關于對數及對數運算

1.莊子:一尺之棰，日取其半，萬世不竭，問4天還有多少尺？取多少次還有0.03125尺？設取x次還有0.03125尺問題提出()x＝0.03125，求x=?第2頁,共83頁，2024年2月25日，星期天2.截止到1999年底，我國人口約13億.如果今后能將人口年平均增長率控制在1%，那么過幾年人口數將達到18億？

13×

(1＋1％)x＝18，求x=?即1.01x＝，求x=?設過x年人口數將達到18億第3頁,共83頁，2024年2月25日，星期天已知底數和冪的值，求指數.

3.上面的實際問題歸結為一個什么數學問題？1.01x＝，求x=?()x＝0.03125，求x=?第4頁,共83頁，2024年2月25日，星期天對數第5頁,共83頁，2024年2月25日，星期天知識探究（一）：對數的概念

思考1:24＝

2－2＝思考2:若2x＝16，則x＝

若2x＝,則x＝若4x＝8，則x＝若2x＝3，則x＝164-2第6頁,共83頁，2024年2月25日，星期天若2x＝3，則x＝

蘇格蘭數學家納皮爾在研究天文學過程中，為了簡化其中的計算而發明了對數。第7頁,共83頁，2024年2月25日，星期天滿足2x＝3的x的值，我們用log23表示，即x＝log23，并叫做“以2為底3的對數”.思考3:

若2x＝16，則x＝

若2x＝,則x＝若4x＝8，則x＝

若2x＝3，則x＝log23log216log2log48第8頁,共83頁，2024年2月25日，星期天思考5:滿足

,，

（其中e=2.71828…）的x的值可分別怎樣表示？X=log10NX=logeN第9頁,共83頁，2024年2月25日，星期天x=log1.01思考4:前面問題中，

,

中的x的值可分別怎樣表示？

（）x＝0.03125x=log

0.03125

第10頁,共83頁，2024年2月25日，星期天

恩格斯曾經把對數的發明、解析幾何的創始和微積分的建立并稱為17世紀數學三大成就。

但是首先用指數來定義對數的是瑞士數學家歐拉。第11頁,共83頁，2024年2月25日，星期天思考1:指數與對數有什么關系？知識探究（二）：對數與指數的關系

指數與對數是可以等價且相互轉化ax＝Nx＝logaN當a>0，且a≠1時第12頁,共83頁，2024年2月25日，星期天思考3:當a>0，且a≠1時，loga（-2），loga0存在嗎？為什么？由此能得到什么結論？

設loga(-2)=x,則ax=-2而當a>0，且a≠1時,恒有ax>0設loga0=x,則ax=0第13頁,共83頁，2024年2月25日，星期天aNx指數式ax＝N指數的底數冪冪指數對數式x＝logaN對數的底數真數對數思考2:在指數式ax＝N和對數式x＝logaN中，a，x，N各自的地位有什么不同？第14頁,共83頁，2024年2月25日，星期天思考4:根據對數定義，logal和logaa和logaan（a>0，a≠1）的值分別是多少？

設loga1=x,則ax=1,所以x=0,得loga1=0設logaa=x,則ax=a,所以x=1,得logaa=1設logaan=x,則ax=an,所以x=n,得logaan=n第15頁,共83頁，2024年2月25日，星期天理論遷移

例1.將下列指數式化為對數式，對數式化為指數式：

(1)54＝625

;(2)2－6＝

;(3)

()m＝5.73

;(4)＝－４;(5)lg0.01=－２;(6)ln10＝2.303.第16頁,共83頁，2024年2月25日，星期天

例2.求下列各式中ｘ的值：

(1)log64x＝;(2)logx8＝6;(3)lg100=x;(4)－lne2＝ｘ.第17頁,共83頁，2024年2月25日，星期天例3計算（1）log

81(2)log0.30.09第18頁,共83頁，2024年2月25日，星期天例4:（1）已知a>0，且a≠1時,N>0,證明

alogaN=N第19頁,共83頁，2024年2月25日，星期天練習：(1)計算2log25=_____第20頁,共83頁，2024年2月25日，星期天(2)已知log（x+3）(x2+3x)=1,求實數x的值。第21頁,共83頁，2024年2月25日，星期天(3)已知loga3=m,logan=5,則a2m+n=_____第22頁,共83頁，2024年2月25日，星期天第二課時對數的運算2.2.1對數與對數運算第23頁,共83頁，2024年2月25日，星期天問題提出1.對數源于指數，對數與指數是怎樣互化的？

2.指數與對數都是一種運算，而且它們互為逆運算，指數運算有一系列性質，那么對數運算有那些性質呢？

第24頁,共83頁，2024年2月25日，星期天對數的運算第25頁,共83頁，2024年2月25日，星期天知識探究（一）：積與商的對數思考2:將log232＝log24十log28推廣到一般情形有什么結論？思考1:求下列三個對數的值：log232，log24，log28．你能發現這三個對數之間有哪些內在聯系？思考3:如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，你能證明等式loga（M·N）＝logaM十logaN成立嗎？第26頁,共83頁，2024年2月25日，星期天思考4:將log232－log24=log28推廣到一般情形有什么結論？怎樣證明？思考5:若a＞0，且a≠1，M1，M2，…，Mn均大于0，則loga(M1M2M3…Mn）＝？第27頁,共83頁，2024年2月25日，星期天知識探究（二）:冪的對數思考1:log23與log281有什么關系？思考2:將log281=4log23推廣到一般情形有什么結論？思考3:如果a>0，且a≠1，M>0，你有什么方法證明等式logaMn＝nlogaM成立．思考4:log2x2=2log2x對任意實數x恒成立嗎？第28頁,共83頁，2024年2月25日，星期天思考6:上述關于對數運算的三個基本性質如何用文字語言描述？思考5:如果a>0，且a≠1，M>0，則等于什么？①兩數積的對數，等于各數的對數的和；②兩數商的對數，等于被除數的對數減去除數的對數；③冪的對數等于冪指數乘以底數的對數．第29頁,共83頁，2024年2月25日，星期天理論遷移例1用logax，logay，logaz表示下列 各式：

;(2).第30頁,共83頁，2024年2月25日，星期天例2求下列各式的值：

(1)log2（47×25）；

(2)lg

；(3)log318-log32

；(4).第31頁,共83頁，2024年2月25日，星期天例3計算：

第32頁,共83頁，2024年2月25日，星期天小結作業:性質①的等號左端是乘積的對數，右端是對數的和，從左往右看是—個降級運算.性質②的等號左端是商的對數，右端是對數的差，從左往右是一個降級運算，從右往左是一個升級運算.性質③從左往右仍然是降級運算．利用對數的性質①②可以使兩正數的積、商的對數轉化為兩正數的各自的對數的和、差運算，大大的方便了對數式的化簡和求值.第33頁,共83頁，2024年2月25日，星期天作業：

P68練習：1,2，3.P74習題2.2A組：3,4,5.第34頁,共83頁，2024年2月25日，星期天2.2.1對數與對數運算第三課時換底公式及對數運算的應用

第35頁,共83頁，2024年2月25日，星期天問題提出.（1）（2）（3）（1）;（2）;（3）.1.對數運算有哪三條基本性質？2.對數運算有哪三個常用結論？第36頁,共83頁，2024年2月25日，星期天

3.同底數的兩個對數可以進行加、減運算，可以進行乘、除運算嗎？

4.由得，但這只是一種表示，如何求得x的值？第37頁,共83頁，2024年2月25日，星期天換底公式及對數運算的應用第38頁,共83頁，2024年2月25日，星期天知識探究（一）：對數的換底公式

思考2:你能用lg2和lg3表示log23嗎？思考1:假設，則，從而有.進一步可得到什么結論？

第39頁,共83頁，2024年2月25日，星期天思考4:我們把（a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0）叫做對數換底公式，該公式有什么特征？思考3:一般地，如果a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0，那么與哪個對數相等？如何證明這個結論？第40頁,共83頁，2024年2月25日，星期天思考6:換底公式在對數運算中有什么意義和作用？思考5:通過查表可得任何一個正數的常用對數，利用換底公式如何求的值？第41頁,共83頁，2024年2月25日，星期天知識探究（二）：換底公式的變式

思考1:與有什么關系？

思考2:與有什么關系？

思考3:可變形為什么？第42頁,共83頁，2024年2月25日，星期天理論遷移

例1計算：

(1)

;(2)（log2125＋log425＋log85)·

（log52＋log254＋log1258）第43頁,共83頁，2024年2月25日，星期天作業：P68練習：4.P74習題2.2A組：6，11，12.第44頁,共83頁，2024年2月25日，星期天2.2.1對數與對數運算第四課時對數運算習題課第45頁,共83頁，2024年2月25日，星期天知識回顧.1.指數與對數的換算:2.對數運算的三個常用結論:第46頁,共83頁，2024年2月25日，星期天3.對數運算的三條基本性質:4.對數換底公式:第47頁,共83頁，2024年2月25日，星期天理論遷移例1求下列各式的值:2-21第48頁,共83頁，2024年2月25日，星期天例2已知，求的值.例3設，已知, 求的值.第49頁,共83頁，2024年2月25日，星期天

例420世紀30年代，里克特制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越.這就是我們常說的里氏震級M，其計算公式為M＝lgA－lgA0.其中A是被測地震的最大振幅，A0是“標準地震”的振幅（使用標準振幅是為了修正測震儀距實際震中的距離造成的偏差）.（1）假設在一次地震中，一個距離震中100千米的測震儀記錄的地震最大振幅是20，此時標準地震的振幅是0.001，計算這次地震的震級（精確到0.1）；4.3第50頁,共83頁，2024年2月25日，星期天20世紀30年代，里克特制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越.這就是我們常說的里氏震級M，其計算公式為M＝lgA－lgA0.其中A是被測地震的最大振幅，A0是“標準地震”的振幅（使用標準振幅是為了修正測震儀距實際震中的距離造成的偏差）.（2）5級地震給人的震感已比較明顯，計算7.6級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的多少倍（精確到1）.398第51頁,共83頁，2024年2月25日，星期天

例5生物機體內碳14的“半衰期”為5730年，湖南長沙馬王堆漢墓女尸出土時碳14的殘余量約占原始含量的76.7％，試推算馬王堆古墓的年代.2193思考題:設函數已知且對一切恒成立，求的最小值.第52頁,共83頁，2024年2月25日，星期天2.2.2對數函數及其性質第一課時對數函數的概念與圖象

第53頁,共83頁，2024年2月25日，星期天問題提出1.用清水漂洗含1個單位質量污垢的衣服，若每次能洗去污垢的四分之三，試寫出漂洗次數y與殘留污垢x的關系式.

2.（x>0）是函數嗎？若是，這是什么類型的函數？第54頁,共83頁，2024年2月25日，星期天對數函數的概念與圖象第55頁,共83頁，2024年2月25日，星期天知識探究（一）：對數函數的概念

思考1:在上面的問題中，若要使殘留的污垢為原來的，則要漂洗幾次？

思考2:在關系式中，取對應的y的值存在嗎？怎樣計算？

思考3:函數稱為對數函數，一般地，什么叫對數函數？

第56頁,共83頁，2024年2月25日，星期天思考4:為什么在對數函數中要求a＞0，且a≠l？

思考5:對數函數的定義域、值域分別是什么？思考6:函數與相同嗎？為什么？

第57頁,共83頁，2024年2月25日，星期天思考1:研究對數函數的基本特性應先研究其圖象.你有什么方法作對數函數的圖象？知識探究（二）：對數函數的圖象

思考2:設點P(m，n)為對數函數圖象上任意一點，則，從而有.由此可知點Q（n，m）在哪個函數的圖象上？第58頁,共83頁，2024年2月25日，星期天思考3:點P(m，n)與點Q(n，m)有怎樣的位置關系？由此說明對數函數的圖象與指數函數的圖象有怎樣的位置關系？PQxyo第59頁,共83頁，2024年2月25日，星期天思考4:一般地，對數函數的圖象可分為幾類？其大致形狀如何？yx011xy011思考5:函數與的圖象分別如何？

a>10<a<1第60頁,共83頁，2024年2月25日，星期天理論遷移

例1求下列函數的定義域：

(1)y＝log0.5|x+1|

;(2)y＝log2(4－x)

;(3).

例2已知函數,求函數f(x)的定義域，并確定其奇偶性.第61頁,共83頁，2024年2月25日，星期天作業：P73練習：2P74習題2.2A組：9，10.第62頁,共83頁，2024年2月25日，星期天第二課時對數函數的性質

2.2.2對數函數及其性質第63頁,共83頁，2024年2月25日，星期天問題提出1.什么是對數函數？其大致圖象如何？2.由對數函數的圖象可得到哪些基本性質？

對數函數的性質第64頁,共83頁，2024年2月25日，星期天知識探究（一）：函數的性質思考2:由此可知函數的定義域、值域分別是什么？

思考3:函數圖象的升降情況如何？由此說明什么性質？

思考1:函數圖象分布在哪些象限？與y軸的相對位置關系如何？

xy011第65頁,共83頁，2024年2月25日，星期天思考5:若，則函數與的圖象的相對位置關系如何？yx01思考4:圖象在x軸上、下兩側的分布情況如何？由此說明函數值有那些變化？xy011第66頁,共83頁，2024年2月25日，星期天知識探究（二）:函數的性質

思考2:若，則函數與的圖象的相對位置關系如何？xy01思考1:函數的定義域、值域、單調性、函數值分布分別如何？xy01第67頁,共83頁，2024年2月25日，星期天思考3:對數函數具有奇偶性嗎？思考4:對數函數存在最大值和最小值嗎？思考5:設，若，則m與n的大小關系如何？若，則m與n的大小關系如何？第68頁,共83頁，2024年2月25日，星期天例1比較下列各組數中的兩個值的大小：（1）log23.4，log28.5；（2）log0.31.8，log0.32.7；（3）loga5.1，loga5.9（a>0,a≠1);（4）log75，log67.理論遷移第69頁,共83頁，2024年2月25日，星期天

例2求下列函數的定義域、值域：

(1)y＝；

(2)y＝log2(x2＋2x＋5).第70頁,共83頁，2024年2月25日，星期天例3溶液酸堿度的測量:

溶液酸堿度是通過pH刻畫的.pH的計算公式為pH＝－lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾／升.（1）根據對數函數性質及上述pH的計算公式，說明溶液酸堿度與溶液中氫離子的濃度之間的變化關系；（2）已知純凈水中氫離子的濃度為[H+＝10－7摩爾／升，計算純凈水的pH.第71頁,共83頁，2024年2月25日，星期天作業：

P73

練習：3P74

習題2.2B組：1，2，3.第72頁,共83頁，2024年2月25日，星期天第三課時指、對數函數與反函數

2.2.2對數函數及其性質第73頁,共83頁，2024年2月25日，星期天問題提出

設a＞0，且a≠1為常數，.若以t為自變量可得指數函數y＝ax，若以s為自變量可得對數函數y＝logax.這兩個函數之間的關系如何進一步進行數學解釋？第74頁,共83頁，2024年2月25日，星期天指、對數函數與反函數第75頁,共83頁，2024年2月25日，星期天知識探究（一）：反函數的概念

思考1:設某物體以3m/s的速度作勻速直線運動，分別以位移s和時間t為自變量，可以得到哪兩個函數？這兩個函數相同嗎？

思考2:設，分別x、y為自變量可以得到哪兩個函數？這兩個函數相同嗎？

思考3:我們把具有上述特征的兩個函數互稱為