2023年四川省廣元市中考數學試卷一、選擇題（每小題給出的四個選項中，只有一個符合題意.每小題3分，共30分）1.

12的相反數是（）A.2

B.2

C.

12

D.

122.下列計算正確的是()A.2ab2abC.3a2ba3a

B.a2a3a6D.(a2)(2a)4a23.某幾何體是由四個大小相同的小立方塊拼成，其俯視圖如圖所示，圖中數字表示該位置上的小立方塊個數，則這個幾何體的左視圖是（）A.

B.

C.

D.4.某中學開展“讀書節活動”，該中學某語文老師隨機抽樣調查了本班10名學生平均每周的課外閱讀時間，統計如表：每周課外閱讀時間（小時）學生數（人）

22

43

64

81下列說法錯誤的是（）A.眾數是1C.樣本容量是10

B.平均數是4.8D.中位數是55.關于x的一元二次方程2x23xA.有兩個不相等的實數根C.沒有實數根

32

0根的情況，下列說法中正確的是（）B.有兩個相等的實數根D.無法確定6.如圖，AB是O的直徑，點C，D在O上，連接CD，OD，AC，若BOD124，則ACD的度數是（）試卷

1A.56

B.33

C.28

D.23為D，E，若CDCE，則圖中陰影部分面積為()A.

2516

B.

258

C.

256

D.

2548.向高為10的容器（形狀如圖）中注水，注滿為止，則水深h與注水量v的函數關系的大致圖象是（）A.

B.

C.D.9.近年來，我市大力發展交通，建成多條快速通道，小張開車從家到單位有兩條路線可選擇，路線a為全程10千米的普通道路，路線b包含快速通道，全程7千米，走路線b比路線a平均速度提高40%，時間試卷

27.如圖，半徑為5的扇形AOB中，AOB90，7.如圖，半徑為5的扇形AOB中，AOB90，C是AB上一點，CDOA，CEOB，垂足分別節省10分鐘，求走路線a和路線b的平均速度分別是多少？設走路線a的平均速度為x千米/小時，依題意，可列方程為（）A.

10x

710

B.

10x

7140%x10C.140%x

7

10x

1060

D.140%

7

1010.已知拋物線yax2bxc（a，b，c是常數且a<0）過1,0和m,0兩點，且3m4，下列四個結論：①abc0；②3ac0；③若拋物線過點1,4，則1aax1xm3有實數根，則其中正確的結論有（）

23

；④關于x的方程A.1個

B.2個

C.3個

D.4個二、填空題（把正確答案直接寫在答題卡對應題目的橫線上．每小題4分，共24分）11.若

1x3

有意義，則實數x的取值范圍是______12.廣元市聚焦“1345”發展戰略和“十四五”規劃，牢牢牽住重點項目建設“牛鼻子”，《2023年廣元市重點項目名單》共編列項目300個，其中生態環保項目10個，計劃總投資約45億元，將45億這個數據用科學記數法表示為____________．13.如圖，a∥b，直線l與直線a，b分別交于B，A兩點，分別以點A，B為圓心，大于

12

AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點E，F，作直線EF，分別交直線a，b于點C，D，連接AC，若CDA34，則CAB的度數為_____．14.在我國南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算術》（1261年）一書中，用如圖的三角形解釋二項和的乘方規律，因此我們稱這個三角形為“楊輝三角”，根據規律第八行從左到右第三個數為_____．試卷

3140%x60xx10140%x60xx1015.如圖，在平面直角坐標系中，已知點A1,0，點B0,3，點C在x軸上，且點C在點A右方，連接1AB，BC，若tanABC，則點C的坐標為_____．316.如圖，ACB45，半徑為2的O與角的兩邊相切，點P是⊙O上任意一點，過點P向角的兩邊作垂線，垂足分別為E，F，設tPE2PF，則t的取值范圍是_____．三、解答題（要求寫出必要的解答步驟或證明過程，共96分）17.計算：

183

222023011．3xyx2y2

2x2

，其中x

31，y3．19.如圖，將邊長為4的等邊三角形紙片沿邊BC上的高AD剪成兩個三角形，用這兩個三角形拼成一個平行四邊形．試卷

418.先化簡，再求值：y2x2x2yxy18.先化簡，再求值：y2x2x2yxy2（1）畫出這個平行四邊形（畫出一種情況即可）；（2）根據（1）中所畫平行四邊形求出兩條對角線長．20.為進一步落實“德、智、體、美、勞”五育并舉工作，某校開展以“文化、科技、體育、藝術、勞動”為主題的活動，其中體育活動有“一分鐘跳繩”比賽項目，為了解學生“一分鐘跳繩”的能力，體育老師隨機抽取部分學生進行測試并將測試成績作為樣本，繪制出如圖所示的頻數分布直方圖（從左到右依次為第一到第六小組，每小組含最小值，不含最大值）和扇形統計圖，請根據統計圖中提供的信息解答下列問題：（1）求第四小組的頻數，并補全頻數分布直方圖；（2）若“一分鐘跳繩”不低于160次的成績為優秀，本校學生共有1260人，請估計該校學生“一分鐘跳繩”成績為優秀的人數；（3）若“一分鐘跳繩”不低于180次的成績為滿分，經測試某班恰有3名男生1名女生成績為滿分，現要從這4人中隨機抽取2人去參加學校組織的“一分鐘跳繩”比賽，請用畫樹狀圖或列表的方法，求所選2人都是男生的概率．21.“一縷清風銀葉轉”，某市20臺風機依次矗立在云遮霧繞的山脊之上，風葉轉動，風能就能轉換成電能，造福千家萬戶．某中學初三數學興趣小組，為測量風葉的長度進行了實地測量．如圖，三片風葉兩兩所成的角為120，當其中一片風葉OB與塔干OD疊合時，在與塔底D水平距離為60米的E處，測得塔頂部O的仰角OED45，風葉OA的視角OEA30．（1）已知α，β兩角和的余弦公式為：coscoscossinsin，請利用公式計算cos75；試卷

5（2）求風葉OA的長度．22.某移動公司推出A，B兩種電話計費方式．計費方式AB

月使用費/元78108

主叫限定時間/min200500

主叫超時費/（元/min）0.250.19

被叫免費免費（1）設一個月內用移動電話主叫時間為tmin，根據上表，分別寫出在不同時間范圍內，方式A，方式B的計費金額關于t的函數解析式；（2）若你預計每月主叫時間為350min，你將選擇A，B哪種計費方式，并說明理由；（3）請你根據月主叫時間t的不同范圍，直接寫出最省錢的計費方式．23.如圖，已知一次函數ykx6的圖象與反比例函數y

mm0的圖象交于A3，，B兩點，與xx軸交于點C，將直線AB沿y軸向上平移3個單位長度后與反比例函數圖象交于點D，E．（1）求k，m的值及C點坐標；（2）連接AD，CD，求ACD的面積．24.如圖，AB為O的直徑，C為O上一點，連接AC，BC，過點C作O的切線交AB延長線于點D，OFBC于點E，交CD于點F．（1）求證：BCDBOE；（2）若sinCAB

35

，AB10，求BD的長．25.如圖1，已知線段AB，AC，線段AC繞點A在直線AB上方旋轉，連接BC，以BC為邊在BC上試卷

644方作RtBDC，且DBC30．（1）若BDC=90，以AB為邊在AB上方作Rt△BAE，且AEB90，EBA30，連接DE，用等式表示線段AC與DE的數量關系是

；（2）如圖2，在(1)的條件下，若DEAB，AB4，AC2，求BC的長；（3）如圖3，若BCD90，AB4，AC2，當AD的值最大時，求此時tanCBA的值．26.如圖1，在平面直角坐標系中，已知二次函數yax2bx4的圖象與x軸交于點A2,0，B4,0，與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）已知E為拋物線上一點，F為拋物線對稱軸l上一點，以B，E，F為頂點的三角形是等腰直角三角形，且BFE90，求出點F的坐標；（3）如圖2，P為第一象限內拋物線上一點，連接AP交y軸于點M，連接BP并延長交y軸于點N，在點P運動過程中，OM試卷

12

ON是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

72023年四川省廣元市中考數學試卷一、選擇題（每小題給出的四個選項中，只有一個符合題意.每小題3分，共30分）1.

12的相反數是（）A.2

B.2

C.

12

D.

12【答案】D【解析】【分析】根據相反數的性質，互為相反數的兩個數的和為0即可求解．【詳解】解：因為-1+1＝0，22所以-1的相反數是1．22故選：D．【點睛】本題考查求一個數的相反數，掌握相反數的性質是解題關鍵．2.下列計算正確的是()A.2ab2abC.3a2ba3a

B.a2a3a6D.(a2)(2a)4a2【答案】D【解析】【分析】根據合并同類項，同底數冪的乘法，同底數冪的除法，平方差公式進行計算即可求解．【詳解】A.2ab2ab，故該選項不正確，不符合題意；B.a2a3a5，故該選項不正確，不符合題意；C.3a2ba3ab，故該選項不正確，不符合題意；D.(a2)(2a)4a2，故該選項正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了合并同類項，同底數冪的乘法，同底數冪的除法，平方差公式，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．3.某幾何體是由四個大小相同的小立方塊拼成，其俯視圖如圖所示，圖中數字表示該位置上的小立方塊個數，則這個幾何體的左視圖是（）試卷

8A.

B.

C.

D.【答案】D【解析】【分析】先細心觀察原立體圖形中正方體的位置關系，從左面看去，一共兩排，左邊底部有1個小正方形，右邊有2個小正方形．結合四個選項選出答案．【詳解】解：從左面看去，一共兩排，左邊底部有1個小正方形，右邊有2個小正方形．故選：D．【點睛】本題考查了由三視圖判斷幾何體，解題的關鍵是具有幾何體的三視圖及空間想象能力．4.某中學開展“讀書節活動”，該中學某語文老師隨機抽樣調查了本班10名學生平均每周的課外閱讀時間，統計如表：每周課外閱讀時間（小時）學生數（人）

22

43

64

81下列說法錯誤的是（）A.眾數是1C.樣本容量是10

B.平均數是4.8D.中位數是5【答案】A【解析】【分析】根據眾數、平均數、樣本的容量、中位數的定義，逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：A.6出現的次數最多，則眾數是6，故該選項不正確，符合題意；B.平均數是

2243648110

4.8，故該選項正確，不符合題意；C.樣本容量是234110，故該選項正確，不符合題意；D.中位數是第5個和第6個數的平均數即

462

=5，故該選項正確，不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查了眾數、平均數、樣本的容量、中位數，熟練掌握眾數、平均數、樣本的容量、中位數的定義是解題的關鍵．試卷

95.關于x的一元二次方程2x23xA.有兩個不相等的實數根C.沒有實數根

32

0根的情況，下列說法中正確的是（）B.有兩個相等的實數根D.無法確定【答案】C【解析】【分析】直接利用一元二次方程根的判別式即可得．【詳解】解：2x23x

32

0，其中a2，b3，c

32

，∴

Δ3242

32

30，∴方程沒有實數根．故選：C．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程ax2bxc0a0，若b24ac0，則方程有兩個不相等的實數根，若b24ac0，則方程有兩個相等的實數根，若b24ac<0，則方程沒有實數根．6.如圖，AB是O的直徑，點C，D在O上，連接CD，OD，AC，若BOD124，則ACD的度數是（）A.56

B.33

C.28

D.23【答案】C【解析】【分析】根據圓周角定理計算即可．【詳解】解：∵BOD124，∴DAOD=180°-124°=56°，∴ACD

12

AOD28，故選：C．【點睛】此題考查圓周角定理，熟知同弧所對的圓周角是圓心角的一半是解題的關鍵．試卷

10為D，E，若CDCE，則圖中陰影部分面積為()A.

2516

B.

258

C.

256

D.

254【答案】B【解析】【分析】連接OC，證明四邊形CDOE是正方形，進而得出SCDESOCE，COE45，然后根據扇形面積公式即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接OC，∵CDOA，CEOB，AOB90，∴四邊形CDOE是矩形，∵CDCE，∴四邊形CDOE是正方形，∴SCDESOCE，COE45，∴圖中陰影部分面積S

扇形BOC

45360

π52

258

π，故選：B．【點睛】本題考查了正方形的性質與判定，求扇形面積，證明四邊形CDOE是正方形是解題的關鍵．8.向高為10的容器（形狀如圖）中注水，注滿為止，則水深h與注水量v的函數關系的大致圖象是（）試卷

117.如圖，半徑為5的扇形AOB中，AOB7.如圖，半徑為5的扇形AOB中，AOB90，C是AB上一點，CDOA，CEOB，垂足分別A.

B.

C.D.【答案】D【解析】【分析】從水瓶的構造形狀上看，從底部到頂部的變化關系為：開始寬，逐漸細小，再變寬，再從函數的圖象上看，選出答案．【詳解】解：從水瓶的構造形狀上看，從底部到頂部的變化關系為：開始寬，逐漸細小，再變寬．則注入的水量v隨水深h的變化關系為：先慢再快，最后又變慢，那么從函數的圖象上看，C對應的圖象變化為先快再慢，最后又變快，不符合；A、B對應的圖象中間沒有變化，只有D符合條件．故選：D．【點睛】本題主要考查函數的定義及函數的圖象的關系，抓住變量之間的變化關系是解題的關鍵．9.近年來，我市大力發展交通，建成多條快速通道，小張開車從家到單位有兩條路線可選擇，路線a為全程10千米的普通道路，路線b包含快速通道，全程7千米，走路線b比路線a平均速度提高40%，時間節省10分鐘，求走路線a和路線b的平均速度分別是多少？設走路線a的平均速度為x千米/小時，依題意，可列方程為（）A.

10x

710

B.

10x

7140%x10試卷

12140%x60140%x60C.140%x

7

10x

1060

D.140%

7

10【答案】A【解析】【分析】若設路線a時的平均速度為x千米/小時，則走路線b時的平均速度為140%x千米/小時，根據路線b的全程比路線a少用10分鐘可列出方程．【詳解】解：由題意可得走路線b時的平均速度為140%x千米/小時，∴

10x

710

故選：A．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找到關鍵描述語，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．10.已知拋物線yax2bxc（a，b，c是常數且a<0）過1,0和m,0兩點，且3m4，下列四個結論：

23ax1xm3有實數根，則其中正確的結論有（）A.1個

B.2個

C.3個

D.4個【答案】B【解析】【分析】由拋物線過1,0和m,0兩點得到對稱軸為直線x

b2a

m12

，且3m4，a<0所以得到1

b2a

32

，進而判斷abc的符號，得到abc<0，3ac0；拋物線過點1,0和1,4，代入可得

abc0和abc4，解得b2，又由1

b2a

32

，得

21a；對稱軸為直線3x

m12

，a<0，開口向下，所以

2

2ax1xm3是否有實數根．【詳解】解：已知拋物線

過1,0和m,0兩點，則對稱軸為直線xm1m1，22∵3m4，所以1

m12

32

，即1

b2a

32

，a<0，則b0，試卷

13xx10140%x60，①abc0；②3ac0；③若拋xx10140%x60，①abc0；②3ac0；③若拋物線過點1,4，則1a；④關于x的方程y有最大值為am1，且3m4，無法判斷關于x的方程當x=1時，ya12b1cabc0，則c0，所以abc<0，故結論①錯誤；因為

b2a

1，所以2ab，3aca2acabc，即3ac0，故結論②正確；拋物線過1,0和1,4兩點，代入可得abc0和abc4，兩式相減解得b2，由1

b2a

32

可得

1

22a

32

，解得1a

23

，故結論③正確；對稱軸為直線

x

m12

，a<0，開口向下，

1m22

1m2ama

1m22

1m2a

，22m122∴關于x的方程ax1xm3有實數根無法確定，故結論④錯誤．故選：B【點睛】本題主要考查二次函數的圖象與性質，根據題意，斷c與0的關系，再借助點的坐標得出結論．二、填空題（把正確答案直接寫在答題卡對應題目的橫線上．每小題4分，共24分）11.若

1x3

有意義，則實數x的取值范圍是______【答案】x3【解析】【分析】根據分式有意義的條件，二次根式有意義的條件計算即可．【詳解】∵

1x3

有意義，∴x3≥0，且x30，解得x＞3，故答案為：x＞3．【點睛】本題考查了分式有意義的條件，二次根式有意義的條件，熟練掌握分式有意義的條件，二次根式有意義的條件是解題的關鍵．12.廣元市聚焦“1345”發展戰略和“十四五”規劃，牢牢牽住重點項目建設“牛鼻子”，《2023年廣元市試卷

14∵yax1xmax21∵yax1xmax21mxmax2ax2m1∴所以y有最大值為a，∵a3不一定成立，a判b，重點項目名單》共編列項目300個，其中生態環保項目10個，計劃總投資約45億元，將45億這個數據用科學記數法表示為____________．【答案】4.5109【解析】【分析】根據科學記數法的表示方法求解即可．【詳解】解：將45億這個數據用科學記數法表示為4.5109．故答案為：4.5109．【點睛】此題考查了科學記數法的表示方法，解題的關鍵是熟練掌握科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a10n的形式，其中1a<10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．13.如圖，a∥b，直線l與直線a，b分別交于B，A兩點，分別以點A，B為圓心，大于

12

AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于點E，F，作直線EF，分別交直線a，b于點C，D，連接AC，若CDA34，則CAB的度數為_____．【答案】56##56度【解析】【分析】先判斷EF為線段AB的垂直平分線，即可得CABCBA，ACDBCD，再由a∥b，可得CDABCD34，即有ACDBCD34，利用三角形內角和定理可求CAB的度數．【詳解】解：由作圖可知EF為線段AB的垂直平分線，∴ACBC，∴CABCBA，ACDBCD，∵a∥b，∴CDABCD34，∴ACDBCD34，試卷

15∵ACDBCDCABCBA180，∴CAB56，故答案為：56．【點睛】本題考查了垂直平分線的作圖、垂直平分線的性質、平行線的性質以及三角形內角和定理等知識，判斷EF為線段AB的垂直平分線是解答本題的關鍵．14.在我國南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算術》（1261年）一書中，用如圖的三角形解釋二項和的乘方規律，因此我們稱這個三角形為“楊輝三角”，根據規律第八行從左到右第三個數為_____．【答案】21【解析】【分析】根據前六行的規律寫出第7，8行的規律進而即可求解．【詳解】解：根據規律可得第七行的規律為1,6,1520,15,6,1第八行的規律為1,7,21,35,35,21,7,1∴根據規律第八行從左到右第三個數為21，故答案為：21．【點睛】本題考查了數字類規律，找到規律是解題的關鍵．15.如圖，在平面直角坐標系中，已知點A1,0，點B0,3，點C在x軸上，且點C在點A右方，連接1AB，BC，若tanABC，則點C的坐標為_____．3【答案】【解析】試卷

94

16，0，，0，【分析】根據已知條件得出ABOABC，根據等面積法得出

ACOA

CBOB

，設Cm,0，則ACm1，進而即可求解．【詳解】解：∵點A1,0，點B0,3，∴OA1,OB3，1tanOBA，3∵

1tanABC，3∴ABOABC，過點A作ADBC于點D，∵AOBO,ADBC，AB是OBC的角平分線，∴AOAD1∵

SS

ABOABC

1212

OAOBACOB

1212

OBOABCAD∴

ACOA

CBOB設Cm,0，則ACm1，BC

32m2∴

m11

32m23解得：m9∴C4

94

或m0（舍去）故答案為：

94【點睛】本題考查了正切的定義，角平分線的性質，勾股定理，熟練掌握角平分線的定義是解題的關鍵．試卷

170，0，．0，0，．16.如圖，ACB45，半徑為2的O與角的兩邊相切，點P是⊙O上任意一點，過點P向角的兩邊作垂線，垂足分別為E，F，設tPE2PF，則t的取值范圍是_____．【答案】22t224【解析】【分析】利用切線的性質以及等腰直角三角形的性質求得CDDH222，再求得tPEPQEQ，分兩種情況討論，畫出圖形，利用等腰直角三角形的性質即可求解．【詳解】解：設O與ACB兩邊的切點分別為D、G，連接OG、OD，延長DO交CB于點H，由OGCODCOGH90，∵ACB45，∴OHC45，∴OH

2OG22，∴CDDH222，如圖，延長EP交CB于點Q，試卷

18同理PQ

2PF，∵tPE2PF，∴tPEPQEQ，當EQ與O相切時，EQ有最大或最小值，連接OP，∵D、E都是切點，∴ODEDEPOPE90，∴四邊形ODEP是矩形，∵ODOP，∴四邊形ODEP是正方形，∴t的最大值為EQCECDDE224；如圖，同理，t的最小值為EQCECDDE22；綜上，t的取值范圍是22t224．故答案為：22t224．【點睛】本題考查了切線的性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理，求得tEQ是解題的關鍵．試卷

19三、解答題（要求寫出必要的解答步驟或證明過程，共96分）17.計算：

183

222023011．【答案】4【解析】【分析】先化簡二次根式，絕對值，計算零次冪，再合并即可.【詳解】解：

183

222023011

323

2211222114.【點睛】本題考查的是二次根式的加減運算，化簡絕對值，零次冪的含義，掌握運算法則是解本題的關鍵.【答案】

xy2

；

332

3xy

2x2

，其中x

31，y3．【解析】【分析】先根據分式的加減計算括號內的，同時將除法轉化為乘法，再根據分式的性質化簡，最后將字母的值代入求解．3xy【詳解】解：

2x2

3xy2xxyxyx2y22

xyxyxy

xyxy2=

xy2

，當x

31，y3時，原式

312

3

33．2試卷

2018.先化簡，再求值：x2y2y2x2x2yxy2x2y2y2x2x218.先化簡，再求值：x2y2y2x2x2yxy2x2y2y2x2x2yxy2【點睛】本題考查了分式化簡求值，二次根式的混合運算，解題關鍵是熟練運用分式運算法則進行求解．19.如圖，將邊長為4的等邊三角形紙片沿邊BC上的高AD剪成兩個三角形，用這兩個三角形拼成一個平行四邊形．（1）畫出這個平行四邊形（畫出一種情況即可）；（2）根據（1）中所畫平行四邊形求出兩條對角線長．【答案】（1）見解析

（2）4或23，27或2，217【解析】【分析】（1）根據題意畫出拼接圖形即可；（2）利用等邊三角形的性質求得BD、CD、AD，分情況分別利用平行四邊形和矩形的性質和勾股定理求解即可．【小問1詳解】解：如圖①或②或③，，【小問2詳解】解：∵等邊ABC邊ABACBC4，∴BDDC2，∴AD

422223，如圖①所示：可得四邊形ACBD是矩形，則其對角線長為ABCD4；如圖②所示：AD23，連接BC，過點C作CEBD于點E，則可得四邊形ACED是矩形，∴ECAD23，BE2BD4，則BC試卷

2

2

27；

21234234如圖③所示：BD2，連接AC，過點A作AEBC交CB延長線于點E，可得四邊形AEBD是矩形，由題意可得：AEBD2，EC2BC8，故AC

2282217．【點睛】本題考查圖形的剪拼，涉及等邊三角形的性質、平行四邊形的性質、矩形的性質、勾股定理，熟練掌握等腰三角形的性質和矩形性質，作輔助線構造直角三角形求解是解答的關鍵．20.為進一步落實“德、智、體、美、勞”五育并舉工作，某校開展以“文化、科技、體育、藝術、勞動”為主題的活動，其中體育活動有“一分鐘跳繩”比賽項目，為了解學生“一分鐘跳繩”的能力，體育老師隨機抽取部分學生進行測試并將測試成績作為樣本，繪制出如圖所示的頻數分布直方圖（從左到右依次為第一到第六小組，每小組含最小值，不含最大值）和扇形統計圖，請根據統計圖中提供的信息解答下列問題：（1）求第四小組的頻數，并補全頻數分布直方圖；（2）若“一分鐘跳繩”不低于160次的成績為優秀，本校學生共有1260人，請估計該校學生“一分鐘跳繩”成績為優秀的人數；（3）若“一分鐘跳繩”不低于180次的成績為滿分，經測試某班恰有3名男生1名女生成績為滿分，現要從這4人中隨機抽取2人去參加學校組織的“一分鐘跳繩”比賽，請用畫樹狀圖或列表的方法，求所選2人都是男生的概率．【答案】（1）第四小組的頻數為10，補全圖形見解析（2）該校學生“一分鐘跳繩”成績為優秀的人數為294人（3）所選2人都是男生的概率為1．2【解析】【分析】（1）首先利用第二小組的人數及所占比例求得總人數，然后求得第四組的人數，即可作出統計圖；（2）利用總人數1260乘以優秀成績所占的比例即可求解；（3）畫樹狀圖展示所有12種等可能的結果數，再找出符合條件的結果數，然后根據概率公式計算即可．試卷

22【小問1詳解】解：樣本容量是1220%60（人），第四組的人數是：606121810410（人），補全統計圖如圖：；【小問2詳解】解：該校學生“一分鐘跳繩”成績為優秀的人數為1260

10460

294（人）；【小問3詳解】解：畫樹狀圖：共有12種等可能的結果數，其中抽到的2人都是男生的結果數為6，所以抽到的2人都是男生的概率為

612

12

．【點睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．還考查讀頻數分布直方圖的能力和利用統計圖獲取信息的能力．21.“一縷清風銀葉轉”，某市20臺風機依次矗立在云遮霧繞的山脊之上，風葉轉動，風能就能轉換成電能，造福千家萬戶．某中學初三數學興趣小組，為測量風葉的長度進行了實地測量．如圖，三片風葉兩兩所成的角為120，當其中一片風葉OB與塔干OD疊合時，在與塔底D水平距離為60米的E處，測得塔頂部O的仰角OED45，風葉OA的視角OEA30．試卷

23（1）已知α，β兩角和的余弦公式為：coscoscossinsin，請利用公式計算cos75；（2）求風葉OA的長度．【答案】（1）

624（2）風葉OA的長度為60360米【解析】【分析】（1）根據題中公式計算即可；（2）過點A作AFDE，連接AC，OGAC，先根據題意求出OE，再根據等腰對等邊證明OEAE，結合第一問的結論用三角函數即可求EF，再證明四邊形DFAG是矩形，即可求出．【小問1詳解】解：由題意可得：cos75cos4530，∴cos4530cos45cos30sin45sin30

22

32

2122

624

；【小問2詳解】解：過點A作AFDE，連接AC，OGAC，如圖所示，由題意得：DE60米，OED45，∴

OE

DEcos45

602

602

米，DOE45，2∵三片風葉兩兩所成的角為120，試卷

24∴DOA120，∴AOE1204575，又∵OEA30，∴OAE180753075，∴OAEAOE，∴OEAE602米，∵OEA30，OED45，∴AED75，由（1）得：cos75

624

，∴EFAEcos7530330米，∴DFDEEF603033090303米，∵AFDE，OGAC，ODDE，∴四邊形DFAG是矩形，∴AGDF90303米，∵三片風葉兩兩所成的角為120，且三片風葉長度相等，∴OAG30，∴

OA

AGcos30

903033

60360

米，2∴風葉OA的長度為60360米．【點睛】本題考查解直角三角形的實際應用，正確理解題意和作出輔助線是關鍵．22.某移動公司推出A，B兩種電話計費方式．計費方式AB

月使用費/元78108

主叫限定時間/min200500

主叫超時費/（元/min）0.250.19

被叫免費免費（1）設一個月內用移動電話主叫時間為tmin，根據上表，分別寫出在不同時間范圍內，方式A，方式B的計費金額關于t的函數解析式；試卷

25（2）若你預計每月主叫時間為350min，你將選擇A，B哪種計費方式，并說明理由；（3）請你根據月主叫時間t的不同范圍，直接寫出最省錢的計費方式．【答案】（1）見解析；（2）選方式B計費，理由見解析；（3）見解析．【解析】【分析】（1）根據題意，設兩種計費金額分別為y1、y2，分別計算t≤200,200＜t≤500,t＞500,三個不同范圍內的A、B兩種方式的計費金額即可；（2）令t350，根據（1）中范圍求出對應兩種計費金額，選擇費用低的方案即可；（3）令y1108，求出此時t的值t0，當主叫時間t＜t0時，方式A省錢；當主叫時間tt0時，方式A和B一樣；當主叫時間t＞t0時，方式B省錢；【小問1詳解】解：根據題意，設兩種計費金額分別為y1、y2當t200時，方式A的計費金額為78元，方式B的計費金額為108元；200＜t≤500,方式A的計費金額y78(t200)0.250.25t28，方式B的計費金額為108元；1當t＞500時，方式A的計費金額為y10.25t28，方式B的計費金額為y108(t500)0.190.19t132總結如下表：主叫時間t/分鐘t200200＜t≤500t＞500

方式A計費(y1)780.25t280.25t28

方式B計費(y)21081080.19t13【小問2詳解】解：當t350時，y10.2535028115.5y1082y＞y，故選方式B計費．12【小問3詳解】試卷

26解：令y1≤108，有0.25t28≤108解得t≤320∴當t＜320時，方式A更省錢；當t=320時，方式A和B金額一樣；當t＞320時，方式B更省錢．【點睛】本題考查了一次函數在電話計費中的應用，根據題意分段討論是求解的關鍵．23.如圖，已知一次函數ykx6的圖象與反比例函數y

mm0的圖象交于A3，，B兩點，與xx軸交于點C，將直線AB沿y軸向上平移3個單位長度后與反比例函數圖象交于點D，E．（1）求k，m的值及C點坐標；（2）連接AD，CD，求ACD的面積．【答案】（1）k9（2）SACD【解析】

23

；m12；C9,0【分析】1）把點A3，代入ykx6和y

mm0求出k、m的值即可；把y0代入AB的解析式，x求出點C的坐標即可；（2）延長DA交x軸于點F，先求出AB平移后的關系式，再求出點D的坐標，然后求出AD解析式，得出點F的坐標，根據S

ACD

S

CDF

S

CAF

求出結果即可．【小問1詳解】解：把點A3，代入ykx6和y

mm0得：x3k64，4

m3

，解得：

2k，m12，3∴AB的解析式為y

23

x6，反比例函數解析式為y

12x

，試卷

2744（444（4把y0代入y

23

x6得：02x6，3解得：x9，∴點C的坐標為9,0；【小問2詳解】解：延長DA交x軸于點F，如圖所示：將直線AB沿y軸向上平移3個單位長度后解析式為：22yx63x9，33聯立x

2yx9312

，1

3x12解得：2，2y1

，∴點

32設直線AD的解析式為

11

3

4323k1b14

，解得：

83，b112試卷

28yx12y8D,8，ykxyx12y8D,8，ykxb，把D,8，A3，代入得：2k1b18k1∴直線AD的解析式為

8yx12，3把y0代入y

83

8x12得0x12，3解得：x

92

，9∴點F的坐標為

∴CF9

92

92

，∴S

ACD

S

CDF

S

CAF

12

982

12

9429．【點睛】本題主要考查了一次函數和反比例函數的綜合應用，求一次函數解析式，反比例函數解析式，解題的關鍵是數形結合，熟練掌握待定系數法，能求出一次函數和反比例函數的交點坐標．24.如圖，AB為O的直徑，C為O上一點，連接AC，BC，過點C作O的切線交AB延長線于點D，OFBC于點E，交CD于點F．（1）求證：BCDBOE；（2）若sinCAB

35

，AB10，求BD的長．【答案】（1）見解析

（2）

BD的長為

907

．【解析】【分析】（1）連接OC，利用圓周角定理及半徑相等求得OACOCB90，根據切線的性質求得BCDOCBOCD90，推出BCDOAC，再證明OE∥AC，據此即可證明結論成立；（2）先求得BC6，AC8，設BDx，證明△BCD∽CAD，利用相似三角形的性質得到910x16x，解之即可．試卷

292,0，2,0，【小問1詳解】證明：連接OC，∵AB為O的直徑，∴ACOOCBACB90，∵OCOA，∴OCAOAC，∴OACOCB90，∵CD是O的切線，∴BCDOCBOCD90，∴BCDOAC，∵OFBC，∴OFBACB90，∴OE∥AC，∴BOEOAC，∴BCDBOE；【小問2詳解】解：∵AB為O的直徑，∴ACB90，∵sinCAB

35

，AB10，∴

sinCAB

BCAB

35

，∴BC6，AC102628，設BDx，則AD10x，由（1）得BCDCAD，又DD，∴△BCD∽CAD，試卷

30∴

BCAC

CDAD

BDCD

，即

68

CD10x

xCD

，整理得910x16x，解得x

907

，∴BD的長為

907

．【點睛】本題考查了切線的性質，圓周角定理，相似三角形的判定和性質，正弦函數的定義，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．25.如圖1，已知線段AB，AC，線段AC繞點A在直線AB上方旋轉，連接BC，以BC為邊在BC上方作RtBDC，且DBC30．（1）若BDC=90，以AB為邊在AB上方作Rt△BAE，且AEB90，EBA30，連接DE，用等式表示線段AC與DE的數量關系是

；（2）如圖2，在(1)的條件下，若DEAB，AB4，AC2，求BC的長；（3）如圖3，若BCD90，AB4，AC2，當AD的值最大時，求此時tanCBA的值．【答案】（1）AC（2）BC273（3）5

23

3DE【解析】【分析】（1）在RtBDC中，DBC30，Rt△BAE，且AEB90，EBA30，可得△ABE∽△CBD，根據相似三角形的性質得出

ABBC

BEBD

，DBECBA，進而證明△ABC∽EBD，根據相似三角形的性質即可求解；（2）延長DE交AB于點F，如圖所示，在RtAEF中，求得EF,AF，進而求得BF的長，根據（1）的結論，得出DE

3，在RtBFD中，勾股定理求得BD，進而根據△ABC∽EBD，即可求解．（3）如圖所示，以AB為邊在AB上方作Rt△BAE，且EAB90，EBA30，連接BE，試卷

31EA，ED,EC，同（1）可得BDE∽BCA，進而得出D在以E為圓心，

433

為半徑的圓上運動，當點A,E,D三點共線時，AD的值最大，進而求得cosBDA

277

，sinBDA

217

，根據△ABC∽EBD得出BDEBCA，過點A作AFBC，于點F，分別求得AF,CF,然后求得BF，最后根據正切的定義即可求解．【小問1詳解】解：在RtBDC中，DBC30，Rt△BAE，且AEB90，EBA30，∴△ABE∽△CBD，DBEEBCABCEBC，BEABcosABE

32

AB∴

ABBC

BEBD

，DBECBA，∴△ABC∽EBDAC∴DE

ABBE

AB3AB2

233∴AC

23

3DE，故答案為：AC

23

3DE．【小問2詳解】∵Rt△BAE，且AEB90，EBA30，AB4∴AEABsinEBA

12

AB2，∠BAE60，延長DE交AB于點F，如圖所示，∵DEAB，∴BFDDFA90，∴在RtAEF中，EFAEsinBAE

32

23，AF

12

AE1，∴BFABAF413，試卷

32由（1）可得AC

23

3DE，∴DE

32

AC3，∴DFDEEF23，在RtBFD中，BD∵△ABC∽EBD，

2

21，∴

BCBD

ACDE

233

，∴BC

233

2127，∴BC27；【小問3詳解】解：如圖所示，以AB為邊在AB上方作Rt△BAE，且EAB90，EBA30，連接BE，EA，ED,EC，同（1）可得BDE∽BCA則

DEAC

BDBC

233

，∵AC2，則DE

433

，在RtAEB中，AB4，AEABtanEBA443∴D在以E為圓心，-27為半徑的圓上運動，3

33

433

，試卷

33BF2DF23223BF2DF23223∴當點A,E,D三點共線時，AD的值最大，此時如圖所示，則ADAEDE

833

，在RtABD中，BD

832AB2AD242

4213∴cosBDA

ADBD

8334213

27sinBDA,7

ABBD

44213

217，∵△ABC∽EBD，∴BDEBCA，過點A作AF

BC，于點F，∴CFACcosACB2

277

477

，

AFACsinACB

2217

，∵DBC30，∴BC

32

BD

342123

27，∴BFBCCF27

477

1077

，221RtAFB中，tanCBA

AFFB

7107

35

．7【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，勾股定理，解直角三角形，正切的定義，求圓外一點到圓的距離的最值問題，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵