絕密★啟用前（新高考卷）數學試卷注意事項.1.答卷前，考生務必將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改功，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合，再根據交集的定義即可得解.【詳解】，所以.故選：D.2.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據復數的乘除法運算及共軛復數的定義即可得解.【詳解】，所以.故選：A.3.已知橢圓的焦距為2，且，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由橢圓的定義得到，再由橢圓的性質得到，結合已知條件解方程組，最后求出離心率即可.【詳解】根據題意有半焦距，故①，且②，聯立①②解得的離心率.故選：D.4.乒乓球被譽為我國的“國球”，一個標準尺寸乒乓球的直徑是，其表面積約為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由球的表面積公式求解即可.【詳解】標準尺寸乒乓球的直徑是，標準乒乓球的半徑，故表面積.故選：C5.已知函數沒有極值點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求導，由題意可得，即可得解.【詳解】，是開口向上的二次函數，因為函數沒有極值點，則，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：B.6.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知可得，，兩式相加，再結合兩角差的余弦公式即可得解.【詳解】由，可得，由，可得，故，又因，所以，所以，即.故選：A.7.已知一組樣本數據的方差為10，且．設，則樣本數據的方差為（）A.9.5 B.10.5 C.9.75 D.10.25【答案】B【解析】【分析】設樣本數據的平均值為，由題意求得樣本數據的平均值，再根據方差公式化簡求值，即可求得答案.【詳解】設樣本數據的平均值為，方差為，樣本數據的方差為，則，，故，故選：B8.甲、乙、丙三名同學報名參加數學、物理、化學、生物興趣小組．已知每人參加兩個興趣小組，三人不能同時參加同一個興趣小組，每個興趣小組至少有一人參加，則不同的報名參加方式共有（）A.45種 B.81種 C.90種 D.162種【答案】C【解析】【分析】根據題意4個興趣小組中必有兩個2人選，兩個1人選，根據2人選的小組是同樣的兩個人還是三人分兩種情況，由分類加法計數原理列式計算.詳解】根據題意，4個興趣小組中必有兩個2人選，兩個1人選，根據2人選的小組是同樣的兩個人還是3人分兩種情況：當2人選的小組是同樣的兩個人時，有種選法；當2人選的小組是由3人構成時，有種選法；所以不同的報名參加方式有種選法.故選：C.【點睛】關鍵點睛：本題解題的關鍵是抓住4個興趣小組中必有兩個2人選，兩個1人選，再根據2人選的小組是同樣的兩個人還是三人分兩種情況，由分類加法計數原理計算.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9已知函數，則（）A.的最小正周期是 B.的值域是C.的圖像關于點對稱 D.的圖像關于直線對稱【答案】ABD【解析】【分析】根據余弦型函數的最小正周期公式、值域性質、對稱性逐一判斷即可.【詳解】A：的最小正周期是，所以本選項正確；B：由，所以的值域是，因此本選項正確；C：因為，所以的圖像不關于點對稱，因此本選項不正確；D：因為為最大值，所以的圖像關于直線對稱，因此本選項正確，故選：ABD10.已知點分別為雙曲線的左、右焦點，為的右支上一點，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據雙曲線的定義結合三角形三邊之間的關系逐一分析即可.【詳解】由題意可得，由雙曲線的定義可得，則，所以，所以，當且僅當共線時等號成立，故A錯誤，B正確；，當且僅當共線且在兩點中間時，等號成立，此時點在第四象限，故C正確；對于D，因為，所以，當且僅當共線且在兩點中間時，，此時點位于第一象限當且僅當共線且在兩點中間時，，此時點位于第四象限，因為，雙曲線的漸近線方程為，而，所以共線時，點位于第四象限，所以，故D正確.故選：BCD.11.在中，，邊在平面上的射影長分別為3，4，則邊在上的射影長可能為（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據題意，分在同一側與不同側討論，結合勾股定理代入計算，即可得到結果.【詳解】不妨設點在上，因為，且邊在平面上的射影長分別為3，4，所以點到的距離分別為4，3.當在同一側時，在上的射影長為；當在不同側時，在上的射影長為.故選：AC三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，若，則______，______．【答案】①.②.【解析】【分析】先求出，根據可得，即可求出，再根據向量的模得坐標公式求解即可.【詳解】由，得，因為，所以，解得，所以，所以.故答案為：；.13.記為等差數列的前項和，若，則______.【答案】49【解析】【分析】根據等差數列的前項和公式及等差數列的性質計算即可.【詳解】因為，則，又因為，故，所以.故答案為：.14.已知且，函數在的最大值為，則在的最小值為______．【答案】【解析】【分析】計算，從而可得出函數的對稱性，再根據函數的對稱性即可得出答案.【詳解】函數的定義域為，關于原點對稱，由，得，令，則，所以函數為奇函數，因為函數在的最大值為，所以函數在的最大值為，所以函數在的最小值為，所以在的最小值為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：求出，得出函數的對稱性是解決本題的關鍵.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.記的內角的對邊分別為，已知．（1）若，求；（2）若，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，再結合已知求出，再根據二倍角公式即可得解；（2）先利用余弦定理求出，再根據三角形的面積公式即可得解.【小問1詳解】因為，由正弦定理得，因為，所以，所以，所以；【小問2詳解】因為，由余弦定理得，解得，所以，因為，所以，所以的面積.16.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，分別為的中點，為線段上一點，且．（1）證明：平面；（2）若平面，且，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于點，連接，設，連接，利用相似比證明，再根據線面平行的判定定理即可得證；（2）以點為原點建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】連接交于點，連接，設，連接，則為的中點，因，所以，因為分別為的中點，所有且，所以，所以，所以，又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，不妨設，則，故，設平面的法向量為，則有，可取，設平面的法向量為，則有，可取，所以，所以二面角的正弦值為．17.已知某客運輪渡最大載客質量為，且乘客的體重（單位：）服從正態分布．（1）記為任意兩名乘客中體重超過的人數，求的分布列及數學期望（所有結果均精確到0.001）；（2）設隨機變量相互獨立，且服從正態分布，記，則當時，可認為服從標準正態分布．若保證該輪渡不超載的概率不低于，求最多可運載多少名乘客．附：若隨機變量服從正態分布，則；若服從標準正態分布，則；，，．【答案】（1）分布列見解析，期望值為；（2）【解析】【分析】（1）首先求得乘客體重大于的概率為，再利用二項分布可求得概率得分布列和期望值；（2）根據可得保證該輪渡不超載的概率不低于等價于，解不等式可得.【小問1詳解】由乘客的體重（單位：）服從正態分布可得，則可得，即任意一名乘客體重大于的概率為，則的所有可能取值為，，，所以的分布列為012期望值【小問2詳解】設為第位乘客的體重，則，其中，所以，由可得，即，可得，即，.所以保證該輪渡不超載的概率不低于，最多可運載64名乘客.18.已知拋物線的焦點為各頂點均在上，且．（1）證明：是的重心；（2）能否是等邊三角形？并說明理由；（3）若均在第一象限，且直線的斜率為，求的面積．【答案】（1）證明見解析（2）不肯能，理由見解析（3）【解析】【分析】（1）設的中點為，的中點為，證明是的兩條中線即可；（2）設，由題意可得，若是等邊三角形，則，再由，可求出，進而可得出結論；（3）設直線的方程為，聯立方程，由韋達定理求得，再結合（2）可求得點的坐標及的值，再根據弦長公式及點到直線的距離公式即可得解.【小問1詳解】設的中點為，的中點為，因為，所以，又為公共端點，所以三點共線，同理可得，又為公共端點，所以三點共線，所以是的兩條中線，所以是的重心；【小問2詳解】由題意，設，則，由，可得，由拋物線的定義可得，若是等邊三角形，則由（1）知，由，可得，又因不重合，所以，所以，所以，，故，這與矛盾，所以不可能是等邊三角形；【小問3詳解】設直線的方程為，聯立，化簡得，，所以，由韋達定理得，由（2）有，，所以，由得，解得，所以，即，直線的方程為，所以，點到直線的距離，所以的面積為【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設直線方程，設交點坐標為、；（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.19.已知函數．（1）若，求的極值；（2）若，設．證明：（ⅰ）；（ⅱ）．【答案】（1）極小值，極大值（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先化簡函數的解析式，再利用導數研究函數的極值即可；（2）（ⅰ）根據題意，將轉化為，再由與證明即可；（ⅱ）根據題意，結合（ⅰ）中的結論，構造函數，求導即可得到，即可證明.【小問1詳解】由得，即，其定義域為.所以，令，則，明顯為單調遞減函數，令，得，即當時，，當時，即在上單調遞增，在上單調遞減，又因為，所以，且，，當時，，當時，，即在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，所以函數在處取得極小值，即極小值為.函數在處取得極大值，即極大值為，綜上：函數極小值為，極大值為；【小問2詳解】（ⅰ）要證明，即即證