關(guān)于常數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂法一、正項(xiàng)級數(shù)及其審斂法

正項(xiàng)級數(shù)收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列有界.

正項(xiàng)級數(shù)各項(xiàng)都是正數(shù)或零的級數(shù)稱為正項(xiàng)級數(shù).

這是因?yàn)檎?xiàng)級數(shù)的部分和數(shù)列{sn}是單調(diào)增加的,而單調(diào)有界數(shù)列是有極限.

下頁定理1(正項(xiàng)級數(shù)收斂的充要條件)

第2頁,共31頁，2024年2月25日，星期天定理2(比較審斂法)

>>>

推論

下頁第3頁,共31頁，2024年2月25日，星期天

解

下頁定理2(比較審斂法)

設(shè)∑un和∑vn都是正項(xiàng)級數(shù),且un

kvn(k>0,

n

N).若級數(shù)∑vn收斂,則級數(shù)∑un收斂;若級數(shù)∑un發(fā)散,則級數(shù)∑vn發(fā)散.第4頁,共31頁，2024年2月25日，星期天因?yàn)楫?dāng)故考慮強(qiáng)級數(shù)的部分和故強(qiáng)級數(shù)收斂,由比較審斂法知

p

級數(shù)收斂.時,2)若第5頁,共31頁，2024年2月25日，星期天

設(shè)∑un和∑vn都是正項(xiàng)級數(shù),且un

kvn(k>0,

n

N).若級數(shù)∑vn收斂,則級數(shù)∑un收斂;若級數(shù)∑un發(fā)散,則級數(shù)∑vn發(fā)散.p

級數(shù)的收斂性

證

下頁定理2(比較審斂法)

第6頁,共31頁，2024年2月25日，星期天調(diào)和級數(shù)與p級數(shù)是兩個常用的比較級數(shù).若存在對一切第7頁,共31頁，2024年2月25日，星期天定理3(比較審斂法的極限形式)下頁

解

第8頁,共31頁，2024年2月25日，星期天>>>

下頁

解

定理3(比較審斂法的極限形式)第9頁,共31頁，2024年2月25日，星期天下頁收斂

當(dāng)

1(或

)時級數(shù)發(fā)散

當(dāng)

1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散

定理4(比值審斂法

達(dá)朗貝爾判別法)

解

所以

根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)收斂

例5

證明級數(shù)是收斂的

第10頁,共31頁，2024年2月25日，星期天所以

根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)發(fā)散

下頁

解

收斂

當(dāng)

1(或

)時級數(shù)發(fā)散

當(dāng)

1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散

定理4(比值審斂法

達(dá)朗貝爾判別法)第11頁,共31頁，2024年2月25日，星期天提示:所以根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)收斂

下頁

解

收斂

當(dāng)

1(或

)時級數(shù)發(fā)散

當(dāng)

1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散

定理4(比值審斂法

達(dá)朗貝爾判別法)第12頁,共31頁，2024年2月25日，星期天討論級數(shù)的斂散性.解:

根據(jù)定理4可知:級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散;第13頁,共31頁，2024年2月25日，星期天下頁定理5(根值審斂法

柯西判別法)收斂

當(dāng)

1(或

)時級數(shù)發(fā)散

當(dāng)

1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散

所以

根據(jù)根值審斂法可知所給級數(shù)收斂

因?yàn)?/p>

解

第14頁,共31頁，2024年2月25日，星期天定理5(根值審斂法

柯西判別法)收斂

當(dāng)

1(或

)時級數(shù)發(fā)散

當(dāng)

1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散

所以

根據(jù)根值審斂法可知所給級數(shù)收斂

因?yàn)?/p>

解

下頁第15頁,共31頁，2024年2月25日，星期天時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如

,p–級數(shù)說明:但級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.第16頁,共31頁，2024年2月25日，星期天證明級數(shù)收斂于S,似代替和S

時所產(chǎn)生的誤差.解:

由定理5可知該級數(shù)收斂.令則所求誤差為并估計(jì)以部分和Sn

近第17頁,共31頁，2024年2月25日，星期天定理6(極限審斂法)因?yàn)?/p>

解

根據(jù)極限審斂法

知所給級數(shù)收斂

下頁第18頁,共31頁，2024年2月25日，星期天定理6(極限審斂法)因?yàn)?/p>

解

根據(jù)極限審斂法

知所給級數(shù)收斂

首頁第19頁,共31頁，2024年2月25日，星期天設(shè)正項(xiàng)級數(shù)收斂,能否推出收斂?提示:由比較判斂法可知收斂.注意:反之不成立.例如,收斂,發(fā)散.第20頁,共31頁，2024年2月25日，星期天1.

判別級數(shù)的斂散性:解:(1)發(fā)散,故原級數(shù)發(fā)散.(2)發(fā)散,故原級數(shù)發(fā)散.第21頁,共31頁，2024年2月25日，星期天二、交錯級數(shù)及其審斂法交錯級數(shù)交錯級數(shù)是這樣的級數(shù),它的各項(xiàng)是正負(fù)交錯的.下頁

例如

第22頁,共31頁，2024年2月25日，星期天二、交錯級數(shù)及其審斂法交錯級數(shù)交錯級數(shù)是這樣的級數(shù),它的各項(xiàng)是正負(fù)交錯的.定理7(萊布尼茨定理)(1)un

un

1(n

1

2

3

)

則級數(shù)收斂

且其和s

u1

其余項(xiàng)rn的絕對值|rn|

un

1

>>>

下頁第23頁,共31頁，2024年2月25日，星期天這是一個交錯級數(shù).

解

由萊布尼茨定理,級數(shù)是收斂的,且其和s<u1

1,首頁則級數(shù)收斂,且其和s

u1,其余項(xiàng)rn的絕對值|rn|

un

1.定理7(萊布尼茨定理)因?yàn)榇思墧?shù)滿足

例12第24頁,共31頁，2024年2月25日，星期天收斂收斂用Leibnitz判別法判別下列級數(shù)的斂散性:收斂上述級數(shù)各項(xiàng)取絕對值后所成的級數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂收斂第25頁,共31頁，2024年2月25日，星期天

三、絕對收斂與條件收斂絕對收斂與條件收斂下頁

例如

第26頁,共31頁，2024年2月25日，星期天

三、絕對收斂與條件收斂絕對收斂與條件收斂定理8(絕對收斂與收斂的關(guān)系)應(yīng)注意的問題

下頁第27頁,共31頁，2024年2月25日，星期天

解

下頁定理8(絕對收斂與收斂的關(guān)系)

例13第28頁,共31頁，2024年2月25日，星期天例14.

證明級數(shù)絕對收斂:令因此收斂