第五章函數應用能力提升

第I卷(選擇題)

一、單選題

1.已知函數y=/(x)的圖象是連續不斷的，且有如下對應值表:

X17345

y-2-0.310.430.891.21

則函數“X)一定存在零點的區間是()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

【答案】B

【解析】

【分析】

根據零點存在定理判斷.

【詳解】

由函數值表知/(2)/(3)<0,因此在(2,3)上至少有一個零點.

故選：B.

【點睛】

本題考查零點存在定理，在區間句上連續的函數，若/(a)/(b)<0,則在(a,〃)上至少存在一

個零點.

2.函數/(x)=2，-d的零點個數是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

令/(x)=0,得出2、=X2,將函數y=/(x)的零點個數轉化為函數y=2,與函數圖象的

交點個數，利用數形結合思想可得解.

【詳解】

令/(x)=0,得出2，=X2，

則函數y=/(x)的零點個數轉等于函數y=2,與函數y=/圖象的交點個數，

如下圖所示：

函數丁=2工與函數y=Y的圖象有3個交點，因此，函數/(x)=2、—f的零點個數是3.

故選：C.

【點睛】

本題考查函數零點個數的求解，常用代數法與圖象法來求解，考查數形結合思想的應用，屬于中等

題.

3.統計學家克利夫蘭對人體的眼睛詳細研究后發現；我們的眼睛看到圖形面積的大小與此圖形實際

面積的0.7次方成正比.例如：大圖形是小圖形的3倍，眼睛感覺到的只有307(約2.16)倍.觀察某

個國家地圖，感覺全國面積約為某縣面積的10倍，那么這國家的實際面積大約是該縣面積的

(1g2?0.3010,lg3=0.4771,lg7?0.8451)()

A./8倍B.21倍C.24倍D.27倍

【答案】D

【解析】

【分析】

根據已知條件可構造出函數關系式，進而得到10=,根據對數運算法則可解方程求得近似值.

【詳解】

由題意可知，看到圖形面積大小》與圖形實際面積X之間滿足y=%07

???若看到全國面積約為某縣面積的10倍，貝U10=x°7,解得：lgx=￥^L43

1g27=31g3?1.43x?27

故選：D

【點睛】

本題考查利用函數模型求解實際問題，關鍵是能夠根據已知條件構造出合適的函數模型，結合對數

運算性質求得結果.

x"-2ax—，尤<1

4.已知函數/(x)=2恰有兩個零點，則實數。的取值范圍是()

In%,%>1

A.B.再C.

【答案】C

【解析】

【分析】

令/(x)=。利用對數函數的圖像及二次函數圖像的性質，即可得到答案.

【詳解】

依題當x21時，/(x)=lnx,令/(%)=0,解得》=1；

因為函數恰有兩個零點，

,1

所以x<1時函數/(x)=x,-2ax—5與x軸有且僅有一個交點.

又因為八=4/+2>0,

所以/(x)=V-2儀-5與x軸有兩個交點,

且其圖像開口向上(如圖所示)，

由二次函數圖像的性質可得，要符合題意，則只需

/(l)=l-2tz-1=1-2tz<0,解得

故選：c

【點睛】

本題考查了根據函數的零點個數求參數，考查了數形結合的思想，屬基礎題.

5.端午節期間，某商場為吸引顧客，實行“買100送20,連環送活動”即顧客購物每滿100元，就可

以獲贈商場購物券20元，可以當作現金繼續購物.如果你有1460元現金，在活動期間到該商場購物,

最多可以獲贈購物券累計()

A.280元B.320元C.340元D.360元

【答案】C

【解析】

【分析】

顧客購物每滿100元，就可以獲贈商場購物券20元，則1400元可得280元購物券，280+60=340

元可得60元購物券，故可得結論.

【詳解】

由題意，顧客購物每滿10。元，就可以獲贈商場購物券20元

1400x20%=280,又280+60=340還可獲贈商場購物券60元，

280+60=340,

??.在活動期間到該商場購物，最多可以獲贈購物券累計340元.

故選：C.

【點睛】

本題考查函數應用題，考查函數與方程思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力.

6.函數y=/(x)是定義域為R,周期為2的函數，且當1,1)時，〃x)=l—三；已知函數

g(x)=lg|x|,則函數y=〃x)-g(x)在區間內的零點個數為()

A.11B.13C.15D.17

【答案】C

【解析】

【分析】

根據函數的周期性，作出函數/(尤)和g(x)的圖象，觀察圖像，即可得到兩個函數公共點的個數.

【詳解】

函數y=是定義域為R，周期為2的函數，且當1目—1,1)時，/(x)=l-x2；

???作出函數/(光)的圖象如圖：

g(x)=lg|%],定義域(Y0,0)5。,+8)

???在同一直角坐標系內，作出函數g(x)的圖象如圖：

當9Kx<10時，——10<0

則〃X)=/(XT0)=1—(XT0)2

此時〃10)=Lg(10)=l

/(9)=0,g(9)=lg9

故由圖象可知兩個圖象的交點個數為15個.

故選：C

【點睛】

本題考查函數周期性、對數函數運算，考查函數與方程思想、數形結合思想，綜合性較強，有一定

難度.

7.函數/(x)=e*+2尤—3的零點所在的一個區間是()

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)

【答案】C

【解析】

【分析】

判斷函數單調遞增，計算/'(0)<0,/⑴>0得到答案.

【詳解】

/(幻=/+2尤—3,函數單調遞增，計算得到了(0)=—2<0；/(l)=e-1>0

故函數在(0』)有唯一零點

故選：C

【點睛】

本題考查了零點存在定理，意在考查學生的計算能力.

f2rX<0

8.已知函數/(x)=5一,若方程/(x)=x+a有兩個不等的實根，則實數。的取值范圍

[2-x,x>0

為().

A.(-oo,0]B.[1,2)C.D.[2,+oo)

【答案】B

【解析】

【分析】

將/(x)=%有兩個不等的實根，轉化為y=-X與y=a的圖象有兩個交點求解.

【詳解】

因為/(x)=x+a有兩個不等的實根，

所以y=/(x)-x與y=a的圖象有兩個交點，

當x<0時，〃x)=2T—%是減函數，所以f(x)=Tx-x>l,

當x〉0時，〃％)=2-2%是減函數，所以/(x)=2-2x<2,

所以實數。的取值范圍為1<a<2.

故選：B

【點睛】

本題主要考查函數與方程，還考查了數形結合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.

9.9知函數/(》)=卜1「2，X41,且對于任意實數。e(0,1)關于x的方程

\—X+2mx—2m+1,%>1

/(x)—a=0都有四個不相等的實根石,電,項,工4，則%+尤2+毛+尤4的取值范圍是()

A.(2,4]B.(-oo,0]u[4,+oo)

C.[4,+00)D.(2,+00)

【答案】C

【解析】

【分析】

采用等價轉換的思想，且利用數形結合的方法，結合對稱性，可得結果.

【詳解】

由方程/(%)-a=0都有四個不相等的實根

則函數丁=/(1)與丁=。，ae(0,1)圖像

有四個交點,

2

由/'("=Vl-x,x<1

—x2+2JWC—2m+1,x>1

A/1-x2,x<1

即/(%)=V

_(%-1)[%-(2根-1)],%>1

如圖,

所以玉工

+x2=0,3+Z=2m

故%+工2+七+乂=2m

又《」'7=^>m>2

2m-1>1

所以%+X2+X3+Z24

故選：C

【點睛】

本題主要考查函數的對稱性，以及考查等價轉換，數形結合的數學技巧的應用，屬中檔題.

10.已知函數=—若關于X的方程/(x)+4(x)=0有〃個不同的實根，則〃的值

不可能為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】

先作出函數〃“="|1一%||的圖像，根據產(x)+4(%)=0得/(%)=0或/(X)=—。，原方程

根的個數，轉化為函數/(%)與x軸以及直線y=F交點個數；結合函數圖像，即可得出結果.

【詳解】

x-2,x>2

2-x,l<%<2

x,0<x<1

一羽x<0

作出/(%)的圖像如下:

由72(%)+如(九)=0得：〃x)=0或/(x)=

所以方程產(x)+4(x)=。的解的個數，即為函數/(%)與x軸以及直線廣一。交點個數,

由圖像可得：/(x)與％軸有2個交點,

①當-。＜0,即?！?時，函數/(%)與直線y=-a無交點，故原方程共2個解;

②當-。=0,即。=0時，原方程可化為/(￡)=0,故原方程共2個解;

③當0＜—。＜1,即—1＜。＜0時，函數/(%)與直線產F有4個交點，故原方程共6個解;

④當-。=1,即a=-1時，函數/（九）與直線。有3個交點，故原方程共5個解;

⑤當-。>1,即“<-1時，函數/（九）與直線y=r有2個交點，故原方程共4個解;

綜上，原方程解的個數可能為2,4,5,6.

本題主要考查方程根的個數的判定，靈活運用轉化與化歸的思想，根據數形結合的方法即可求解,

屬于?？碱}型.

11.若函數“X）的圖像是連續的，且函數“X）的唯一零點同時在區間（1,5）,（1,3）,（2,3）,J1

內，則與符號相同的是（）

A./（5）B./（3）C.嗚）D./（2）

【答案】D

【解析】

【分析】

根據根的存在性定理分析/（2）與/（1）符號相同.

【詳解】

因為函數/（九）有唯一零點，在區間12,g）內，所以零點左側的函數值同號，零點右側的函數值同

號，所以與/。）符號相同的是/（2）.

故選：D

【點睛】

此題考查函數零點辨析，根據根的存在性定理結合零點個數分析得解.

12.已知函數/（x）=122一，若存在西，9^尺，且工產為2，使/（%）=/（羽），則實

ax-1,x>\

數。的取值范圍是（）

A.a<3B.-2<a<3

C.-2<a<2D.a<2

【答案】A

【解析】

【分析】

討論。<2和。22兩種情況，分別計算得到答案.

【詳解】

當■Icl,即。<2時，/（x）=-x2+tX￥,在X<1上存在石，赴eH,且百2%，

使/（石）=/（%），所以。<2時滿足題意；

當。22時，需滿足一1+々>"2一7，解得一2<〃<3,即24〃<3；

綜上：實數〃的取值范圍為。<3,

故選：A.

【點睛】

本題考查了函數與方程問題，分類討論是常用的數學技巧，需要熟練掌握.

第n卷（非選擇題）

二、填空題

<2X+1（X<O）

13.已知函數/（x）=|、八、有2個零點，則實數。的取值范圍是________.

x-1x-3［（無）0）

【答案】{a|a<—24+1或a=2^—1}

【解析】

【分析】

分a>0及aV0兩種情況論即可.

函數/（x）有2個零點分以下兩種情況：

第一種，當x<0時，函數/（元）有1個零點，當x>0時，函數/（元）有1個零點；

第二種，當xWO時，函數/（尤）沒有零點，當x〉0時，函數/（x）有2個零點.

【詳解】

（1）當?！?時，/（%）=改+1（無<0）有1個零點，

則f（x）=x2-|a|x+1x-31（x>0）有1個零點，

lx—31

令％2一|々|%+|%一3|=0（%>0）,得i=%+-----,

x

x---卜1,x23

|x-3|

問題可轉化為y="與ynX+J——L(X>0)=;的圖象僅有1個交點.作出

X

xH---1,0<%<3

、X

y=工+乜二2（％>0）的圖象，如圖，易知當a=2j§—1時，y=a與丫=工+歸丸（X〉0）僅有

xx

1個交點.

(ii)當時，/(x)=ox+l(x<0)無零點,

則/(x)=V—|a|x+|x—3|(x>0)有2個零點.

I-3|

令xz-\a\x+\x-3\=0(x>0),得一a=x+--------

x

x-----3

|x-3|

問題可轉化為y=_。與y=龍+J——L(x>0)=(；的圖象有2個交點，結合

x

xH----1,0<%<3

x

y=x+左a（x>0）的圖象，可知—。>2出—1，得。<一26+1.

X

綜上，實數。的取值范圍是{a|a<—2月+1或a=2百—1}.

【點睛】

本題主要考查分段函數的零點，二次函數的圖象和性質，考查考生分析問題、解決問題的能力，數

形結合能力.試題以分段函數為載體，題干簡短易懂，引導考生通過分類討論利用二次函數的圖象

解題，重點考查直觀想象、邏輯推理的核心素養.

14.我們經常聽到這樣一種說法：一張紙經過一定次數對折之后厚度能超過地月距離.但實際上，因

為紙張本身有厚度，我們并不能將紙張無限次對折，當我們的厚度超過紙張的長邊時，便不能繼續

對折了，一張長邊為卬，厚度為X的矩形紙張沿兩個方向不斷對折，則經過兩次對折，長邊變為

2

ry

厚度變為4x.在理想情況下，對折次數〃有下列關系：?<-log-(注：1g2ao.3),根據以上

32x

信息，一張長為21。相，厚度為0.05加機的紙最多能對折一次.

【答案】8

【解析】

【分析】

根據題意計算n<|log24200得到答案.

【詳解】

22(

川《mlog24200=log24+log21000+log22+SlogzI。+log2—

】s11八F21I221

因為Iog210=7i=Rw，0<log2—<1>所以“<8+qk>g2右的最大值為8.

U.DNU3ZU

故答案為：8

【點睛】

本題考查了對數的應用，意在考查學生的計算能力和應用能力.

15.函數/(%)=2、恤了|—1的零點個數為.

【答案】2

【解析】

【分析】

由題意結合函數零點的概念可轉化條件得|lnx|=g，在同一直角坐標系中作出函數y=|山X與

>=］的圖象，由函數圖象的交點個數即可得函數的零點個數.

【詳解】

令/(x)=2xJlnx|—l=0,則|lnx|=!，

在同一直角坐標系中作出函數y=|lnx|與y=：的圖象，如圖:

由圖象可知，函數y=|lnx|與y=/的圖象有兩個交點，

所以方程|lnx|=￡有兩個不同實根，所以函數/(%)=2*恤乂—1的零點個數為2.

故答案為：2.

【點睛】

本題考查了函數零點個數的求解及函數與方程的綜合應用，考查了數形結合思想與轉化化歸思想,

屬于中檔題.

|犬x<0

16.已知函數/。)=,'-八.若方程y(x)=kx-1無實根，則實數上的取值范圍是____________

llnx,x>0

【答案】(L+8)

【解析】

【分析】

【詳解】

畫出直線丁=丘-1和函數〃無）的大致圖象如圖,

1,、

設過點（0,-1）與曲線y=lnx相切的直線為y—%=—（x—玉）），其中（％,%）為切點，將點（0,

T）代入得,即為=0,故％=1，此時切線的斜率為1，若方程/（x）=kx—1無實根,

只需直線丁=區-1和函數〃無）的圖象沒有交點，結合圖象可知實數人的取值范圍是（L+8）.故答案

為（1,+oo）.

三、解答題

17.若關于％的方程9*+（4+。）3*+4=0沒有實數解，求。的取值范圍.

【答案】（-8收）

【解析】

【分析】

44

利用參變量分離法得出。/一3*-三一4,令》=3工＞0,可知。不屬于函數y=T—?—4?〉0）的

4

值域，并利用基本不等式求得函數y=T-7-4“〉0）的值域，由此可求得實數。的取值范圍.

【詳解】

,、gr4

令9*+（4+。）3'+4。0,可得^_+±A^一4=-3''—4，

'73V3,

令/=3*>0，可知a不屬于函數y=—7—；—4“〉0）的值域，

當f〉0時，由基本不等式可得y=T—4—2，]=—8,

所以，函數y=T—；—4“〉0）的值域為（―8,—8].

因此，實數a的取值范圍是（-&a）.

【點睛】

本題考查利用方程根的個數求參數，利用參變量分離法轉化為參數與函數值域的關系是解題的關鍵,

考查了基本不等式的應用，考查化歸與轉化思想的應用，屬于中等題.

is.保護環境，防治環境污染越來越得到人們的重視，某企業在現有設備下每日生產總成本y（單

位：萬元）與日產量x（單位：噸）之間的函數關系式為、=2尤2+（10-3左）尤+124+8.現為了減少

大氣污染，該企業引進了除塵設備，每噸產品除塵費用為上萬元，除塵后，當日產量x=2時，每日

生產總成本y=52.

（1）求女的值；

（2）若每噸產品出廠價為48萬元，試求除塵后日產量為多少噸時，每噸產品的利潤最大，最大利

潤為多少萬元？

【答案】（1）左=2；（2）日產量為4噸時，每噸產品的利潤最大，最大利潤為26萬元.

【解析】

【分析】

（1）求出除塵后的函數解析式，利用當日產量x=2時，總成本y=52,代入計算得左=2；

(2)求出每噸產品的利潤，利用基本不等式求解即可.

【詳解】

解：(1)由題意，除塵后y=2f+(10—3Qx+12左+8+依=2/+(10—2左)x+12A+8,

將x=2,丁=52代入得52=2*22+(10-24)><2+12左+8解得左=2；

(2)由(1)值y=2x?+6尤+32,總利潤L=48x—(2爐+6尤+32)=42%一2/一32(尤>0),

貝U每噸產品的利潤：=42—+T；，42—4g號=26,

當且僅當x=L,即x=4時取等號，

x

所以除塵后日產量為4噸時，每噸產品的利潤最大，最大利潤為26萬元.

【點睛】

本題考查將實際問題的最值問題轉化為函數的最值問題，考查學生的計算能力，屬于中檔題

19.設關于1的方程左9”—左3>1+6(左—5)=0.

(1)若常數上=3,求此方程的解；

(2)若該方程在［。,2］內有解，求上的取值范圍.

【答案】(1)=log34；(2)gw左W8.

【解析】

【分析】

(1)將左=3代入方程，得到3?夕—93—12=0,將其整理得到⑶+1)(3*-4)=0,集合指數

函數的值域，得到3*=4,從而得到x=logs4,求得結果;

30

（2）將式子k9x-左3*+6（左一5）=0整理得出k=J33"，令『=3：1。，貝V苗

借助于二次函數在某個區間上的值域求得最后的結果.

【詳解】

（1）當上=3時，方程左9*—左32+6（左—5）=0即為39—9-3,—12=0,

化簡得9*—3-3、—4=0,即(3*+1)(3r-4)=0,

解得3、=一1（舍去）或3*=4,

所以x=k?g34,所以，此方程的解為尤=logj4,

(2)由k9x-左3>1+6(左—5)=0可得k(9x-3k+l+6)=30,

所以左=———30——

9,—33+6

令f=3;xe[0,2],貝Ve[l,9],

,3,15

所以9工一3?3,+6=產一3f+6=（r—己）？+」，

24

由/c口,9]可得當t=鄉時,（t-1）2+與最小值為”,

2244

3、15

當f=9時，?—萬產+1的最大值為60,

30<30<30

所以0一夕―3計1+6一國，即:W左48,

所以人的取值范圍是8].

2

【點睛】

該題考查的是有關求方程的解或者方程在某個區間上有解求參數的取值范圍的問題，在解題的過程

中，注意換元思想的應用，以及二次函數在某個區間上的值域的求解方法，屬于中檔題目.

20.某工廠生產某種商品的年固定成本為250萬元，每生產x（xwN*）千件需另投入成本為C（x）（萬

元）.當年產量不足80千件時，C（x）=-x2+10x（萬元）；當年產量不小于80千件時，

C（x）=51x+U幽—1450（萬元）.通過市場分析，每件售價為500元最為合適.

x

（1）寫出年利潤L（萬元）關于年產量x（千件）的函數解析式；

（2）該產品年產量為多少千件時，該廠所獲利潤最大？

--x2+40x-2500<x<80,xeN*

3

【答案】（1）L=\（2）該產品年產量為100千件時，該

_X_1P222+I2OOx>8O,xe7V*

x

廠所獲利潤最大.

【解析】

【分析】

（1）對產量x是否小于80分類討論求出另投入的成本，求出總銷售額，減去固定成本和另投入的

成本，即可得出利潤函數解析式；

（2）根據利潤函數的特征，利用二次函數的性質和基本不等式分別求出分段函數的的最大值，對比

即可求出結論.

【詳解】

1,

—+10x0<x<80,xeN*

3

(1)依題意C（x）=〈

l10000…八

51x+----------1450x>80,xeN*

x

1,

——%2+40X-2500<x<80,xeN*

L=50x-C(x)-250=<

10000

-x-+---1-2--0-0--x>80,xeNf

x

（2）由（1）得

當0<x<80,xwN時，L=+40x—250=—§(x—60)2+950,

當x=60時，41ax=950萬元,

當x280,xcN*時，￡=-(%+^222)+1200<-2,10000+1200=1000,

x

當且僅當x="S=100時，等號成立，即4ax=1000萬元

x

所以利潤的最大值為1000萬元.

答：該產品年產量為100千件時，該廠所獲利潤最大.

【點睛】

本題考查函數應用問題，建立函數模型是解題的關鍵，要注意單位的統一，考查數學抽象、數學建

模、數學計算能力，屬于中檔題.

21.⑴己知函數〃力=4+4a+2,若函數的一個零點在（0,1）內,一個零點在（1,4）內,

求實數。的取值范圍；

（2）若關于x的方程次+（2根—3）［；［+根=0在上有唯一實數解，.求實數機的取值

范圍.

【答案】（1）［一;（2）^0,J或:

【解析】

【分析】

/（0）=2>0

（1）根據題意，由根的分布可得</。）=3+4。<0,再求解.

/（4）=18+16a>0

（2）設'=，所以當El寸，/e[5,+co],方程相.[；）+（2m—3）-^^+根=0在

（—8,1）上有唯一實數解，可轉化為m2+Q加-3"+根=0,te[,+oo]上有唯一實數解，進而

3t3/1\1

轉化為一/+2/+1—/+1+2/e[5，+ooj上有唯一實數解，再令M（r）=/+：+2,由對勾函數

的圖象和性質求解.

【詳解】

/（0）=2>0

（1）由題意|/。）=3+4。<0,解得ae93

84

/（4）=18+16a>0

（2）設f=,所以當xe（-oo,l）時，/e1g,+co],

門、=3t=3

此時，由題意得^+（2加一3"+根=0,f?15，+°0J有唯一實數解"一/+2f+l-,+1+2

有唯一實數解

令K（/）=t-\—卜2,

由對勾函數的性質可知

時，"⑺=%+：+2在（5,1]單調遞減，在5，+s）上單調遞增,

所以在（川單調遞增，在上單調遞減，