2023-2024學年山東省青島三十九中、育才學校八年級（上）期

中數學試卷

一、單選題（請將下列各題的正確答案涂在答題紙上，本大題共14小題，每小題3分，共

42分）

1.下列實數中，屬于無理數的是（）

A.?B.77C.3.14D.V7

2.下列各組數中，不能組成直角三角形的是（）

A.7,24,25B.9,12,15C.1,3D.5,12,13

3.下列算式中，正確的是（）

A.V25=±5B.（石A3=7CV(-2)2=-2D-(-V7)2=7

4.估計/萬的值是在（）

A.3和4之間B.4和5之間C.5和6之間D.6和7之間

5.在平面直角坐標系中，點2m）在x軸上（）

A.(1,0)B.(-1,0)C.(0,2)D.(0,-1)

6.在平面直角坐標系的第二象限內有一點P,它到x軸的距離為3,到y軸的距離為5（）

A.(-5,3)B.(—3,5)C.(3,5)D.(5,-3)

7.若（y+2）2WTH=0,則爐的值為（)

A.」B.，C.—D.—

9898

8.已知點P（〃,3）和點Q（4,b）關于X軸對稱（）

A.1B.-1C.7D.-7

9.如圖，己知一次函數的圖象與x軸，y軸分別交于點（2,0），點（0,3）（)

C.x=0D.不能確定

10.如圖，在數軸上點A表示的數為2,在點A的右側作一個長為2,將對角線AC繞點A

逆時針旋轉，使對角線的另一端落在數軸負半軸的點處￡（）

E01AB

A.娓B.-V5C.2-V5D.V5-2

11.如圖是一圓柱玻璃杯，從內部測得底面半徑為6c〃z,高為16cm,則吸管露在杯口外的

長度最少是（）

??

t

V.--->

A.6c77?B.5cm

C.9cmD.（25-2.73）cm

12.關于函數y=-1,下列說法錯誤的是（）

A.當x=2時，y=-2

B.y隨x的增大而減小

C.若X1>X2，則力>卜2

D.圖象經過第二、三、四象限

13.直線八：y=fcv+/?和8在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）

/葉、「

A.SF~7W-"

C/二

14.甲、乙兩輛汽車同時分別從相距300千米的A、B兩座城市出發相向而行，行駛過程中

兩車速度不變，甲車到達8城，乙車繼續行駛，到達A城后停止，以兩車行駛時間為x

軸，畫出如圖①所示函數圖象，以兩車行駛時間為X軸在同一坐標體系看畫出圖象，與

圖①函數圖象意義一致的是（）

二、填空題（請將下列各題的正確答案寫在答題紙上，本大題共6小題，每小題3分，共

18

15.-8的立方根是,25的算術平方根是,的平方根

是.

16.的相反數是.-X后的倒數是,I&-21

17.某科研小組在網上獲取了聲音在空氣中傳播的速度丫與空氣溫度，關系的一些數據（如

表格）：

溫度t/℃-20-100102030

音速v/(mis)318324330336342348

則V與f的關系式是.

18.如圖，在△ABC中，AC=6cm,AB=10c%,把△ABC沿著直線。E折疊，點。在48

上，點E在BC上.則CE的長為cm,

19.如圖，長方體的長為6,寬為5,棱上一點C到頂點8的距離為2,一只螞蟻若要沿著

長方體的表面從頂點A爬到點C

20.如圖，在平面直角坐標系中，△P1OA”△尸2人同2,△尸3A2A3,…都是等腰直角三角形，

其直角頂點外（3,3）,P2,23，…均在直線y="x+4上.設△P|OA|，△巳4也，

△尸3A2A3，…的面積分別為S1，S2，S3，…，依據圖形所反映的規律，Sn

三、解答題（本大題共6小題，共60分）

21.（12分）如圖，△ABC在正方形網格中（圖中每個小正方形的邊長均為1個單位長度），

若點A的坐標為（0,3）（-2,-1）,請按要求解決下列問題:

（1）在圖中建立正確的平面直角坐標系；

（2）點C的坐標為：

（3）ZVIBC的面積為；

（4）如果△ACP的面積為1,且點尸在y軸上，則點尸的坐標為；

（5）如果△ACQ的周長最小，且點。在x軸上，貝"△4C。的周長最小值

為，點Q的坐標為.

22.（16分）化簡：

⑴層XA/27義澗；

23.（8分）如圖，小巷左右兩側是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子頂端到地面的

距離AC為2.4米，如果保持梯子底端位置不動，梯子頂端到地面的距離A'。為1.5米,

10s內甲、乙

兩架無人機所在的位置距離地面的高度y（單位：w）（單位：s）之間的關系如圖所示.

（1）分別求出甲、乙兩架無人機所在的位置距離地面的高度y與無人機上升的時間x之

間的關系式;

（2）當兩架無人機的高度差為10/?,求它們的上升時間.

25.(8分)觀察下列等式，然后解答問題：

(V2+1)(V2-l)=l

(V3W2)(V3-V2)=1

(V4+73)(V4-V3)=l

「廠=廣當嘩廠用事

V3W2(V3W2)(V3-V2)

,1=L、嘩L=蟲用

V4+V3(V4+V3)(V4-V3)

(1)計算：

①T^TT-----------------------

②‘正+1飛他.y的+'V2023W2022*(^2023+1)

(2)計算;

?(V6+75)11X(V6-V5)12：

②

V3W2

26.（8分）如圖，在平面直角坐標系中，直線1\的關系式為y=x,直線b的關系式為y

=履+3,與x軸、y軸分別交于點4、點8,直線/］與，2交于點C（2,2）.

（1）求直線/2的關系式，若直線a上存在點P（不與8重合），滿足&COP=%COB，

求點P的坐標；

（2）若在x軸上存在點Q,滿足△ACQ為直角三角形，求點。的坐標.

（備用圖）（備用圖）

2023-2024學年山東省青島三十九中、育才學校八年級（上）期

中數學試卷

參考答案與試題解析

一、單選題（請將下列各題的正確答案涂在答題紙上，本大題共14小題，每小題3分，共

42分）

1.下列實數中，屬于無理數的是（）

A.B.百C.3.14D.77

【分析】無理數就是無限不循環小數.理解無理數的概念，一定要同時理解有理數的概

念，有理數是整數與分數的統稱.即有限小數和無限循環小數是有理數，而無限不循環

小數是無理數.由此即可判定選擇項.

解：A、仔是分數，故本選項不符合題意；

B、百=1，是整數，故本選項不符合題意；

C、3.14是有限小數，故本選項不符合題意；

D、是無理數.

故選：D.

【點評】此題主要考查了無理數的定義，其中初中范圍內學習的無理數有：TT,2Tt等；

開方開不盡的數；以及像0.1010010001…，等有這樣規律的數.

2.下列各組數中，不能組成直角三角形的是（）

A.7,24,25B.9,12,15C.1,3D,5,12,13

【分析】根據勾股定理的逆定理對四個選項中所給的數據看是否符合兩個較小數的平方

和等于最大數的平方即可.

解：4、72+246=252,能構成直角三角形，不符合題意；

B、98+122=152,能構成直角三角形，不符合題意；

C、72+（^2）5#32,不能構成直角三角形，符合題意；

D、62+122=138,能構成直角三角形，不符合題意.

故選：C.

【點評】本題考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2

=c2,那么這個三角形就是直角三角形.

3.下列算式中，正確的是（）

A.V25=±5B.（如7尸=7C.V（-2）2=-2D.（W7）2=7

【分析】利用算術平方根及立方根的定義將各項計算后進行判斷即可.

解：

（■）3=-7,則B不符合題意；

Y（-8）2=2,則C不符合題意；

（-%）2=7,則。符合題意；

故選：D.

【點評】本題考查算術平方根及立方根，熟練掌握其定義是解題的關鍵.

4.估計的值是在()

A.3和4之間B.4和5之間C.5和6之間D.6和7之間

【分析】直接利用小萬接近的有理數進而分析得出答案.

解：；岳<47〈岳，

，4<VI7<5,

故選：B.

【點評】此題主要考查了估算無理數的大小，正確得出無理數接近的整數是解題關鍵.

5.在平面直角坐標系中，點M(m-1,2m)在x軸上()

A.(1,0)B.(-1,0)C.(0,2)D.(0,-1)

【分析】根據尤軸上的點的縱坐標為0,得出，"的值進而得出例的坐標.

解：點M(w-1,2m)在x軸上，

解得m=6,

：.M(-1,0),

故選：B.

【點評】本題考查了x軸上的點的坐標特征，掌握x軸上的點的縱坐標為0是解題的關

鍵.

6.在平面直角坐標系的第二象限內有一點P,它到x軸的距離為3,到y軸的距離為5()

A.(-5,3)B.(—3,5)C.(3,5)D.(5,-3)

【分析】根據各象限內點的坐標特征，可得答案.

解：由題意，得：

|y|=3,|x|=5.

又：在第二象限內有一點P,

.".x--6,y=3,

...點P的坐標為(-5,3),

故選：A.

【點評】本題考查了各象限內點的坐標的符號特征，記住各象限內點的坐標的符號是解

決的關鍵，四個象限的符號特點分別是：第一象限(+,+);第二象限(-,+)；第三

象限(-,-)；第四象限(+,-).

7.若（y+2）2WTe=0,則爐的值為（)

【分析】根據算術平方根和偶次方的非負性質，分別求出X和y的值，代入爐計算即可.

解：根據題意，得y+2=0,

，x=8,y=-2.

.?.爐=3-7=

9

故選：C.

【點評】本題考查算術平方根和偶次方的非負性質，靈活運用它是本題的關鍵.

8.已知點P（a,3）和點Q（4,b）關于x軸對稱（）

A.1B.-1C.7D.-7

【分析】直接利用關于x軸對稱點的性質（橫坐標不變，縱坐標互為相反數）得出“，b

的值，進而得出答案.

解：?.?點P（?,3）和點Q（4,

.'.a—2,b--3,

則a+b=4-3=1.

故選：A.

【點評】此題主要考查了關于x軸對稱點的性質，正確得出“，b的值是解題關鍵.

9.如圖，已知一次函數丫=丘+3的圖象與x軸，y軸分別交于點（2,0）,點（0,3）（）

【分析】根據一次函數與x軸交點坐標可得出答案.

解：???一次函數尸質+b的圖象與x軸交于點（2,0）,

.,.當y=6時，x—2,x—2,

二關于x的方程kx+h=2的解是x—2.

故選:A.

【點評】本題主要考查了一次函數與一元一次方程之間的關系，難度不大，認真分析題

意即可.

10.如圖，在數軸上點A表示的數為2,在點A的右側作一個長為2,將對角線AC繞點A

逆時針旋轉，使對角線的另一端落在數軸負半軸的點處后（)

C-2-V5D.V5-2

【分析】先根據勾股定理求出AC,再根據向左就用減法求解.

解：■；d1+2?

所以點E表示的數為：2-百,

故選：C.

【點評】本題考查了實數與數軸，掌握勾股定理是解題的關鍵.

11.如圖是一圓柱玻璃杯，從內部測得底面半徑為6cvn,高為16cm,則吸管露在杯口外的

長度最少是（）

A.6cmB.5cm

cm

C.9cmD.（25-2A/73）

【分析】吸管露出杯口外的長度最少，即在杯內最長，可用勾股定理解答.

解：?.?底面半徑為半徑為6Mb高為16a力，

???吸管露在杯口外的長度最少為：25-7162+122=25-20=5（厘米）.

故選：B.

【點評】本題考查的是勾股定理在實際生活中的運用，解答此類題目的關鍵是構造出直

角三角形，再利用勾股定理解答.

12.關于函數尸一羨1,下列說法錯誤的是（)

A.當x=2時，）>=-2

B.y隨x的增大而減小

C.若xi>X2，則

D.圖象經過第二、三、四象限

【分析】根據一次函數的性質判定即可.

解：關于函數尸-1.

4、當x=7時日①-2,不合題意；

8、說法正確；

4

.?.若必>》2，則刈〈”，說法錯誤，符合題意；

。、圖象經過第二、三，說法正確；

故選：C.

【點評】此題考查了一次函數的性質以及一次函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握一次

函數的性質是解題關鍵.

13.直線小y=fcc+8和方y=bx-k.在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）

【分析】先看一條直線，得出左和人的符號，然后再判斷另外一條直線是否正確，這樣

可得出答案.

解：A、直線/］：丫=h+匕中k>0,匕>52：中*<0,b<4,k,故本選項不符合

題意；

B、直線（：y=Ax+6中無>0,b>f>2-中/>0,b>8,k,故本選項符合題意；

C>直線/i：中A<0,匕>32：y=6x-k中上>0,b<6,k,故本選項不符合題意;

D、直線A：y=fcc+Z>中％<0,h>52：y=bx-A中k>0,b<1,k,故本選項不符合題意.

故選：B.

【點評】此題考查了一次函數圖象與左和匕符號的關系，關鍵是掌握當》>0時，（0,b）

在y軸的正半軸上，直線與y軸交于正半軸；當6<0時，（0,b）在y軸的負半軸，直

線與y軸交于負半軸.

14.甲、乙兩輛汽車同時分別從相距300千米的4、8兩座城市出發相向而行，行駛過程中

兩車速度不變，甲車到達8城，乙車繼續行駛，到達A城后停止，以兩車行駛時間為x

軸，畫出如圖①所示函數圖象，以兩車行駛時間為x軸在同一坐標體系看畫出圖象，與

【分析】由題意可知，乙車一共行駛了5行駛，據此可得乙車的速度，根據出發兩小時

后相遇，可得甲車的速度，進而得出甲車到達8城市的時間，從而得出甲車到達B地時,

乙車距離4城市的路程，問題得以解決.

解：由題意得:

乙車行駛5小時到達A城市，故乙車的速度為：3004-5=60（千米/小時），

兩車出發兩小時后相遇，故甲車的速度為：300+3-60=90（千米/小時），

相遇時甲車行駛的路程為：90X2=180（千米），故選項A不符合題意；

甲車到達B城市所需時間為：300?90=?（小時），

甲車到達B地時，乙車距離4城市的路程為：300-60X」?,故選項。符合題意、C不

6

符合題意.

故選：D.

【點評】本題考查了函數的圖象，解答本題明確題意，利用數形結合的思想解答.

二、填空題（請將下列各題的正確答案寫在答題紙上，本大題共6小題，每小題3分，共

18

15.-8的立方根是-2,25的算術平方根是5,我的平方根是_土巡

【分析】利用立方根，算術平方根和平方根的意義解答即可.

解：-8的立方根為-2,25的算術平方根為6,土料.

故答案為：-4；5；土

【點評】本題主要考查了立方根，算術平方根，平方根，熟練掌握上述法則與性質是解

題的關鍵.

16.的相反數是-擊?一用的倒數是-亞,|\萬，1=2-、萬.

3

【分析】直接利用相反數以及倒數、絕對值的性質分別判斷，進而得出答案.

解：近的相反數是-J7；

的倒數是一停，

-0=2-y.

故答案為：-，-乂員，2-

4

【點評】此題主要考查了實數的性質，正確掌握相關定義是解題關鍵.

17.某科研小組在網上獲取了聲音在空氣中傳播的速度口與空氣溫度，關系的一些數據(如

表格)：

溫度t/℃-20-100102030

音速W(m/s)318324330336342348

則v與f的關系式是n=330+0.61.

【分析】根據表格中溫度f與音速v對應值，以及變化關系得出答案.

解：從表格中的數據變化情況可知，溫度每增加10℃,

于是v=330+0.6?,

故答案為：v=330+2.6r.

【點評】本題考查函數關系式，理解表格中兩個變量的變化關系是正確解答的前提.

18.如圖，在aABC中，AC=6cm,AB=\0cm,把△ABC沿著直線。E折疊，點。在AB

7

上，點E在BC上.則CE的長為cm,

【分析】由AC=6cm,BC=Scm,AB—\Qcm,得AC2+BC2=AB2=100,根據勾股定理

的逆定理得aABC是直角三角形，且NC=90°,由折疊得4E=BE=8-CE,則62+(7戶

=(8-CE)2,求得CE=Z,于是得到問題的答案.

4

解：AC=6cm,BC—Scm,

：.AC6+BC2^AB2^]0Q,

...△4BC是直角三角形，且/C=90°,

?.?把△ABC沿著直線OE折疊，點8恰好與點A重合，

：.AE=BE=S-CE,

；AC2+C￡2=A￡?,

：.62+CE^=(8-CE)2,

解得CE=g,

4

故答案為:春

【點評】此題重點考查勾股定理及勾股定理的逆定理、軸對稱的性質等知識，證明/C

=90°并且列出方程62+C￡2=(8-C￡)2是解題的關鍵.

19.如圖，長方體的長為6,寬為5,棱上一點C到頂點8的距離為2,一只螞蟻若要沿著

長方體的表面從頂點A爬到點C_8V2_.

【分析】分別按照三種不同的展開方式利用勾股定理求解，再比較大小.

解：(6+8)*+22=1。救,《(6+2)‘+82依'V(8+2)3+62=3V341

???10%>2房>7我，

故答案為：

【點評】本題考查了平面展開-最短路徑，掌握勾股定理是解題的關鍵.

20.如圖，在平面直角坐標系中，△P1O4,2AM2,2A3,…都是等腰直角三角形,

,

其直角頂點尸1(3,3),22,2，…均在直線產-梟+4上.設△P|OA，△/2A|A2.

9

△P/2A3,…的面積分別為S|,S2,S3,…，依據圖形所反映的規律，S?=_—r_.

【分析】分別過點修、巳、乃作x軸的垂線段，先根據等腰直角三角形的性質求得前三

個等腰直角三角形的底邊和底邊上的高，繼而求得三角形的面積，得出面積的規律即可

得出答案.

解：如圖，分別過點尸|、P2、P5作X軸的垂線段，垂足分別為點。、。、E,

???尸1（3,6）|04是等腰直角三角形，

???OC=C48=PC=3,

設42。=〃，則22。=。，

/.00=6+。，

，點尸5坐標為（6+。，〃）,

將點22坐標代入y=——x+4—（6+。）+7=小

33

解得：a=^9

3

：.A3A2=2a=S,P2D=—f

3

同理求得尸3ET、42A3=4，

o2

93391339

V5|=—X6X2=9>52=—X3X—=—,S3=—X—X—=—,.......

222342416

4

..S"=產1?

5

故答案為F~.

【點評】本題考查規律型：點的坐標、等腰直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是從

特殊到一般，探究規律，利用規律解決問題，屬于中考?？碱}型.

三、解答題（本大題共6小題，共60分）

21.（12分）如圖，AABC在正方形網格中（圖中每個小正方形的邊長均為1個單位長度），

若點A的坐標為（0,3）（-2,-1）,請按要求解決下列問題：

（1）在圖中建立正確的平面直角坐標系；

（2）點C的坐標為（1,1）:

（3）ZVIBC的面積為4；

（4）如果△ACP的面積為1,且點尸在y軸上，則點P的坐標為（0,1）或（0,5）；

(5)如果△ACQ的周長最小，且點Q在x軸上，則△ACQ的周長最小值為_近?土通_，

【分析】(1)根據點A的坐標為(0,3),點8的坐標為(-2,-1),確定原點的位

置，即可建立平面直角坐標系；

(2)根據建立的平面直角坐標系金開大道建立；

(3)根據三角形的面積公式即可得到結論；

(4)根據三角形的面積公式列方程即可得到結論；

(5)根據軸對稱的性質即可得到結論.

【解答】

解：(1)如圖所不；

(2)點C的坐標為(1,1),

故答案為：(7,1)；

117

(3)ZsABC的面積為3X2-專X2XlgX2X4-卷X2X6=12-1-4-5=4,

282

故答案為:4；

(4)設P(6,m),

?.?△ACP的面積為1,

3|X1=5,

解得m—5或m—1,

：.P(7,1)或(0；

故答案為：(3,1)或(0；

(5)?.?點C(3,1)關于x軸的對稱點。的坐標(1,

連接AC'交x軸于Q,

則AACQ的周長的值最小，最小值為料2+]3+,]2+32=4+通；

設直線AD的解析式為y=kx+b,

.Jk+b=~2

"1b=3

.fk=-4

'[b=7,

.,.y=-4x+3,

當尸3時,T

3

：.Q(4,0)；

4

坐標與圖形，解決本題的關鍵是根據點的坐標

建立平面直角坐標系.

22.（16分）化簡:

⑴檔xV27xV9；

⑵返呼.xV3

⑶V32

(4)

【分析】3）先利用二次根式的乘法法則運算，然后化簡二次根式后進行有理數的乘法

運算；

（2）先利用二次根式的乘法和除法法則運算，然后化簡二次根式后合并即可;

（3）先把各二次根式化為最簡二次根式，然后合并即可；

（4）先把各二次根式化為最簡二次根式，然后合并即可.

解：(1)原式=1百X27X6

=3X3

=2；

⑵原式=欄)樽-6.2X3

=3+娓~2V7

=2-辰;

(3)原式=7&-曼W+”

=^2;

(4)原式="1"X3

o

=3百-8"+百

=T其?

【點評】本題考查了二次根式的混合運算：熟練掌握二次根式的性質、二次根式的乘法

法則、除法法則是解決問題的關鍵.

23.(8分)如圖，小巷左右兩側是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子頂端到地面的

距離4c為2.4米，如果保持梯子底端位置不動，梯子頂端到地面的距離4'。為1.5米,

求小巷有多寬.

CO.75DcBD

【分析】先根據勾股定理求出AB的長，同理可得出8。的長，進而可得出結論.

解：在「△AC8中，VZACB=90°,AC=2.4米，

/.AB7=0.77+2.46=6.25.

在Rtz^A'5。中，VZA1￡>B=90°,BD2+A'D(,=A'B1,

.\BD2+4.52=8.25,

ABD2=4.

'：BD>7,

；.BD=2米.

ACD=BC+BD=0.3+2=2.2米.

答：小巷的寬度C。為2.7米.

【點評】本題考查的是勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方

程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫

出準確的示意圖.領會數形結合的思想的應用.

24.（8分）甲無人機從地面起飛，乙無人機從距離地面20m高的樓頂起飛，10s內甲、乙

兩架無人機所在的位置距離地面的高度y（單位：w）（單位：s）之間的關系如圖所示.

（1）分別求出甲、乙兩架無人機所在的位置距離地面的高度y與無人機上升的時間x之

間的關系式；

【分析】（1）分別用待定系數法求解即可；

（2）令兩函數差的絕對值為10,求出x的值即可.

解：（1）設甲無人機），與x之間的關系式為丁=心北將坐標（5,

得2圖=40,解得女產2.

.?.甲無人機y與尤之間的關系式為y=8x.

設乙無人機y與x之間的關系式為y=&2x+尻將坐標（2,40）代入，

b=20（k=4

得4u,「杯，解得4??

5k2+b=40（b=20

，乙無人機y與x之間的關系式為y=4x+20.

（2）根據題意，得|2元+20-8訊=10,解得工=尚或竽.

當兩架無人機的高度差為10/n,它們的上升時間為職$

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【點評】本題考查一次函數的應用，熟練運用待定系數法求出函數的解析式是本題的關

鍵.

25.（8分）觀察下列等式，然后解答問題:

(V2+1)(V2-l)=l

(V3+72)(V3-V2)=l

(V4+V3)(V4-V3)=l

]______M________rzrz

M啦心電母)"IM

]_______y-M________r;rz

U小飛4T3)W473)^433

(1)計算：

①土詬=一遍二遍一.

②’&+1V