許老師奧數PAGE1-改變教育，從改變關系開始！第三部分行程問題第一講行程基礎【專題知識點概述】行程問題是一類常見的重要應用題，在歷次數學競賽中經常出現。行程問題包括：相遇問題、追及問題、火車過橋問題、流水行船問題、環形行程問題等等。行程問題思維靈活性大，輻射面廣，但根本在于距離、速度和時間三個基本量之間的關系，即：距離速度時間，時間距離速度，速度距離時間。在這三個量中，已知兩個量，即可求出第三個量。掌握這三個數量關系式，是解決行程問題的關鍵。在解答行程問題時，經常采取畫圖分析的方法，根據題意畫出線段圖，來幫助我們分析、理解題意，從而解決問題。一、行程基本量我們把研究路程、速度、時間以及這三者之間關系的一類問題，總稱為行程問題.我們已經接觸過一些簡單的行程應用題，行程問題主要涉及時間（t）、速度（v）和路程（s）這三個基本量，它們之間的關系如下：（1）速度×時間=路程可簡記為：s=vt（2）路程÷速度=時間可簡記為：t=s÷v（3）路程÷時間=速度可簡記為：v=s÷t顯然，知道其中的兩個量就可以求出第三個量.二、平均速度平均速度的基本關系式為：平均速度總路程總時間；總時間總路程平均速度；總路程平均速度總時間。【重點難點解析】行程三要素之間的關系2．平均速度的概念3．注意觀察運動過程中的不變量【競賽考點挖掘】1.注意觀察運動過程中的不變量【習題精講】【例1】（難度等級※）郵遞員早晨7時出發送一份郵件到對面山里，從郵局開始要走12千米上坡路，8千米下坡路。他上坡時每小時走4千米，下坡時每小時走5千米，到達目的地停留1小時以后，又從原路返回，郵遞員什么時候可以回到郵局?【分析與解】法一：先求出去的時間，再求出返回的時間，最后轉化為時刻。①郵遞員到達對面山里需時間：12÷4+8÷5=4.6(小時);②郵遞員返回到郵局共用時間：8÷4+12÷5+1+4.6=2+2.4+1+4.6=l0(小時)③郵遞員回到郵局時的時刻是：7+10-12=5(時).郵遞員是下午5時回到郵局的。法二：從整體上考慮，郵遞員走了（12+8）千米的上坡路，走了（12+8）千米的下坡路，所以共用時間為：（12+8）÷4+（12+8）÷5+1=10(小時)，郵遞員是下午7+10-12=5(時)回到郵局的。．【例2】（難度等級※）甲、乙兩地相距100千米。下午3點，一輛馬車從甲地出發前往乙地，每小時走10千米；晚上9點，一輛汽車從甲地出發駛向乙地，為了使汽車不比馬車晚到達乙地，汽車每小時最少要行駛多少千米？.【分析與解】馬車從甲地到乙地需要100÷10=10小時，在汽車出發時，馬車已經走了9-3=6(小時)。依題意，汽車必須在10-6=4小時內到達乙地，其每小時最少要行駛100÷4=25(千米)．【例3】（難度等級※※）小明每天早晨6：50從家出發，7：20到校，老師要求他明天提早6分鐘到校。如果小明明天早晨還是6：50從家出發，那么，每分鐘必須比往常多走25米才能按老師的要求準時到校。問：小明家到學校多遠？（第六屆《小數報》數學競賽初賽題第1題）【分析與解】原來花時間是30分鐘，后來提前6分鐘，就是路上要花時間為24分鐘。這時每分鐘必須多走25米，所以總共多走了24×25=600米，而這和30分鐘時間里，后6分鐘走的路程是一樣的，所以原來每分鐘走600÷6=100米。總路程就是=100×30=3000米。【例4】（難度等級※）韓雪的家距離學校480米，原計劃7點40從家出發8點可到校，現在還是按原時間離開家，不過每分鐘比原來多走16米，那么韓雪幾點就可到校？【分析與解】原來韓雪到校所用的時間為20分鐘，速度為：480÷20=24（米/分），現在每分鐘比原來多走16米，即現在的速度為24+16=40（米/分），那么現在上學所用的時間為：480÷40=12（分鐘），7點40分從家出發，12分鐘后，即7點52分可到學校．第二講相遇與追及【專題知識點概述】在今天這節課中，我們來研究行程問題中的相遇與追及問題．這一講就是通過例題加深對行程問題三個基本數量關系的理解，使學生養成畫圖解決問題的好習慣！在行程問題中涉及到兩個或兩個以上物體運動的問題，其中最常見的是相遇問題和追及問題.一、相遇甲從A地到B地，乙從B地到A地，然后兩人在途中相遇，實質上是甲和乙一起走了A,B之間這段路程，如果兩人同時出發，那么相遇路程=甲走的路程+乙走的路程=甲的速度×相遇時間+乙的速度×相遇時間=（甲的速度+乙的速度）×相遇時間=速度和×相遇時間.一般地，相遇問題的關系式為：速度和×相遇時間=路程和，即二、追及有兩個人同時行走，一個走得快，一個走得慢，當走得慢的在前，走得快的過了一些時間就能追上他.這就產生了“追及問題”.實質上，要算走得快的人在某一段時間內，比走得慢的人多走的路程，也就是要計算兩人走的路程之差（追及路程）.如果設甲走得快，乙走得慢，在相同的時間（追及時間）內：追及路程=甲走的路程-乙走的路程=甲的速度×追及時間-乙的速度×追及時間=（甲的速度-乙的速度）×追及時間=速度差×追及時間.一般地，追擊問題有這樣的數量關系：追及路程=速度差×追及時間，即【重點難點解析】1．直線上的相遇與追及2．環線上的相遇與追及【競賽考點挖掘】1.多人多次相遇與追及【習題精講】【例1】（難度等級※）一輛客車與一輛貨車同時從甲、乙兩個城市相對開出，客車每小時行46千米，貨車每小時行48千米。3.5小時兩車相遇。甲、乙兩個城市的路程是多少千米？【分析與解】（46+48）×3.5=94×3.5=329（千米）．【例2】（難度等級※）兩地間的路程有255千米，兩輛汽車同時從兩地相對開出，甲車每小時行45千米，乙車每小時行40千米。甲、乙兩車相遇時，各行了多少千米？【分析與解】255÷（45+40）=255÷85=3（小時）。45×3=135（千米）。40×3=120（千米）。．【例3】（難度等級※※）兩地相距3300米，甲、乙二人同時從兩地相對而行，甲每分鐘行82米，乙每分鐘行83米，已經行了15分鐘，還要行多少分鐘兩人可以相遇？【分析與解】[3300-（82+83）×15]÷（82+83）=[3300-165×15]÷165=[3300-2475]÷165=825÷165=5（分鐘）【例4】（難度等級※）甲、乙二人都要從北京去天津，甲行駛10千米后乙才開始出發，甲每小時行駛15千米，乙每小時行駛10千米，問：乙經過多長時間能追上甲？【分析與解】出發時甲、乙二人相距10千米，以后兩人的距離每小時都縮短15-10＝5（千米），即兩人的速度的差（簡稱速度差），所以10千米里有幾個5千米就是幾小時能追上.10÷（15-10）＝10÷5＝2（小時）．【例5】（難度等級※※）]南轅與北轍兩位先生對于自己的目的地s城的方向各執一詞，于是兩人都按照自己的想法駕車同時分別往南和往北駛去，二人的速度分別為50千米/時，60千米/時，那么北轍先生出發5小時他們相距多少千米?．【分析與解】兩人雖然不是相對而行，但是仍合力完成了路程，（50+60）×5=550（千米）．【例6】（難度等級※※）軍事演習中，“我”海軍英雄艦追擊“敵”軍艦，追到A島時，“敵”艦已在10分鐘前逃離，“敵”艦每分鐘行駛1000米，“我”海軍英雄艦每分鐘行駛1470米，在距離“敵”艦600米處可開炮射擊，問“我”海軍英雄艦從A島出發經過多少分鐘可射擊敵艦?【分析與解】“我”艦追到A島時，“敵”艦已逃離10分鐘了，因此，在A島時，“我”艦與“敵”艦的距離為10000米（=1000×10）.又因為“我”艦在距離“敵”艦600米處即可開炮射擊，即“我”艦只要追上“敵”艦9400（=10000米-600米）即可開炮射擊.所以，在這個問題中，不妨把9400當作路程差，根據公式求得追及時間.即（1000×10-600）÷（1470-1000）=（10000-600）÷470=9400÷470=20（分鐘），所以，經過20分鐘可開炮射擊“敵”艦．【例7】（難度等級※※※）小紅和小藍練習跑步，若小紅讓小藍先跑20米，則小紅跑5秒鐘就可追上小藍；若小紅讓小藍先跑4秒鐘，則小紅跑6秒鐘就能追上小藍.小紅、小藍二人的速度各是多少？【分析與解】小紅讓小藍先跑20米，則20米就是小紅、小藍二人的路程差，小紅跑5秒鐘追上小藍，5秒就是追及時間，據此可求出他們的速度差為20÷5=4（米/秒）；若小紅讓小藍先跑4秒，則小紅6秒可追上小藍，在這個過程中，追及時間為6秒，根據上一個條件，由追及差和追及時間可求出在這個過程中的路程差，這個路程差即是小藍4秒鐘所行的路程，路程差就等于4×6=24（米），也即小藍在4秒內跑了24米，所以可求出小藍的速度，也可求出小紅的速度.綜合列式計算如下：小藍的速度為：20÷5×6÷4=6（米/秒），小紅的速度為：6+4=10（米/秒）【例8】（難度等級※※※）小明步行上學，每分鐘行70米.離家12分鐘后，爸爸發現小明的文具盒忘在家中，爸爸帶著文具盒，立即騎自行車以每分鐘280米的速度去追小明.問爸爸出發幾分鐘后追上小明？【分析與解】爸爸要追及的路程：70×12=840（米）,爸爸與小明的速度差：280-70=210（米/分）,爸爸追及的時間：840÷210=4（分鐘）．【例9】（難度等級※※※）上午8點8分，小明騎自行車從家里出發，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時候，離家恰好是8千米，這時是幾點幾分？【分析與解】畫一張簡單的示意圖：圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸騎的距離是4＋8＝12（千米）.這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的12÷4＝3（倍）.按照這個倍數計算，小明騎8千米，爸爸可以騎行8×3＝24（千米）.但事實上，爸爸少用了8分鐘，騎行了4＋12＝16（千米）.少騎行24-16＝8（千米）.摩托車的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸騎行16千米需要16分鐘.8＋8＋16＝32.所以這時是8點32分。【例10】（難度等級※※）甲車每小時行40千米，乙車每小時行60千米。兩車分別從A，B兩地同時出發，相向而行，相遇后3時，甲車到達B地。求A，B兩地的距離。【分析與解】相遇后甲行駛了40×3=120千米，即相遇前乙行駛了120千米，說明甲乙二人的相遇時間是120÷60=2小時，則兩地相距（40+60）×2=200千米．【例11】（難度等級※※）小紅和小強同時從家里出發相向而行。小紅每分鐘走52米，小強每分鐘走70米，二人在途中的A處相遇。若小紅提前4分鐘出發，但速度不變，小強每分鐘走90米，則兩人仍在A處相遇。小紅和小強的家相距多遠?【分析與解】因為小紅的速度不變，相遇地點不變，所以小紅兩次走的時間相同，推知小強第二次比第一次少走4分。由（70×4）÷（90-70）=14（分），推知小強第二次走了14分，第一次走了18分，兩人的家相距（52+70）×18=2196（米）．【例12】（難度等級※※※）甲乙兩車分別從A、B兩地同時相向開出，4小時后兩車相遇，然后各自繼續行駛3小時，此時甲車距B地10千米，乙車距A地80千米．問：甲車到達B地時，乙車還要經過多少時間才能到達A地?【分析與解】由4時兩車相遇知，4時兩車共行A，B間的一個單程．相遇后又行3時，剩下的路程之和10＋80＝90（千米）應是兩車共行4－3＝1（時）的路程．所以A，B兩地的距離是（10＋80）÷（4－3）×4＝360（千米）。因為7時甲車比乙車共多行80－10＝70（千米），所以甲車每時比乙車多行70÷7＝10（千米），又因為兩車每時共行90千米，所以每時甲車行50千米，乙車行40千米．行一個單程，乙車比甲車多用360÷40－360÷50＝9－7．2＝1．8（時）＝1時48分．【例13】（難度等級※※※）甲、乙二人分別從A、B兩地同時出發，如果兩人同向而行，甲26分鐘趕上乙；如果兩人相向而行，6分鐘可相遇，又已知乙每分鐘行50米，求A、B兩地的距離.【分析與解】若設甲、乙二人相遇地點為C，甲追及乙的地點為D，則由題意可知甲從A到C用6分鐘.而從A到D則用26分鐘，因此，甲走C到D之間的路程時，所用時間應為：（26-6）=20（分）。同時，由上圖可知，C、D間的路程等于BC加BD.即等于乙在6分鐘內所走的路程與在26分鐘內所走的路程之和，為50×（26＋6）=1600（米）.所以，甲的速度為1600÷20＝80（米/分），由此可求出A、B間的距離。50×（26+6）÷（26-6）=50×32÷20＝80（米/分）（80+50）×6＝130×6=780（米）【例14】（難度等級※※※）小張從甲地到乙地，每小時步行5千米，小王從乙地到甲地，每小時步行4千米.兩人同時出發，然后在離甲、乙兩地的中點1千米的地方相遇，求甲、乙兩地間的距離？【分析與解】畫一張示意圖（可讓學生先判斷相遇點在中點哪一側，為什么？）離中點1千米的地方是A點，從圖上可以看出，小張走了兩地距離的一半多1千米，小王走了兩地距離的一半少1千米.從出發到相遇，小張比小王多走了2千米小張比小王每小時多走（5-4）千米，從出發到相遇所用的時間是2÷（5-4）＝2（小時）.因此，甲、乙兩地的距離是（5＋4）×2＝18（千米）.【例15】（難度等級※※※）