PAGE第1頁第一講三角形中的心一、重心1.定義：三角形的三條中線的交點叫做三角形的重心.2.性質：（1）重心到頂點的距離是其到對邊中點距離的2倍；（2）重心與三角形任意兩個頂點組成的三個小三角形的面積相等；（3）重心到三角形三個頂點距離的平方和最小；（4）設G為△ABC的重心，連結AG并延長交BC于D，則①②.二、外心1.定義：三角形外接圓圓心叫做三角形的外心.2.性質：（1）外心是三角形三條中垂線的交點，它到三角形各頂點距離相等；（2）設R為三角形ABC的外接圓半徑，則；垂心1.定義：三角形的三條高線的交點叫做三角形的垂心；2.性質：（1）三角形任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍；（2）垂心H關于△ABC的三邊的對稱點，均在△ABC的外接圓上；（3）△ABC的垂心為H，則△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圓是等圓；注：（1）歐拉線：三角形的外心O、重心G、垂心H三點共直線（歐拉線），且GH=2OG．（2）歐拉公式(定理)：設三角形的外接圓半徑為R,內(nèi)切圓半徑為r,外心與內(nèi)心的距離為d,則d2=R2－2Rr．注：歐拉不等式R≥2r．四、內(nèi)心1.定義：三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心．2.性質：（1）內(nèi)心是三角形三條角分線的交點，即內(nèi)心到三角形各邊距離相等；（2）設內(nèi)切圓⊙I的半徑為r，⊙I切AB于點P，AI的延長線交BC于N，交△ABC外接圓于點D，則①； ②DB=DI=DC； ③；五、旁心1.定義：三角形旁切圓的圓心叫做旁心．2.性質：（1）旁心是三角形的一內(nèi)角平分線與兩外角平分線交點；（2）設△ABC的旁切圓圓心分別記為，其半徑分別記為．則（對于頂角B，C也有類似的式子）；.例1點A在∠KMN的內(nèi)部，點B在KM上，點C在MN上，如果∠CBM=∠ABK，∠BCM=∠CAN，求證：△BCM的外心在AM上．例2（2002第23屆IMO試題）已知BC為⊙O的直徑，A為⊙O上一點，0°<∠AOB<120°，D是弧AB（不含C的弧）的中點，過O平行于DA的直線交AC于I，OA的垂直平分線交⊙O于E，F(xiàn)，證明：I是△CEF的內(nèi)心．例3已知在等腰△ABC中，CD是∠BCA的角平分線，O是它的外心．過O作CD的垂線交BC于點E，過E作CD的平行線交AB于點F，求證：BE=FD．第二講幾個重要定理一、梅涅勞斯（Menelaus）定理：設△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線和一條不經(jīng)過它們?nèi)我豁旤c的直線的交點分別為P、Q、R，則有．注：梅涅勞斯（Menelaus）定理的逆定理也成立，即由可推P、Q、R三點共線．二、塞瓦(Ceva)定理：設P、Q、R分別為△ABC的邊BC、CA、AB上的一點，則AP、BQ、CR所在直線交于一點，則．例4（1996年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題）設⊙O1與⊙O2和△ABC的三條邊所在直線都相切，切點分別為E，F(xiàn)，G，H，直線EG與FH交于點P，求證：PA⊥BC． 例15(第35屆IMO)△ABC是一個等腰三角形，AB=AC，假如 （1）M是BC的中點，O是直線AM上的點，使得OB垂直于AB； （2）Q是線段BC上不同于B和C的任意點； （3）E在直線AB上，F(xiàn)在直線AC上，使得E,G和F是不同的三個共線點.八、帕斯卡定理帕斯卡定理:設六邊形ABCDEF內(nèi)接于圓(與頂點次序無關,即ABCDEF無需為凸六邊形),直線AB與DE交于點X,直線CD與FA交于點Z,直線EF與BC交于點Y.則X、Y、Z三點共線.將直線XYZ稱做帕斯卡線.例16如圖,過△ABC的頂點A、B、C各作一直線使之交于一點P,而分別交△ABC的外接圓于A1、B1、C1.又在外接圓上任取一點Q,則QA1、QB1、QC1與BC、CA、AB對應的交點X、Z、Y三點共線.例17(第48屆IMO預選題)已知△ABC為確定的三角形,A1、B1、C1分別為邊BC、CA、AB的中點,P為△ABC外接圓上的動點,PA1、PB1、PC1分別與△AB