重慶市開州集團(tuán)2023年數(shù)學(xué)九上期末綜合測試試題

注意事項

1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題（每題4分，共48分）

1.下列是電視臺的臺標(biāo)，屬于中心對稱圖形的是（）

2.點(diǎn)M（—sin30。,cos30。）關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

3.在“綠水青山就是金山銀山”這句話中任選一個漢字，這個字是“山”的概率為（）

31

10U)

4.如圖，平行四邊形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，已知△DEF的面積為S,則四邊形ABCE的面積為（）

C.10SD.11S

5.如圖，轉(zhuǎn)盤的紅、黃、藍(lán)、紫四個扇形區(qū)域的圓心角分別記為a,P,Y,0.自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，則下面說法錯誤

A.若a>90。，則指針落在紅色區(qū)域的概率大于（）.25

B.若a>尸+y+6,則指針落在紅色區(qū)域的概率大于0.5

C.若-6,則指針落在紅色或黃色區(qū)域的概率和為0.5

D.若7+9=180。，則指針落在紅色或黃色區(qū)域的概率和為0.5

6.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的y與x的部分對應(yīng)值如下表：

X—0134???

y???242-2…

則下列判斷中正確的是()

A.拋物線開口向上B.拋物線與y軸交于負(fù)半軸

C.當(dāng)x=-1時y>0D.方程ax2+bx+c=0的負(fù)根在。與-1之間

7.拋物線y=2(x+3)2+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(3,5)B.(-3,5)C.(3,-5)D.(-3,-5)

8.如圖，在RtAABC中，NBAC=90。.將RtAABC繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)48。得到RSA，B，C,點(diǎn)A在邊BC上,

則NB，的大小為()

工

A.42°B.48°

C.52°D.58°

9.由于受豬瘟的影響，今年9月份豬肉的價格兩次大幅上漲，瘦肉價格由原來每千克23元，連續(xù)兩次上漲后，

售價上升到每千克4()元，則下列方程中正確的是()

A.23(1+a%)2=40B.23(1-a%)2=40

C.23(1+2a%)2=40D.23(1-2a%)2=40

10.拋物線y=(x+2f+l的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(2,1)B.(—2,—1)C.(2,—1)D.(—2,1)

11.對于反比例函數(shù)y=L,如果當(dāng)—2"W-1時有最大值y=4,貝！］當(dāng)XN8時，有()

X

A.最大值y=-lB.最小值y=-lC.最大值y=一,D,最小值>=一2

22

12.已知：在△45。中，ZA=78°,AB=4,AC=6,下列陰影部分的三角形與原△AbC不相似的是()

4

78°

C

B

A

A.

8

78°

二、填空題（每題4分，共24分）

13.若點(diǎn)A（-4,力）、5（-2,?）、C（2,J3）都在反比例函數(shù)y=-』的圖象上，則力、》的大小關(guān)系是

X

14.如圖，是二次函數(shù)y=依2+版+。和一次函數(shù)％=如+〃的圖象，觀察圖象寫出為之必時，x的取值范圍

15.已知3是一元二次方程好-2x+a=0的一個根，則a=.

16.小天想要計算一組數(shù)據(jù)92,90,94,86,99,85的方差S02,在計算平均數(shù)的過程中，將這組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)

都減去90,得到一組新數(shù)據(jù)2,0,4,-4,9,-5,記這組新數(shù)據(jù)的方差為S/，貝！JS/_sJ（填“>”，“=，，或“<"）

?_sina

17.光線從空氣射入水中會發(fā)生折射現(xiàn)象，發(fā)生折射時，滿足的折射定律如圖①所示：折射率〃=一方（a代表入

射角，/代表折射角）.小明為了觀察光線的折射現(xiàn)象，設(shè)計了圖②所示的實驗；通過細(xì)管可以看見水底的物塊，但從

細(xì)管穿過的直鐵絲，卻碰不上物塊，圖③是實驗的示意圖，點(diǎn)A,C,B在同一直線上，測得

BC=7cm,BF=12cm,DF=16cm,則光線從空射入水中的折射率n等于.

18.已知方程x2+/nx+3=0的一個根是1,則它的另一個根是,m的值是.

三、解答題（共78分）

19.（8分）已知nABCD邊AB、AD的長是關(guān)于x的方程/—/加+12=0的兩個實數(shù)根.

（D當(dāng)m為何值時，四邊形ABCD是菱形？

（2）當(dāng)AB=3時，求oABCD的周長.

14

20.（8分）如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，直線/：y=與x軸交于點(diǎn)A，經(jīng)過點(diǎn)A的拋物線）=依2—3x+c的

3

對稱軸是％=—.

2

（1）求拋物線的解析式.

（2）平移直線/經(jīng)過原點(diǎn)。，得到直線點(diǎn)P是直線機(jī)上任意一點(diǎn)，軸于點(diǎn)3,PCJ.）?軸于點(diǎn)。，若點(diǎn)

E在線段OB上，點(diǎn)尸在線段0c的延長線上，連接PE,PF,且PF=3PE.求證：PELPF.

（3）若（2）中的點(diǎn)P坐標(biāo)為（6,2）,點(diǎn)E是x軸上的點(diǎn)，點(diǎn)戶是.V軸上的點(diǎn)，當(dāng)PE_LPF時,拋物線上是否存在

點(diǎn)Q,使四邊形PE。/7是矩形？若存在，請求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由.

21.（8分）我們把兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”.如圖1,圖2,圖3中，是AA3C的中線,

AF±BE,垂足為點(diǎn)P,像A4BC這樣的三角形均為“中垂三角形.設(shè)8C=a,AC=b,A8=c.

(1)如圖1,當(dāng)/48￡=45°,。=2后時，則。=,b=

(2)如圖2,當(dāng)NA5E=30°,c=4時，則。=,b=；

歸納證明

(3)請觀察(1)(2)中的計算結(jié)果，猜想//2,,2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)

系式；

拓展應(yīng)用

(4)如圖4,在。ABCD中，E,￡G分別是AZ),8C,C￡＞的中點(diǎn)，且BE_LEG.若AO=2逐，AB=AF=3,

求A尸的長.

22.(10分)閱讀材料：各類方程的解法

求解一元一次方程，根據(jù)等式的基本性質(zhì)，把方程轉(zhuǎn)化為x=a的形式：求解二元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為一元一次

方程來解；類似的，求解三元一次方程組，把它轉(zhuǎn)化為二元一次方程組來解；求解一元二次方程，把它轉(zhuǎn)化為兩個一

元一次方程來解：求解分式方程，把它轉(zhuǎn)化為整式方程來解，由于“去分母”可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢

驗.各類方程的解法不盡相同，但是它們有一個共同的基本數(shù)學(xué)思想一一轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知.用“轉(zhuǎn)化”的數(shù)

學(xué)思想，我們還可以解一些新的方程.例如，一元三次方程/+/一2x=0,可以通過因式分解把它轉(zhuǎn)化為

x(無2+%-2)=0,解方程X=0和％2+工一2=0,可得方程X3+/一2%=()的解.利用上述材料給你的啟示，解下

列方程；

(1)y3—4y2+3y=0；

(2)j2x+3=x.

23.(10分)現(xiàn)有A、B兩個不透明袋子，分別裝有3個除顏色外完全相同的小球.其中，A袋裝有2個白球，1個紅

球；B袋裝有2個紅球，1個白球.

(1)將A袋搖勻，然后從A袋中隨機(jī)取出一個小球，求摸出小球是白色的概率；

(2)小華和小林商定了一個游戲規(guī)則：從搖勻后的A,B兩袋中隨機(jī)摸出一個小球，摸出的這兩個小球，若顏色相同，

則小林獲勝；若顏色不同，則小華獲勝.請用列表法或畫出樹狀圖的方法說明這個游戲規(guī)則對雙方是否公平.

24.(10分)已知：如圖，拋物線y=-x2+2x+3交x軸于點(diǎn)A、B,其中點(diǎn)A在點(diǎn)6的左邊，交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)尸為

拋物線上位于x軸上方的一點(diǎn).

(1)求4、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)若ARIB的面積為4,求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

25.（12分）如圖，在Rt.ABC中，NC=90,/B=30.

（1）用直尺和圓規(guī)作0,使圓心O在BC邊，且；。經(jīng)過A,B兩點(diǎn)上（不寫作法，保留作圖痕跡）；

（2）連接AO,求證：AO平分/CAB.

26.甲、乙、丙三位同學(xué)在知識競賽問答環(huán)節(jié)中,采用抽簽的方式?jīng)Q定出場順序.求甲比乙先出場的概率.

參考答案

一、選擇題（每題4分，共48分）

1、C

【解析】根據(jù)中心對稱圖形的概念即可求解.

【詳解】A、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

B、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；

C、是中心對稱圖形，故此選項正確；

D、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了中心對稱圖形的概念；在同一平面內(nèi)，如果把一個圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180度，旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完

全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.

2、D

【分析】根據(jù)特殊銳角的三角函數(shù)值，先確定點(diǎn)M的坐標(biāo)，然后根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)x值不變，y值互為相

反數(shù)的特點(diǎn)進(jìn)行選擇即可.

【詳解】因為sin30=1,cos30=—

22

所以-sin30

2

（iJ2}

所以點(diǎn)M

122yl

所以關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為（-《,一￡

122J

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是特殊角三角函數(shù)值和關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟練掌握三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

3、A

【分析】根據(jù)概率公式計算即可得出答案.

【詳解】V“綠水青山就是金山銀山”這句話中只有10個字，其中“山”字有三個，

3

???「（山）=歷

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了簡單事件概率的計算.熟記概率公式是解題的關(guān)鍵.

4、B

【解析】分析：由于四邊形A8CD是平行四邊形，那么AO〃8C,AD=BC,根據(jù)平行線分線段成比例定理的推論可得

ADEFSABCF,再根據(jù)E是40中點(diǎn)，易求出相似比，從而可求二以才的面積，再利用二BCE與0c尸是同高的三

角形，則兩個三角形面積比等于它們的底之比，從而易求0c戶的面積，進(jìn)而可求A3CZ）的面積.

詳解：如圖所示，

■:四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AD//BC,AD=BC,

：.ADEFs^BCF,

?s-s-幽2

,?0DEF?°BCFBC，

又是AZ）中點(diǎn)，

ADE^-AD=-BC,

22

：.DE:BC=DF:BF=i:2,

：?SDEF*S8cr=1：4,

:.SBCF=4S,

X".'DF:BF=1:2,

,,2DCF=2S,

,,SABCD=2(s.0CF+SBCF)=12s.

A四邊形ABCE的面積=9S,

故選B.

點(diǎn)睛：相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的面積比等于相似比的平方.

5、C

【分析】根據(jù)概率公式計算即可得到結(jié)論.

【詳解】解：A、???a>90",

a90

—=0.25,故A正確;

360360

B、Va+0+y+0=360°,a>0+y+0,

--->----=0.5,故B正確；

360360

C^Va-0=y-9,

/.a+6=P+y,Va+g+y+0=360",

a+0=0+7=180°,

180°

=0.5

.?.指針落在紅色或紫色區(qū)域的概率和為0.5,故C錯誤；

D、VY+6=180°,

/.a+6=180°,

，出=0.5

360

.?.指針落在紅色或黃色區(qū)域的概率和為0.5,故D正確；

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了概率公式，熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵.

6、D

【分析】根據(jù)表中的對應(yīng)值，求出二次函數(shù),=辦2+區(qū)+。的表達(dá)式即可求解.

【詳解】解：選取(0,2),(1,4),(3,2)三點(diǎn)分別代入了=/+法+。得

c=2

＜a+〃+c=4

9。+3。+c=2

a=-1

解得：蟲=3

c=2

???二次函數(shù)表達(dá)式為y=-―+3x+2

???。=—1,拋物線開口向下；，選項A錯誤；

???c=2函數(shù)圖象與V的正半軸相交；，選項B錯誤；

當(dāng)x=-l時，y=—(—l)2+3x(_l)+2=—2v0；工選項C錯誤；

令y=0,得一/+3》+2=0,解得：七=2！姮，3-V17

122

?；_i＜二二叵＜0,方程以2+法+。=0的負(fù)根在0與一1之間；

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，掌握性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵.

7、B

【解析】解：拋物線產(chǎn)2G+3)2+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-3,5),故選B.

8、A

【解析】試題分析：???在RSABC中，NBAC=90。，將RtAABC繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)48。得到RtAA，B，C,

.?.NA'=NBAC=90°,NACA'=48°,，NB，=90。-NACA'=42。.故選A.

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

9、A

【分析】根據(jù)增長率a%求出第一次提價后的售價，然后再求第二次提價后的售價，即可得出答案.

【詳解】根據(jù)題意可得：23(l+a%)2=40,故答案選擇A.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是一元二次方程在實際生活中的應(yīng)用，比較簡單，記住公式“增長后的量=增長前的量X(l+增長率)”.

10、D

【分析】根據(jù)拋物線頂點(diǎn)式解析式直接判斷即可.

【詳解】解：拋物線解析式為：y=(x+2)2+l,

...拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（-2,1）

故選：D.

【點(diǎn)睛】

此題根據(jù)拋物線頂點(diǎn)式解析式求頂點(diǎn)坐標(biāo)，掌握頂點(diǎn)式解析式的各項的含義是解此題的關(guān)鍵.

11、D

【解析】解：由當(dāng)—2Wx?-l時有最大值y=4,得x=—1時，y=4,左=—lx4=T,

4

反比例函數(shù)解析式為y=-一，

x

當(dāng)x?8時，圖象位于第四象限，y隨X的增大而增大，

當(dāng)x=8時，>最小值為-！

2

故選D.

12、C

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理對各選項進(jìn)行逐一判定即可.

【詳解】解：4、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項錯誤

8、陰影部分的三角形與原三角形有兩個角相等，故兩三角形相似，故本選項錯誤；

C、兩三角形的對應(yīng)邊不成比例，故兩三角形不相似，故本選項正確.

兩三角形對應(yīng)邊成比例且夾角相等，故兩三角形相似，故本選項錯誤；

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此題的關(guān)鍵.

二、填空題（每題4分，共24分）

13、yi>yi>yi

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到答案.

【詳解】?.?反比例函數(shù)y=—2的比例系數(shù)k<o,

X

，在每一個象限內(nèi)，y隨X的增大而增大，

?.,點(diǎn)A（-4,力）、8（-2,及）、C（2,山）都在反比例函數(shù)y=-，的圖象上，

X

/?J2>J1>O,Jl<0,

故答案是：

【點(diǎn)睛】

本題主要考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)的增減性，是解題的關(guān)鍵.

14、-2<x<l.

【解析】試題分析：與y2的兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)為-2,1,

當(dāng)yzNyi時，y2的圖象應(yīng)在yi的圖象上面，

即兩圖象交點(diǎn)之間的部分，

,此時x的取值范圍是-2WxWl.

考點(diǎn)：1、二次函數(shù)的圖象；2、一次函數(shù)的圖象.

15、-3

(分析】根據(jù)一元二次方程解的定義把x=3代入d-2x+a=0即可求得答案.

【詳解】將x=3代入/-2x+a=0得：

32~2x+a=0,

解得：a=—3>

故答案為:-3.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元二次方程解的定義，本題逆用一元二次方程解的定義是解題的關(guān)鍵.

16、=

【分析】根據(jù)一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個非零常數(shù)，那么這組數(shù)據(jù)的波動情況不變，即方差不變，

即可得出答案.

【詳解】???一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上(或都減去)同一個常數(shù)后，它的平均數(shù)都加上(或都減去)這一個常數(shù),

兩數(shù)進(jìn)行相減，方差不變，

...則Si2=Si.

故答案為：=.

【點(diǎn)睛】

22

本題考查方差的意義：一般地設(shè)n個數(shù)據(jù)，XI,X2,…Xn的平均數(shù)為了，則方差S2=L[(X1-X)+(X2-X)+...+(X?-X)

n

2],它反映了一組數(shù)據(jù)的波動大小，方差越大，波動性越大，反之也成立，關(guān)鍵是掌握一組數(shù)據(jù)都加上同一個非零常

數(shù)，方差不變.

4

17、-

3

【分析】過D作GH_LAB于點(diǎn)H,利用勾股定理求出BD和CD,再分別求出入射角NPDG和折射角NCDH的正弦

值，根據(jù)公式可得到折射率.

【詳解】如圖，過D作GHJ_AB于點(diǎn)H,

在RtZ\BDF中，BF=12cm,DF=16cm

BD=VBF2+DF2=>/l22+162=20cm

,??四邊形BFDH為矩形，

:.BH=DF=16cm,DH=BF=12cm

XVBC=7cm

.,.CH=BH-BC=9cm

2222

CD=VDH+CH=V12+9=15加

、一止BH164

?入射角為NPDG,sinZPDG=sinZBDH=——=一=-

BD205

CH93

折射角為NCDH,sinZCDH=——=——=一

CD155

sinZPDG454

.?.折射率片----------=-x-=-

sinZCDH533

4

故答案為：

3

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了勾股定理和求正弦值，解題的關(guān)鍵是找出圖中的入射角與折射角，并計算出正弦值.

18、3-4

cb

【解析】試題分析：根據(jù)韋達(dá)定理可得：X,?X=-=3,則方程的另一根為3；根據(jù)韋達(dá)定理可得：X,+%,=--=4=-

2aa

m,貝!Jm=-4.

考點(diǎn)：方程的解

三、解答題（共78分）

19、（1）473;（2）1

【分析】（1）由菱形的四邊相等知方程有兩個相等的實數(shù)根，據(jù)此利用根的判別式求解可得，注意驗根；

（2）由AB=3知方程的一個解為3,代入方程求出m的值，從而還原方程,再利用根與系數(shù)的關(guān)系得出AB+AD的值，從而

得出答案.

【詳解】解：（1）若四邊形ABCD是菱形，則AB=AD,

所以方程有兩個相等的實數(shù)根,

貝(J△二(-m)2-4x1x12=0,

解得m=±4石，

檢驗：當(dāng)m=45/3時,x=2V3，符合題意;當(dāng)m=-4百時,x=-2V3，不符合題意，故舍去.

綜上所述，當(dāng)m為4百時,四邊形ABCD是菱形.

(2)VAB=3,

:.9-3m+12=0,

解得m=7,

二方程為x2-7x+12=0,

貝(IAB+AD=7,

二平行四邊形ABCD的周長為2(AB+AD)=1.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系，菱形和平行四邊形的性質(zhì).

20、(1)y=f-3x—4；(2)證明見解析；⑶存在，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(一2,6)或(2,-6).

3

【分析】(1)先求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后依據(jù)拋物線過點(diǎn)A,對稱軸是x=±,列出關(guān)于a、c的方程組求解即可；

2

(2)設(shè)P(3n,n),則PC=3n,PB=n,然后再證明NFPC=NEPB,最后通過等量代換進(jìn)行證明即可；

(3)設(shè)E(f,O),然后用含t的式子表示BE的長，從而可得到CF的長，于是可得到點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后依據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)

O+pF+FO+PF+E

公式可得到乂『成了上='一，從而可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)(用含t的式子表示)，最后，將點(diǎn)Q

的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求得t的值即可.

14

X-=O

【詳解】解：(1)當(dāng)y=o時,3-3-

解得X=4,即A(4,o),

3

拋物線過點(diǎn)A,對稱軸是工=?，

2

16。-12+。=0

得，'

、一五一萬

a=l

解得｛,拋物線的解析式為V=V-3X-4；

c=-4

(2)?.?平移直線/經(jīng)過原點(diǎn)。，得到直線加，

...直線〃？的解析式為y=gx.

?點(diǎn)P是直線/上任意一點(diǎn)，

尸（3〃,/?）,則PC=3〃，PB=n.

又TPF=3PE,

.PCPB

''~PF~~PE'

軸，PC_Ly軸

cosZ.FPC-cosNEPB

:.NFPC=NEPB

'：NCPE+NEPB=90。,

:.ZFPC+ZCPE=90°,

???FP工PE.

（3）設(shè)E?,0）,點(diǎn)E在點(diǎn)B的左側(cè)時，如圖所示，則8E=6—t.

.??OF=20—3九

/.F（0,20-3f）.

四邊形PEQ/7為矩形，

.Q+P_F+EQ、.+P,F+E

??---X-----X-----X------X-，—:-=—:v-y

2222

：.Qx+6=0+t,Qv+2=20-3/+0,

：.Qx=t-6,。、.=18-3f.

將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：18—3/=9—6）2-3（r-6）-4,

解得：/=4或1=8（舍去）.

當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)3的右側(cè)時，如下圖所示，則=r—6.

VCF=3BE=3z-18,

：.OF=3t-20.

/.F（0,20-/）.

?.?四邊形PEQ/7為矩形,

.Q'+VG+E、Qv+Pv_Fy+Ey

??一，-------------------9

2222

.?.Qv+6=0+f,Qv+2=20-3f+0,

：.Qx=t-6,。,=18-3f.

將點(diǎn)Q的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：18—3r=。-6）2-36_6）-4,

解得：/=8或f=4（舍去）.

二。（2,-6）.

綜上所述，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（一2,6）或（2,-6）.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了矩形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、中點(diǎn)坐

標(biāo)公式，用含t的式子表示點(diǎn)Q的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

21、（1）275,275;（2）2萬,2萬；（3）a2+h2=5c2,證明見解析；（4）AF=4

1PFPFFFI

【分析】（D根據(jù)三角形的中位線得出；EF=-AB,進(jìn)而得到——=—=—=—計算即可得出答案；

2PBPAAB2

（2）連接EF,中位線的性質(zhì)以及NABE=30°,c=4求出AP、BP、EP和FP的長度再根據(jù)勾股定理求出AE和BF

的長度即可得出答案；

PFPF1

（3）連接EF,根據(jù)中位線的性質(zhì)得出——=--=根據(jù)勾股定理求出AE與AP和EP的關(guān)系以及BF與BP和

PBPA2

FP的關(guān)系，即可得出答案；

（4）取A3的中點(diǎn)，，連接結(jié)合題目求出四邊形A5EE是平行四邊形得出AP=FP即可得到AA8尸是“中

垂三角形”，根據(jù)第三問得出的結(jié)論代入，即可得出答案（連接交于點(diǎn)，，證明AHBC求得BE,CA

是的中線，進(jìn)而得出AHBC是“中垂三角形”，再結(jié)合第三問得出的結(jié)論計算即可得出答案）.

【詳解】解：（1）???是AABC的中線，是AABC的中位線，

:.EF//AB,且==夜，易得些=生=%=二

22PBPAAB2

VZABE=45°,c=2y/2,

:.AP=BP=2,:.EP=FP=L

由勾股定理，得AE=BFM,

:?a=b=2->/5?

（2）如圖2,連結(jié)EF.

：ARBE是ZVWC的中線，

二EF是AA8C的中位線，

EF//AB,且』“PEPFEF1

='AB=x4=2,易得一=—=—=一

22PBPAAB2

.,:NA3E=30°,c=4,

AAP=2,BP=2A/3,

二FP=1,EP=C.

由勾股定理，得AE==JW,

a—2y/13,h=2sfl.

E

(3)/,/,,2之間的關(guān)系是/+62=5/.

證明如下：如圖3,連結(jié)Ef.

是AABC的中線,

二EE是AABC的中位線.

：.EFIIAB,且=

22

aAPEPF1

易得---=----=—■

PBPA2

在RfAAPE和Rt^BPF中，

AP2+EP2>BF?=BP?+FP?，

1

：?AE2+BF2=AP2+EP-+BP2+FP2AP2+\-BPI+BP2+-AP.

2(2

：.AE2+BF2=^(AP2+BP2).

即a2+h2=5c2.

(4)解法1：設(shè)AE,BE的交點(diǎn)為p.如圖4,取A?的中點(diǎn)“，連接F",AC.

D

BFC

圖4

???26分別是4。,。。的中點(diǎn)，尸是3c的中點(diǎn)，

AEG//AC//FH.

又BELEG,

:.FH工BE.

V四邊形A5CD是平行四邊形，

AD//BC,AD=BC,

:.AE=BF,AE//BF,

:.四邊形ABFE是平行四邊形，

:.AP=FP,

二A鉆廠是“中垂三角形”，

AAB2+AF2=5BF2，即3?+A尸=5x(7^,

解得AF=4.

(另：連接EC,。/7,交于點(diǎn)"，易得AEDC是“中垂三角形”,，解法類似于解法1,如圖5)

A________￡________p

O

BFC

圖5

解法2：如圖6,連接AC,CE,延長CE交44的延長線于點(diǎn)”.

圖6

在A4CD中，???E,G分別是ARC。的中點(diǎn),

:.EG//AC.

?：BELEG,

：.AC±BE.

又???四邊形ABC。為平行四邊形，

AE//BC,AD=BC,BC=2AE,

易得AHAEAHBC,

.AEHAHE1

AHA=AB,HE=CE,

：.BE,C4是AHBC的中線，

二AHBC是“中垂三角形”，

J.HB2+HC25BC2.

VAB=3,AE=4^,

：.HB=6,BC=275.

：.62+HC2=5x(2y/5)2,

解得HC=8.

■:AF是△HBC的中位線，

:.AF=-HC=4.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)，注意類比思想在本題中的應(yīng)用，第

四問方法一得出AB?+=55/2是解決本題的關(guān)鍵.

22、(1)乂=0,%=1，%=3;(2)x=l

【分析】(1)因式分解多項式，然后得結(jié)論；

(2)根據(jù)題目中的方程，兩邊同時平方轉(zhuǎn)化為有理方程，然后解方程即可，注意，最后要檢驗，所得的根是否使得原

無理方程有意義.

【詳解】解：(1)Vy3-4/+3y=0,

/.y(y2-4y+3)=0,

心-i)(y-3)=o,

/.y=0,y-1=0,y-3=0,

解得:弘=0,%=1，%=3;

(2)J2x+3=x，

:.2x+3=x2>

x2—2x—3=0,

/.(x+l)(x-3)=0,

解得：X|=-l,X2=l>

經(jīng)檢驗，X=1是原無理方程的根，X=-l不是原無理方程的根，

即方程，2x+3=x，的解是x=l.

【點(diǎn)睛】

本題考查解無理方程、因式分解法，解答本題的關(guān)鍵是明確解方程的方法，注意無理方程最后要檢驗.

2

23、(1)P(摸