試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁模型1

“加線三角形”模型【問題背景】解三角形問題常常涉及“加線三角形”，如圖1，中，點在上，線段把分成和，則，從而，代入余弦定理得到邊的數量關系，此關系式可作為“加線三角形”的解題通法．若是中線，則有，平方得，如果已知的長度以及角，就能求出中線的長度．此結論一般化，就是三角形中的“爪子”定理：若，則．若是角平分線，則有，此結論揭示了角平分線分邊所成的性質，即得到邊的比值關系，解題時借助此性質可進行相關轉化和消元．圖1【解決方法】【典例1】（2024福建莆田二中9月第一次月考）在中，內角所對的邊分別為，若，且，則面積的最大值為______．【套用模型】方法一在中，由余弦定理得，即①．第一步：判斷所加線段的特征．因為，所以，點為邊的中點，是中線．第二步：挖掘特征線的相關性質．，即，【易錯】注意此處為，而不是在和中，由余弦定理可得，即，即②．第三步：轉化和消元，聯立①②消去．聯立①②消去，可得．第四步：進一步求解問題，應用基本不等式求最值．因為，當且僅當時等號成立，所以，即．所以的面積．故面積的最大值為．方法二：第一步：判斷所加線段的特征．因為，所以點是邊的中點，是中線．第二步：挖掘特征線的相關性質．所以，則，第三步：進行相關轉化和消元．又，所以，當且僅當時等號成立，【易遺漏】有意識地養成習慣，遇到基本不等式就要驗證等號能否取到，形成“肌肉記憶”所以．第四步：進一步求解問題．所以的面積．故面積的最大值為．【典例2】（2024江蘇鹽城響水中學9月測試）在中，記內角所對的邊分別為，已知，中線交于，內角平分線交于，且，則的面積為______．【套用模型】第一步：判斷三角形的特征．，即，即，移項得，即，所以．【會轉化】利用三角形特征，應用正弦定理進行角化邊第二步：挖掘特征線的相關性質．由角平分線定理可知，，所以．第三步：進行相關轉化和消元．又，所以，所以，可得．第四步：進一步求解問題．所以，所以，所以的面積．【典例3】（2024山東煙臺牟平區9月測試）已知在中，內角所對的邊分別為，已知，若平分并交于，且，則的面積為______．【套用模型】第一步：判斷所加線段的特征．在中，為的平分線，則．第二步：挖掘特征線的相關性質．，即，又，則上式即，整理得．第三步：進行相關轉化和消元．由，得，【會轉化】由余弦定理列方程，變形并替換，即可轉化為關于的方程，把看作一個整體求解又，則，而，得．第四步：進一步求解問題．所以（2024·廣東·校聯考模擬預測）1．已知在中，的平分線把三角形分成面積比為4:3的兩部分，則.（2024·廣東深圳·深圳外國語學校二模）2．已知的三個角所對的邊為.若，為邊上一點，且，則的最小值為.（2024·河南安陽·校聯考一模）3．已知是內的一點，且，，若，，的面積分別為，則的最小值為．（2024·全國·模擬預測）4．如圖，某景區有三條道路，其中長為千米，是正北方向，長為千米，是正東方向，某游客在道路上相對東偏北度的且距離為千米的位置，則.（2024·江蘇泰州·統考一模）5．如圖，是同一平面內的三條平行直線，與間的距離是1，與間的距離是2，正三角形的三頂點分別在上，則的邊長是．（2024·全國·模擬預測）6．如圖，在中，，，分別是，上一點，滿足，.若，則的面積為．（2024·鹽城中學模擬預測）7．中，，是的中點，若，則．（2024·貴州貴陽·統考一模）8．如圖，平面四邊形中，與交于點，若，，則．

（2023·福建漳州·統考二模）9．中，內角、、所對的邊分別為、、．若，，且點M滿足．（1）求角；（2）求的長．（2024·甘肅蘭州·校考一模）10．中，，點在邊上，平分．(1)若，求；(2)若，且的面積為，求．（2023·四川成都·統考一模）11．如圖，是等邊三角形，是邊上的動點(含端點)，記，.

(1)求的最大值；(2)若，，求的面積．（2023·吉林·東北師大附中?？级＃?2．的內角，，的對邊分別為，，．已知．（1）求；（2）已知，，且邊上有一點滿足，求．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案：1．【分析】根據角平分線以及面積之比可得,進而根據正弦定理得,由二倍角公式即可求解.【詳解】因為，所以，故，由面積公式可得,因為，故可得，由正弦定理得，又，即，由于,故.故答案為:2．【分析】設,則,則由可以推得,再利用面積公式可以解出,從而根據,可以推出,最后利用基本不等式即可得出結論.【詳解】設,()則,,,即,化簡得,即,故,,又,所以,即,即,,(當且僅當時取等號),故答案為:.【點睛】本題考查解三角形和基本不等式的綜合運用,難度較大.3．【詳解】試題分析：由，得，，所以，則即．所以當且僅當時，取得最小值．考點：均值不等式求最值．【方法點睛】本題應先從已知條件入手，得到適當的結論，即利用面積關系得到，，此時才能看到已知與所求的關系，然后對所求式子進行變形得求最值得關鍵，接下來易求最大值．本題的難點在于，不能直接看到條件和所求的關系，我們應相向考慮即由已知可得到什么，所求需要什么，這樣考慮一步，題目可能就有思路了，望同學們做后多思．4．【分析】方法一：利用等面積法可知，再利用同角三角函數的基本關系化簡計算可得結果.方法二：有垂直可以考慮建立坐標系：，，利用三點共線（向量公式或者斜率公式）即可.【詳解】千米,千米,三角形的面積，由面積和法得：，，兩邊平方可得：，∴，，解得：，由，解得：.法二：由題意可知,以為坐標原點，為軸建立坐標系，則有，，,因為,所以，化簡可得：兩邊平方可得：，∴，，解得：，由，解得：.故答案為：.5．【詳解】試題分析：設的邊長是，則，由得：解得考點：兩角和余弦公式應用6．【分析】過點E作EF⊥AC于F，然后結合相似三角形的性質和余弦定理求得EF的長度，最后結合面積公式求解的面積即可.【詳解】如圖所示，過點E作EF⊥AC于F.由∠A=90°，知EF//AB，由BE=4CE，得EF=AB.設EF=x，則AB=5x.又∠ADB=∠CDE=30°,得BD=10x，AD=，∠BDE=120°.由勾股定理，得.又由余弦定理，得，又，所以，則.解得：或(不合題意，舍去).故.【點睛】本題主要考查余弦定理的應用，三角形的面積公式，相似三角形的應用等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.7．【分析】利用正弦定理，求得，列出方程，整理即可求得結果.【詳解】設Rt△ABC中，角A，B，C的對邊為a，b，c.在△ABM中，由正弦定理，∴sin∠AMB＝sin∠BAM＝.又sin∠AMB＝sin∠AMC＝，∴＝，整理得(3a2－2c2)2＝0.則＝，故sin∠BAC＝＝.故答案為：.【點睛】本題考查利用正弦定理解三角形，屬基礎題.8．##【分析】由向量對應的比例關系、正弦定理，首先可列方程結合求得，進一步結合余弦定理可表示出，由此即可得解.【詳解】如圖，設，，，，則：在中，有，在中，有，兩式相除得，化簡得，又，所以，即，所以.在中，由余弦定理，解得，進一步繼續在中，由勾股定理有，所以，所以.故答案為：.9．（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理邊角互化、誘導公式化簡可求得的值，結合角的取值范圍可得出角的值；（2）利用余弦定理計算出的值，由已知條件得出，利用平面向量數量積的運算性質可求得的長．【詳解】（1），由正弦定理可得，，，可得，，，；（2），則，，則，，由余弦定理可得，整理得，，解得，.【點睛】方法點睛：在解三角形的問題中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：（1）若式子中含有正弦的齊次式，優先考慮正弦定理“角化邊”；（2）若式子中含有、、的齊次式，優先考慮正弦定理“邊化角”；（3）若式子中含有余弦的齊次式，優先考慮余弦定理“角化邊”；（4）代數式變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結合余弦定理求解；（6）同時出現兩個自由角（或三個自由角）時，要用到三角形的內角和定理.10．(1)或；(2).【分析】（1）由正弦定理及同角三角函數的關系，求出，的正余弦值，再由互補關系求出；（2）由和的面積為，分別求出和，再根據余弦定理求出的值.【詳解】（1）由正弦定理得，AB＝2AC，C＞B，又∵，∴，∵，∵AB＝2AC，∴C＞B，即大邊對大角，，又∵，∴，∵，∴或，（2）設AB＝2AC＝2t，∠CAD＝θ，∴AD＝AC＝t，∵，∴，∴，∵為三角形的內角，，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，在△ABC中，運用余弦定理可得，，∴．11．(1)(2)【分析】（1）由題意得到，利用兩角和與差公式將所求化為，從而結合的取值范圍即可得解；（2）利用三角函數的平方關系與和差公式求得，再利用正弦定理求得，從而利用三角形面積公式即可得解.【詳解】（1）由是等邊三角形，得，，，又，故當時，即時，取得最大值.（2