2023-2024學年八年級數學上冊舉一反三系列第6章一次函數章末題型過關卷【蘇科版】考試時間：60分鐘；滿分：100分姓名：___________班級：___________考號：___________考卷信息：本卷試題共23題，單選10題，填空6題，解答7題，滿分100分，限時60分鐘，本卷題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學生掌握本章內容的具體情況！一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（2022?無錫）函數y＝中自變量x的取值范圍是（）A．x≠﹣4 B．x≠4 C．x≤﹣4 D．x≤42．（2022秋?太原月考）下列四個點中，恰好與點（﹣2，4）在同一個正比例函數圖象上的是（）A．（4，﹣2） B．（2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（2，4）3．（2022春?崇川區校級期中）在下列各圖象中，y是x的函數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（2022春?黃陂區期末）若點A（x1，﹣3），B（x2，﹣2），C（x3，1）在一次函數y＝3x﹣b的圖象上，則x1，x2，x3的大小關系是（）A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3 C．x3＜x2＜x1 D．x1＜x3＜x25．（2022?蓮湖區模擬）在平面直角坐標系中，若將一次函數y＝﹣2x+6的圖象向下平移n（n＞0）個單位長度后恰好經過點（﹣1，﹣2），則n的值為（）A．10 B．8 C．5 D．36．（2022春?織金縣期末）將直線y＝2x+1向右平移2個單位．再向上平移2個單位后，得到直線y＝kx+b．則下列關于直線y＝kx+b的說法正確的是（）A．與x軸交于（2，0） B．與y軸交于（0，﹣1） C．y隨x的增大而減小 D．經過第一、二、四象限7．（2022?金牛區校級自主招生）已知y是x的一次函數，下表中列出了部分對應值，則m等于（）x﹣101y1m﹣5A．﹣1 B．0 C．﹣2 D．8．（2022?雁塔區校級模擬）若點A（﹣2，a），B（b，）在同一個正比例函數圖象上，則的值是（）A． B．﹣3 C．3 D．﹣9．（2022?益陽模擬）兩條直線y1＝ax﹣b與y2＝bx﹣a在同一坐標系中的圖象可能是圖中的（）A． B． C． D．10．（2022春?南樂縣期末）如圖①，在矩形ABCD中，動點P從A出發，以恒定的速度，沿A→B→C→D→A方向運動到點A處停止．設點P運動的路程為x．△PAB面積為y，若y與x的函數圖象如圖②所示，則矩形ABCD的面積為（）A．36 B．54 C．72 D．81二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（2022秋?瑤海區校級月考）函數y＝﹣2x+6，當函數值y＝4時，自變量x的值是．12．（2022春?碑林區校級期末）請寫出一個一次函數滿足以下條件：（1）y隨x的減小而減小；（2）圖象與x軸交在負半軸上．13．（2022春?碑林區校級期末）已知：一次函數y＝（a+1）x﹣（a﹣2）中，該函數的圖象不過第四象限，則a的范圍是．14．（2022?茂名）如圖，三個正比例函數的圖象分別對應表達式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，將a，b，c從小到大排列并用“＜”連接為．15.（2022春?碑林區校級期末）如圖，點A的坐標為（0，6），將△OAB沿x軸向右平移得到△O'A'B'，若點A的對應點A'落在直線y＝2x﹣1上，則點B與其對應點間的距離為．16.（2022春?浦東新區期中）某市出租車白天的收費起步價為14元，即路程不超過3公里時收費14元，超過部分每公里收費2.4元．如果乘客白天乘坐出租車的路程x（x＞3）公里，乘車費為y元，那么y與x之間的關系式為．三、解答題（本答題共兩小題，每題8分，滿分16分）17．（2022春?碑林區校級期末）已知直線m與直線y＝2x+1平行，且經過（1，4）．（1）求直線m的解析式．（2）求直線m與x軸的交點．18．（2022春?碑林區校級期末）已知y﹣2與x+3成正比例，且x＝﹣4時，y＝0．（1）求y與x之間的函數關系式；（2）點P1（2m﹣2，2m+1）在（1）中所得函數的圖象上，求m的值．19．（2022?澄海區校級一模）某汽車客運公司規定旅客可以隨身攜帶一定重量的行李，如果超過規定的重量，則需要購買行李票，行李票費用y（元）與行李重量x（千克）之間函數關系的圖象如圖所示．（1）求y與x之間的函數關系．（2）旅客最多可以免費攜帶多少千克的行李？20．（2022?常德）某生態體驗園推出了甲、乙兩種消費卡，設入園次數為x時所需費用為y元，選擇這兩種卡消費時，y與x的函數關系如圖所示，解答下列問題（1）分別求出選擇這兩種卡消費時，y關于x的函數表達式；（2）請根據入園次數確定選擇哪種卡消費比較合算．21．（2022?重慶）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x+3過點A（5，m）且與y軸交于點B，把點A向左平移2個單位，再向上平移4個單位，得到點C．過點C且與y＝2x平行的直線交y軸于點D．（1）求直線CD的解析式；（2）直線AB與CD交于點E，將直線CD沿EB方向平移，平移到經過點B的位置結束，求直線CD在平移過程中與x軸交點的橫坐標的取值范圍．22．（2022?佳木斯二模）預防新型冠狀病毒期間，某種消毒液甲城需要7噸，乙城需要8噸，正好A地儲備有10噸，B地儲備有5噸，市預防新型冠狀病毒領導小組決定將A、B兩地儲備的這15噸消毒液全部調往甲城和乙城，消毒液的運費價格如下表（單位：元/噸），設從A地調運x噸消毒液給甲城．終點起點甲城乙城A地100120B地11095（1）根據題意，應從B地調運（7﹣x）噸消毒液給甲城，從B地調運（x﹣2）噸消毒液給乙城；（結果請用含x的代數式表示）（2）求調運這15噸消毒液的總運費y關于x的函數關系式，并直接寫出x的取值范圍；（3）求出總運費最低的調運方案，并算出最低運費．23．（2022?泰州一模）一列快車從甲地勻速駛往乙地，一列慢車從乙地勻速駛往甲地．設先發車輛行駛的時間為xh，兩車之間的距離為ykm，圖中的折線表示y與x之間的函數關系．根據圖象解決以下問題：（1）慢車的速度為80km/h，快車的速度為120km/h；（2）解釋圖中點D的實際意義并求出點D的坐標；（3）求當x為多少時，兩車之間的距離為300km．第6章一次函數章末題型過關卷【蘇科版】參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）1．（2022?無錫）函數y＝中自變量x的取值范圍是（）A．x≠﹣4 B．x≠4 C．x≤﹣4 D．x≤4【分析】根據分母不等于0列式計算即可得解．【解答】解：由題意得，4﹣x≠0，解得x≠4．故選：B．2．（2022秋?太原月考）下列四個點中，恰好與點（﹣2，4）在同一個正比例函數圖象上的是（）A．（4，﹣2） B．（2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（2，4）【分析】設正比例函數的解析式為：y＝kx，把（﹣2，4）代入得到關于k的一元一次方程，解之，即可得到正比例函數的解析式，依次把各個選項的橫坐標代入求得的解析式中，求縱坐標，即可得到答案．【解答】解：設正比例函數的解析式為：y＝kx，把（﹣2，4）代入得：4＝﹣2k，解得：k＝﹣2，即正比例函數的解析式為：y＝﹣2x，A．把x＝4代入y＝﹣2x得：y＝﹣8，即A項錯誤，B．把x＝2代入y＝﹣2x得：y＝﹣4，即B項正確，C．把x＝﹣4代入y＝﹣2x得：y＝8，即C項錯誤，D．把x＝2代入y＝﹣2x得：y＝﹣4，即D項錯誤，故選：B．3．（2022春?崇川區校級期中）在下列各圖象中，y是x的函數有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】利用函數定義進行解答即可．【解答】解：第一個、第二個、第三個圖象y都是x的函數，第四個不是，共3個，故選：C．4．（2022春?黃陂區期末）若點A（x1，﹣3），B（x2，﹣2），C（x3，1）在一次函數y＝3x﹣b的圖象上，則x1，x2，x3的大小關系是（）A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3 C．x3＜x2＜x1 D．x1＜x3＜x2【分析】根據k＝3＞0時，y隨x的增大而增大，從而可知x1、x2、x3的大小．【解答】解：∵一次函數y＝3x﹣b中，k＝3＞0，∴y隨x的增大而增大；∵點A（x1，﹣3），B（x2，﹣2），C（x3，1），∴x1＜x2＜x3；故選：A．5．（2022?蓮湖區模擬）在平面直角坐標系中，若將一次函數y＝﹣2x+6的圖象向下平移n（n＞0）個單位長度后恰好經過點（﹣1，﹣2），則n的值為（）A．10 B．8 C．5 D．3【分析】根據一次函數y＝﹣2x+6的圖象向下平移k不變，可設平移后的函數解析式為：y＝﹣2x+6﹣n，把點（﹣1，﹣2）代入即可求得n．【解答】解：∵若將一次函數y＝﹣2x+6的圖象向下平移n（n＞0）個單位長度，∴平移后的函數解析式為：y＝﹣2x+6﹣n，∵函數解y＝﹣2x+6﹣n的圖象經過點（﹣1，﹣2），∴﹣2＝﹣2×（﹣1）+6﹣n，解得：n＝10，故選：A．6．（2022春?織金縣期末）將直線y＝2x+1向右平移2個單位．再向上平移2個單位后，得到直線y＝kx+b．則下列關于直線y＝kx+b的說法正確的是（）A．與x軸交于（2，0） B．與y軸交于（0，﹣1） C．y隨x的增大而減小 D．經過第一、二、四象限【分析】利用一次函數圖象的平移規律，左加右減，上加下減，得出即可．【解答】解：將直線y＝2x+1向右平移2個單位．再向上平移2個單位后得到直線y＝2x﹣1，A、直線y＝2x﹣1與x軸交于（2，0），錯誤；B、直線y＝2x﹣1與y軸交于（0，﹣1），正確；C、直線y＝2x﹣1，y隨x的增大而增大，錯誤；D、直線y＝2x﹣1經過第一、三、四象限，錯誤；故選：B．7．（2022?金牛區校級自主招生）已知y是x的一次函數，下表中列出了部分對應值，則m等于（）x﹣101y1m﹣5A．﹣1 B．0 C．﹣2 D．【分析】設一次函數解析式為y＝kx+b，找出兩對x與y的值代入計算求出k與b的值，即可確定出m的值．【解答】解：設一次函數解析式為y＝kx+b，將x＝﹣1，y＝1；x＝1，y＝﹣5代入得：，解得：k＝﹣3，b＝﹣2，∴一次函數解析式為y＝﹣3x﹣2，令x＝0，得到y＝2，則m＝﹣2，故選：C．8．（2022?雁塔區校級模擬）若點A（﹣2，a），B（b，）在同一個正比例函數圖象上，則的值是（）A． B．﹣3 C．3 D．﹣【分析】設正比例函數解析式為y＝kx，將A，B兩點代入可計算ab的值，再將原式化簡后代入即可求解．【解答】解：設正比例函數解析式為y＝kx，∵點A（﹣2，a），B（b，）都在該函數圖象上，∴a＝﹣2k，bk＝，即k＝a，∴，∴ab＝﹣3，∴原式＝＝，故選：A．9．（2022?益陽模擬）兩條直線y1＝ax﹣b與y2＝bx﹣a在同一坐標系中的圖象可能是圖中的（）A． B． C． D．【分析】利用一次函數的圖象性質依次判斷可求解．【解答】解：A：直線y1過第一、二、三象限，則a＞0，b＜0，直線y2過第一、二、四象限，則b＜0，a＜0，前后矛盾，故A選項錯誤；B：直線y1過第一、二、三象限，則a＞0，b＜0，直線y2過第二、三、四象限，則b＜0，a＞0，故B選項正確；C：直線y1過第一、三、四象限，則a＞0，b＞0，直線y2過第一、二、四象限，則b＜0，a＜0，前后矛盾，故C選項錯誤；D：直線y1過第一、三、四象限，則a＞0，b＞0，直線y2過第二、三、四象限，則b＜0，a＞0，前后矛盾，故D選項錯誤；故選：B．10．（2022春?南樂縣期末）如圖①，在矩形ABCD中，動點P從A出發，以恒定的速度，沿A→B→C→D→A方向運動到點A處停止．設點P運動的路程為x．△PAB面積為y，若y與x的函數圖象如圖②所示，則矩形ABCD的面積為（）A．36 B．54 C．72 D．81【分析】由題意及圖形②可知當點P運動到點B時，△PAB面積為y，從而可知矩形的寬；由圖形②從6到18這段，可知點P是從點B運動到點C，從而可知矩形的長，再按照矩形的面積公式計算即可．【解答】解：由題意及圖②可知：AB＝6，BC＝18﹣6＝12，∴矩形ABCD的面積為6×12＝72．故選：C．二．填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）11．（2022秋?瑤海區校級月考）函數y＝﹣2x+6，當函數值y＝4時，自變量x的值是1．【分析】代入y＝4求出與之對應的x值．【解答】解：當y＝4時，﹣2x+6＝4，解得：x＝1．故答案為：1．12．（2022春?碑林區校級期末）請寫出一個一次函數y＝x+1滿足以下條件：（1）y隨x的減小而減小；（2）圖象與x軸交在負半軸上．【分析】根據題意可以寫出一個符合要求的函數解析式，注意本題答案不唯一．【解答】解：y＝x+1滿足條件y隨x的減小而減小，圖象與x軸交在負半軸上，故答案為：y＝x+1．13．（2022春?碑林區校級期末）已知：一次函數y＝（a+1）x﹣（a﹣2）中，該函數的圖象不過第四象限，則a的范圍是﹣1＜a≤2．【分析】根據一次函數y＝（a+1）x﹣（a﹣2）不過第四象限可得出關于a的不等式組，解不等式組即可．【解答】解：∵一次函數y＝（a+1）x﹣（a﹣2）的圖象不過第四象限，∴，解得﹣1＜a≤2．故答案為﹣1＜a≤2．14．（2022?茂名）如圖，三個正比例函數的圖象分別對應表達式：①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，將a，b，c從小到大排列并用“＜”連接為．【分析】根據直線所過象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根據直線陡的情況可判斷出b＞c，進而得到答案．【解答】解：根據三個函數圖象所在象限可得a＜0，b＞0，c＞0，再根據直線越陡，|k|越大，則b＞c．則b＞c＞a，故答案為：a＜c＜b．15.（2022春?碑林區校級期末）如圖，點A的坐標為（0，6），將△OAB沿x軸向右平移得到△O'A'B'，若點A的對應點A'落在直線y＝2x﹣1上，則點B與其對應點間的距離為．【分析】將y＝6代入一次函數解析式求出x值，由此即可得出點A'的坐標為（72，6），進而可得出△OAB沿x軸向右平移72個單位得到△O'A'B'，根據平移的性質即可得出點【解答】解：當y＝2x﹣1＝6時，x=7∴點A'的坐標為（72∴△OAB沿x軸向右平移72個單位得到△O'A'B∴點B與其對應點間的距離為72故答案為：7216.（2022春?浦東新區期中）某市出租車白天的收費起步價為14元，即路程不超過3公里時收費14元，超過部分每公里收費2.4元．如果乘客白天乘坐出租車的路程x（x＞3）公里，乘車費為y元，那么y與x之間的關系式為y＝2.4x+6.8．【分析】根據乘車費用＝起步價+超過3千米的付費得出．【解答】解：依題意有：y＝14+2.4（x﹣3）＝2.4x+6.8．故答案為：y＝2.4x+6.8．三．解答題（共7小題，滿分52分）17．（2022春?碑林區校級期末）已知直線m與直線y＝2x+1平行，且經過（1，4）．（1）求直線m的解析式．（2）求直線m與x軸的交點．【分析】（1）設直線m為y＝kx+b，根據直線m與直線y＝2x+1平行，可得k＝2，把（1，4）代入即可求出函數解析式；（2）令y＝0，即可得到2x+2＝0，求得x＝﹣1，即可求得直線m與x軸的交點（﹣1，0）．【解答】解：（1）設直線m為y＝kx+b，∵直線m與直線y＝2x+1平行，∴k＝2，把（1，4）代入y＝2x+b得：b＝2，∴直線m的解析式為：y＝2x+2；（2）在直線m：y＝2x+2中，令y＝0，則2x+2＝0，解得x＝﹣1，∴直線m與x軸的交點為（﹣1，0）．18．（2022春?碑林區校級期末）已知y﹣2與x+3成正比例，且x＝﹣4時，y＝0．（1）求y與x之間的函數關系式；（2）點P1（2m﹣2，2m+1）在（1）中所得函數的圖象上，求m的值．【分析】（1）根據題意，設出函數關系式，把x＝﹣4，y＝0代入求出待定系數，確定函數關系式；（2）把點P1（2m﹣2，2m+1）代入（1）求得的解析式，得到關于m的方程，解方程即可．【解答】解：（1）設y﹣2＝k（x+3）（k≠0），把x＝﹣4，y＝0代入得，0﹣2＝k（﹣4+3），解得，k＝2，∴y﹣2＝2（x+3），即：y＝2x+8，（2）∵點P1（2m﹣2，2m+1）在y＝2x+8的圖象上，∴2m+1＝2（2m﹣2）+8，∴m＝﹣，19．（2022?澄海區校級一模）某汽車客運公司規定旅客可以隨身攜帶一定重量的行李，如果超過規定的重量，則需要購買行李票，行李票費用y（元）與行李重量x（千克）之間函數關系的圖象如圖所示．（1）求y與x之間的函數關系．（2）旅客最多可以免費攜帶多少千克的行李？【分析】（1）由圖，已知兩點，可根據待定系數法列方程，求函數關系式；（2）旅客可免費攜帶行李，即y＝0，代入由（1）求得的函數關系式，即可知質量為多少．【解答】解：（1）設一次函數y＝kx+b，∵當x＝60時，y＝6，當x＝90時，y＝10，∴解之，得，∴所求函數關系式為y＝x﹣2（x＞15）；（2）當y＝0時，x﹣2＝0，所以x＝15，故旅客最多可免費攜帶15kg行李．20．（2022?常德）某生態體驗園推出了甲、乙兩種消費卡，設入園次數為x時所需費用為y元，選擇這兩種卡消費時，y與x的函數關系如圖所示，解答下列問題（1）分別求出選擇這兩種卡消費時，y關于x的函數表達式；（2）請根據入園次數確定選擇哪種卡消費比較合算．【分析】（1）運用待定系數法，即可求出y與x之間的函數表達式；（2）解方程或不等式即可解決問題，分三種情形回答即可．【解答】解：（1）設y甲＝k1x，根據題意得5k1＝100，解得k1＝20，∴y甲＝20x；設y乙＝k2x+100，根據題意得：20k2+100＝300，解得k2＝10，∴y乙＝10x+100；（2）①y甲＜y乙，即20x＜10x+100，解得x＜10，當入園次數小于10次時，選擇甲消費卡比較合算；②y甲＝y乙，即20x＝10x+100，解得x＝10，當入園次數等于10次時，選擇兩種消費卡費用一樣；③y甲＞y乙，即20x＞10x+100，解得x＞10，當入園次數大于10次時，選擇乙消費卡比較合算．21．（2022?重慶）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x+3過點A（5，m）且與y軸交于點B，把點A向左平移2個單位，再向上平移4個單位，得到點C．過點C且與y＝2x平行的直線交y軸于點D．（1）求直線CD的解析式；（2）直線AB與CD交于點E，將直線CD沿EB方向平移，平移到經過點B的位置結束，求直線CD在平移過程中與x軸交點的橫坐標的取值范圍．【分析】（1）先把A（5，m）代入y＝﹣x+3得A（5，﹣2），再利用點的平移規律得到C（3，2），接著利用兩直線平移的問題設CD的解析式為y＝2x+b，然后把C點坐標代入求出b即可得到直線CD的解析式；（2）先確定B（0，3），再求出直線CD與x軸的交點坐標為（2，0）；易得CD平移到經過點B時的直線解析式為y＝2x+3，然后求出直線y＝2x+3與x軸的交點坐標，從而可得到直線CD在平移過程中與x軸交點的橫坐標的取值范圍．【解答】解：（1）把A（5，m）代入y＝﹣x+3得m＝﹣5+3＝﹣2，則A（5，﹣2），∵點A向左平移2個單位，再向上平移4個單位，得到點C，∴C（3，2），∵過點C且與y＝2x平行的直線交y軸于點D，∴CD的解析式可設為y＝2x+b，把C（3，2）代入得6+b＝2，解得b＝﹣4，∴直線CD的解析式為y＝2x﹣4；（2）當x＝0時，y＝﹣x+3＝3，則B（0，3），當y＝0時，2x﹣4＝0，解得x＝2，則直線CD與x軸的交點坐標為（2，0）；易得CD平移到經過點B時的直線解析式為y＝2x+3，當y＝0時，2x+3＝0，解得x＝﹣，則直線y＝2x+3與x軸的交點坐標為（﹣，0），∴直線CD在平移過程中與x軸交點的橫坐標的取值范圍為﹣≤x≤2．22．（2022?佳木斯二模）預防新型冠狀病毒期間，某種消毒液甲城需要7噸，乙城需要8噸，正好A地儲備有10噸，B地儲備有5噸，市預防新型冠狀病毒領導小組決定將A、B兩地儲備的這15噸消毒液全部調往甲城和乙城，消毒液的運費價格如下表（單位：元/噸），設從A地調運x噸消毒液給甲城．終點起點甲城乙城A地100120B地11095（1）根據題意，應從B地調運（7﹣x）噸消毒液給甲城，從B地調運（x﹣2）噸消毒液給乙城；（結果請用含x的代數式表示）（2）求調運這15噸消毒液的總運費y關于x的函數關系式，并直接寫出x的取值范圍；（3）求出總運費最低的調運方案，并算出最低運費．【分析】（1）根據題意和表格中的數據，可以解答本題；（2）根據題意，可以得到y與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；（3）根據題意，可以得到x的取值范圍，再根據一次函數的性質，即可得到總運費最低的調運方案，然后計算出最低運費．【解答】解：（1）由題意可得，從A地調運x噸消毒液給甲城，則調運（10﹣x）噸消毒液給乙城，從B地調運（7﹣x）噸消毒液給甲城，調運8﹣（10﹣x）＝（x﹣2）噸消毒液給乙城，故答案為：（7﹣x），（x﹣2）；（2）由題意可得，y＝100x+120（10﹣x）+110（7﹣x）+95（x﹣2）＝﹣35x+1780，∵，∴2≤x≤7，即總運費y關于x的函數關系式是y＝﹣35x+1780（2≤x≤7）；（3）∵y＝﹣35x+1780，∴y隨x的增大而減小，∵2≤x≤7，∴當x＝7時，y取得最小值，此時y＝1535，即從A地調運7噸消毒液給甲城時，總運費最低，運費最低為1535元．23．（2022?泰州一模）一列快車從甲地勻速駛往乙地，一列慢車從乙地勻速駛往甲地．設先發車輛行駛的時間為xh，兩車之間的距離為ykm，圖中的折線表示y與x之間的函數關系．根據圖象解決以下問題：（1）慢車的速度為80km/h，快車的速度為120km/h；（2）解釋圖中點D的實際意義并求出點D的坐標；（3）求當x為多少時，兩車之間的距離為300km．【分析】（1）先利用前0.5小時的路程除以時間求出一輛車的速度，再利用相遇問題根據2.7小時列式求解即可得到另一輛車的速度，從而得解；（2）點D為快車到達乙地，然后求出快車行駛完全程的時間從而求出點D的橫坐標，再求出相遇后兩輛車行駛的路程得到點D的縱坐標，從而得解；（3）分相遇前相距300km和相遇后相遇300km兩種情況列出方程求解即可．【解答】解：（1）（480﹣440）÷0.5＝80km/h，440÷（2.7﹣0.5）﹣80＝120km/h，所以，慢車速度為80km/h，快車速度為120km/h；故答案為：80；120．（2）快車到達乙地（出發了4小時快車慢車相距360KM時甲車到達乙地）；∵快車走完全程所需時間為480÷120＝4（h），∴點D的橫坐標為4.5，縱坐標為（80+120）×（4.5﹣2.7）＝360，即點D（4.5，360）；（3）由題意，可知兩車行駛的過程中有2次兩車之間的距離為300km．即相遇前：（80+120）×（x﹣0.5）＝440﹣300，解得x＝1.2（h），相遇后：（80+120）×（x﹣2.7）＝300，解得x＝4.2（h），故x＝1.2h或4.2h，兩車之間的距離為300km．專題7.1全等三角形十六大必考點【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【考點1全等圖形的識別】 1【考點2全等三角形性質的運用】 2【考點3一次證明全等】 3【考點4兩次證明全等】 4【考點5利用全等圖形求網格中的角度和】 6【考點6將已知圖形分割成幾個全等的圖形】 7【考點7添加條件使三角形全等】 8【考點8靈活選用判定方法證明全等】 9【考點9尺規作圖與全等的綜合運用】 10【考點10證明全等的常見輔助線的作法】 11【考點11證一條線段等于兩條線段的和（差）】 13【考點12全等中的倍長中線模型】 15【考點13全等中的旋轉模型】 17【考點14全等中的垂線模型】 18【考點15全等中的其他模型】 20【考點16全等三角形的動點問題】 21【考點1全等圖形的識別】【例1】（2022·全國·八年級單元測試）下列圖形：①兩個正方形；②底邊相等的兩個等腰三角形；③每邊都是2cm的兩個三角形；④半徑都是1.5cm的兩個圓．其中是一對全等圖形的有（

）A．1個 B．2個C．3個 D．4個【變式1-1】（2022·陜西·西安市東元中學七年級階段練習）下列四組圖形中，是全等圖形的一組是（）A． B． C． D．【變式1-2】（2022·全國·八年級專題練習）如圖，有四張小畫片，畫的都是用七巧板拼成的人物圖形，與另外三張與眾不同的是（

）A． B． C． D．【變式1-3】（2022·全國·八年級單元測試）下列個圖形中，是全等圖形的是（

）A．a，b，c，d B．a與b C．b，c，d D．a與c【考點2全等三角形性質的運用】【例2】（2022·山東·嶧城區吳林街道中學七年級階段練習）如圖，△ABC≌△AEF，則對于結論：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC，其中正確結論的個數是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式2-1】（2022·廣東湛江·八年級期中）如圖，△ABC≌△ADE，BC的延長線交DA于點F，交DE于點G，∠DGB＝66°，∠E＝105°，∠DAC＝16°，則∠B的度數為（）A．24° B．25° C．30° D．35°【變式2-2】（2022·廣東·深圳市寶安中學（集團）實驗學校七年級期中）如圖所示，已知△ABE≌△DCF，且B，F，E，C在同一條直線上．(1)求證：AB∥(2)若BC=10，EF=7，求BE的長度．【變式2-3】（2022·全國·八年級課時練習）如圖，D、A、E三點在同一條直線上，BD⊥DE于點D，CE⊥DE于點E，且△ABD≌△CAE，AC=4．(1)求∠BAC的度數；(2)求△ABC的面積．【考點3一次證明全等】【例3】（2022·廣東·儒林中學八年級階段練習）如圖，點B、C、E、F在同一直線上，點A、D在BC的異側，AB=CD,BF=CE,∠B=∠C．若∠A+∠D=144°，求∠D的度數．【變式3-1】（2022·重慶市第十一中學校七年級階段練習）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延長AB至點D，連接CD，以CD為直角邊作等腰直角三角形△CDE，∠DCE=90°，連接BE．試說明：(1)AD=BE；(2)BE⊥AD．【變式3-2】（2022·江蘇省興化市大垛中心校七年級期末）如圖，AC⊥BC，DC⊥EC，AC=BC，DC=EC．(1)求證：△BCD≌△ACE．(2)圖中AE、BD有怎樣的關系？試證明你的結論．【變式3-3】（2022·山東·新泰市羊流鎮初級中學七年級階段練習）如圖，已知點D、E是△ABC內兩點，且∠BAE＝∠CAD，∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，AD＝AE．(1)求證：△ABD≌△ACE；(2)延長BD、CE交于點F，若∠BAC＝86°，∠ABD＝20°，求∠BFC的度數．【考點4兩次證明全等】【例4】（2022·江蘇南京·八年級階段練習）如圖，AC、BD相交于點O，AB=AD，BC=CD．求證：AC⊥BD．【變式4-1】（2022·廣東·佛山市順德養正學校七年級階段練習）如圖，△ABC中，D是BC的中點，過點D的直線GF交AC于F，交AC的平行線BG于G點，DE⊥GF，交AB于點E，連接EG，EF．(1)說明：BG=CF；(2)若∠CFD=100°，∠EFD=35°，求∠BGE的度數．【變式4-2】（2022·全國·八年級專題練習）如圖，AD是△ABC的高，AD＝BD＝4，E是AD上一點，BE＝AC＝5，S△ABC＝14，BE的延長線交AC于點F．(1)求證：△BDE≌△ADC；(2)求證：BE⊥AC；(3)求EF與AE的長．【變式4-3】（2022·四川·西川中學南區七年級期中）如圖，在等腰△ABC中，BA=BC，∠ABC=100°，AB平分∠WAC．在線段AC上有一動點D，連接BD，E為直線AW上異于A的一點，連接BE、DE．(1)如圖1，當點E在射線AW上時，若DE+AE=DC，直接寫出：∠EBD=______；(2)如圖2，當點E在射線AW的反向延長線上時，①若（1）中的結論仍成立，則DE、AE、DC應滿足怎樣的數量關系，請證明；②若S四邊形ABDE-S△BCD=6，且【考點5利用全等圖形求網格中的角度和】【例5】（2022·山東·禹城市督楊實驗學校八年級階段練習）如圖為6個邊長相等的正方形的組合圖形，則∠1+∠7-∠2=（

）A．30° B．45° C．60° D．135°【變式5-1】（2022·江蘇省灌云高級中學城西分校八年級階段練習）如圖，由4個相同的小正方形組成的格點圖中，∠1+∠2+∠3=________度．【變式5-2】（2022·江蘇·八年級單元測試）如圖所示的網格是正方形網格，圖形的各個頂點均為格點，則∠P＋∠Q＝__________度．【變式5-3】（2022·山東·濟南市槐蔭區教育教學研究中心二模）如圖，在4×4的正方形網格中，求α+β=______度．【考點6將已知圖形分割成幾個全等的圖形】【例6】（2022·全國·八年級專題練習）沿著圖中的虛線，請將如圖的圖形分割成四個全等的圖形．【變式6-1】（2022·江蘇·八年級專題練習）方格紙上有2個圖形，你能沿著格線把每一個圖形都分成完全相同的兩個部分嗎？請畫出分割線．【變式6-2】（2022·江蘇·八年級課時練習）試在下列兩個圖中，沿正方形的網格線（虛線）把這兩個圖形分別分割成兩個全等的圖形，將其中一部分涂上陰影．【變式6-3】（2022·全國·八年級專題練習）知識重現：“能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形．”理解應用：我們可以把4×4網格圖形劃分為兩個全等圖形．范例：如圖1和圖2是兩種不同的劃分方法，其中圖3與圖1視為同一種劃分方法．請你再提供四種與上面不同的劃分方法，分別在圖4中畫出來．【考點7添加條件使三角形全等】【例7】（2022·全國·八年級專題練習）如圖，∠C＝∠D＝90°，添加下列條件：①AC＝AD；②∠ABC＝∠ABD；③BC＝BD，其中能判定Rt△ABC與Rt△ABD全等的條件有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【變式7-1】（2022·重慶·中考真題）如圖，點B，F，C，E共線，∠B=∠E，BF=EC，添加一個條件，不能判斷△ABC≌△DEF的是（

）A．AB=DE B．∠A=∠D C．AC=DF D．AC∥FD【變式7-2】（2022·安徽淮南·八年級期末）如圖，點P是AB上任意一點，∠ABC=∠ABD，還應補充一個條件，才能推出△APC≌△APD．從下列條件中補充一個條件，不一定能推出△APC≌△APD的是(

)A．BC=BD； B．AC=AD；C．∠ACB=∠ADB； D．∠CAB=∠DAB【變式7-3】（2022·全國·八年級課時練習）如圖，AB，CD相交于點E，且AB=CD，試添加一個條件使得△ADE≌△CBE．現給出如下五個條件：①∠A=∠C;②∠B=∠D;③AE=CE;④BE=DE;⑤AD=CB．其中符合要求有(

)A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【考點8靈活選用判定方法證明全等】【例8】（2022·湖南·八年級單元測試）具備下列條件的兩個三角形一定是全等三角形的是（

）．A．有兩個角對應相等的兩個三角形B．兩邊及其中一條對應邊上的高也對應相等的兩個三角形C．兩邊分別相等，并且第三條邊上的中線也對應相等的兩個三角形D．有兩邊及其第三邊上的高分別對應相等的兩個三角形【變式8-1】（2022·廣東·佛山市南海區瀚文外國語學校七年級階段練習）我國傳統工藝中，油紙傘制作非常巧妙，其中蘊含著數學知識．如圖是油紙傘的張開示意圖，AE=AF，GE=GF，則△AEG≌△AFG的依據是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【變式8-2】（2022·江蘇·泰州市姜堰區第四中學八年級）如圖，已知AB∥CD，AD∥BC，AC與BD交于點O，AE⊥BD于點E，CF⊥BD于點F，那么圖中全等的三角形有（

）A．5對 B．6對 C．7對 D．8對【變式8-3】（2022·浙江·八年級單元測試）根據下列條件不能唯一畫出△ABC的是（

）A．AB＝5，BC＝6，AC＝7 B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45°C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90° D．AB＝3，AC＝4，∠C＝45°【考點9尺規作圖與全等的綜合運用】【例9】（2022·全國·九年級專題練習）如圖，在△ABC外找一個點A'（與點A不重合），并以BC為一邊作△A'BC，使之與△ABC全等，且△ABC不是等腰三角形，則符合條件的點A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式9-1】（2022·全國·八年級課時練習）如圖，以△ABC的頂點A為圓心，以BC長為半徑作弧；再以頂點C為圓心，以AB長為半徑作弧，兩弧交于點D；連結AD，CD．由作法可得：△ABC?△CDA的根據是（

）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【變式9-2】（2022·廣東·普寧市紅領巾實驗學校八年級階段練習）在課堂上，張老師布置了一道畫圖題：畫一個Rt△ABC，使∠B=90°，它的兩條邊分別等于兩條已知線段．小劉和小趙同學先畫出了∠MBN=90°之后，后續畫圖的主要過程分別如圖所示．那么小劉和小趙同學作圖確定三角形的依據分別是______；_______【變式9-3】（2022·北京·101中學九年級開學考試）李老師制作了如圖1所示的學具，用來探究“邊邊角條件是否可確定三角形的形狀”問題．操作學具時，點Q在軌道槽AM上運動，點P既能在以A為圓心、以8為半徑的半圓軌道槽上運動，也能在軌道槽QN上運動．圖2是操作學具時，所對應某個位置的圖形的示意圖．有以下結論：①當∠PAQ=30°，PQ=6時，可得到形狀唯一確定的△PAQ②當∠PAQ=90°，PQ=10時，可得到形狀唯一確定的△PAQ③當∠PAQ=150°，PQ=12時，可得到形狀唯一確定的△PAQ其中所有正確結論的序號是______________．【考點10證明全等的常見輔助線的作法】【例10】（2022·江蘇·宿遷青華中學七年級階段練習）（1）如圖①，四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠ADC=90°．E，F分別是BC，CD上的點，且BE+FD=EF．試探究圖中∠EAF與∠BAD之間的數量關系．小明同學探究此問題的方法是：延長FD到G，使DG=BE，連結AG．先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，從而得出∠EAF=∠GAF，最后得出∠EAF與∠BAD之間的數量關系是．（2）將（1）中的條件“∠B=∠ADC=90°”改為“∠B+∠D=180°”（如圖②），其余條件不變，上述數量關系是否成立，成立，請證明；不成立，說明理由（3）如圖③，中俄兩國海軍在南海舉行聯合軍事演習，中國艦艇在指揮中心（O）北偏西30°的A處，俄羅斯艦艇在指揮中心南偏東70°的B處，兩艦艇到指揮中心距離相等．接到行動指令后，中國艦艇向正東方向以60海里/小時的速度前進，俄羅斯艦艇沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進，2小時后，指揮中心觀測到兩艦艇分別到達E，F處且相距280海里．求此時兩艦艇的位置與指揮中心（O處）形成的夾角∠EOF的大小．【變式10-1】（2022·全國·八年級課時練習）如圖，已知：AB=AC，BD=CD，∠A=60°，∠D=140°，則∠B=（

）A．50° B．40° C．40°或70【變式10-2】（2022·全國·七年級單元測試）（1）求證：等邊三角形內的任意一點到兩腰的距離之和等于定長.（提示：添加輔助線證明）（2）如圖所示，在三角形ABC中，點D是三角形內一點，連接DA、DB、DC，若AB=AC,∠ADB=∠ADC，求證：AD平分∠BAC.【變式10-3】（2022·全國·八年級課時練習）已知等腰△ABC中，AB=AC，點D在直線AB上，DE∥BC，交直線AC與點E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足為H．（1）當點D在線段AB上時，如圖1，求證DH=BH+DE；（2）當點D在線段BA延長線上時，如圖2，當點D在線段AB延長線上時，如圖3，直接寫出DH，BH，DE之間的數量關系，不需要證明．【考點11證一條線段等于兩條線段的和（差）】【例11】（2022·全國·八年級專題練習）如圖，△ABC中，∠B＝45°，∠ACB＝30°，CD平分∠ACB，AD⊥CD，求證：CD＝AB＋AD【變式11-1】（2022·安徽淮北·八年級階段練習）如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD,AE是∠BAC的平分線，且AE⊥CE．若AC=a,BD=b，則四邊形ABDC的周長為（

）A．1.5(a+b) B．2a+b C．3a-b D．a+2b【變式11-2】（2022·山東煙臺·七年級期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直線AB上一點（點D不與點A、B重合），連接DC并延長到E，使得CE＝CD，過點E作EF⊥直線BC，交直線BC于點F．(1)如圖1，當點D為線段AB上的任意一點時，用等式表示線段EF、CF、AC的數量關系，并證明；(2)如圖2，當點D為線段BA的延長線上一點時，依題意補全圖2，猜想線段EF、CF、AC的數量關系是否發生改變，并證明．(3)如圖3，當點D在線段AB的延長線上時，直接寫出線段EF、CF、AC之間的數量關系．【變式11-3】（2022·全國·八年級專題練習）在△ABC中，AE，CD為△ABC的角平分線，AE，CD交于點F．（1）如圖1，若∠B=60°．①直接寫出∠AFC的大小；②求證：AC=AD+CE．（2）若圖2，若∠B=90°，求證：S△ACF【考點12全等中的倍長中線模型】【例12】（2022·江西吉安·七年級期末）（1）基礎應用：如圖1，在△ABC中，AB＝5，AC＝7，AD是BC邊上的中線，延長AD到點E使DE＝AD，連接CE，把AB，AC，2AD利用旋轉全等的方式集中在△ACE中，利用三角形三邊關系可得AD的取值范圍是；（2）推廣應用：應用旋轉全等的方式解決問題如圖2，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點E，F分別在AB，AC上，且DE⊥DF，求證：BE+CF＞EF；（3）綜合應用：如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°且∠EAF＝12∠BAD，試問線段EF、BE、FD【變式12-1】（2022·山東德州·八年級期末）（1）方法呈現：如圖①：在△ABC中，若AB=6，AC=4，點D為BC邊的中點，求BC邊上的中線AD的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長AD到點E使DE=AD，再連接BE，可證△ACD≌△EBD，從而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關系即可判斷中線AD的取值范圍是_______________，這種解決問題的方法我們稱為倍長中線法；（2）探究應用：如圖②，在△ABC中，點D是BC的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，判斷BE+CF與EF的大小關系并證明；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形ABCD中，AB//CD，AF與DC的延長線交于點F、點E是BC的中點，若AE是∠BAF的角平分線．試探究線段AB，AF，【變式12-2】（2022·山東·高唐縣趙寨子中學八年級期中）已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，點M是BE的中點，連接CM、DM．

（1）當點D在AB上，點E在AC上時（如圖一），求證：DM=CM，DM⊥CM；

（2）當點D在CA延長線上時（如圖二）（1）中結論仍然成立，請補全圖形（不用證明）；

（3）當ED∥AB時（如圖三），上述結論仍然成立，請加以證明．【變式12-3】（2022·全國·八年級）如圖1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC邊上的中線BD的取值范圍．（1）小聰同學是這樣思考的：延長BD至E，使DE＝BD，連接CE，可證得△CED≌△ABD．①請證明△CED≌△ABD；②中線BD的取值范圍是．（2）問題拓展：如圖2，在△ABC中，點D是AC的中點，分別以AB，BC為直角邊向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，連接MN．請寫出BD與MN的數量關系，并說明理由．【考點13全等中的旋轉模型】【例13】（2022·全國·八年級專題練習）問題發現：如圖1，已知C為線段AB上一點，分別以線段AC，BC為直角邊作等腰直角三角形，∠ACD=90°，CA=CD，CB=CE，連接AE，BD，線段AE，BD之間的數量關系為______；位置關系為_______．拓展探究：如圖2，把Rt△ACD繞點C逆時針旋轉，線段AE，BD交于點F，則AE與BD【變式13-1】（2022·江蘇·八年級專題練習）如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，D、E是斜邊BC上兩點，且∠DAE=45°，若BD=3，CE=4，S△ADE=15，則△ABD與△AEC的面積之和為（A．36 B．21 C．30 D．22【變式13-2】（2022·江蘇·南京民辦求真中學七年級階段練習）如圖直角三角形中的空白部分是正方形，正方形的一個頂點將這個直角三角形的斜邊分成二部分，AD=3厘米，陰影部分的面積是6平方厘米，DB長______厘米．【變式13-3】（2022·全國·八年級課時練習）綜合與實踐（1）如圖1，在正方形ABCD中，點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝45°，則MN，AM，CN的數量關系為．（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝12∠ABC，試探索線段MN、AM、CN（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，點M、N分別在DA、CD的延長線上，若∠MBN＝12∠ABC，試探究線段MN、AM、CN的數量關系為【考點14全等中的垂線模型】【例14】（2022·廣東佛山·七年級階段練習）在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，直線MN經過點A，且CD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)當直線MN繞點A旋轉到圖1的位置時，∠EAB+∠DAC=度；(2)求證：DE=CD+BE；(3)當直線MN繞點A旋轉到圖2的位置時，試問DE、CD、BE具有怎樣的等量關系？請寫出這個等量關系，并加以證明．【變式14-1】（2022·陜西省西安愛知中學七年級期末）（1）【問題發現】如圖1，△ABC與△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B、C、E三點在同一直線上，AB＝3，ED＝4，則BE＝_____．（2）【問題提出】如圖2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝4，過點C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面積．（3）【問題解決】如圖3，四邊形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD面積為12且CD的長為6，求△BCD的面積．【變式14-2】（2022·安徽·九年級期末）如圖，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E點為射線CB上一動點，連結AE，作AF⊥AE且AF＝AE．（1）如圖1，過F點作FD⊥AC交AC于D點，求證：FD＝BC；（2）如圖2，連結BF交AC于G點，若AG＝3，CG＝1，求證：E點為BC中點．（3）當E點在射線CB上，連結BF與直線AC交子G點，若BC＝4，BE＝3，則AGCG=【變式14-3】（2022·黑龍江牡丹江·九年級期末）平面內有一等腰直角三角板（∠ACB＝90°）和一直線MN．過點C作CE⊥MN于點E，過點B作BF⊥MN于點F．當點E與點A重合時（如圖1），易證：AF+BF＝2CE．(1)當三角板繞點A順時針旋轉至圖2的位置時，上述結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數量關系，請直接寫出你的猜想，不需證明．(2)當三角板繞點A順時針旋轉至圖3的位置時，上述結論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AF、BF、CE之間又有怎樣的數量關系，請直接寫出你的猜想，不需證明．【考點15全等中的其他模型】【例15】（2022·重慶八中七年級期中）如圖：AD⊥AB，AE⊥AC，AD=AB，AE=AC，連接BE與DC交于M，則：①∠DAC=∠BAE；②ΔDAC≌ΔBAE；③DC⊥BE；正確的有（

）個A．0 B．1 C．2 D．3【變式15-1】（2022·全國·八年級單元測試）如圖，已知ΔABC中，∠A=60°，D為AB上一點，且AC=2AD+BD,∠B=4∠ACD，則∠DCB的度數是_________．【變式15-2】（2022·山西陽泉·八年級期末）有些數學題，表面上看起來無從下手，但根據圖形的特點，可補全成為特殊的圖形，然后根據特殊幾何圖形的性質去考慮，常常可以獲得簡捷解法．根據閱讀，請解答問題：如圖所示，已知△ABC的面積為16cm2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于點D，則△ADC的面積為___________cm2．【變式15-3】（2022·江蘇南通·八年級期中）如圖，等邊△ABC的邊長為6，點P從點B出發沿射線BA移動，同時，點Q從點C出發沿線段AC的延長線移動，已知點P、Q移動的速度相同，PQ與直線BC相交于點D.（1）如圖①，當點P為AB的中點時，求CD的長；（2）如圖②，過點P作直線BC的垂線，垂足為E，當點P、Q在移動的過程中，線段BE、DE、CD中是否存在長度保持不變的線段？請說明理由.【考點16全等三角形的動點問題】【例16】（2022·江蘇·八年級單元測試）如圖，AB＝7cm，AC＝5cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，點P在線段AB上以2cm/s的速度由點A向點B運動，同時，點Q在射線BD上運動速度為xcm/s，它們運動的時間為t（s）（當點P運動結束時，點Q運動隨之結束）．當點P、Q運動到某處時，有△ACP與△BPQ全等，則相應的x、t的值為（

）A．x＝2，t＝74 B．x＝2，t＝74或x＝207C．x＝2，t＝1 D．x＝2，t＝1或x＝207，t＝【變式16-1】（2022·江蘇·九華中學八年級階段練習）如圖，AE與BD相交于點C，AC＝EC，BC＝DC，AB＝4cm，點P從點A出發，沿A→B→A方向以3cm/s的速度運動，點Q從點D出發，沿D→E方向以1cm/s的速度運動，P、Q兩點同時出發，當點P到達點A時，P、Q兩點同時停止運動．設點P的運動時間為t（s）．(1)AB與DE有什么關系？請說明理由．(2)線段AP的長為________（用含t的式子表示）．(3)連接PQ，當線段PQ經過點C時，t的值為_______．【變式16-2】（2022·江蘇·泰州中學附屬初中七年級期末）長方形ABCD中，AB=6，AD=m，點P以每秒1個單位的速度從A向B運動，點Q同時以每秒2個單位的速度從A向D運動，點E為邊CD上任意一點．(1)當m=8時，設P，Q兩點運動時間為t，①若Q為AD中點，求t的值；②連接QE，若△APQ與△EDQ全等，求DE的長．(2)若在邊AD上總存在點Q使得△APQ≌△DQE，求m的取值范圍．【變式16-3】（2022·江蘇·姜堰區實驗初中八年級）如圖①，在△ABC中，AB＝12cm，BC＝20cm，過點C作射線CD∥AB．點M從點B出發，以4cm/s的速度沿BC勻速移動；點N從點C出發，以acm/s的速度沿CD勻速移動．點M、N同時出發，當點M到達點C時，點M、N同時停止移動．連接AM、MN，設移動時間為(1)點M、N從移動開始到停止，所用時間為______s；(2)當△ABM與△MCN全等時，①若點M、N的移動速度相同，求t的值；②若點M、N的移動速度不同，求a的值；(3)如圖②，當點M、N開始移動時，點P同時從點A出發，以3cm/s的速度沿AB向點B勻速移動，到達點B后立刻以原速度沿BA返回．當點M到達點C時，點M、N、P同時停止移動．在移動的過程中，是否存在△PBM與△MCN全等的情形？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．專題7.1全等三角形十六大必考點【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【考點1全等圖形的識別】 1【考點2全等三角形性質的運用】 3【考點3一次證明全等】 7【考點4兩次證明全等】 11【考點5利用全等圖形求網格中的角度和】 18【考點6將已知圖形分割成幾個全等的圖形】 21【考點7添加條件使三角形全等】 24【考點8靈活選用判定方法證明全等】 28【考點9尺規作圖與全等的綜合運用】 33【考點10證明全等的常見輔助線的作法】 37【考點11證一條線段等于兩條線段的和（差）】 45【考點12全等中的倍長中線模型】 56【考點13全等中的旋轉模型】 66【考點14全等中的垂線模型】 73【考點15全等中的其他模型】 82【考點16全等三角形的動點問題】 88【考點13尺規作圖作角平分線】 94【考點14角平分線的判定與性質的綜合求值】 97【考點15角平分線的判定與性質的綜合證明】 103【考點16角平分線的實際應用】 112【考點1全等圖形的識別】【例1】（2022·全國·八年級單元測試）下列圖形：①兩個正方形；②底邊相等的兩個等腰三角形；③每邊都是2cm的兩個三角形；④半徑都是1.5cm的兩個圓．其中是一對全等圖形的有（

）A．1個 B．2個C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形，結合各項說法作出判斷即可．【詳解】解：①兩個正方形，但不一定全等，②底邊相等的兩個等腰三角形，但不一定全等，③每邊都是2cm的兩個三角形，是兩個全等的等邊三角形，④半徑都是1.5cm的兩個圓是全等形，其中是一對全等圖形的有2個，故選B【點睛】本題考查了全等形的概念：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形，熟練掌握基本圖形的性質是解題關鍵．【變式1-1】（2022·陜西·西安市東元中學七年級階段練習）下列四組圖形中，是全等圖形的一組是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】認真觀察圖形，可以看出選項中只有C中的兩個可以旋轉后重合，其它三個大小或形狀不一致．【詳解】解：由全等形的概念可知：A、B中的兩個圖形大小不同，D中的形狀不同，C則完全相同故選：C．【點睛】本題考查的是全等形的識別，做題時要注意運用定義，注意觀察題中圖形，屬于較容易的基礎題．【變式1-2】（2022·全國·八年級專題練習）如圖，有四張小畫片，畫的都是用七巧板拼成的人物圖形，與另外三張與眾不同的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析題目信息，要得到與另外三張不同的卡片，即依據全等圖形的概念及旋轉變換進行判斷．【詳解】解：可知將選項A中的圖形順時針旋轉180°，即可與選項B中的圖形重合，將選項B中的圖形順時針旋轉90°，即可得到選項D中的圖形，故A、B、D中的三個圖形全等，分析C中圖片人物，結合四個圖片可以看出C選項中圖形與其他三個不同．故選：C．【點睛】本題考查了圖形全等及變換，常見的圖形變換包括平移、旋轉、對稱等幾種情況，掌握圖形全等的概念是解本題的關鍵．【變式1-3】（2022·全國·八年級單元測試）下列個圖形中，是全等圖形的是（

）A．a，b，c，d B．a與b C．b，c，d D．a與c【答案】D【分析】根據全等圖形的概念求解即可．【詳解】解：由圖可知，a與c是全等圖形，故選：D．【點睛】本題考查了全等圖形的識別，熟知能夠完全重合的圖形叫全等圖形是解題的關鍵．【考點2全等三角形性質的運用】【例2】（2022·山東·嶧城區吳林街道中學七年級階段練習）如圖，△ABC≌△AEF，則對于結論：①AC＝AF；②∠FAB＝∠EAB；③EF＝BC；④∠EAB＝∠FAC，其中正確結論的個數是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據全等三角形的性質即可進行判斷．【詳解】∵△ABC≌△AEF，∴AC＝AF，EF＝BC，故①③正確；∵△ABC≌△AEF，∴∠EAF＝∠BAC，∴∠EAF-∠BAF＝∠BAC-∠BAF，∴∠EAB＝∠FAC，故④正確；∠FAB＝∠EAB不一定相等，故②不符合題意；綜上：正確的有3個，故選：C．【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質，熟練掌握全等三角形對應邊相等，對應角相等是解題的關鍵．【變式2-1】（2022·廣東湛江·八年級期中）如圖，△ABC≌△ADE，BC的延長線交DA于點F，交DE于點G，∠DGB＝66°，∠E＝105°，∠DAC＝16°，則∠B的度數為（）A．24° B．25° C．30° D．35°【答案】B【分析】根據全等三角形對應角相等可得∠ACB＝∠E，∠B＝∠D，再求出∠ACF，然后根據三角形的內角和定理列式計算即可得解．【詳解】解：∵△ABC≌△ADE，∠E＝105°，∴∠ACB＝∠E＝105°，∠B＝∠D，∴∠ACF＝180°﹣105°＝75°，在△ACF和△DGF中，∠AFC＝∠DFG，∴∠D+∠DGB＝∠DAC+∠ACF，即∠D+66°＝16°+75°，∴∠D＝25°，∴∠B＝25°，故選：B．【點睛】本題考查了全等三角形的性質，三角形的內角和定理，熟記性質并準確識圖是解題的關鍵．【變式2-2】（2022·廣東·深圳市寶安中學（集團）實驗學校七年級期中）如圖所示，已知△ABE≌△DCF，且B，F，E，C在同一條直線上．(1)求證：AB∥(2)若BC=10，EF=7，求BE的長度．【答案】(1)見解析(2)BE=8.5【分析】（1）根據全等三角形的性質得∠B=∠C，根據平行線的判定即可得AB∥（2）根據全等三角形的性質得BE=CF，根據線段之間的的關系得CE=BF，可求出CE的長，即可得．（1）證明：∵△ABE≌△DCF，∴∠B=∠C，∴AB∥（2）解：∵△ABE≌△DCF，∴BE=CF，∴BE-EF=CF-EF，∴CE=BF，∵BC=10，EF=7，∴CE=BF=1∴BE=BC-CE=10-1.5=8.5．【點睛】本題考查了全等三角形的性質，平行線的判定，解題的關鍵是掌握這些知識點．【變式2-3】（2022·全國·八年級課時練習）如圖，D、A、E三點在同一條直線上，BD⊥DE于點D，CE⊥DE于點E，且△ABD≌△CAE，AC=4．(1)求∠BAC的度數；(2)求△ABC的面積．【答案】(1)90°(2)8【分析】(1)根據垂直的定義得到∠D=90°，求得∠DBA+∠BAD=90°，根據全等三角形的性質得到∠DBA=∠CAE，等量代換即可得到結論；(2)根據全等三角形的性質得AC=AB=4，再根據三角形的面積求出答案．（1）解：∵BD⊥DE，∴∠D=90°，∴∠DBA+∠BAD=90°，∵△ABD≌△CAE，∴∠DBA=∠CAE∴∠BAD+∠CAE=90°，∴∠BAC=90°；（2）解：∵△ABD≌△CAE，∴AC=AB=4，又∵∠BAC=90°∴△ABC是直角三角形，∴△ABC的面積=4×4÷2=8．【點睛】本題考查的是全等三角形的性質、三角形的面積公式，證得△ABC是直角三角形是解決本題的關鍵．【考點3一次證明全等】【例3】（2022·廣東·儒林中學八年級階段練習）如圖，點B、C、E、F在同一直線上，點A、D在BC的異側，AB=CD,BF=CE,∠B=∠C．若∠A+∠D=144°，求∠D的度數．【答案】72°【分析】由BF＝CE可得BE＝CF，然后利用SAS可得△ABE≌△DCF，即∠A＝∠D，最后代入∠A+∠D=144°計算即可．【詳解】解：∵BF＝CE，∴BF+EF＝CE+EF，即BE＝CF，在△ABE與△DCF中，AB=CD∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠A＝∠D，∵∠A+∠D=144°∴∠D=72°．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，根據題意證得△ABE≌△DCF是解答本題的根據.【變式3-1】（2022·重慶市第十一中學校七年級階段練習）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延長AB至點D，連接CD，以CD為直角邊作等腰直角三角形△CDE，∠DCE=90°，連接BE．試說明：(1)AD=BE；(2)BE⊥AD．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據等腰直角三角形CDE得出CD=CE，∠DCE=90°，結合∠ACB=90°可證∠ACD=∠BCE，然后根據“SAS”證明△ACD≌△BCE即可得出AD=BE；（2）由（1）知△ACD≌△BCE，則∠ADC=∠BEC，由∠DCE=90°可得∠CEB+∠BED+∠CDE=90°，從而求得∠ADC+∠BED+∠CDE=90°，即可得證．（1）證明：∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD=CE，∠DCE=90°，又∠ACB=90°，∴∠DCE=∠ACB，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE；（2）證明：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC=∠BEC，∵∠DCE=90°，∴∠CED+∠CDE=90°，即∠CEB+∠BED+∠CDE=90°，∴∠ADC+∠BED+∠CDE=90°，∴∠DBE=90°，∴BE⊥AD．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理等，通過“SAS”證明△ACD≌△BCE是解題的關鍵．【變式3-2】（2022·江蘇省興化市大垛中心校七年級期末）如圖，AC⊥BC，DC⊥EC，AC=BC，DC=EC．(1)求證：△BCD≌△ACE．(2)圖中AE、BD有怎樣的關系？試證明你的結論．【答案】(1)證明見解析(2)AE=BD，AE⊥BD，理由見解析【分析】（1）根據AC⊥BC，DC⊥EC并結合圖形可推出∠BCD=∠ACE，再根據AC=BC，DC=EC，結論即可得證；（2）如圖，設BD交AC于點N，交AE于點O，由（1）的結論可推出∠B=∠A，BD=AE，由∠BNC=∠AND，∠B+∠BNC=90°，可得出∠A+∠AND=90°，可得∠AON=90°，由此即可解決問題．（1）證明：∵AC⊥BC，DC⊥EC，∴∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，在△BCD和△ACE中，BC=AC∠BCD=∠ACE∴△BCD≌△ACESAS（2）解：結論：AE=BD，AE⊥BD．理由如下：如圖，設BD交AC于點N，交AE于點O，∵△BCD≌△ACE，∴∠B=∠A，BD=AE，∵∠BNC=∠AND，∠B+∠BNC=90°，∴∠A+∠AND=∠B+∠BNC=90°，∴∠AON=180°-∠A+∠AND∴BD⊥AE．【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質，直角三角形的兩銳角互余，三角形的內角和定理，垂直的定義．解題的關鍵是正確尋找判定三角形全等的條件，靈活運用所學知識解決問題．【變式3-3】（2022·山東·新泰市羊流鎮初級中學七年級階段練習）如圖，已知點D、E是△ABC內兩點，且∠BAE＝∠CAD，∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，AD＝AE．(1)求證：△ABD≌△ACE；(2)延長BD、CE交于點F，若∠BAC＝86°，∠ABD＝20°，求∠BFC的度數．【答案】(1)見解析(2)∠BFC＝126°【分析】（1）先由∠BAE-∠DAE=∠CAD-∠DAE推導出∠BAD=∠CAE，再根據全等三角形的判定定理“SAS”證明△ABD≌△ACE；（2）由∠BAC=86°求得∠ABC+∠ACB=94°，再由全等三角形的對應角相等求得∠ABD=∠ACE=20°，則∠FBC+∠FCB=54°，再由∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB）求得∠BFC的度數．（1）證明：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE﹣∠DAE＝∠CAD﹣∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS）．（2）解：∵∠BAC＝86°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣86°＝94°，∵△ABD≌△ACE∴∠ABD＝∠ACE＝20°，∴∠FBC+∠FCB＝（∠ABC+∠ACB）﹣∠ABD﹣∠ACE＝94°﹣20°﹣20°＝54°，∴∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°﹣54°＝126°．【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質、三角形內角和定理等知識，正確的找出全等三角形的對應邊和對應角是解題的關鍵．【考點4兩次證明全等】【例4】（2022·江蘇南京·八年級階段練習）如圖，AC、BD相交于點O，AB=AD，BC=CD．求證：AC⊥BD．【答案】見解析【分析】先證得△ABC≌△ADC，再證明△ABO≌△ADO，由全等的性質證得【詳解】∵在△ABC和△ADC中AB=AD∴△ABC≌△ADC（SSS）∴∠BAC＝∠DAC∵在△ABO和△ADO中AB=AD∴△ABO≌△ADO（SAS）∴∠AOB＝∠AOD又∵∠AOB＋∠AOD＝180°∴∠AOB＝90°∴AC⊥BD【點睛】本題考查了三角形全等的判定和性質，找對應邊和對應角是解題關鍵，一般在找邊找角時如果存在公共邊、對頂角，則公共邊與對頂角是一組對應邊和對應角．【變式4-1】（2022·廣東·佛山市順德養正學校七年級階段練習）如圖，△ABC中，D是BC的中點，過點D的直線GF交AC于F，交AC的平行線BG于G點，DE⊥GF，交AB于點E，連接EG，EF．(1)說明：BG=CF；(2)若∠CFD=100°，∠EFD=35°，求∠BGE的度數．【答案】(1)見解析(2)65°【分析】（1）先利用ASA判定△BGD≌△CFD，從而得出BG=CF；（2）先證明∠CFD=∠BGD=100°，再證明△EDG≌△EDF（SAS），可得∠EFG=∠EGD=35°，再利用角的和差運算可得答案．（1）解：∵BG∥∴∠DBG=∠DCF，又∵D為BC中點，∴BD=CD，又∵∠BDG=∠CDF，∴△BGD≌△CFD（ASA）．∴BG=CF；（2）∵△BGD≌△CFD，∴GD=DF，∠CFD=∠BGD=100°，∵ED⊥GF，∴∠EDG=∠EDF=90°，又∵ED=ED，∴△EDG≌△EDF（SAS），∴∠EFG=∠EGD=35°，∴∠BGE=∠BGD-∠EGD=100°-35°=65°．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質，掌握“利用SAS，AAS，ASA證明三角形全等”是解本題的關鍵．【變式4-2】（2022·全國·八年級專題練習）如圖，AD是△ABC的高，AD＝BD＝4，E是AD上一點，BE＝AC＝5，S△ABC＝14，BE的延長線交AC于點F．(1)求證：△BDE≌△ADC；(2)求證：BE⊥AC；(3)求EF與AE的長．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)EF＝35，AE【分析】（1）利用直角三角形的判定定理證明即可；（2）利用全等三角形的性質證明∠EBD＝∠CAD，再利用對頂角相等證明∠BED＝∠AEF，進一步可證明∠AFE＝∠ADB＝90°，即BE⊥AC；（3）利用三角形面積求出BC＝7，進一步求出CD＝3，利用Rt△BDE≌Rt△ADC，證明ED＝CD＝3，進一步求出AE＝AD－ED＝4－3＝1，再利用三角形面積求出BF＝285，即可求出EF＝BF－BE＝285－5＝（1）證明：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△BDE和Rt△ADC中，BE=ACBD=AD∴Rt△BDE≌Rt△ADC(HL)．（2）證明：∵Rt△BDE≌Rt△ADC，∴∠EBD＝∠CAD，∵∠BED＝∠AEF，∴∠AFE＝∠ADB＝90°，∴BE⊥AC．（3）解：∵S△ABC＝12AD?BC＝14，AD∴BC＝7，∵BD＝4，∴CD＝3，∵Rt△BDE≌Rt△ADC，∴ED＝CD＝3，∴AE＝AD－ED＝4－3＝1，∵S△ABC＝12BF?AC＝14，BE＝AC∴BF＝285∴EF＝B