第第頁(yè)2024初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽七年級(jí)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義七年級(jí)競(jìng)賽專題01 質(zhì)數(shù)那些事閱讀與思考一個(gè)大于1的自然數(shù)如果只能被1和本身整除，就叫作質(zhì)數(shù)(也叫素?cái)?shù))；如果能被1和本身以外的自然數(shù)整除，就叫作合數(shù)；自然數(shù)1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，叫作單位數(shù)．這樣，我們可以按約數(shù)個(gè)數(shù)將正整數(shù)分為三類：關(guān)于質(zhì)數(shù)、合數(shù)有下列重要性質(zhì)：1．質(zhì)數(shù)有無(wú)窮多個(gè)，最小的質(zhì)數(shù)是2，但不存在最大的質(zhì)數(shù)，最小的合數(shù)是4．2．1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)；2是唯一的偶質(zhì)數(shù)．3．若質(zhì)數(shù)|，則必有|或|．4．算術(shù)基本定理：任意一個(gè)大于1的整數(shù)N能唯一地分解成個(gè)質(zhì)因數(shù)的乘積(不考慮質(zhì)因數(shù)之間的順序關(guān)系)：N=，其中，為質(zhì)數(shù)，為非負(fù)數(shù)(=1，2，3，…，)．正整數(shù)N的正約數(shù)的個(gè)數(shù)為(1＋)(1＋)…(1＋)，所有正約數(shù)的和為(1＋＋…＋)(1＋＋…＋)…(1＋＋…＋)．例題與求解【例1】已知三個(gè)質(zhì)數(shù)，，滿足＋＋＋=99，那么的值等于_________________．(江蘇省競(jìng)賽試題)解題思想：運(yùn)用質(zhì)數(shù)性質(zhì)，結(jié)合奇偶性分析，推出，，的值．【例2】若為質(zhì)數(shù)，＋5仍為質(zhì)數(shù)，則＋7為()A．質(zhì)數(shù) B．可為質(zhì)數(shù)，也可為合數(shù) C．合數(shù) D．既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)(湖北省黃岡市競(jìng)賽試題)解題思想：從簡(jiǎn)單情形入手，實(shí)驗(yàn)、歸納與猜想．【例3】求這樣的質(zhì)數(shù)，當(dāng)它加上10和14時(shí)，仍為質(zhì)數(shù)．(上海市競(jìng)賽試題)解題思想：由于質(zhì)數(shù)的分布不規(guī)則，不妨從最小的質(zhì)數(shù)開(kāi)始進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，另外，需考慮這樣的質(zhì)數(shù)是否唯一，按剩余類加以深入討論．【例4】⑴將1，2，…，2004這2004個(gè)數(shù)隨意排成一行，得到一個(gè)數(shù)，求證：一定是合數(shù)．⑵若是大于2的正整數(shù)，求證：－1與＋1中至多有一個(gè)質(zhì)數(shù)．⑶求360的所有正約數(shù)的倒數(shù)和．(江蘇省競(jìng)賽試題)解題思想：⑴將1到2004隨意排成一行，由于中間的數(shù)很多，不可能一一排出，不妨找出無(wú)論怎樣排，所得數(shù)都有非1和本身的約數(shù)；⑵只需說(shuō)明－1與＋1中必有一個(gè)是合數(shù)，不能同為質(zhì)數(shù)即可；⑶逐個(gè)求解正約數(shù)太麻煩，考慮整體求解．【例5】設(shè)和是正整數(shù)，≠，是奇質(zhì)數(shù)，并且，求＋的值．解題思想：由題意變形得出整除或，不妨設(shè)．由質(zhì)數(shù)的定義得到2－1=1或2－1=．由≠及2－1為質(zhì)數(shù)即可得出結(jié)論．【例6】若一個(gè)質(zhì)數(shù)的各位數(shù)碼經(jīng)任意排列后仍然是質(zhì)數(shù)，則稱它是一個(gè)“絕對(duì)質(zhì)數(shù)”[如2，3，5，7，11，13(31)，17(71)，37(73)，79(97)，113(131，311)，199(919，991)，337(373，733)，…都是質(zhì)數(shù)]．求證：絕對(duì)質(zhì)數(shù)的各位數(shù)碼不能同時(shí)出現(xiàn)數(shù)碼1，3，7，9．(青少年國(guó)際城市邀請(qǐng)賽試題)解題思想：一個(gè)絕對(duì)質(zhì)數(shù)如果同時(shí)含有數(shù)字1，3，7，9，則在這個(gè)質(zhì)數(shù)的十進(jìn)制表示中，不可能含有數(shù)字0，2，4，5，6，8，否則，進(jìn)行適當(dāng)排列后，這個(gè)數(shù)能被2或5整除．能力訓(xùn)練A級(jí)1．若，，，為整數(shù)，=1997，則=________．2．在1，2，3，…，這個(gè)自然數(shù)中，已知共有個(gè)質(zhì)數(shù)，個(gè)合數(shù)，個(gè)奇數(shù)，個(gè)偶數(shù)，則(－)＋(－)=__________．3．設(shè)，為自然數(shù)，滿足1176=，則的最小值為_(kāi)_________．(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)4．已知是質(zhì)數(shù)，并且＋3也是質(zhì)數(shù)，則－48的值為_(kāi)___________．(北京市競(jìng)賽試題)5．任意調(diào)換12345各數(shù)位上數(shù)字的位置，所得的五位數(shù)中質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)是( )A．4 B．8 C．12 D．0在2005，2007，2009這三個(gè)數(shù)中，質(zhì)數(shù)有( )A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)7．一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字和十位數(shù)字變換位置后，所得的數(shù)比原來(lái)的數(shù)大9，這樣的兩位中，質(zhì)數(shù)有( )A．1個(gè) B．3個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)8．設(shè)，，都是質(zhì)數(shù)，并且＋=，<．求．9．寫(xiě)出十個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，使得個(gè)個(gè)都是合數(shù)．(上海市競(jìng)賽試題)10．在黑板上寫(xiě)出下面的數(shù)2，3，4，…，1994，甲先擦去其中的一個(gè)數(shù)，然后乙再擦去一個(gè)數(shù)，如此輪流下去，若最后剩下的兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，則甲勝；若最后剩下的兩個(gè)數(shù)不互質(zhì)，則乙勝，你如果想勝，應(yīng)當(dāng)選甲還是選乙？說(shuō)明理由．(五城市聯(lián)賽試題)11．用正方形的地磚不重疊、無(wú)縫隙地鋪滿一塊地，選用邊長(zhǎng)為cm規(guī)格的地磚，恰用塊，若選用邊長(zhǎng)為cm規(guī)格的地磚，則要比前一種剛好多用124塊，已知，，都是正整數(shù)，且(，)=1，試問(wèn)這塊地有多少平方米？(湖北省荊州市競(jìng)賽試題)B級(jí)1．若質(zhì)數(shù)，滿足5＋7=129，則＋的值為_(kāi)_________．2．已知，均為質(zhì)數(shù)，并且存在兩個(gè)正整數(shù)，，使得=＋，=×，則的值為_(kāi)_________．3．自然數(shù)，，，，都大于1，其乘積=2000，則其和＋＋＋＋的最大值為_(kāi)_________，最小值為_(kāi)___________．(“五羊杯”競(jìng)賽試題)4．機(jī)器人對(duì)自然數(shù)從1開(kāi)始由小到大按如下的規(guī)則染色：凡能表示為兩個(gè)合數(shù)之和的自然數(shù)都染成紅色，不合上述要求的自然數(shù)都染成黃色，若被染成紅色的數(shù)由小到大數(shù)下去，則第1992個(gè)數(shù)是_______________．(北京市“迎春杯”競(jìng)賽試題)5．若，均為質(zhì)數(shù)，且滿足＋=2089，則49－=_________．A．0 B．2007 C．2008 D．2010(“五羊杯”競(jìng)賽試題)6．設(shè)為質(zhì)數(shù)，并且7＋8和8＋7也都為質(zhì)數(shù)，記=77＋8，=88＋7，則在以下情形中，必定成立的是( )A．，都是質(zhì)數(shù) B．，都是合數(shù)C．，一個(gè)是質(zhì)數(shù)，一個(gè)是合數(shù) D．對(duì)不同的，以上皆可能出現(xiàn)(江西省競(jìng)賽試題)7．設(shè)，，，是自然數(shù)，并且，求證：＋＋＋一定是合數(shù)．(北京市競(jìng)賽試題)8．請(qǐng)同時(shí)取六個(gè)互異的自然數(shù)，使它們同時(shí)滿足：⑴6個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)都互質(zhì)；⑵6個(gè)數(shù)任取2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)，5個(gè)，6個(gè)數(shù)之和都是合數(shù)，并簡(jiǎn)述選擇的數(shù)符合條件的理由．9．已知正整數(shù)，都是質(zhì)數(shù)，并且7＋與＋11也都是質(zhì)數(shù)，試求的值．(湖北省荊州市競(jìng)賽試題)10.41名運(yùn)動(dòng)員所穿運(yùn)動(dòng)衣號(hào)碼是1，2，…，40，41這41個(gè)自然數(shù)，問(wèn)：(l)能否使這41名運(yùn)動(dòng)員站成一排，使得任意兩個(gè)相鄰運(yùn)動(dòng)員的號(hào)碼之和是質(zhì)數(shù)？(2)能否讓這41名運(yùn)動(dòng)員站成一圈，使得任意兩個(gè)相鄰運(yùn)動(dòng)員的號(hào)碼之和都是質(zhì)數(shù)？若能辦到，請(qǐng)舉出一例；若不能辦到，請(qǐng)說(shuō)明理由．專題01質(zhì)數(shù)那些事例134例2C例33符合要求提示：當(dāng)p=3k＋1時(shí)，p＋10=3k＋11，p＋14=3(k＋5)，顯然p＋14是合數(shù)，當(dāng)p=3k＋2時(shí)，p＋10=3(k＋4)是合數(shù)，當(dāng)p=3k時(shí)，只有k=1才符合題意．例4（1）因1＋2＋…＋2004=×2004×（1＋2004）=1002×2005為3的倍數(shù)，故無(wú)論怎樣交換這2004個(gè)數(shù)的順序，所得數(shù)都有3這個(gè)約數(shù)．（2）因n是大于2的正整數(shù)，則－1≥7，－1、、＋1是不小于7的三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，其中必有一個(gè)被3整除，但3不整除，故－1與＋1中至多有一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù)．（3）設(shè)正整數(shù)a的所有正約數(shù)之和為b，，，，…，為a的正約數(shù)從小到大的排列，于是=1，=a．由于中各分?jǐn)?shù)分母的最小公倍數(shù)=a，故S===，而a=360=，故b=（1＋2＋＋）×（1＋3＋）×（1＋5）=1170．==．例5由=，得x＋y==k．（k為正整數(shù)），可得2xy=kp，所以p整除2xy且p為奇質(zhì)數(shù)，故p整除x或y，不放設(shè)x=tp，則tp＋y=2ty，得y=為整數(shù)．又t與2t－1互質(zhì)，故2t－1整除p，p為質(zhì)數(shù)，所以2t－1=1或2t－1=p．若2t－1=，得t=1，x=y=p，與x≠y矛盾；若2t－1=p，則=，2xy=p（x＋y）．∵p是奇質(zhì)數(shù)，則x＋y為偶數(shù)，x、y同奇偶性，只能同為xy=必有某數(shù)含因數(shù)p．令x=ap，ay=，2ay=ap＋y．∴y=，故a，2a－1互質(zhì)，2a－1整除p，又p是質(zhì)數(shù)，則2a－1=p，a=，故x==，∴x＋y=＋=。例6設(shè)N是一個(gè)同時(shí)含有數(shù)字1，3，7，9的絕對(duì)質(zhì)數(shù)．因?yàn)?7931，=1793，=9137，=7913，=7193，=1937，=7139除以7所得余數(shù)分別為0，1，2，3，4，5，6．故如下7個(gè)正整數(shù)：=L，=L，…=L，其中，一定有一個(gè)能被7整除，則這個(gè)數(shù)就不是質(zhì)數(shù)，故矛盾．A級(jí)1．19982．－13．634．20005．D6．A7．B8．由r=p＋q可知r不是最小的質(zhì)數(shù)，則為奇數(shù)，故p，q為一奇一偶，又因?yàn)閜＜q．故p既是質(zhì)數(shù)又是偶數(shù)，則p=2．9．設(shè)十個(gè)連續(xù)合數(shù)為k＋2，k＋3，k＋4，…，k＋10，k＋11，這里k為自然數(shù)，則只要取k是2，3，4，…，11的倍數(shù)即可．10．選甲．提示：相鄰的兩個(gè)自然數(shù)總是互質(zhì)數(shù)，把相鄰自然數(shù)兩兩分為一組，這兩數(shù)總是互質(zhì)的，（2，3），（4，5），（6，7），…，（1992，1993），1994，甲擦掉1994，無(wú)論乙擦哪一個(gè)數(shù)，甲就擦那一組的另一數(shù)，以此類推，最后還剩一對(duì)互質(zhì)數(shù)．11．設(shè)這塊地面積為S，則S==（n＋124）．∴=124∵x＞y（x，y）=1∴（，）=1（，）=1得｜124∵124=×31，=（x＋y）（x－y）∴，或∴，或（舍）此時(shí)n==900．∴S==900×=230400cm=23．04m。B級(jí)1．19或252．提示：q=mn，則m、n只能一個(gè)為1，另一個(gè)為q．3．133234．20015．B提示：唯有a=2，b=2089－=2089－2048=41是質(zhì)數(shù)，符合題意．6．A提示：當(dāng)a=3時(shí)，符合題意；當(dāng)a≠3時(shí)，被3處余1，設(shè)=3n＋1，則7＋8=21n＋15，8＋7=24n＋15，它們都不是質(zhì)數(shù)，與條件矛盾．故a=3．7．－a，－b，－c，－d都是偶數(shù)，即M=－（a＋b＋c＋d）是偶數(shù)．因?yàn)?，所以=2（）是偶數(shù)，從而有a＋b＋c＋d=－M=2（）－M，它一定是偶數(shù)，但a＋b＋c＋d＞2，于是a＋b＋c＋d是個(gè)合數(shù)．8．取六個(gè)數(shù)ai＝i×(1×2×3×4×5×6)＋1(i＝1，2，…，6)，則其中任意兩個(gè)數(shù)都是互質(zhì)的，事實(shí)上，假設(shè)a2與a5不互質(zhì)，設(shè)d是a2與a5的最大公約數(shù)，則d必是(5－2)×1×2×3×4×5×6，即3×1×2×3×4×5×6的一個(gè)因子，但從a2＝2×1×2×3×4×5×6＋1知，d不整除a2，這與假設(shè)d是a2與a5的最大公約數(shù)矛盾，故a2與a5互質(zhì)．9．由pq＋11＞11且pq＋11是質(zhì)數(shù)知，pq＋11必為正奇數(shù)，從而p＝2或q＝2．(1)若p＝2，此時(shí)7p＋q及2q＋11均為質(zhì)數(shù)．設(shè)q＝3k＋1，則q＋14＝3(k＋5)不是質(zhì)數(shù)；設(shè)q＝3k＋2，則2q＋11＝3(2k＋5)不是質(zhì)數(shù)，因此q應(yīng)為3k型的質(zhì)數(shù)，當(dāng)然只能是q＝3．(2)若q＝2，此時(shí)7p＋q與2p＋11均為質(zhì)數(shù)，設(shè)p＝3k＋1，則7p＋2＝3(7k＋3)不是質(zhì)數(shù)；設(shè)p＝3k＋2，則2p＋11＝3(2k＋5)不是質(zhì)數(shù)，因此，p應(yīng)為3k型的質(zhì)數(shù)，p＝3．綜合(1)，(2)知p＝3，q＝2或p＝2，q＝3，所以pq十qp＝17．10．(1)能辦到提示：注意到41與43都是質(zhì)數(shù)，據(jù)題意，要使相鄰兩數(shù)的和都是質(zhì)數(shù)，顯然它們只能都是奇數(shù)，因此，在這排數(shù)中只能一奇一偶相間排列：不妨先將奇數(shù)排成一排：1，3，5，7，…，41，在每?jī)蓴?shù)之間留空，然后將所有的偶數(shù)依次反序插在各空白中，得1，40，3，38，5，36，7，34，…，8，35，6，37，4，39，2，41.這樣任何相鄰兩數(shù)之和都是41或43.滿足題目要求．(2)不能辦到提示：若把1，2，3，…，40，41排成一圈，要使相鄰兩數(shù)的和為質(zhì)數(shù)，這些質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)，故圓圈上任何相鄰兩數(shù)必為一奇一偶．但現(xiàn)有20個(gè)偶數(shù)，21個(gè)奇數(shù)，總共是41個(gè)號(hào)碼，由此引出矛盾，故不能辦到，專題02 數(shù)的整除性閱讀與思考設(shè)，是整數(shù)，≠0，如果一個(gè)整數(shù)使得等式=成立，那么稱能被整除，或稱整除，記作|，又稱為的約數(shù)，而稱為的倍數(shù)．解與整數(shù)的整除相關(guān)問(wèn)題常用到以下知識(shí)：1．?dāng)?shù)的整除性常見(jiàn)特征：①若整數(shù)的個(gè)位數(shù)是偶數(shù)，則2|；②若整數(shù)的個(gè)位數(shù)是0或5，則5|；③若整數(shù)的各位數(shù)字之和是3(或9)的倍數(shù)，則3|(或9|)；④若整數(shù)的末二位數(shù)是4(或25)的倍數(shù)，則4|(或25|)；⑤若整數(shù)的末三位數(shù)是8(或125)的倍數(shù)，則8|(或125|)；⑥若整數(shù)的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差是11的倍數(shù)，則11|．2．整除的基本性質(zhì)設(shè)，，都是整數(shù)，有：①若|，|，則|；②若|，|，則|(±)；③若|，|，則[，]|；④若|，|，且與互質(zhì)，則|；⑤若|，且與互質(zhì)，則|．特別地，若質(zhì)數(shù)|，則必有|或|．例題與求解【例1】在1，2，3，…，2000這2000個(gè)自然數(shù)中，有_______個(gè)自然數(shù)能同時(shí)被2和3整除，而且不能被5整除．(“五羊杯”競(jìng)賽試題)解題思想：自然數(shù)能同時(shí)被2和3整除，則能被6整除，從中剔除能被5整除的數(shù)，即為所求．【例2】已知，是正整數(shù)(＞)，對(duì)于以下兩個(gè)結(jié)論：①在＋，，－這三個(gè)數(shù)中必有2的倍數(shù)；②在＋，，－這三個(gè)數(shù)中必有3的倍數(shù)．其中( )A．只有①正確 B．只有②正確 C．①，②都正確 D．①，②都不正確(江蘇省競(jìng)賽試題)解題思想：舉例驗(yàn)證，或按剩余類深入討論證明．【例3】已知整數(shù)能被198整除，求，的值．(江蘇省競(jìng)賽試題)解題思想：198=2×9×11，整數(shù)能被9，11整除，運(yùn)用整除的相關(guān)特性建立，的等式，求出，的值．【例4】已知，，都是整數(shù)，當(dāng)代數(shù)式7＋2＋3的值能被13整除時(shí)，那么代數(shù)式5＋7－22的值是否一定能被13整除，為什么？(“華羅庚金杯”邀請(qǐng)賽試題)解題思想：先把5＋7－22構(gòu)造成均能被13整除的兩個(gè)代數(shù)式的和，再進(jìn)行判斷．【例5】如果將正整數(shù)M放在正整數(shù)左側(cè)，所得到的新數(shù)可被7整除，那么稱M為的“魔術(shù)數(shù)”(例如：把86放在415左側(cè)，得到86415能被7整除，所以稱86為415的魔術(shù)數(shù))，求正整數(shù)的最小值，使得存在互不相同的正整數(shù)，，…，，滿足對(duì)任意一個(gè)正整數(shù)，在，，…，中都至少有一個(gè)為的“魔術(shù)數(shù)”．(2013年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)解題思想：不妨設(shè)(=1，2，3，…，；=0，1，2，3，4，5，6)至少有一個(gè)為的“魔術(shù)數(shù)”．根據(jù)題中條件，利用(是的位數(shù))被7除所得余數(shù)，分析的取值．【例6】一只青蛙，位于數(shù)軸上的點(diǎn)，跳動(dòng)一次后到達(dá)，已知，滿足|－|=1，我們把青蛙從開(kāi)始，經(jīng)－1次跳動(dòng)的位置依次記作：，，，…，．⑴寫(xiě)出一個(gè)，使其，且＋＋＋＋>0；⑵若=13，=2012，求的值；⑶對(duì)于整數(shù)(≥2)，如果存在一個(gè)能同時(shí)滿足如下兩個(gè)條件：①=0；②＋＋＋…＋=0．求整數(shù)(≥2)被4除的余數(shù)，并說(shuō)理理由．(2013年“創(chuàng)新杯”邀請(qǐng)賽試題)解題思想：⑴．即從原點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)4次跳動(dòng)后回到原點(diǎn)，這就只能兩次向右，兩次向左．為保證＋＋＋＋>0．只需將“向右”安排在前即可．⑵若=13，=2012，從經(jīng)過(guò)1999步到．不妨設(shè)向右跳了步，向左跳了步，則，解得可見(jiàn)，它一直向右跳，沒(méi)有向左跳．⑶設(shè)同時(shí)滿足兩個(gè)條件：①=0；②＋＋＋…＋=0．由于=0，故從原點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)(－1)步到達(dá)，假定這(－1)步中，向右跳了步，向左跳了步，于是=－，＋=－1，則＋＋＋…＋=0＋()＋()＋…()=2(＋＋…＋)－[()＋()＋…＋()]=2(＋＋…＋)－．由于＋＋＋…＋=0，所以(－1)=4(＋＋…＋)．即4|(－1)．能力訓(xùn)練A級(jí)1．某班學(xué)生不到50人，在一次測(cè)驗(yàn)中，有的學(xué)生得優(yōu)，的學(xué)生得良，的學(xué)生得及格，則有________人不及格．2．從1到10000這1萬(wàn)個(gè)自然數(shù)中，有_______個(gè)數(shù)能被5或能被7整除．(上海市競(jìng)賽試題)3．一個(gè)五位數(shù)能被11與9整除，這個(gè)五位數(shù)是________．4．在小于1997的自然數(shù)中，是3的倍數(shù)而不是5的倍數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù)是( )A．532 B．665 C．133 D．7985．能整除任意三個(gè)連續(xù)整數(shù)之和的最大整數(shù)是( )A．1 B．2 C．3 D．6(江蘇省競(jìng)賽試題)6．用數(shù)字1，2，3，4，5，6組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，是9的倍數(shù)的數(shù)有( )A．12個(gè) B．18個(gè) C．20個(gè) D．30個(gè)(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)7．五位數(shù)是9的倍數(shù)，其中是4的倍數(shù)，那么的最小值為多少？(黃岡市競(jìng)賽試題)8．1，2，3，4，5，6每個(gè)使用一次組成一個(gè)六位數(shù)字，使得三位數(shù)，，，能依次被4，5，3，11整除，求這個(gè)六位數(shù)．(上海市競(jìng)賽試題)9．173□是個(gè)四位數(shù)字，數(shù)學(xué)老師說(shuō)：“我在這個(gè)□中先后填入3個(gè)數(shù)字，所得到的3個(gè)四位數(shù)，依次可被9，11，6整除．”問(wèn)：數(shù)學(xué)老師先后填入的這3個(gè)數(shù)字的和是多少？(“華羅庚金杯”邀請(qǐng)賽試題)B級(jí)1．若一個(gè)正整數(shù)被2，3，…，9這八個(gè)自然數(shù)除，所得的余數(shù)都為1，則的最小值為_(kāi)________，的一般表達(dá)式為_(kāi)___________．(“希望杯”邀請(qǐng)賽試題)2．已知，都是正整數(shù)，若1≤≤≤30，且能被21整除，則滿足條件的數(shù)對(duì)(，)共有___________個(gè)．(天津市競(jìng)賽試題)3．一個(gè)六位數(shù)能被33整除，這樣的六位數(shù)中最大是__________．4．有以下兩個(gè)數(shù)串同時(shí)出現(xiàn)在這兩個(gè)數(shù)串中的數(shù)的個(gè)數(shù)共有( )個(gè)．A．333 B．334 C．335 D．3365．一個(gè)六位數(shù)能被12整除，這樣的六位數(shù)共有( )個(gè)．A．4 B．6 C．8 D．126．若1059，1417，2312分別被自然數(shù)除時(shí)，所得的余數(shù)都是，則－的值為( )．A．15 B．1 C．164 D．1747．有一種室內(nèi)游戲，魔術(shù)師要求某參賽者相好一個(gè)三位數(shù)，然后，魔術(shù)師再要求他記下五個(gè)數(shù)：，，，，，并把這五個(gè)數(shù)加起來(lái)求出和N．只要講出的大小，魔術(shù)師就能說(shuō)出原數(shù)是什么．如果N=3194，請(qǐng)你確定．(美國(guó)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)8．一個(gè)正整數(shù)N的各位數(shù)字不全相等，如果將N的各位數(shù)字重新排列，必可得到一個(gè)最大數(shù)和一個(gè)最小數(shù)，若最大數(shù)與最小數(shù)的差正好等于原來(lái)的數(shù)N，則稱N為“拷貝數(shù)”，試求所有的三位“拷貝數(shù)”．(武漢市競(jìng)賽試題)9．一個(gè)六位數(shù)，如將它的前三位數(shù)字與后三位數(shù)字整體互換位置，則所得的新六位數(shù)恰為原數(shù)的6倍，求這個(gè)三位數(shù)．(“五羊杯”競(jìng)賽試題)10．一個(gè)四位數(shù)，這個(gè)四位數(shù)與它的各位數(shù)字之和為1999，求這個(gè)四位數(shù)，并說(shuō)明理由．(重慶市競(jìng)賽試題)11．從1，2，…，9中任取個(gè)數(shù)，其中一定可以找到若干個(gè)數(shù)(至少一個(gè)，也可以是全部)，它們的和能被10整除，求的最小值．(2013年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)專題02數(shù)的整除性例1267提示：333－66＝267．例2C提示：關(guān)于②的證明：對(duì)于a，b若至少有一個(gè)是3的倍數(shù)，則ab是3的倍數(shù)．若a，b都不是3的倍數(shù)，則有：(1)當(dāng)a＝3m＋1，b＝3n＋1時(shí)，a－b＝3(m－n)；(2)當(dāng)a＝3m＋1，b＝3n＋2時(shí)，a＋b＝3(m＋n＋1)；(3)當(dāng)a＝3m＋2，b＝3n＋1時(shí)，a＋b＝3(m＋n＋1)；(4)當(dāng)a＝3m＋2，b＝3n＋2時(shí)，a－b＝3(m－n).例3a＝8．b＝0提示：由9｜(19＋a＋b)得a＋b＝8或17；由11|(3＋a－b)得a－b＝8或－3．例4設(shè)x，y，z，t是整數(shù)，并且假設(shè)5a＋7b－22c＝x(7a＋2b＋3c)＋13(ya＋zb＋tc).比較上式a，b，c的系數(shù)，應(yīng)當(dāng)有，取x＝－3，可以得到y(tǒng)＝2，z＝1，t＝－1，則有13(2a＋b－c)－3(7a＋2b＋3c)＝5a＋7b－22c．既然3(7a＋2b＋3c)和13(2a＋b－c)都能被13整除，則5a＋7b－22c就能被13整除．例5考慮到“魔術(shù)數(shù)”均為7的倍數(shù)，又a1，a2，…，an互不相等，不妨設(shè)a1＜a2＜…＜an，余數(shù)必為1，2，3，4，5，6，0，設(shè)ai＝ki＋t(i＝1，2，3，…，n；t＝0，1，2，3，4，5，6)，至少有一個(gè)為m的“魔術(shù)數(shù)”，因?yàn)閍i·10k＋m(k是m的位數(shù))，是7的倍數(shù)，當(dāng)i≤b時(shí)，而ai·t除以7的余數(shù)都是0，1，2，3，4，5，6中的6個(gè)；當(dāng)i＝7時(shí)，而ai·10k除以7的余數(shù)都是0，1，2，3，4，5，6這7個(gè)數(shù)字循環(huán)出現(xiàn)，當(dāng)i＝7時(shí)，依抽屜原理，ai·10k與m二者余數(shù)的和至少有一個(gè)是7，此時(shí)ai·10k＋m被7整除，即n＝7．例6(1)A5：0，1，2，1，0.(或A5：0，1，0，1，0)(2)a1000＝13＋999＝1012．(3)n被4除余數(shù)為0或1．A級(jí)1．12．31433．397984．A5．C6．B7．五位數(shù)EQ\o\ac(\S\UP7(—),abcde)＝10×EQ\o\ac(\S\UP7(—),abcd)＋e.又∵EQ\o\ac(\S\UP7(——),abcd)為4的倍數(shù)．故最值為1000，又因?yàn)镋Q\o\ac(\S\UP7(—),abcde)為9的倍數(shù)．故1＋0＋0＋0＋e能被9整除，所以e只能取8．因此EQ\o\ac(\S\UP7(—),abcde)最小值為10008.8．324561提示：d＋f－e是11的倍數(shù)，但6≤d＋f≤5＋6＝11，1≤e≤6，故0≤d＋f－e≤10，因此d＋f－e＝0，即5＋f＝e，又e≤d，f≥1，故f＝l，e＝6，9．19提示：1＋7＋3＋□的和能被9整除，故□里只能填7，同理，得到后兩個(gè)數(shù)為8，4．B級(jí)1．2521a＝2520n＋1(n∈N＋)2．573．719895提示：這個(gè)數(shù)能被33整除，故也能被3整除．于是，各位數(shù)字之和(x＋1＋9＋8＋9＋y)也能被3整除，故x＋y能被3整除．4．B5．B6．A提示：兩兩差能被n整除，n＝179，m＝164．7．由題意得EQ\o\ac(\S\UP7(—),acb)＋EQ\o\ac(\S\UP7(—),bac)＋EQ\o\ac(\S\UP7(—),bca)＋EQ\o\ac(\S\UP7(—),cab)＋EQ\o\ac(\S\UP7(—),cba)＝3194，兩邊加上EQ\o\ac(\S\UP7(—),abc)．得222(a＋b＋c)＝3194＋EQ\o\ac(\S\UP7(—),abc)∴222(a＋b＋c)＝222×14＋86＋EQ\o\ac(\S\UP7(—),abc)．則EQ\o\ac(\S\UP7(—),abc)＋86是222的倍數(shù)．且a＋b＋c＞14．設(shè)EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)＋86＝222n考慮到EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)是三位數(shù)，依次取n＝1，2，3，4.分別得出EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)的可能值為136，358，580，802，又因?yàn)閍＋b＋c＞14．故EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)＝358．8．設(shè)N為所求的三位“拷貝數(shù)”，它的各位數(shù)字分別為a，b，c(a，b，c不全相等)．將其數(shù)碼重新排列后，設(shè)其中最大數(shù)為EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)，則最小數(shù)為EQ\o\ac(\S\UP7(——),cba)．故N＝EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)－EQ\o\ac(\S\UP7(——),cba)＝(100a＋10b＋c)－(100c＋10b＋a)＝99(a－c)．可知N為99的倍數(shù)．這樣的三位數(shù)可能是198，297，396，495，594，693，792，891，990．而這9個(gè)數(shù)中，只有954－459＝495.故495是唯一的三位“拷貝數(shù)”．9．設(shè)原六位數(shù)為EQ\o\ac(\S\UP7(———),abcdef)，則6×EQ\o\ac(\S\UP7(———),abcdef)＝EQ\o\ac(\S\UP7(———),defabc)，即6×(1000×EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)＋EQ\o\ac(\S\UP7(——),def))＝1000×EQ\o\ac(\S\UP7(——),def)＋EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)，所以994×EQ\o\ac(\S\UP7(——),def)－5999×EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)，即142×EQ\o\ac(\S\UP7(——),def)＝857×EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)，∵(142，857)＝1，∴142|EQ\o\ac(\S\UP7(—),abc)，857|EQ\o\ac(\S\UP7(——),def)，而EQ\o\ac(\S\UP7(——),abc)，EQ\o\ac(\S\UP7(——),def)為三位數(shù)，∴EQ\o\ac(\S\UP7(—),abc)＝142，EQ\o\ac(\S\UP7(——),def)＝857，故EQ\o\ac(\S\UP7(———),abcdef)＝142857．10．設(shè)這個(gè)數(shù)為EQ\o\ac(\S\UP7(——),abcd)，則1000a＋100b＋10c＋d＋a＋b＋c＋d＝1999，即1001a＋101b＋11c＋2d＝1999，得a＝1，進(jìn)而101b＋11c＋2d＝998，101b≥998－117－881，有b＝9，則11c＋2d＝89，而0≤2d≤18，71≤11c≤89，推得c＝7，d＝6，故這個(gè)四位數(shù)是1976．11．當(dāng)n＝4時(shí)，數(shù)1，3，5，8中沒(méi)有若干個(gè)數(shù)的和能被10整除．當(dāng)n＝5時(shí)，設(shè)a1a2，…，a5是1，2，…，9中的5個(gè)不同的數(shù)，若其中任意若干個(gè)數(shù)，它們的和都不能被10整除，則中不可能同時(shí)出現(xiàn)1和9，2和8，3和7，4和6，于是中必定有一個(gè)為5，若中含1，則不含9，于是，不含，故含6；不含,故含7；不含,故含8；但是5+7+8=20是10的倍數(shù),矛盾.若中含9,則不含1,于是不含故含4;不含故含3;不含故含2;但是是10的倍數(shù),矛盾.綜上所述,n的最小值為5專題03從算術(shù)到代數(shù)閱讀與思考算術(shù)與代數(shù)是數(shù)學(xué)中兩門(mén)不同的分科，它們之間聯(lián)系緊密，代數(shù)是在算術(shù)中“數(shù)”和“運(yùn)算”的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的.用字母表示數(shù)是代數(shù)的一個(gè)重要特征，也是代數(shù)與算術(shù)的最顯著的區(qū)別.在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，從確定的數(shù)過(guò)渡到用字母表示數(shù)經(jīng)歷了一個(gè)漫長(zhǎng)的過(guò)程，是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個(gè)飛躍.用字母表示數(shù)有如下特點(diǎn)：1.任意性即字母可以表示任意的數(shù).2.限制性即雖然字母表示任意的數(shù)，但字母的取值必須使代數(shù)式或?qū)嶋H問(wèn)題有意義.3.確定性即在用字母表示的數(shù)中，如果字母取定某值，那么代數(shù)式的值也隨之確定.4.抽象性即與具體的數(shù)值相比，用字母表示數(shù)具有更抽象的意義.例題與求解【例1】研究下列算式，你會(huì)發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律：1×3＋1＝4＝222×4＋1＝9＝323×5＋1＝16＝424×6＋1＝25＝52…請(qǐng)將你找到的規(guī)律用代數(shù)式表示出來(lái)：___________________________________(山東菏澤地區(qū)中考試題)解題思路：觀察給定的幾個(gè)簡(jiǎn)單的、特殊的算式，尋找數(shù)字間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，然后用代數(shù)式表示.【例2】下列四個(gè)數(shù)中可以寫(xiě)成100個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和的是（）A.1627384950B.2345678910C.3579111300D.4692581470（江蘇省競(jìng)賽試題）解題思路：設(shè)自然數(shù)從a＋1開(kāi)始，這100個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和為（a＋1）＋(a＋2)＋…＋(a＋100)＝100a＋5050，從揭示和的特征入手.【例3】設(shè)A＝＋…＋＋，求A的整數(shù)部分.（北京市競(jìng)賽試題）解題思路：從分析A中第n項(xiàng)的特征入手.【例4】現(xiàn)有a根長(zhǎng)度相同的火柴棒，按如圖①擺放時(shí)可擺成m個(gè)正方形，按如圖②擺放時(shí)可擺成2n個(gè)正方形.(1)用含n的代數(shù)式表示m；(2)當(dāng)這a根火柴棒還能擺成如圖③所示的形狀時(shí)，求a的最小值.（浙江省競(jìng)賽試題）解題思路：由圖①中有m個(gè)正方形、圖②中有2n個(gè)正方形，可設(shè)圖③中有3p個(gè)正方形，無(wú)論怎樣擺放，火柴棒的總數(shù)相同，可建立含m，n，p的等式.【例5】化簡(jiǎn).（江蘇省競(jìng)賽試題）解題思路：先考察n＝1，2，3時(shí)的簡(jiǎn)單情形，然后作出猜想，這樣，化簡(jiǎn)的目標(biāo)更明確.【例6】觀察按下列規(guī)律排成的一列數(shù)：，，，，，，，，，，，，，，，，…，（*）（1）在（*）中，從左起第m個(gè)數(shù)記為F(m)＝時(shí)，求m的值和這m個(gè)數(shù)的積.（2）在（*）中，未經(jīng)約分且分母為2的數(shù)記為c，它后面的一個(gè)數(shù)記為d，是否存在這樣的兩個(gè)數(shù)c和d，使cd＝2001000，如果存在，求出c和d；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解題思路：解答此題，需先找到數(shù)列的規(guī)律，該數(shù)列可分組為（），（，），（，，），（，，，），（，，，，），….能力訓(xùn)練A級(jí)1.已知等式：2＋＝22×，3＋＝32×，4＋＝42×，…，，10＋＝102×（a，b均為正整數(shù)），則a＋b＝___________________.(湖北省武漢市競(jìng)賽試題)2.下面每個(gè)圖案都是若干個(gè)棋子圍成的正方形圖案，它的每邊（包括頂點(diǎn)）都有n（n≥2）個(gè)棋子，每個(gè)圖案棋子總數(shù)為s，按此規(guī)律推斷s與n之間的關(guān)系是______________.n＝2n＝3n＝4s＝4s＝8s＝12(山東省青島市中考試題)3.規(guī)定任意兩個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)（a，b）和（c，d），當(dāng)且僅當(dāng)a＝c且b＝d時(shí)，（a，b）＝（c，d）．定義運(yùn)算“?”：（a，b）?（c，d）＝（ac－bd，ad＋bc）．若（1，2）?（p，q）＝（5，0），則p＋q＝________．(浙江省湖州市數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)4.用同樣規(guī)格的黑白兩種顏色的正方形瓷磚按下圖方式鋪地板，則第（3）個(gè)圖形中有黑色瓷磚______塊，第n個(gè)圖形中需要黑色瓷磚______塊（含n代數(shù)式表示）．（廣東省中考試題）

-=5.如果a是一個(gè)三位數(shù)，現(xiàn)在把1放在它的右邊得到一個(gè)四位數(shù)是（）A.1000a＋1B.100a＋1C.10a＋1D.a＋1(重慶市競(jìng)賽試題)6.一組按規(guī)律排列的多項(xiàng)式：a＋b，a2—b3，a3＋b5，a4—b7，…，其中第十個(gè)式子是（）A.a10＋b19B.a10-b19C.a10-b17D.a10-b21(四川省眉山市競(jìng)賽試題)7.有三組數(shù)x1，x2，x3；y1，y2，y3；z1，z2，z3，它們的平均數(shù)分別是a，b，c，那么x1＋y1－z1，x2＋y2－z2，x3＋y3－z3的平均數(shù)是（）A.B.C.a＋b－cD.3(a＋b－c)(希望杯邀請(qǐng)賽試題)8.為了綠化環(huán)境，美化城市，在某居民小區(qū)鋪設(shè)了正方形和圓形兩塊草坪，如果兩塊草坪的周長(zhǎng)相同，那么它們的面積S1、S2的大小關(guān)系是（）（東方航空杯競(jìng)賽試題）A.S1＞S2B．Sl＜S2C．S1＝S2D．無(wú)法比較9.一個(gè)圓形紙板，根據(jù)以下操作把它剪成若干個(gè)扇形面：第一次將圓紙等分為4個(gè)扇形面；第二次將上次得到的一個(gè)扇形面再等分成4個(gè)小扇形；以后按第二次剪裁法進(jìn)行下去．（1）請(qǐng)通過(guò)操作，猜想將第3、第4次，…，第n次剪裁后扇形面的總個(gè)數(shù)填入下表；剪裁次數(shù)1234…n所得的總數(shù)47…（2）請(qǐng)你推斷，能否按上述操作剪裁出33個(gè)扇形面？為什么？（山東省濟(jì)南市中考試題）10.某玩具工廠有四個(gè)車(chē)間，某周是質(zhì)量檢查周，現(xiàn)每個(gè)都原a（a＞0）個(gè)成品，且每個(gè)每天都生產(chǎn)b（b＞0）個(gè)成品，質(zhì)檢科派出若干名檢驗(yàn)員星期一、星期二檢驗(yàn)其中兩個(gè)原的和這兩天生產(chǎn)的所成品，然后，星期三至星期五檢驗(yàn)另兩個(gè)原的和本生產(chǎn)的所成品，假定每個(gè)檢驗(yàn)員每天檢驗(yàn)的成品數(shù)相同．

（1）這若干名檢驗(yàn)員1天檢驗(yàn)多少個(gè)成品（用含a、b的代數(shù)式表示）；

（2）試求出用b表示a的關(guān)系式；

（3）若1名質(zhì)檢員1天能檢驗(yàn)b個(gè)成品，則質(zhì)檢科至少要派出多少名檢驗(yàn)員？（廣東省廣州市中考試題）B級(jí)1.你能很快算出19952嗎？

為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們考察個(gè)位上的數(shù)字為5的自然數(shù)的平方，任意一個(gè)個(gè)位數(shù)為5的自然數(shù)可寫(xiě)成（10·n＋5）（n為自然數(shù)），即求（10·n＋5）2的值（n為自然數(shù)），分析n＝1，n＝2，n＝3，…這些簡(jiǎn)單情況，從中探索其規(guī)律，并歸納猜想出結(jié)論（在下面的空格內(nèi)填上你的探索結(jié)果）.

（1）通過(guò)計(jì)算，探索規(guī)律.

152＝225可寫(xiě)成100×1×（1＋1）＋25；

252＝625可寫(xiě)成100×2×（2＋1）＋25；

352＝1225可寫(xiě)成100×3×（3＋1）＋25；

452＝2025可寫(xiě)成100×4×（4＋1）＋25；

...

752＝5625可寫(xiě)成______；

852＝7225可寫(xiě)成______；

（2）從第（1）題的結(jié)果，歸納猜想得（10n＋5）2＝______；

（3）根據(jù)上面的歸納猜想，請(qǐng)算出19952＝______.（福建省三明市中考試題）2.已知12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，計(jì)算：（1）112＋122＋…＋192＝_____________________；(2)22＋42＋…＋502＝__________________.3.已知n是正整數(shù)，an＝1×2×3×4×…×n，則＋＋…＋＋＝_______________.(“希望杯”邀請(qǐng)賽訓(xùn)練題)4.已知17個(gè)連續(xù)整數(shù)的和是306，那么，緊接著這17個(gè)數(shù)后面的那17個(gè)整數(shù)的和為_(kāi)_________.（重慶市競(jìng)賽試題