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第第頁2024初中數學競賽七年級競賽輔導講義七年級競賽專題01 質數那些事閱讀與思考一個大于1的自然數如果只能被1和本身整除,就叫作質數(也叫素數);如果能被1和本身以外的自然數整除,就叫作合數;自然數1既不是質數,也不是合數,叫作單位數.這樣,我們可以按約數個數將正整數分為三類:關于質數、合數有下列重要性質:1.質數有無窮多個,最小的質數是2,但不存在最大的質數,最小的合數是4.2.1既不是質數,也不是合數;2是唯一的偶質數.3.若質數|,則必有|或|.4.算術基本定理:任意一個大于1的整數N能唯一地分解成個質因數的乘積(不考慮質因數之間的順序關系):N=,其中,為質數,為非負數(=1,2,3,…,).正整數N的正約數的個數為(1+)(1+)…(1+),所有正約數的和為(1++…+)(1++…+)…(1++…+).例題與求解【例1】已知三個質數,,滿足+++=99,那么的值等于_________________.(江蘇省競賽試題)解題思想:運用質數性質,結合奇偶性分析,推出,,的值.【例2】若為質數,+5仍為質數,則+7為()A.質數 B.可為質數,也可為合數 C.合數 D.既不是質數,也不是合數(湖北省黃岡市競賽試題)解題思想:從簡單情形入手,實驗、歸納與猜想.【例3】求這樣的質數,當它加上10和14時,仍為質數.(上海市競賽試題)解題思想:由于質數的分布不規則,不妨從最小的質數開始進行實驗,另外,需考慮這樣的質數是否唯一,按剩余類加以深入討論.【例4】⑴將1,2,…,2004這2004個數隨意排成一行,得到一個數,求證:一定是合數.⑵若是大于2的正整數,求證:-1與+1中至多有一個質數.⑶求360的所有正約數的倒數和.(江蘇省競賽試題)解題思想:⑴將1到2004隨意排成一行,由于中間的數很多,不可能一一排出,不妨找出無論怎樣排,所得數都有非1和本身的約數;⑵只需說明-1與+1中必有一個是合數,不能同為質數即可;⑶逐個求解正約數太麻煩,考慮整體求解.【例5】設和是正整數,≠,是奇質數,并且,求+的值.解題思想:由題意變形得出整除或,不妨設.由質數的定義得到2-1=1或2-1=.由≠及2-1為質數即可得出結論.【例6】若一個質數的各位數碼經任意排列后仍然是質數,則稱它是一個“絕對質數”[如2,3,5,7,11,13(31),17(71),37(73),79(97),113(131,311),199(919,991),337(373,733),…都是質數].求證:絕對質數的各位數碼不能同時出現數碼1,3,7,9.(青少年國際城市邀請賽試題)解題思想:一個絕對質數如果同時含有數字1,3,7,9,則在這個質數的十進制表示中,不可能含有數字0,2,4,5,6,8,否則,進行適當排列后,這個數能被2或5整除.能力訓練A級1.若,,,為整數,=1997,則=________.2.在1,2,3,…,這個自然數中,已知共有個質數,個合數,個奇數,個偶數,則(-)+(-)=__________.3.設,為自然數,滿足1176=,則的最小值為__________.(“希望杯”邀請賽試題)4.已知是質數,并且+3也是質數,則-48的值為____________.(北京市競賽試題)5.任意調換12345各數位上數字的位置,所得的五位數中質數的個數是( )A.4 B.8 C.12 D.0在2005,2007,2009這三個數中,質數有( )A.0個 B.1個 C.2個 D.3個(“希望杯”邀請賽試題)7.一個兩位數的個位數字和十位數字變換位置后,所得的數比原來的數大9,這樣的兩位中,質數有( )A.1個 B.3個 C.5個 D.6個(“希望杯”邀請賽試題)8.設,,都是質數,并且+=,<.求.9.寫出十個連續的自然數,使得個個都是合數.(上海市競賽試題)10.在黑板上寫出下面的數2,3,4,…,1994,甲先擦去其中的一個數,然后乙再擦去一個數,如此輪流下去,若最后剩下的兩個數互質,則甲勝;若最后剩下的兩個數不互質,則乙勝,你如果想勝,應當選甲還是選乙?說明理由.(五城市聯賽試題)11.用正方形的地磚不重疊、無縫隙地鋪滿一塊地,選用邊長為cm規格的地磚,恰用塊,若選用邊長為cm規格的地磚,則要比前一種剛好多用124塊,已知,,都是正整數,且(,)=1,試問這塊地有多少平方米?(湖北省荊州市競賽試題)B級1.若質數,滿足5+7=129,則+的值為__________.2.已知,均為質數,并且存在兩個正整數,,使得=+,=×,則的值為__________.3.自然數,,,,都大于1,其乘積=2000,則其和++++的最大值為__________,最小值為____________.(“五羊杯”競賽試題)4.機器人對自然數從1開始由小到大按如下的規則染色:凡能表示為兩個合數之和的自然數都染成紅色,不合上述要求的自然數都染成黃色,若被染成紅色的數由小到大數下去,則第1992個數是_______________.(北京市“迎春杯”競賽試題)5.若,均為質數,且滿足+=2089,則49-=_________.A.0 B.2007 C.2008 D.2010(“五羊杯”競賽試題)6.設為質數,并且7+8和8+7也都為質數,記=77+8,=88+7,則在以下情形中,必定成立的是( )A.,都是質數 B.,都是合數C.,一個是質數,一個是合數 D.對不同的,以上皆可能出現(江西省競賽試題)7.設,,,是自然數,并且,求證:+++一定是合數.(北京市競賽試題)8.請同時取六個互異的自然數,使它們同時滿足:⑴6個數中任意兩個都互質;⑵6個數任取2個,3個,4個,5個,6個數之和都是合數,并簡述選擇的數符合條件的理由.9.已知正整數,都是質數,并且7+與+11也都是質數,試求的值.(湖北省荊州市競賽試題)10.41名運動員所穿運動衣號碼是1,2,…,40,41這41個自然數,問:(l)能否使這41名運動員站成一排,使得任意兩個相鄰運動員的號碼之和是質數?(2)能否讓這41名運動員站成一圈,使得任意兩個相鄰運動員的號碼之和都是質數?若能辦到,請舉出一例;若不能辦到,請說明理由.專題01質數那些事例134例2C例33符合要求提示:當p=3k+1時,p+10=3k+11,p+14=3(k+5),顯然p+14是合數,當p=3k+2時,p+10=3(k+4)是合數,當p=3k時,只有k=1才符合題意.例4(1)因1+2+…+2004=×2004×(1+2004)=1002×2005為3的倍數,故無論怎樣交換這2004個數的順序,所得數都有3這個約數.(2)因n是大于2的正整數,則-1≥7,-1、、+1是不小于7的三個連續的正整數,其中必有一個被3整除,但3不整除,故-1與+1中至多有一個數是質數.(3)設正整數a的所有正約數之和為b,,,,…,為a的正約數從小到大的排列,于是=1,=a.由于中各分數分母的最小公倍數=a,故S===,而a=360=,故b=(1+2++)×(1+3+)×(1+5)=1170.==.例5由=,得x+y==k.(k為正整數),可得2xy=kp,所以p整除2xy且p為奇質數,故p整除x或y,不放設x=tp,則tp+y=2ty,得y=為整數.又t與2t-1互質,故2t-1整除p,p為質數,所以2t-1=1或2t-1=p.若2t-1=,得t=1,x=y=p,與x≠y矛盾;若2t-1=p,則=,2xy=p(x+y).∵p是奇質數,則x+y為偶數,x、y同奇偶性,只能同為xy=必有某數含因數p.令x=ap,ay=,2ay=ap+y.∴y=,故a,2a-1互質,2a-1整除p,又p是質數,則2a-1=p,a=,故x==,∴x+y=+=。例6設N是一個同時含有數字1,3,7,9的絕對質數.因為=7931,=1793,=9137,=7913,=7193,=1937,=7139除以7所得余數分別為0,1,2,3,4,5,6.故如下7個正整數:=L,=L,…=L,其中,一定有一個能被7整除,則這個數就不是質數,故矛盾.A級1.19982.-13.634.20005.D6.A7.B8.由r=p+q可知r不是最小的質數,則為奇數,故p,q為一奇一偶,又因為p<q.故p既是質數又是偶數,則p=2.9.設十個連續合數為k+2,k+3,k+4,…,k+10,k+11,這里k為自然數,則只要取k是2,3,4,…,11的倍數即可.10.選甲.提示:相鄰的兩個自然數總是互質數,把相鄰自然數兩兩分為一組,這兩數總是互質的,(2,3),(4,5),(6,7),…,(1992,1993),1994,甲擦掉1994,無論乙擦哪一個數,甲就擦那一組的另一數,以此類推,最后還剩一對互質數.11.設這塊地面積為S,則S==(n+124).∴=124∵x>y(x,y)=1∴(,)=1(,)=1得|124∵124=×31,=(x+y)(x-y)∴,或∴,或(舍)此時n==900.∴S==900×=230400cm=23.04m。B級1.19或252.提示:q=mn,則m、n只能一個為1,另一個為q.3.133234.20015.B提示:唯有a=2,b=2089-=2089-2048=41是質數,符合題意.6.A提示:當a=3時,符合題意;當a≠3時,被3處余1,設=3n+1,則7+8=21n+15,8+7=24n+15,它們都不是質數,與條件矛盾.故a=3.7.-a,-b,-c,-d都是偶數,即M=-(a+b+c+d)是偶數.因為=,所以=2()是偶數,從而有a+b+c+d=-M=2()-M,它一定是偶數,但a+b+c+d>2,于是a+b+c+d是個合數.8.取六個數ai=i×(1×2×3×4×5×6)+1(i=1,2,…,6),則其中任意兩個數都是互質的,事實上,假設a2與a5不互質,設d是a2與a5的最大公約數,則d必是(5-2)×1×2×3×4×5×6,即3×1×2×3×4×5×6的一個因子,但從a2=2×1×2×3×4×5×6+1知,d不整除a2,這與假設d是a2與a5的最大公約數矛盾,故a2與a5互質.9.由pq+11>11且pq+11是質數知,pq+11必為正奇數,從而p=2或q=2.(1)若p=2,此時7p+q及2q+11均為質數.設q=3k+1,則q+14=3(k+5)不是質數;設q=3k+2,則2q+11=3(2k+5)不是質數,因此q應為3k型的質數,當然只能是q=3.(2)若q=2,此時7p+q與2p+11均為質數,設p=3k+1,則7p+2=3(7k+3)不是質數;設p=3k+2,則2p+11=3(2k+5)不是質數,因此,p應為3k型的質數,p=3.綜合(1),(2)知p=3,q=2或p=2,q=3,所以pq十qp=17.10.(1)能辦到提示:注意到41與43都是質數,據題意,要使相鄰兩數的和都是質數,顯然它們只能都是奇數,因此,在這排數中只能一奇一偶相間排列:不妨先將奇數排成一排:1,3,5,7,…,41,在每兩數之間留空,然后將所有的偶數依次反序插在各空白中,得1,40,3,38,5,36,7,34,…,8,35,6,37,4,39,2,41.這樣任何相鄰兩數之和都是41或43.滿足題目要求.(2)不能辦到提示:若把1,2,3,…,40,41排成一圈,要使相鄰兩數的和為質數,這些質數都是奇數,故圓圈上任何相鄰兩數必為一奇一偶.但現有20個偶數,21個奇數,總共是41個號碼,由此引出矛盾,故不能辦到,專題02 數的整除性閱讀與思考設,是整數,≠0,如果一個整數使得等式=成立,那么稱能被整除,或稱整除,記作|,又稱為的約數,而稱為的倍數.解與整數的整除相關問題常用到以下知識:1.數的整除性常見特征:①若整數的個位數是偶數,則2|;②若整數的個位數是0或5,則5|;③若整數的各位數字之和是3(或9)的倍數,則3|(或9|);④若整數的末二位數是4(或25)的倍數,則4|(或25|);⑤若整數的末三位數是8(或125)的倍數,則8|(或125|);⑥若整數的奇數位數字和與偶數位數字和的差是11的倍數,則11|.2.整除的基本性質設,,都是整數,有:①若|,|,則|;②若|,|,則|(±);③若|,|,則[,]|;④若|,|,且與互質,則|;⑤若|,且與互質,則|.特別地,若質數|,則必有|或|.例題與求解【例1】在1,2,3,…,2000這2000個自然數中,有_______個自然數能同時被2和3整除,而且不能被5整除.(“五羊杯”競賽試題)解題思想:自然數能同時被2和3整除,則能被6整除,從中剔除能被5整除的數,即為所求.【例2】已知,是正整數(>),對于以下兩個結論:①在+,,-這三個數中必有2的倍數;②在+,,-這三個數中必有3的倍數.其中( )A.只有①正確 B.只有②正確 C.①,②都正確 D.①,②都不正確(江蘇省競賽試題)解題思想:舉例驗證,或按剩余類深入討論證明.【例3】已知整數能被198整除,求,的值.(江蘇省競賽試題)解題思想:198=2×9×11,整數能被9,11整除,運用整除的相關特性建立,的等式,求出,的值.【例4】已知,,都是整數,當代數式7+2+3的值能被13整除時,那么代數式5+7-22的值是否一定能被13整除,為什么?(“華羅庚金杯”邀請賽試題)解題思想:先把5+7-22構造成均能被13整除的兩個代數式的和,再進行判斷.【例5】如果將正整數M放在正整數左側,所得到的新數可被7整除,那么稱M為的“魔術數”(例如:把86放在415左側,得到86415能被7整除,所以稱86為415的魔術數),求正整數的最小值,使得存在互不相同的正整數,,…,,滿足對任意一個正整數,在,,…,中都至少有一個為的“魔術數”.(2013年全國初中數學競賽試題)解題思想:不妨設(=1,2,3,…,;=0,1,2,3,4,5,6)至少有一個為的“魔術數”.根據題中條件,利用(是的位數)被7除所得余數,分析的取值.【例6】一只青蛙,位于數軸上的點,跳動一次后到達,已知,滿足|-|=1,我們把青蛙從開始,經-1次跳動的位置依次記作:,,,…,.⑴寫出一個,使其,且++++>0;⑵若=13,=2012,求的值;⑶對于整數(≥2),如果存在一個能同時滿足如下兩個條件:①=0;②+++…+=0.求整數(≥2)被4除的余數,并說理理由.(2013年“創新杯”邀請賽試題)解題思想:⑴.即從原點出發,經過4次跳動后回到原點,這就只能兩次向右,兩次向左.為保證++++>0.只需將“向右”安排在前即可.⑵若=13,=2012,從經過1999步到.不妨設向右跳了步,向左跳了步,則,解得可見,它一直向右跳,沒有向左跳.⑶設同時滿足兩個條件:①=0;②+++…+=0.由于=0,故從原點出發,經過(-1)步到達,假定這(-1)步中,向右跳了步,向左跳了步,于是=-,+=-1,則+++…+=0+()+()+…()=2(++…+)-[()+()+…+()]=2(++…+)-.由于+++…+=0,所以(-1)=4(++…+).即4|(-1).能力訓練A級1.某班學生不到50人,在一次測驗中,有的學生得優,的學生得良,的學生得及格,則有________人不及格.2.從1到10000這1萬個自然數中,有_______個數能被5或能被7整除.(上海市競賽試題)3.一個五位數能被11與9整除,這個五位數是________.4.在小于1997的自然數中,是3的倍數而不是5的倍數的數的個數是( )A.532 B.665 C.133 D.7985.能整除任意三個連續整數之和的最大整數是( )A.1 B.2 C.3 D.6(江蘇省競賽試題)6.用數字1,2,3,4,5,6組成的沒有重復數字的三位數中,是9的倍數的數有( )A.12個 B.18個 C.20個 D.30個(“希望杯”邀請賽試題)7.五位數是9的倍數,其中是4的倍數,那么的最小值為多少?(黃岡市競賽試題)8.1,2,3,4,5,6每個使用一次組成一個六位數字,使得三位數,,,能依次被4,5,3,11整除,求這個六位數.(上海市競賽試題)9.173□是個四位數字,數學老師說:“我在這個□中先后填入3個數字,所得到的3個四位數,依次可被9,11,6整除.”問:數學老師先后填入的這3個數字的和是多少?(“華羅庚金杯”邀請賽試題)B級1.若一個正整數被2,3,…,9這八個自然數除,所得的余數都為1,則的最小值為_________,的一般表達式為____________.(“希望杯”邀請賽試題)2.已知,都是正整數,若1≤≤≤30,且能被21整除,則滿足條件的數對(,)共有___________個.(天津市競賽試題)3.一個六位數能被33整除,這樣的六位數中最大是__________.4.有以下兩個數串同時出現在這兩個數串中的數的個數共有( )個.A.333 B.334 C.335 D.3365.一個六位數能被12整除,這樣的六位數共有( )個.A.4 B.6 C.8 D.126.若1059,1417,2312分別被自然數除時,所得的余數都是,則-的值為( ).A.15 B.1 C.164 D.1747.有一種室內游戲,魔術師要求某參賽者相好一個三位數,然后,魔術師再要求他記下五個數:,,,,,并把這五個數加起來求出和N.只要講出的大小,魔術師就能說出原數是什么.如果N=3194,請你確定.(美國數學邀請賽試題)8.一個正整數N的各位數字不全相等,如果將N的各位數字重新排列,必可得到一個最大數和一個最小數,若最大數與最小數的差正好等于原來的數N,則稱N為“拷貝數”,試求所有的三位“拷貝數”.(武漢市競賽試題)9.一個六位數,如將它的前三位數字與后三位數字整體互換位置,則所得的新六位數恰為原數的6倍,求這個三位數.(“五羊杯”競賽試題)10.一個四位數,這個四位數與它的各位數字之和為1999,求這個四位數,并說明理由.(重慶市競賽試題)11.從1,2,…,9中任取個數,其中一定可以找到若干個數(至少一個,也可以是全部),它們的和能被10整除,求的最小值.(2013年全國初中數學競賽試題)專題02數的整除性例1267提示:333-66=267.例2C提示:關于②的證明:對于a,b若至少有一個是3的倍數,則ab是3的倍數.若a,b都不是3的倍數,則有:(1)當a=3m+1,b=3n+1時,a-b=3(m-n);(2)當a=3m+1,b=3n+2時,a+b=3(m+n+1);(3)當a=3m+2,b=3n+1時,a+b=3(m+n+1);(4)當a=3m+2,b=3n+2時,a-b=3(m-n).例3a=8.b=0提示:由9|(19+a+b)得a+b=8或17;由11|(3+a-b)得a-b=8或-3.例4設x,y,z,t是整數,并且假設5a+7b-22c=x(7a+2b+3c)+13(ya+zb+tc).比較上式a,b,c的系數,應當有,取x=-3,可以得到y=2,z=1,t=-1,則有13(2a+b-c)-3(7a+2b+3c)=5a+7b-22c.既然3(7a+2b+3c)和13(2a+b-c)都能被13整除,則5a+7b-22c就能被13整除.例5考慮到“魔術數”均為7的倍數,又a1,a2,…,an互不相等,不妨設a1<a2<…<an,余數必為1,2,3,4,5,6,0,設ai=ki+t(i=1,2,3,…,n;t=0,1,2,3,4,5,6),至少有一個為m的“魔術數”,因為ai·10k+m(k是m的位數),是7的倍數,當i≤b時,而ai·t除以7的余數都是0,1,2,3,4,5,6中的6個;當i=7時,而ai·10k除以7的余數都是0,1,2,3,4,5,6這7個數字循環出現,當i=7時,依抽屜原理,ai·10k與m二者余數的和至少有一個是7,此時ai·10k+m被7整除,即n=7.例6(1)A5:0,1,2,1,0.(或A5:0,1,0,1,0)(2)a1000=13+999=1012.(3)n被4除余數為0或1.A級1.12.31433.397984.A5.C6.B7.五位數EQ\o\ac(\S\UP7(—),abcde)=10×EQ\o\ac(\S\UP7(—),abcd)+e.又∵EQ\o\ac(\S\UP7(——),abcd)為4的倍數.故最值為1000,又因為EQ\o\ac(\S\UP7(—),abcde)為9的倍數.故1+0+0+0+e能被9整除,所以e只能取8.因此EQ\o\ac(\S\UP7(—),abcde)最小值為10008.8.324561提示:d+f-e是11的倍數,但6≤d+f≤5+6=11,1≤e≤6,故0≤d+f-e≤10,因此d+f-e=0,即5+f=e,又e≤d,f≥1,故f=l,e=6,9.19提示:1+7+3+□的和能被9整除,故□里只能填7,同理,得到后兩個數為8,4.B級1.2521a=2520n+1(n∈N+)2.573.719895提示:這個數能被33整除,故也能被3整除.于是,各位數字之和(x+1+9+8+9+y)也能被3整除,故x+y能被3整除.4.B5.B6.A提示:兩兩差能被n整除,n=179,m=164.7.由題意得EQ\o\ac(\S\UP7(—),acb)+EQ\o\ac(\S\UP7(—),bac)+EQ\o\ac(\S\UP7(—),bca)+EQ\o\ac(\S\UP7(—),cab)+EQ\o\ac(\S\UP7(—),cba)=3194,兩邊加上EQ\o\ac(\S\UP7(—),abc).得222(a+b+c)=3194+EQ\o\ac(\S\UP7(—),abc)∴222(a+b+c)=222×14+86+EQ\o\ac(\S\UP7(—),abc).則EQ\o\ac(\S\UP7(—),abc)+86是222的倍數.且a+b+c>14.設EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)+86=222n考慮到EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)是三位數,依次取n=1,2,3,4.分別得出EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)的可能值為136,358,580,802,又因為a+b+c>14.故EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)=358.8.設N為所求的三位“拷貝數”,它的各位數字分別為a,b,c(a,b,c不全相等).將其數碼重新排列后,設其中最大數為EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc),則最小數為EQ\o\ac(\S\UP7(——),cba).故N=EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)-EQ\o\ac(\S\UP7(——),cba)=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)=99(a-c).可知N為99的倍數.這樣的三位數可能是198,297,396,495,594,693,792,891,990.而這9個數中,只有954-459=495.故495是唯一的三位“拷貝數”.9.設原六位數為EQ\o\ac(\S\UP7(———),abcdef),則6×EQ\o\ac(\S\UP7(———),abcdef)=EQ\o\ac(\S\UP7(———),defabc),即6×(1000×EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)+EQ\o\ac(\S\UP7(——),def))=1000×EQ\o\ac(\S\UP7(——),def)+EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc),所以994×EQ\o\ac(\S\UP7(——),def)-5999×EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc),即142×EQ\o\ac(\S\UP7(——),def)=857×EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc),∵(142,857)=1,∴142|EQ\o\ac(\S\UP7(—),abc),857|EQ\o\ac(\S\UP7(——),def),而EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc),EQ\o\ac(\S\UP7(——),def)為三位數,∴EQ\o\ac(\S\UP7(—),abc)=142,EQ\o\ac(\S\UP7(——),def)=857,故EQ\o\ac(\S\UP7(———),abcdef)=142857.10.設這個數為EQ\o\ac(\S\UP7(——),abcd),則1000a+100b+10c+d+a+b+c+d=1999,即1001a+101b+11c+2d=1999,得a=1,進而101b+11c+2d=998,101b≥998-117-881,有b=9,則11c+2d=89,而0≤2d≤18,71≤11c≤89,推得c=7,d=6,故這個四位數是1976.11.當n=4時,數1,3,5,8中沒有若干個數的和能被10整除.當n=5時,設a1a2,…,a5是1,2,…,9中的5個不同的數,若其中任意若干個數,它們的和都不能被10整除,則中不可能同時出現1和9,2和8,3和7,4和6,于是中必定有一個為5,若中含1,則不含9,于是,不含,故含6;不含,故含7;不含,故含8;但是5+7+8=20是10的倍數,矛盾.若中含9,則不含1,于是不含故含4;不含故含3;不含故含2;但是是10的倍數,矛盾.綜上所述,n的最小值為5專題03從算術到代數閱讀與思考算術與代數是數學中兩門不同的分科,它們之間聯系緊密,代數是在算術中“數”和“運算”的基礎上發展起來的.用字母表示數是代數的一個重要特征,也是代數與算術的最顯著的區別.在數學發展史上,從確定的數過渡到用字母表示數經歷了一個漫長的過程,是數學發展史上的一個飛躍.用字母表示數有如下特點:1.任意性即字母可以表示任意的數.2.限制性即雖然字母表示任意的數,但字母的取值必須使代數式或實際問題有意義.3.確定性即在用字母表示的數中,如果字母取定某值,那么代數式的值也隨之確定.4.抽象性即與具體的數值相比,用字母表示數具有更抽象的意義.例題與求解【例1】研究下列算式,你會發現什么規律:1×3+1=4=222×4+1=9=323×5+1=16=424×6+1=25=52…請將你找到的規律用代數式表示出來:___________________________________(山東菏澤地區中考試題)解題思路:觀察給定的幾個簡單的、特殊的算式,尋找數字間的聯系,發現一般規律,然后用代數式表示.【例2】下列四個數中可以寫成100個連續自然數之和的是()A.1627384950B.2345678910C.3579111300D.4692581470(江蘇省競賽試題)解題思路:設自然數從a+1開始,這100個連續自然數的和為(a+1)+(a+2)+…+(a+100)=100a+5050,從揭示和的特征入手.【例3】設A=+…++,求A的整數部分.(北京市競賽試題)解題思路:從分析A中第n項的特征入手.【例4】現有a根長度相同的火柴棒,按如圖①擺放時可擺成m個正方形,按如圖②擺放時可擺成2n個正方形.(1)用含n的代數式表示m;(2)當這a根火柴棒還能擺成如圖③所示的形狀時,求a的最小值.(浙江省競賽試題)解題思路:由圖①中有m個正方形、圖②中有2n個正方形,可設圖③中有3p個正方形,無論怎樣擺放,火柴棒的總數相同,可建立含m,n,p的等式.【例5】化簡.(江蘇省競賽試題)解題思路:先考察n=1,2,3時的簡單情形,然后作出猜想,這樣,化簡的目標更明確.【例6】觀察按下列規律排成的一列數:,,,,,,,,,,,,,,,,…,(*)(1)在(*)中,從左起第m個數記為F(m)=時,求m的值和這m個數的積.(2)在(*)中,未經約分且分母為2的數記為c,它后面的一個數記為d,是否存在這樣的兩個數c和d,使cd=2001000,如果存在,求出c和d;如果不存在,請說明理由.解題思路:解答此題,需先找到數列的規律,該數列可分組為(),(,),(,,),(,,,),(,,,,),….能力訓練A級1.已知等式:2+=22×,3+=32×,4+=42×,…,,10+=102×(a,b均為正整數),則a+b=___________________.(湖北省武漢市競賽試題)2.下面每個圖案都是若干個棋子圍成的正方形圖案,它的每邊(包括頂點)都有n(n≥2)個棋子,每個圖案棋子總數為s,按此規律推斷s與n之間的關系是______________.n=2n=3n=4s=4s=8s=12(山東省青島市中考試題)3.規定任意兩個實數對(a,b)和(c,d),當且僅當a=c且b=d時,(a,b)=(c,d).定義運算“?”:(a,b)?(c,d)=(ac-bd,ad+bc).若(1,2)?(p,q)=(5,0),則p+q=________.(浙江省湖州市數學競賽試題)4.用同樣規格的黑白兩種顏色的正方形瓷磚按下圖方式鋪地板,則第(3)個圖形中有黑色瓷磚______塊,第n個圖形中需要黑色瓷磚______塊(含n代數式表示).(廣東省中考試題)
-=5.如果a是一個三位數,現在把1放在它的右邊得到一個四位數是()A.1000a+1B.100a+1C.10a+1D.a+1(重慶市競賽試題)6.一組按規律排列的多項式:a+b,a2—b3,a3+b5,a4—b7,…,其中第十個式子是()A.a10+b19B.a10-b19C.a10-b17D.a10-b21(四川省眉山市競賽試題)7.有三組數x1,x2,x3;y1,y2,y3;z1,z2,z3,它們的平均數分別是a,b,c,那么x1+y1-z1,x2+y2-z2,x3+y3-z3的平均數是()A.B.C.a+b-cD.3(a+b-c)(希望杯邀請賽試題)8.為了綠化環境,美化城市,在某居民小區鋪設了正方形和圓形兩塊草坪,如果兩塊草坪的周長相同,那么它們的面積S1、S2的大小關系是()(東方航空杯競賽試題)A.S1>S2B.Sl<S2C.S1=S2D.無法比較9.一個圓形紙板,根據以下操作把它剪成若干個扇形面:第一次將圓紙等分為4個扇形面;第二次將上次得到的一個扇形面再等分成4個小扇形;以后按第二次剪裁法進行下去.(1)請通過操作,猜想將第3、第4次,…,第n次剪裁后扇形面的總個數填入下表;剪裁次數1234…n所得的總數47…(2)請你推斷,能否按上述操作剪裁出33個扇形面?為什么?(山東省濟南市中考試題)10.某玩具工廠有四個車間,某周是質量檢查周,現每個都原a(a>0)個成品,且每個每天都生產b(b>0)個成品,質檢科派出若干名檢驗員星期一、星期二檢驗其中兩個原的和這兩天生產的所成品,然后,星期三至星期五檢驗另兩個原的和本生產的所成品,假定每個檢驗員每天檢驗的成品數相同.
(1)這若干名檢驗員1天檢驗多少個成品(用含a、b的代數式表示);
(2)試求出用b表示a的關系式;
(3)若1名質檢員1天能檢驗b個成品,則質檢科至少要派出多少名檢驗員?(廣東省廣州市中考試題)B級1.你能很快算出19952嗎?
為了解決這個問題,我們考察個位上的數字為5的自然數的平方,任意一個個位數為5的自然數可寫成(10·n+5)(n為自然數),即求(10·n+5)2的值(n為自然數),分析n=1,n=2,n=3,…這些簡單情況,從中探索其規律,并歸納猜想出結論(在下面的空格內填上你的探索結果).
(1)通過計算,探索規律.
152=225可寫成100×1×(1+1)+25;
252=625可寫成100×2×(2+1)+25;
352=1225可寫成100×3×(3+1)+25;
452=2025可寫成100×4×(4+1)+25;
...
752=5625可寫成______;
852=7225可寫成______;
(2)從第(1)題的結果,歸納猜想得(10n+5)2=______;
(3)根據上面的歸納猜想,請算出19952=______.(福建省三明市中考試題)2.已知12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1),計算:(1)112+122+…+192=_____________________;(2)22+42+…+502=__________________.3.已知n是正整數,an=1×2×3×4×…×n,則++…++=_______________.(“希望杯”邀請賽訓練題)4.已知17個連續整數的和是306,那么,緊接著這17個數后面的那17個整數的和為__________.(重慶市競賽試題
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