2020-2021學年金華市義烏市高一上學期期末數學試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分）

1.非空數集觸軻,，購，隨，一端陽區獷）中，所有元素的算術平均數記為身（劇，即

窟U）=.*.*?*.若非空數集層滿足下列兩個條件:①麟工閶；②總匐=園題），則稱

雕

蕩為閶的一個“保均值子集”.據此，集合料，氧幻卻，”的“保均值子集”有（）

A.手個B.面個C.沼個D.哥個

2.在下列四個命題中，

①函數y=tan。+》的定義域是｛x|x7k?r+?,keZ｝-

②已知sina=I，且aG[0,2兀],貝!Ja的取值集合是《｝；

③函數y=sin（2x+$+sin（2x-g）的最小正周期是兀；

④△ABC中，若cosA>cosB,則4<B.

其中真命題的個數是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.下列命題中，正確的是（）

A.若cosa<0,則a是第二或第三象限角

B.若a<B，則cosa<cos夕

C.^sina=sin^,貝必與/?的終邊相同

2

D.a是第三象限角，則sina-cosa>。且竺￡<0

sina

4.某企業要將剛生產的100臺電視機送往某商場，現有甲型貨車4輛，乙型貨車8輛可供調配，每

輛甲型貨車費用是400元，可裝電視機20臺，每輛乙型貨車費用是300元，可裝電視機10臺，若

每輛車至多運一次，則企業所花最少運費為（）

A.2400元B.2800元C.2000元D.2200元

5.以下判斷正確的是（）

A.命題“負數的平方是正數”不是全稱命題

B.命題“0”的否定是“0”

c.“國”是“函數區I的最小正周期是S”的必要不充分條件

D.“國”是“函數0是偶函數”的充要條件

6.已知函數y=logflxQ>0,且aN1)的圖象如圖所示，則下列函數圖象正確

7.如圖所示的是函數y=Asin(cox+@)圖象的一部分，則其函數解析式是()

A.y=sin(x+1)

C.y=sin(2x+-)D.y=sin(2x--)為7

66

8.以下求方程產+/+%2-1=0在［0,1］之間近似根的算法是()X*-(X1+X2)/2

c*-0.00001

A.輾轉相除法

WhileX2—xpc

B.二分法Ifx5+x3+x2—1>Othen

X2*-X

C.更相減損術

Else

xLx

Endif

x=(xi+x2)!2

Endwhile

PrintY

D.秦九韶算法

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分)

9.設函數/(%)定義域為R,對于給定的正數匕定義函數九⑶=｛巴'k'，若函數f。)=2因，

則()

A.左(—2)=—4B.七(%)在(—8,—1)單調遞減

C.左。)為偶函數D.左。)最大值為2

10.設函數/(%)=cos2x+s譏2%,則下列選項正確的有()

A./(%)的最小正周期是7T

B.f(x)滿足/?+%)=/今一比)

C.f(x)在口加上單調遞減，那么b-a的最大值是三

D.y=f(x)的圖象可以由y=V^cos2x的圖象向右平移個個單位得到

11.下列命題中是真命題的有()

A.存在a,0,使tan(a—￡)=tana-tan0

B.在△ABC中，若s譏24=sin2B,則AABC是等腰三角形

C.在△ABC中，“4>8”是“s譏4>s譏B”的充要條件

D.在A4BC中，若cos&=2sEB=：,則cosC的值為||或

1356565

12.已知函數/(切=/—2(a—l)%+a,若對于區間[-1,2]上的任意兩個不相等的實數5，%2,都

有/。1)大/(%2)，則實數a的取值范圍可以是()

A.(-8,0]B.[0,3]C.[—1,2]D.[3,+8)

三、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.如圖，在邊長為60cm的正方形鐵皮的四角切去相等的正方形，再把它的邊!■■

沿虛線折起，做成一個無蓋的方底箱子，最大容積是.

60

14.若正三角形內切圓的半徑為r,則該正三角形的周長C(r)=6V5r，面積S(r)=3百產，發現

S'(r)=C(r),相應地，若正四面體內切球的半徑為r,則該正四面體的表面積S(r)=24U產,請

用類比推理的方法猜測該正四面體的體積U(r)=(寫出關于r的表達式).

15.已知f(x)=ax+2a+l,當xe［—1,1］時，/(尤)的值有正有負，則實數a的取值范圍為.

16.已知a=欣,6=log7r3,c=logssin*則a,b,c大小關系為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.已知集合4={x|(x—2)(x—2a—5)<0},函數y=的定義域為集合艮

(1)若(1=4,求集合AnB；

(2)已知a>—|,且"X64"是“％eB”的必要條件，求實數a的取值范圍.

18.已知函數/(%)=cosx(sinx-cosx)-

(I)若0<a<兀，且cosa=號求/(a)的值；

(□)求函數/(%)的最小正周期及單調遞減區間.

19.已知函數/(%)是定義在R上的奇函數，當X>0時，/(%)=%2-2%+2.

(1)求函數/(%)的解析式；

(2)求函數/(%)的值域.

20.已知函數y=asinx+bcosx+c的圖象上有一個最低點(段,一1).

6

(1)如果久=0時，y=求a,b,c.

(n)如果將圖象上每個點的縱坐標不變，橫坐標縮小到原來的3然后將所得圖象向左平移一個單位

得到y=f(久)的圖象，并且方程f(x)=3的所有正根依次成為一個公差為3的等差數列，求丫=

/(%)的解析式.

21.利用函數的平均變化率證明函數y=-；在區間［0,5］上是減函數.

22.某市為表彰在脫貧攻堅工作中做出突出貢獻的先進單位，制作了一批獎

杯，獎杯的剖面圖形如圖所示，其中扇形04B的半徑為10,APBA=

乙QAB=60°,AQ=QP=PB,OM、OP交QP于M,交4B于C,且。C_L4B,

H

設40C=6,

(1)用表示0M的長度;

(2)若按此方案設計，工藝制造廠發現，當。M最長時，該獎杯比較美觀的長

度以及。的大小.

參考答案及解析

1.答案：C

7JLL暖J1號JJL趣JJL紙：

解析：試題分析：非空數集2={1,2,3,4,5}中，所有元素的算術平均數E(4)=匕*士士=3,

???集合4的“保均值子集”有：{3},{1,5},{2,4},{3,1,5},{3,2,4},{1,5,2,4},{1,2,3,4,5}共7個；

故選C.

考點：本題主要考查集合的概念，學習能力。

點評：簡單題，關鍵是理解新定義，計算元素的算術平均數。

2.答案：C

解析：解：對于①，令X+^^歷1+3，k&Z,解得+fceZ,

—4Z4

?,涵數丫=tan(%+￡)的定義域是｛小W/C7T+\kGZ],①正確;

對于②，已知sina=I，且aG[0,2TT],

則a的取值集合是詈},②錯誤；

對于③，函數y=sin(2x+g)+sin(2xY)

=(|sin2x+?cos2x)+sin2x—當cos2x)

=sin2x,它的最小正周期是兀，③正確；

對于④，△ABC中，4、BG(0.7T),

根據余弦函數的單調性知，若cosZ>cosB,則A<8,④正確.

以上真命題是①③④，共3個.

故選：C.

根據正切函數的定義域求出y的定義域即可判斷①正確；

求出s譏a=/ae[0,2捫內的取值集合即可判斷②錯誤；

化函數y為正弦型函數，求出它的最小正周期，判斷③正確；

根據AABC中4、BG(0,7F),結合余弦函數的單調性判斷④正確.

本題考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，也考查了命題真假的判斷問題，是綜合題.

3.答案：D

解析：

本題考查任意角的三角函數，以及象限角的性質，屬于基礎題.

根據任意角的三角函數的概念與性質，即可求解答案.

解：若cosa<0,貝必是第二或第三象限角或a的終邊落在%軸的非正半軸上，故A錯誤;

若0<a<0<71,則cosa>cos(3,故3錯誤；

若sina=sin/3,貝Ua與￡的終邊相同或終邊關于y軸對稱，故C錯誤；

2

若a是第三象限角，則sina<0,cosa<0,貝!Js譏a,cosa>0且竺^<0,故。正確；

sina

故選：D.

4.答案:D

解析：解：設需使用甲型貨車萬輛，乙型貨車y輛，運費

為z元，

20%+10y>100

xyeN*

(f

線性目標函數z=400%+300y,

畫出可行域，

將)7=—3%平移至(4,2)時，z最小為2200元.

故選D

先設出甲型貨車、乙型貨車的輛數及運費，列出約束條件、目標函數，畫出可行域，畫出目標函數

對應的直線，將其平移，由圖得到最值.

本題考查將實際問題轉化為線性規劃問題，畫出不等式組表示的可行域，數形結合求出最值.屬于

中檔題.

5.答案：D

解析：試題分析：選項A是全稱命題，不正確；選項8應該是國少了等于，不正確；對于選項C,

S，周期是叵I,當國，則周期是□，當周期是國，則回，所以應該是充要條件不

正確；選項。正確，故選￡).

考點：1.邏輯語言和充分必要條件；2.三角函數的周期.

6.答案：C

解析：由圖易知，蛔震&3=［二誦，=筆，般=饕謂為減函數，故A錯；

般=1-疆=-點為減函數，故B錯;

c正確;

>'=旅嚼武一蹴為減函數，故。錯。

故選Co

7.答案：A

解析：解：由函數的圖象的頂點坐標可得4=1,由:!求得3=1.

再由五點法作圖可得IX(—9+0=0,可得0=壬

故函數解析式是丫=5也(%+9,

故選A.

由函數的頂點坐標求出4由周期求出3,由五點法作圖求出0的值，從而得到函數的解析式.

本題主要考查利用y=Asin(a)x+<p)的圖象特征，由函數y=Asin(a)x+cp)的部分圖象求解析式,

由函數的頂點坐標求出4由周期求出3,由五點法作圖求出0的值，屬于中檔題.

8.答案：B

解析：解：由已知中的算法語句可得：

該算法是利用“二分法”求方程%5+久3+%2-1=0在［0,1］之間近似根，

故選：B

根據已知中的算法語句，結合“二分法”求方程近似根的方法步驟，比照可得答案.

本題考查的知識點是偽代碼，二分法，熟練掌握“二分法”求方程近似根的方法步驟，是解答的關

鍵.

9.答案：BC

解析：

先畫出函數/(切=2⑶的圖象，再根據函數上Q)的定義，畫出函數月(%)的圖象，由圖象即可判斷出

各選項的正誤.

本題主要考查了新定義的理解和運用，考查了分段函數的應用，考查了函數的奇偶性，是拔高題.

解：對于選項A：/(-2)=4>2,.-./2(-2)=4,故選項A錯誤，

由圖象可知，%（x）在（一8,-1）單調遞減，故選項B正確，

對于選項C：由%Q）的圖象可知，圖象關于y軸對稱，所以函數力是偶函數，故選項C正確,

對于選項。：由力（x）的圖象可知，為。）的最小值為2,無最大值，故選項。錯誤，

故選：BC.

■.答案:AC

解析：

本題主要考查正弦函數的圖象和性質，考查了函數y=4sin（3x+0）的圖象變換規律，考查了函數

思想，屬于中檔題.

利用兩角和的正弦公式化簡函數解析式，利用正弦函數的周期公式即可求函數最小正周期，即可判

斷4分別求解/'?-%)和/?+X)，即可判斷8；利用正弦函數的單調性即可判斷C；利用三角函數

的平移變換即可判斷D.

解：??,/(%)=cos2x+sin2x=y/2(^-cos2x+^-sinlx)=V2sin(2x+9

對于選項T=-y=7T,即A正確：

對于選項f(3+%)=V2sin[2(^+%)+/=V2sin(2x+.)=V2sin(^—2%),

/(E—%)=V2sin[2(^_%)+：]=V2sin(^—2%)=V2cos(^—2%),

即％=?不是y=/(%)的對稱軸，故3錯誤：

對于選項C：囚+2Mr<2久+巴〈生+2/CTT時，y=/(%)單調遞堿，

242"

故減區間為H+左為?+攵兀],k￡Z,b—a的最大值是?—謂)=g,故C正確；

OoooZ

對于。：y=魚C0S2%的圖象向右平移?個單位得到y=V2cos[2(x-=V2cos(2x—舁=

y/2sin2xV2sin(2x+7),故0錯誤.

4

故選：AC.

11.答案：AC

解析：解：對于4：當a=0=3時，tan(a-/?)=tana-tan^,故A正確；

對于8：在4ABC中，若S譏24=sin2B,22=2B或24=兀一2B,整理得4=B或A+B=(則小ABC

是等腰三角形或直角三角形，故B錯誤；

對于C：在△ABC中，當"4>B"時，則a>b,ftasinA>sinB",當sMAAsinB時，2RsinA>

2RsinB,即a>b,故A>B,故，"4>B"是"s譏4>s譏B”的充要條件，故C正確；

對于D：在△4BC中，若cosA=*sinB=所以s加4=||,所以2>8,cosB=

貝！JcosC=cos(>1+B)=cosAcosB-sinAsinB=—,故。錯誤.

65

故選：AC.

直接利用存在性問題的應用，三角函數關系式的變換，誘導公式的應用，同角三角函數的值，和角

關系式的變換判斷4、B、C、。的結論.

本題考查的知識要點：存在性問題的應用，三角函數關系式的變換，正弦定理的應用，誘導公式的

應用，同角三角函數的值，和角關系式的變換，主要考查學生的運算能力和數學思維能力，屬于基

礎題.

12.答案：AD

解析：

求出二次函數的對稱軸，利用已知條件，說明區間是單調區間，列出不等式求解即可.

本題考查二次函數的簡單性質的應用，函數與方程的應用，考查轉化思想以及計算能力，是中檔題.

解：二次函數/(%)=x2-2(a-l)x+a圖象的對稱軸為直線x=a-1,

??,任意力,x2e[-l,2]J.Xi豐x2>都有/Qi)1/(%2)，

即/'(X)在區間上是單調函數，,a-1<一1或a-1>2,

a<0或a>3,即實數a的取值范圍為(一8,0]u[3,+co).

故選：AD.

13.答案：16000cm3

解析：解：設箱底邊長為xan,則箱高％=歲，

二箱子容積了(久)=x2h=|(60x2—x3)(0<x<60).

求導數，得，(x)=60久—1X2,

令『(無)=60%-1/=0,解得％=0(不合題意，舍去)，%=40,

???x6(0,40)時，r(x)>0；x6(40,60)時，V'(x)<0

U(x)在區間(0,40)上為增函數，區間(40,60)上為減函數

由此可得的最大值是m40)=16000.

故答案為：16000cm3.

設箱底邊長為xczn,結合題意可得容積P(x)=1(60x2-%3)(0<%<60).再用導數工具研究U(x)在

區間(0,60)上的單調性，可知當x=40時MQ)達到最大值.由此得到本題答案.

本題以一個實際問題為例，求鐵箱的容積最大值.著重考查了函數模型及其應用和利用導數研究函

數的單調性、求最值等知識，屬于中檔題.

14.答案：8V3r3

解析:解:由題意，V'(r)=S(r),

???S(r)=24V3r2,

V'(r)=246T2.

：.y(r)=8V3r3.

故答案為：8百「3.

由題意，，(r)=S(r),求出原函數，即可得出結論.

本題考查類比推理，考查學生的計算能力，比較基礎.

15.答案：(―1,—|)

解析：解：：函數/(%)=ax+2a+1,當時，/(%)的函數值有正有負，

(f(-1)=—CL+2a+1<0

1/(1)=a+2a+l>0'

P(f(—1)=—a+2a+1>0

或(心=a+2a+l<0'

■\

解得一1<a<--,

???實數Q的取值范圍是(―1,一》

故答案為：(—1,—)

函數/(%)=a%+2a+1在％G［一1,1］內是單調函數，從而/(一1)/(1)<0,由此能求出實數a的取值

范圍.

本題考查函數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用.

16.答案：a>b>c

解析：試題分析：依據對數的性質，指數的性質，分別確定a、氏c數值的大小，然后判定選項.

因為a=7T3>1?b=logn-36(0,1),

c=log3sin^<0,

所以a>b>c.

故答案為：a>b>c.

17.答案：解：(1)當。=4時，集合/={%|(%-2)(%-13)<0}={%|2<%<13},

函數y=lgx~(a2+2)=1g0的定義域為{尤［8<x<18},,-,B={x|8<x<18},

2a—x8—x

???集合AC\B={x|8<x<13}；

(2)va>2a+5>2,A=(2,2a+5)

a2+2>2a,B=(2a,a2+2)

“Xea”是“XeB”的必要條件,

B5

3

a>~2

2a>2

a2+2<2a4-5

1<a<3

實數a的取值范圍是[1,3].

解析：(1)由。=4,確定集合4,利用對數函數的定義域，確定集合B,從而可求集合4nB

(2)根據已知。>—I，確定集合4B,利用是的必要條件，可知85,從而

建立不等式，即可求得實數a的取值范圍.

本題主要考查了集合的運算，集合之間的關系，考查四種條件的運用，解決本題的關鍵是要熟練掌

握分式不等式與對數函數的定義.

18.答案：解：(/)v0<a<7T,且cosa=.

.V2

???sina=——

2

11

???/(a)=cosa(sina—cosa)--=--

(〃)函數/(無)=cosx(sinx—cosx)—

=si.nxcosx—cos2zx——1

2

1.0cos2x+l1

=-sin2x—

222

=^sin(2x——1.

271

T=——=71.

2

由—F2/CTT<2%—<----F2/CTT,解得---Fk7i<%〈ku-\----(k6Z).

24288

.??函數f。)的單調遞減區間為百+kTi,kn+?](keZ).

oo

解析：(/)由0Va<7r,且cosa=?,可得sina=j.代入/(%)即可得出.

(〃)由函數/'(X)=cosxQsinx-cosx)-1,利用倍角公式、兩角和差的正弦公式可得/'(x)=

jsin(2x—1.即可得出.

本題考查了三角函數的圖象與性質，考查了計算能力，屬于基礎題.

19.答案：解：(1)?."(%)是R上的奇函數,

/(0)=0,且x>0時，f(x)=x2-2x+2,

?設%<0,—%>0,則/(—%)=/+2%+2=—/(%),

???/(%)=—X2—2x—2,

x2—2%+2%>0

，?/(%)=0%=0;

—x2—2x—2x<0

(2)x>0時，=%2—2%+2=(%—l)2+1>1,

.??%V0時，/(%)<-1,且/(0)=0,

???/(%)的值域為{/(%)1/(%)<一1或/(%)>1或/(%)=0}.

解析：(1)根據/(%)是R上的奇函數即可得出/(0)=0,再根據當％>0時，/(%)=%2-2x+2可設》<

x2—2%+2%>0

0,從而得出/(—%)=/+2%+2=—Z7。)，從而得出/(%)=0x=0;

—X2—2%—2%<0

(2)%>0時,/(%)=%2-2%+2=(%-I)2+1>1,根據/(無)是奇函數可得出％<0時,/(%)<-1,

并且/(0)=0,這樣即可得出/(%)的值域.

考查奇函數的定義，奇函數在原點有定義時，原點處的函數值為0,求奇函數在對稱區間上解析式的

方法，以及配方求二次函數值域的方法.

20.答案：解：(I)原函數可化為y=7a?+b2sin(%+g)+c

(其中8為輔助角，滿足COS0=就京，且S譏0=五餐?，

因為(警,-1)是它的最低點，

所以

—Va2+b2+c=—1

解得9=2kn-y(fcGZ)且?a2+爐=c+1.

所以y=(c+l)sin(x-^)+c.

又％=0時，y=——＞所以c=0,b=——,a=：；

17222

(n)因為y=(c+l)sin(x一$+c,

按題給變換后得=(c+l)sin^x+c

方程/(%)=3的正根就是直線y=3與y=/(%)的圖象交點的橫坐標,

它們成等差數列，即y=3與y=f(x)相鄰交點間的距離都相等.

直線y=3滿足以上要求只能有三個位置：

一是過圖象最高點且和％軸平行的直線小

二是過圖象最低點且和%軸平行的直線白，

三是和小I平行且等距的直線，3,而圖象最低點為(￥，-1)，

O

故不可能是％.假若直線y=3在小交點間隔為一個周期6,

即正根的公差為6,不合題意，所以y=3只能在G位置，

所以c=3,/(%)=4sin^x+3,此時由sing*=0得％=3k,

正根可組成一個公差為3的等差數列，符合題意.

f(x)=4sin^x+3.

解析：(I)利用輔助角公式對函數解析式化簡整理，把最低點坐標代入求得R和a,b和c的關系，表

示出函數的解析式，把％=0代入即可求得a,b和c.

(H)依據題意可求得變換后函數的解析式，進而可知方程/(%)=3的正根就是直線y=