絕密★啟用前2024年普通高等學校招生全國統一考試文科數學試題卷(銀川一中第一次模擬考試)注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．作答時，務必將答案寫在答題卡上。寫在本試卷及草稿紙上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則A． B． C． D．2．已知，則.A． B． C．1 D．23．已知與為非零向量，，若三點共線，則A．0 B．1 C．2 D．34．已知為等比數列，是它的前n項和，若，且與的等差中項為，則S5等于A． B． C． D．5．自1950年以來，每年于4月7日慶祝世界衛生日，旨在引起世界各國人民對衛生?健康工作的關注，提高人們對衛生領域的素質和認識，強調健康對于勞動創造和幸福生活的重要性.為了讓大家了解更多的健康知識，某中學組織三個年級的學生進行日常衛生知識競賽，經統計，得到前200名學生分布的餅狀圖（如圖1）和前200名學生中高一學生排名分布的頻率條形圖（如圖2），則下列說法錯誤的是A．成績在前200名的學生中，高一人數比高二人數多30B．成績在第1~50名的學生中，高三最多有32人C．高一學生成績在第101~150名的人數一定比高三學生成績在第1~50名的人數多D．成績在第51~100名的學生中，高二人數比高一人數多6．在平面直角坐標系中，若曲線（，為常數）過點，且該曲線在點處的切線與直線平行，則A．， B．， C．， D．，7．已知函數的圖象與的圖象關于軸對稱，若將的圖象向左至少平移個單位長度后可得到的圖象，則A．的圖象關于原點對稱 B．C．在上單調遞增 D．的圖象關于點對稱8．如圖的形狀出現在南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，……．記各層球數構成數列，且為等差數列，則數列的前項和為 B． C． D．9．下列結論正確的個數有（

）個①是的充要條件②已知實數、滿足，則的最小值為③命題“，”的否定是“，”④關于x的不等式有解，實數a的范圍是或.A．1 B．2 C．3 D．410．拋物線的焦點為，其準線與雙曲線相交于，兩點，若為等邊三角形，則A．2 B． C．6 D．11．已知為定義在上的偶函數，已知，當時，有，則使成立的的取值范圍為A．B．C．D．12．已知一個圓錐的軸截面為銳角三角形，它的內切球體積為，外接球體積為，則的最大值為A． B． C． D．二、填空題：本小題共4小題，每小題5分，共20分.13．已知O為坐標原點,M(x,y)為不等式組表示的平面區域內的動點,點A的坐標為(2,1),則z=的最大值為___________.14．已知一個正三棱柱的三視圖如下圖所示，則該三棱柱的體積為___________.15．已知，則＝___________.16．已知定義在R上的偶函數滿足，當時，.函數，則與的圖象所有交點的橫坐標之和為________.三、解答題：共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。（一）必考題：共60分)17．(12分)設的內角、、的對邊長分別為、、，.(1)若，求角的大??；(2)若，求的值和的面積.18．(12分)某醫療科研項目組對5只實驗小白鼠體內的A，B兩項指標數據進行收集和分析，得到的數據如下表：指標1號小白鼠2號小白鼠3號小白鼠4號小白鼠5號小白鼠A57698B22344(1)若通過數據分析，得知A項指標數據與B項指標數據具有線性相關關系．試根據上表，求B項指標數據y關于A項指標數據x的經驗回歸方程．(2)現要從這5只小白鼠中隨機抽取3只，求至少有1只小白鼠的B項指標數據高于3的概率．參考公式：經驗回歸方程中，．參考數據：，．19．(12分)如圖，在三棱柱中，平面平面ABC，，，，，，．(1)求證：B，D，E，四點共面；(2)求四棱錐的體積．20．(12分)已知拋物線的焦點為為上一點，且.(1)求拋物線的方程；(2)若直線交拋物線于兩點，且（為坐標原點），記直線過定點，證明：直線過定點，并求出的面積.21．(12分)已知函數．(1)當時，求的最小值；(2)若，判斷的零點個數．參考數據：，．（二）選考題：共10分.請考生在第22、23兩題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.22．[選修4－4：坐標系與參數方程]在平面直角坐標系中，曲線C1的參數方程為（為參數），以原點為極點，x軸非負半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為.(1)求曲線C1的極坐標方程以及曲線C2的直角坐標方程；(2)若直線l：y=kx與曲線C1、曲線C2在第一象限交于P，Q，且|OQ|=|PQ|，點M的直角坐標為(1,0)，求的面積．23．[選修45：不等式選講]不等式選講已知均為正實數，函數的最小值為4．(1)求證：；(2)求證：．銀川一中2024屆高三第一次模擬數學(文科)參考答案1．【答案】C【詳解】由,解得，又因為，所以，又由，可得，解得，所以，所以，故選:C.2．【答案】D【分析】先根據復數的乘法運算求出復數z，再根據共軛復數的定義和復數的模的公司及即可得解.【詳解】由z1+i=1-則z=?2i，所以故選：D.3．【答案】D【分析】根據三點共線可得向量共線，由此結合向量的相等列式求解，即得答案.【詳解】由題意知，三點共線，故,且共線，故不妨設，則，所以，解得，故選：D4．【答案】C【分析】根據等差中項的性質得到，結合，利用等比數列的基本量求得和公比，再由等比數列的求和公式即可得到.【詳解】因為與的等差中項為，所以，設等比數列的公比為，又，得：，解得：，或則，或者，根據答案，只能選C故選：C.5．【答案】D【分析】由餅狀圖可計算出高一年級共90人，高二年級共60人，高三年級共50人，再由高一學生排名分布的頻率條形圖可計算出各排名段中高一年級學生的人數，由此即可判斷出答案.【詳解】由餅狀圖可知，成績在前200名的學生中，高一人數比高二人數多，A正確；成績在第名的學生中，高一人數為，因此高三最多有32人，B正確；由條形圖知高一學生的成績在第名的人數為，而高三的學生成績在第名的人數最多為人，故高一學生的成績在第名的人數一定比高三的學生成績在第名的人數多，C正確；成績在第名的學生中，高一人數為，高二成績在第名的人數最多為，即成績在第51~100名的學生中，高一的人數一定比高二的人數多，錯誤.故選：D6．【答案】C【分析】由題意將點代入得，求導得，由題意將點代入得，聯立即可得解.【詳解】∵函數的導數為，∴曲線在點處的切線斜率為，由兩直線平行可得①.又∵點在曲線上，∴②，由①②解得，.故選：C.7．【答案】B【分析】先設，，從而根據圖象關于軸對稱，得到方程，求出，A選項，根據，得到A錯誤；B選項，化簡得到B正確；C選項，利用整體法判斷函數的單調性；D選項，由得到D錯誤.【詳解】由題意，可設，，因為與的圖象關于軸對稱，所以，則，解得，由于，，故的最小值為，因為的圖象向左至少平移個單位長度后可得到的圖象，所以，解得，則.對于A，因為的定義域為，而，所以不是奇函數，圖象不關于原點對稱，錯誤；對于B，，B正確；對于C，由，得，又在上不單調，C錯誤；對于D，，故不是圖象的對稱中心，D錯誤.故選：B.8．【答案】D【分析】根據累加法求得，利用裂項求和法求得正確答案.【詳解】，，由于為等差數列，所以，所以，也符合，所以，所以數列的前項和為.故選：D9．【答案】C【分析】由充分、必要性定義判斷①；由基本不等式及最值取值條件判斷②；由特稱命題的否定：存在改任意并否定原結論判斷③；根據一元二次不等式有解得求參數范圍判斷④.【詳解】①由，即同號，故；由，即同號，故，對；②因為，所以，即，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為，錯；③由特稱命題的否定為全稱命題,則，，對；④由題設，可得或，對.故選：C10．【答案】C【分析】設拋物線的準線與y軸交于點D，等邊三角形ABF中，可得點B的坐標代入雙曲線上方程可得答案．【詳解】設拋物線的準線與y軸交于點D，如圖，在等邊三角形ABF中，，，所以點B的坐標為，又點B在雙曲線上，故，解得．故選：C．11．【答案】D【解析】令，其中，因為函數為定義在上的偶函數，則，所以，，所以，函數為偶函數，當時，，所以，函數在上為減函數，且，由可得，則，所以，，解得或，因此，使成立的的取值范圍為.故選：D.12．【答案】B【分析】由圖可得，進而，結合和二次函數的性質可得，結合球的體積公式計算即可求解.【詳解】設圓錐的外接球半徑為，內切球半徑為，圓錐的高為，底面半徑為，母線為，高與母線的夾角為，，如圖，在中，，在中，，則，得.如圖，在中，，得，又，所以，所以，又圓錐的軸截面為銳角三角形，所以，所以，故當時，取得最大值，為，所以.故選：B.13．1【詳解】作出約束條件所表示的平面區域如圖陰影部分所示，如圖所示，因為，又因為可化為直線,所以由圖可知,當直線過時,直線在軸上的截距最大,此時的最大值為.14．【答案】 【分析】根據題意，由三視圖還原幾何體，可得其底面邊長，再由三棱柱的體積公式，代入計算，即可得到結果.【詳解】由三視圖還原幾何體如圖所示，則底面正三角形一邊上的高為，正四棱柱的高為2，設底面邊長為，則，解得，所以三棱柱的體積為.【答案】【分析】由倍角公式和差角公式、平方關系求解即可.【詳解】.16．【答案】4【分析】在同一坐標系內作出與的圖象，再利用圖象的對稱性即可求得與的圖象所有交點的橫坐標之和.【詳解】函數的圖象有對稱軸，定義在R上的偶函數滿足，則函數有對稱軸，又當時，，在同一坐標系在內作出與的圖象，由圖象可得，與的圖象有4個交點，又與的圖象均有對稱軸，則兩函數所有交點的橫坐標之和為4.故選：B17．【答案】(1)(2)，的面積為【分析】（1）當時，求出的值，結合角的取值范圍可得出角的值；（2）利用誘導公式結合兩角和與差的余弦公式可得出的值，利用正弦定理可得出的值，再利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】（1）解：因為，當時，則有，可得，因為，故.（2）解：因為，所以，，因為，由正弦定理可得，因為，則，可得，所以，的面積為.18．【答案】(1)(2)．【分析】（1）根據題中數據，先計算，再由公式計算出，即可得出回歸直線方程；（2）先設1號至5號小白鼠依次為，根據題中條件，列舉出總的基本事件，以及滿足條件的基本事件，基本事件的個數比即為所求概率.【詳解】（1）由題意，可得，，，，．∵，∴．∴所求經驗回歸方程為．（2）設1號至5號小白鼠依次為，則在這5只小白鼠中隨機抽取3只的抽取情況有，共10種，隨機抽取的3只小白鼠中至少有1只的B項指標數據高于3的情況有共9種．∴從這5只小白鼠中隨機抽取3只，至少有1只小白鼠的B項指標數據高于3的概率為．19．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由題設，，進而有，易得四邊形為平行四邊形，再結合，即可證結論；（2）根據面面垂直性質定理證明線面垂直，最后根據體積公式計算即可.【詳解】（1）在三棱柱中，，，（1分）因為，，即，，所以，（3分）則四邊形為平行四邊形，則．（4分）又因為，所以，故B，D，E，四點共面．（5分）（2）連接，取AC的中點O，連接，BO，如圖所示．（6分）在三棱柱中，四邊形為平行四邊形，，則，（7分）又，所以為等邊三角形．又O為AC的中點，所以．（8分）又平面平面ABC，平面平面，平面，所以平面ABC．（9分）又，O為AC的中點，所以．因為，，所以，，．（10分）又因為，，（11分）所以四棱錐的體積為．（12分）20．【答案】(1)(2)證明見解析；【分析】（1）利用拋物線焦半徑公式即可得解；（2）聯立直線與拋物線方程，結合題設條件求得，從而得證；再求得直線所過的定點，從而得解.【詳解】（1）因為在上，所以，又，所以，則，所以，則，解得或，當時，，滿足要求；當時，，不滿足，故，所以拋物線的方程為.（2）設，聯立，消去整理得，所以，且，所以，因為，解得，所以直線的方程為，則直線過定點，直線，即過定點，又，所以，所以.21．【答案】(1)1(2)零點個數為2【分析】（1）先求導數，判斷函數的單調性，結合單調性可得最小值；（2）利用導數判斷函數單調性，結合零點存在定理可得零點個數.【詳解】（1）當時，，則，易知單調遞增，且，所以當時，單調遞減，當時，單調遞增，所以．（2）由題，，又，所以單調遞增，因為，所以存在唯一的，使，且當時，單調遞減，當時，單調遞增．又，所以在內有1個零點．令，則，令，則．所以單調