采用先分組后分配的步驟方法，共有種，也可以轉化視角，即從6本書中選4本看作一個元素，再與其余2本作全排列，共有種.解法一：（分類討論）因為分給甲、乙、丙3人，每人至少1本有3種情況：=1\*GB3①甲、乙、丙每人2本，有種分法；=2\*GB3②甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本，有種分法；=3\*GB3③甲、乙、丙3人，一人4本，其余兩人一人1本，有種分法，所以不同的分法有++=種.解法二：（間接法）6本書全部分給3個人中的1人，有種分法；6本書全部分給3人中的2人，且每人至少1本，則共有種方法；由上可知，6本書全部分給甲、乙、丙3人，每人至少1本，應有-=種.評注解決分配問題的關鍵是區分是否與順序有關，對于平均分組要注意順序，按先分組再分配的原則去計算，平均分組與非平均分組、無序分組與有序分組是組合問題的常見題型，解決此類問題的關鍵是正確判斷分組是平均分組還是非平均分組，無序平均分組要除以平均組數的階乘數，還要充分考慮是否與順序有關；有序分組要在無序分組的基礎上乘以分組數的階乘數.變式1有編號為的4張不同的卡片，按照下列方法處理，各有幾種分法？甲得2張，乙得2張；平均分成2堆，每堆2張.變式29個人分到3個單位，下面各有多少種分配方法.（1）甲單位2人，乙單位3人，丙單位4人；（2）每個單位3人；（3）每個單位各2人，一單位5人.例12.27（2012山東理11）現有16張不同的卡片，其中紅色，黃色，藍色，綠色卡片各4張.從中任取3張，要求這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張.不同取法的種數為（）.A.232B.252C.472D.484解析利用分類計數原理解決本題.第1類，含一張紅色卡片，有種不同的取法；第2類，不含紅色卡片，有種不同的取法.共有（種）不同的取法.故選C.變式1將4個相同的白球，5個相同的黑球，6個相同的紅球放入4個不同的盒子中的3個，使4個盒子中的1個為空，其他盒子中球色齊全，共有______種不同方法（用數字作答）.變式2某同學有同樣的畫冊2本，同樣的集郵冊3本，從中取出4本贈送給4位朋友，每位朋友1本，則不同的贈送方法有（）種.A.4B.10C.18D.20變式3將標號為的6張卡片放入3個不同的信封中，若每個信封放2張，其中標號的卡片放入同一信封，則不同的方法共有（）.A.4種B.18種C.36種D.54種例12.288個球隊中有甲、乙兩個強隊，現把8個球隊平均分成兩組，如下各有多少種分法？甲、乙不在同組；（2）甲、乙在同組.解析（1）甲、乙不在同組，看為6個非強隊平均分成兩組，一組為“甲組”，一組“乙組”.定序分組，共種方法.甲、乙同組，看為把6個非強隊分為一組2（與甲、乙并為4），一組4，共有種方法.變式1把4名男乒乓球選手和4名女乒乓球選手同時平均分成兩組，進行混合雙打比賽，共有______種不同的分配方法（混合雙打是一男一女對一男一女，用數字作答）.變式2（2012新課標理2）將2名教師，4名學生分成2個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動，每個小組由1名教師和2名學生組成，不同的安排方案共（）.A.12種B.10種C.9種D.8種變式3甲、乙、丙、丁4個公司承包8項工程，甲承包3項，乙承包1項，丙、丁各承包2項，共有（）種不同的承包方案.A.3360B.2240C.1680D.1120例12.296個不同的小球放入5個小盒，按下面要求各有多少種放法？（1）每盒至少1球；（2）恰有1盒空；（3）任意分.解析（1）先分組6=2+1+1+1+1，分組方法有種.五組在五盒排列，共種放法.先分組6=3+1+1+1=2+2+1+1，，四組在5盒排列，共種.種.變式1某外商計劃在4個候選城市投資3個不同項目，且在同一城市投資的項目部超過2個，則該外商共有（）種投資方案.A.16B.36C.42D.60變式2將4個顏色互不相同的球全部放入編號1和2的兩個盒子中，使得放入每個盒子里的球的個數不小于該盒的編號，共有（）種放法.A.10B.12C.36D.52變式3把20個相同的小球放入6個盒中.（1）每盒至少一球有多少種方法？（2）每盒至少二球有多少種方法？（3）隨便放（即可有若干盒中無球）有多少種方法？有效訓練題在這5個數字組成的沒有重復數字的三位數中，各位數字之和為奇數的有（）個.A.36B.24C.18