高級中學名校試卷PAGEPAGE2廣西柳州市高中2022-2023學年高一下學期4月聯考數學試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.）1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗∵集合，.故選：C.2.已知復數，則復數在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗因為，所以在復平面內對應的點位于第一象限.故選：A.3.方程的解所在的一個區間是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，則單調遞增，由，，∴方程的解所在一個區間是．故選：C．4.充滿氣的車輪內胎（忽略厚度）可由下面哪個圖形繞著對稱軸旋轉而成（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗車內胎截面為圓形，故車輪內胎是由圓形繞車輪軸所在的直線旋轉一周得到.故選：C.5.如圖，在中，點是邊的中點，，則用向量表示為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因為點是邊的中點，所以，又，所以，因此.故選：A.6.設，，，則a，b，c的大小關系是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，，，所以.故選：D.7.函數的圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由可排除C，D；當時，，排除A.故選：B.8.為了保護水資源，提倡節約用水，某城市對居民生活用水實行“階梯水價”.計費方法如表格所示：若某戶居民本月交納的水費為48元，則此戶居民本月用水量是（）每戶每月用水量水價不超過的部分3元超過但不超過的部分6元超過的部分9元A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗先計算本月用水量為，則需要繳納水費36元，少于48元；如果本月用水量為，則前需要繳納水費36元，超過但不超過的部分，需要繳納水費36元，所以本月用水量為，需要繳納水費72元，多于48元，則這該居民本月用水量超過但不超過，所以前需要繳納水費36元，而超過但不超過的部分的水費為12元，因為其單價為6元，所以為，故本月用水量為.故選：B.二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.）9.下列命題正確的是（）A若，則 B.若正數，滿足，則C.， D.“”是“”的充分不必要條件〖答案〗ABCD〖解析〗對A，且，不等式兩邊同時乘以，即得，故A正確；對B，正數，滿足，則，當且僅當時等號成立，故B正確；對C，若，則，故C正確；對D，，，故D正確.故選：ABCD.10.在平面直角坐標系中，已知點，，，則（）A.B.與的夾角為C.在方向上的投影向量的坐標為D.與垂直的單位向量的坐標為或〖答案〗BD〖解析〗因為點，，，所以，，所以，所以，故A選項錯誤；設與的夾角為，所以，所以與的夾角為，故B選項正確；設與同向的單位向量為，，所以在方向上的投影向量的坐標為：，故C選項錯誤；因為，設與垂直的單位向量為，則，解得或，所以與垂直的單位向量的坐標為或，故D選項正確.故選：BD11.已知函數，則下列說法正確的是（）A.直線是函數圖象的一條對稱軸B.函數在區間上單調遞減C.將函數圖象上的所有點向左平移個單位長度，得到函數的圖象D.若對任意的恒成立，則〖答案〗ACD〖解析〗函數，對于A：f（）＝＝1，故A正確；對于B：由于，所以，故函數在該區間上有增有減，故B錯誤；對于C：將函數的圖象上的所有點向左平移個單位，得到函數的圖象，故C正確；對于D：函數，整理得，即求出函數的最小值即可，由于，所以，故當x＝0時取得最小值，故a＜﹣1，故D正確．故選：ACD．12.如圖，某池塘里浮萍的面積（單位：）與時間（單位：月）的關系為（，且）.下列說法正確的是（）A.浮萍每月的增長率為2B.第5個月時，浮萍面積就會超過C.浮萍每月增加的面積都相等D.若浮萍蔓延到，，所經過的時間分別是，，，則〖答案〗BD〖解析〗由圖可得，函數過點，則，即，故，對于A：浮萍每月的增長率為，故A錯誤；對于B：第5個月時，即時，萍的面積，故B正確；對于C：第二個月比第一個月增加，第三個月比第二個月增加，即，故C錯誤；對于D：由題意可得，所以，則，故D正確.故選：BD三、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分.）13.計算_____________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.14.函數在區間上遞減，則實數的取值范圍是___________．〖答案〗〖解析〗因為函數在區間上遞減，所以，解得.故〖答案〗為：.15.《九章算術·商功》中記載：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑，不易之率也.”我們可以翻譯為：取一長方體，分成兩個一模一樣的直三棱柱，稱為塹堵，再沿塹堵的一頂點與相對的棱剖開，得一個四棱錐和一個三棱錐，這個四棱錐稱為陽馬，這個三棱錐稱為鱉臑.現已知某個陽馬的體積是2，則原長方體的體積是______.〖答案〗6〖解析〗如圖所示，原長方體，設矩形的面積為，，陽馬的體積為2，即，所以，即原長方體的體積是6.故〖答案〗為：6.16.若平面向量，，兩兩的夾角相等，且，，則______.〖答案〗2或5〖解析〗由題意，平面向量，，兩兩的夾角相等，包括兩種情況，可得兩兩夾角為或兩兩夾角為，當兩兩夾角為時，可得，則；當兩兩夾角為時，可得，則．故〖答案〗為：2或5.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出相應的演算步驟、證明過程及文字說明.17.設集合，，且，求實數的值.解：因為，所以，當時，，若，所以滿足，若，所以滿足；當時，或，若，所以滿足，若，此時集合中元素不滿足互異性，故舍去，綜上可知，為或.18.已知，.（1）若，且、、三點共線，求的值.（2）當實數為何值時，與垂直？解：（1）由題意可得，，且、、三點共線，則可得，即，解得.（2）由題意可得，，因為與垂直，則可得，解得.19.已知為第一象限角，為第二象限角，且，.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）因為為第一象限角，，則，所以，則.（2）由為第一象限角，，則，所以，由于為第二象限角，，則，所以，則.20.一艘海輪從出發，沿北偏東70°的方向航行后到達海島，然后從出發，沿北偏東10°的方向航行到達海島.（1）求的長;（2）如果下次航行直接從出發到達，應沿什么方向航行多少？解：（1）由題意知，在中，，，，根據余弦定理，得，所以nmile．（2）由正弦定理得，即，又，所以．所以應沿北偏東的方向航方向航行nmile即可到達C處.21.已知奇函數（）.（1）求實數的值；（2）判斷并用定義證明函數的單調性；（3）若函數在區間（）上的取值范圍為，求實數的取值范圍.解：（1）因為是定義在上的奇函數，所以，即，所以，此時，所以.（2）函數是定義在上的增函數，因為，設，則，因為，所以，所以定義在上為增函數.（3）因為函數是定義在上為增函數，所以在區間（）的值為，又因為取值范圍為，所以，整理得到令，則為方程的兩個不相等的正根，則解得.22.某小區擬對一扇形區域進行改造，如圖所示，平行四邊形為休閑區域，陰影部分為綠化區，點在弧上，點，分別在，上，且米，，設.（1）請求出顧客的休息區域的面積關于的函數關系式，并求當為何值時，取得最大值，最大值為多少平方米？（2）設，求的取值范圍.解：（1）由題意，，，，在中，，由正弦定理得，即，即，則顧客的休息區域面積，即，其中，而，因為，所以，則當，即時，顧客的休息區域面積取得最大值，且最大值為.（2）由（1），，所以，由題意，所以，所以，因為，所以，所以，所以.廣西柳州市高中2022-2023學年高一下學期4月聯考數學試題一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.）1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗∵集合，.故選：C.2.已知復數，則復數在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗A〖解析〗因為，所以在復平面內對應的點位于第一象限.故選：A.3.方程的解所在的一個區間是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗令，則單調遞增，由，，∴方程的解所在一個區間是．故選：C．4.充滿氣的車輪內胎（忽略厚度）可由下面哪個圖形繞著對稱軸旋轉而成（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗車內胎截面為圓形，故車輪內胎是由圓形繞車輪軸所在的直線旋轉一周得到.故選：C.5.如圖，在中，點是邊的中點，，則用向量表示為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗因為點是邊的中點，所以，又，所以，因此.故選：A.6.設，，，則a，b，c的大小關系是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗，，，所以.故選：D.7.函數的圖象大致為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由可排除C，D；當時，，排除A.故選：B.8.為了保護水資源，提倡節約用水，某城市對居民生活用水實行“階梯水價”.計費方法如表格所示：若某戶居民本月交納的水費為48元，則此戶居民本月用水量是（）每戶每月用水量水價不超過的部分3元超過但不超過的部分6元超過的部分9元A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗先計算本月用水量為，則需要繳納水費36元，少于48元；如果本月用水量為，則前需要繳納水費36元，超過但不超過的部分，需要繳納水費36元，所以本月用水量為，需要繳納水費72元，多于48元，則這該居民本月用水量超過但不超過，所以前需要繳納水費36元，而超過但不超過的部分的水費為12元，因為其單價為6元，所以為，故本月用水量為.故選：B.二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.）9.下列命題正確的是（）A若，則 B.若正數，滿足，則C.， D.“”是“”的充分不必要條件〖答案〗ABCD〖解析〗對A，且，不等式兩邊同時乘以，即得，故A正確；對B，正數，滿足，則，當且僅當時等號成立，故B正確；對C，若，則，故C正確；對D，，，故D正確.故選：ABCD.10.在平面直角坐標系中，已知點，，，則（）A.B.與的夾角為C.在方向上的投影向量的坐標為D.與垂直的單位向量的坐標為或〖答案〗BD〖解析〗因為點，，，所以，，所以，所以，故A選項錯誤；設與的夾角為，所以，所以與的夾角為，故B選項正確；設與同向的單位向量為，，所以在方向上的投影向量的坐標為：，故C選項錯誤；因為，設與垂直的單位向量為，則，解得或，所以與垂直的單位向量的坐標為或，故D選項正確.故選：BD11.已知函數，則下列說法正確的是（）A.直線是函數圖象的一條對稱軸B.函數在區間上單調遞減C.將函數圖象上的所有點向左平移個單位長度，得到函數的圖象D.若對任意的恒成立，則〖答案〗ACD〖解析〗函數，對于A：f（）＝＝1，故A正確；對于B：由于，所以，故函數在該區間上有增有減，故B錯誤；對于C：將函數的圖象上的所有點向左平移個單位，得到函數的圖象，故C正確；對于D：函數，整理得，即求出函數的最小值即可，由于，所以，故當x＝0時取得最小值，故a＜﹣1，故D正確．故選：ACD．12.如圖，某池塘里浮萍的面積（單位：）與時間（單位：月）的關系為（，且）.下列說法正確的是（）A.浮萍每月的增長率為2B.第5個月時，浮萍面積就會超過C.浮萍每月增加的面積都相等D.若浮萍蔓延到，，所經過的時間分別是，，，則〖答案〗BD〖解析〗由圖可得，函數過點，則，即，故，對于A：浮萍每月的增長率為，故A錯誤；對于B：第5個月時，即時，萍的面積，故B正確；對于C：第二個月比第一個月增加，第三個月比第二個月增加，即，故C錯誤；對于D：由題意可得，所以，則，故D正確.故選：BD三、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分.）13.計算_____________．〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗為：.14.函數在區間上遞減，則實數的取值范圍是___________．〖答案〗〖解析〗因為函數在區間上遞減，所以，解得.故〖答案〗為：.15.《九章算術·商功》中記載：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑，不易之率也.”我們可以翻譯為：取一長方體，分成兩個一模一樣的直三棱柱，稱為塹堵，再沿塹堵的一頂點與相對的棱剖開，得一個四棱錐和一個三棱錐，這個四棱錐稱為陽馬，這個三棱錐稱為鱉臑.現已知某個陽馬的體積是2，則原長方體的體積是______.〖答案〗6〖解析〗如圖所示，原長方體，設矩形的面積為，，陽馬的體積為2，即，所以，即原長方體的體積是6.故〖答案〗為：6.16.若平面向量，，兩兩的夾角相等，且，，則______.〖答案〗2或5〖解析〗由題意，平面向量，，兩兩的夾角相等，包括兩種情況，可得兩兩夾角為或兩兩夾角為，當兩兩夾角為時，可得，則；當兩兩夾角為時，可得，則．故〖答案〗為：2或5.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出相應的演算步驟、證明過程及文字說明.17.設集合，，且，求實數的值.解：因為，所以，當時，，若，所以滿足，若，所以滿足；當時，或，若，所以滿足，若，此時集合中元素不滿足互異性，故舍去，綜上可知，為或.18.已知，.（1）若，且、、三點共線，求的值.（2）當實數為何值時，與垂直？解：（1）由題意可得，，且、、三點共線，則可得，即，解得.（2）由題意可得，，因為與垂直，則可得，解得.19.已知為第一象限角，為第二象限角，且，.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）因為為