2023-2024學年湖南省永州市高三(上)第一次模擬數學試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項)

1.已知集合A={xeN*|y=K4-尤2},集合B={尤|%2-Y2o},則4nB=()

A.{x|l<x<2}B.{x|0<x<1}C.{0,1,2)D.{1,2}

2.復數z滿足i5.z=1+3則z在復平面內對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知向量a=(—1,2),h=(3,-1)，c=(x,1),且0+2至)，高貝反=()

A.2B.1C.0D.-1

4.“函數/Q)=X。在(0,+oo)上單調遞減”是“函數g(x)=x4-(a+l)x是偶函數”的()

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.在平面直角坐標系中，過直線2x—y-3=0上一點P作圓0：%2+2x+y2=1的兩條切線，切點分別為4

B,則sin44PB的最大值為()

6.已知橢圓C：捻+與=l(a>b>0)的左、右焦點分別是Fi，尸2,點P是橢圓C上位于第一象限的一點，且

PF2與y軸平行，直線Pa與C的另一個交點為Q,若2所=5及@，則C的離心率為()

B.5

A?手D席

7.若數列{4}的前n項和為Sn,2Snan=a^+l(neN*,an>0),則下列結論正確的是()

A?Q2022a2023>1Q2023>V2023

。弓+?2+”?+就（19

C.S2Q23VQ2022

8.已知函數f(x)=3cos(3x+s)(3>0),若f(一》=3,6)=0,在區間(冶,一看)上沒有零點，則3的

取值共有()

A.4個B.5個C.6個D.7個

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求)

9.下列關于概率統計說法中正確的是()

A.兩個變量x,y的相關系數為r,貝什越小，x與y之間的相關性越弱

B.設隨機變量f?N(2,l),若p(f>3)=p,貝加(1<f<2)=：—p

C.在回歸分析中，R2為0.89的模型比產為0.98的模型擬合得更好

D.某人解答10個問題，答對題數為X,X?8(10,0.8)，則E(X)=8

10.對數的發明是數學史上的重大事件.我們知道，任何一個正實數N可以表示成N=ax10n(l<a<

10,neZ)的形式，兩邊取常用對數，則有，gN=n+1ga,現給出部分常用對數值(如下表)，下列結論正確

的是()

真數工2345678910

均x(近似值)0.3010.4770.6020.6990.7780.8450.9030.9541.000

真數%111213141516171819

(近似值)1.0411.0791.1141.1461.1761.2041.2301.2551.279

A.5i°在區間(106,1()7)內

B.35°是15位數

C.若7-5。=ax10m,則?n=-43

D.若血3。(7neN*)是一個35位正整數，則m=14

11.菱形力BCD的邊長為a,且nBAD=60。，將△ABC沿BD向上翻折得到△PBD,使二面角P-BD-C的余

弦值為全連接PC,球。與三棱錐P-BCD的6條棱都相切，下列結論正確的是()

A.PO_L平面8co

B.球。的表面積為2兀小

C.球。被三棱錐P-BCD表面截得的截面周長為亨Tia

D.過點。與直線PB,CD所成角均為前勺直線可作4條

12.已知函數/'(%)與g(x)的定義域均為R,/(x4-1)4-g(x-2)=3,f(x-1)-g(-x)=1,且g(-1)=2,

g(x-l)為偶函數，下列結論正確的是()

A.4為f(x)的一個周期B.g(3)=1

CZ蹌ff(k)=4045D.￡密3g出=2023

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.為全面推進鄉村振興，永州市舉辦了“村晚興鄉村”活動，晚會有徒，去永州J)微鞭催馬運糧忙J),

數幸福少《鄉村振興唱起來)四個節目，若要對這四個節目進行排序，要求徵(幸福》與《鄉村振興唱起來

》相鄰，則不同的排列種數為(用數字作答).

14.在平行六面體ABC。一中，DA=a,DC=b>西=3P為。。i的中點，過PB的平面a分別與

棱44rCQ交于點E,F,且4E=CF,則而+阮=.(用出b，3表示)

15.若函數/(乃=@：：羋一加,當xe(0,+8)時，/(%)>0,則實數t的取值范圍.

16.已知點N(a,2「)(a>0)在拋物線C：y2=2px(0<p<2a)上，F為拋物線C的焦點，圓N與直線x=糊

交于4B兩點，與線段NF相交于點R,且|4B|=21§|RF|.若R是線段NF上靠近F的四等分點，則拋物線C的

方程為.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

已知數列｛斯｝是公比q>l的等比數列，前三項和為39,且%,a2+6,%成等差數列.

(1)求數列｛斯｝的通項公式；

G

(力設勾二就二島西匚但N*),求｛bn｝的前般項和

18.(本小題12.0分)

在AaBC中，設4,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足ccosA-acosC=a+b.

(1)求角C；

(2)若c=5,AABC的內切圓半徑r=?,求△ABC的面積.

19.(本小題12.0分)

如圖所示，在四棱錐P-力BCC中，底面力BCD為矩形，側面PAD為正三角形，且4。=2AB=4,M、N分

別為PD、BC的中點，”在線段PC上，且PC=3PH.

(1)求證：MN〃平面PAB；

(2)當AM1PC時，求平面AMN與平面HMN的夾角的余弦值.

20.(本小題12.0分)

某企業為提高競爭力，成功研發了三種新品A、B、C,其中A、B、C能通過行業標準檢測的概率分別為得，2，

且4B、C是否通過行業標準檢測相互獨立.

(1)設新品4、B、C通過行業標準檢測的品種數為X,求X的分布列；

(2)已知新品4中的一件產品經檢測認定為優質產品的概率為0.025,現從足量的新品4中任意抽取一件進行

檢測，若取到的不是優質產品，則繼續抽取下一件，直至取到優質產品為止，但抽取的總次數不超過71.如果

抽取次數的期望值不超過5,求n的最大值.

參考數據：?5678

0.97540.904,0975?0.881,0.975=0.859,0.975=0.838,0.975=0.817

21.(本小題12.0分)

已知點4為圓C：%2+丫2-2口H％-6=0上任意一點，點8的坐標為(一，訶,0)，線段AB的垂直平分線與

直線4C交于點O.

(1)求點。的軌跡E的方程；

(2)設軌跡c與x軸分別交于七、4兩點(①在公的左側)，過R(3,0)的直線，與軌跡E交于M、N兩點，直線41M

與直線&N的交于P,證明：P在定直線上.

22.(本小題12.0分)

已知函數/(%)=ln(x+1),g(x)=axex—2Ina+3/n2+3.

(1)當xe(—l,0)U(0,+8)時，求證：竽>_gx+l；

(2)若％W(-1,+8)時，^(%)>/(%),求實數a的取值范圍.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：由4={x6N*\y=V4-x2}={1,2}，B-{x|x2-x>0]={x\x<。或x>1},

故ACB={1,2}.

故選：D.

求出集合A,B,即可求得答案.

本題主要考查了一元二次不等式的解法，考查了集合的基本運算，屬于基礎題.

2.【答案】D

【解析】解：由戶.z=1+i得i-z=1+i,

1+i

???z=—,

則z=l+；=l-i,即z在復平面內對應的點為(1,一1),位于第四象限.

故選：D.

根據虛數單位的性質，結合復數的除法運算可求出z,根據復數的兒何意義即可得答案.

本題主要考查復數的幾何意義，屬于基礎題.

3.【答案】C

【解析】解：向量日=(一1,2),另=(3,—1)，c=(x,1)，且0+2尤)，工

???a+26=(5,0).

A(a+2b)-c=5x=0，

則x=0.

故選：C.

利用向量坐標運算法則、向量垂直的性質直接求解.

本題考查向量坐標運算法則、向量垂直的性質等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

4.【答案】B

【解析】解：根據題意，/(%)=%%若函數在(0,+8)上單調遞減，則有a<0,

對于g(x)=P-?+l)x中，函數是偶函數，

(g(-%)=(一%)4-(a+1)(一%)

則有，g(%)=%4~(a+1)%,解得：a=—1,

=g(r)

若“函數f(%)=%。在(0,+8)上單調遞減”,不一定有“函數g(x)=/-(a+1)%是偶函數”，

反之，若“函數g(x)=P-g+i)x是偶函數”，一定有“函數f(x)=周在(0,+8)上單調遞減”；

故“函數/(x)=/在(0,+8)上單調遞減”是“函數g(x)=%4-(a+l)x是偶函數”的必要不充分條件.

故選：B.

根據題意，由基函數的性質分析a的值，結合充分必要條件的定義分析可得答案.

本題考查基函數的性質，涉及函數的奇偶性和單調性，屬于基礎題.

5.【答案】A

V1—sin2a=

所以sinzJlPB=2sinacosa=2漂(一漆)

1-2-0-31_

又圓心C(-l,0)到直線2x-y-3=0的距離為d=

I22+(-1)2

所以|CP|2d=H，所以不妨設t=

J旖(1-潟)=2J2t(l-2t)=21-4(""

則sin乙4PB=2+R/(t)，

又因為f(t)在(0幣單調遞增，所以當且僅當t=￡即|CP|=H，

即當且僅當直線CP垂直已知直線2x-y-3=0時，sin/APB有最大值,

(sin〃PB)max=硝=

故選：A.

由題意圓C：/+2%+y2=1的標準方程為c：(%+1)+y2=2,作出示意圖可得sin乙4PB=sin2a=

2sinacsaf又s譏a=圈=所以cosa=V1-siMa=J1—潟p又由圓心到直線的距離可求

出|CP|的最小值，進而求解.

本題考查直線與圓的位置關系，考查數形結合思想，考查運算求解能力，屬中檔題.

6.【答案】B

【解析】解：由PF2與y軸平行，可得：仍?2|=]，不妨設點P(c,1)，

設Q(Xo，yo)，由|PF/=4|&Q|,2兩=59，

?29c2/

2(_2c,-￡)=5(%o+c,yo>得Xo=_3，y0=-.

代入橢圓方程得：甥+基=1,

結合。2=爐+。2,化簡上式可得：e2=^,

所以橢圓的離心率為e=*3，

故選：B.

由PF2與y軸平行，可得：\PF2\,不妨設點P(c,3)，設Q(Xo，yo)，由2AK=5KC，得Q的坐標，代入橢圓

方程化簡即可求解.

本題考查了橢圓的性質，考查了學生的運算能力，屬于中檔題.

7.【答案】D

【解析】解:令n=1,則2S1%=居+1,即2域=居+1,由an>0，得%=1;

2

當n22時，2Sn(Sn-Sn_i)=(Sn-Sn_1)+1,即累-S￡-i=1,又貸=進=1,

故｛Sn｝為首項是1,公差為1的等差數列，則喘=l+n-l=n,

故%=所以當nN2時，an=Sn-Sn_]=

的=1也適合該式，故即=V-n—Vn—1,

對于A，a2022a2023=(V2022-V2021)(72023-V2022)=

V2022+<l^n'2023+7^02?<1'入錯俁；

對于B，a2023=V2023-V2022<V2023,B錯誤；

對于C,S2023=V2023>V2022.C錯誤；

對于。，當7i22時，(=盍<G+"T=2(C->/-I)，

故3+二+4+…+V1+2(V2—1)+2(V3—V2)+…+2(V100—V99)=14-2(—14-10)=

51X3J100

19,。正確.

故選：D.

根據冊，Sn之間的關系可求出Sn=C，進而求得冊=，方-「7^1，由此結合大小比較可判斷4,BC

利用放縮法，當7122時，可推出"<2（產_JnT）,累加即可判斷。.

本題考查數列的遞推公式，考查學生的運算能力，屬于中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：由題意，在f（x）=3cos（cox+0）（3>0）中，/（-；）=3,/（^）=0,

3cos（—（3+<p）=3|+w=2k機

***'rrf**'TLk],k?WZ,

3cos（2o>+9）=0[-co4-=k2n+-

兩式相減得弓3=（卜2-2ki）rc+p

424n2

工3=§（k2—2攵1）+§,，3=可+§,幾￡2,

—

vXE□ZO）?3>0，

7T7T

*'?（JI）X+9€（—―（JL）-^-（P，——（x）-^-（p）,

Jo

令3X+（p=t,tE（—§a+w，—石w）f

由題意知y=3cost在（一號3+仍—*3+0）上無零點，

?'?（一§3+0,一不3+小）G（--+kn,-+kjf）,fcsZ,

一如+cpN-g+kji

,t?71nJ，kEZ,

-TO）—（p>---kn

v6Z

兩式相加，得一*3>—7T,A0<CD<6,

o

丫3=等+|,*當?1=0時，3=|；當n=l時，3=2；當n=2時，3=竽；

當n=3時，3=竽：當n=4時，3=6.

???3的取值有5個.

故選:B.

根據/（一力=3,憑）=0,可得3=與+|,根據區間（話,一看）上沒有零點，可得。<3W6,即可求出3的

取值的個數.

本題考查余弦函數的圖象和性質等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.

9.【答案】BD

【解析1解：由題意，A項，兩個變量久，y的相關系數|r|越小，x與y之間的相關性越弱，故A錯誤，

對于8.隨機變量§服從正態分布N(2,l),由正態分布概念知若P(f>3)=p,

則P(-l<f<0)=P(2<f<3)=P(g>2)—P(g>3)=2—p,故B正確；

對于C.在回歸分析中，R2越接近于1,模型的擬合效果越好，

R2為0.98的模型比R2為0.89的橫型擬合的更好，故C錯誤；

對于D,某人在10次答題中，答對題數為X,X?B(10,0.8),

則數學期望E(X)=10x0.8=8,故。正確.

故選：BD.

力項，通過相關系數的定義即可得出結論：B項，通過求出P(2<f<3)即可求出P(-l<f<0)的值；C項,

通過比較相關指數即可得出哪個模型擬合更好：。項，通過計算即可求出E(x).

本題主要考查了正態分布曲線的對稱性，考查了相關系數的性質，以及二項分布的期望公式，屬于中檔題.

10.【答案】ACD

【解析】解：對于4???lg5w=1005?6.99,

IglO6=6lgl0=6<6.99,

IglO7=7lgl0=7>6.99,

；?51°在區間(106,1()7)內，故A正確；

對于8,「035。=50匈3223.85,二35°笈1()23.85,

.?.35。是24位數，故B錯誤；

對于C,lg7To=-5067y-42.25,

771

7-5。a10-42.25,...7-50=axIO,m=_43,故C正確；

Igm30=SOlgm,

m30(meN*)是一個35位正整數，

177

???34<301gmV35,??.記WIgm<

/.1.1267<^771<1.1667,

/.m=14,故。正確.

故選：ACD.

根據=+分別求出各個選項中N的常用對數的值，對照所給常用對數值判斷.

本題考查對數運算法則等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.

11.【答案】AC

【解析】解：在菱形ABC。中，連接4C,貝IJ4C1BD,設4C,BD交于E,如圖,

則PEIB。，CE1BD,PECEu平面C8。，

1

即ZPEC為二面角P-BD-C的平面角，即COSNPEC=熱

???4BAD=60。，；.△ABC為正三角形，即4PBD,ACBD為正三角形,

33212

222a22XQX=a

???PE=CE=三口，PC=PE+CE-2PE-CEcosZ-PEC2-4-3-

??PC=a,

三棱錐P-BCD是棱長為a的正四面體，

將該四面體補成正方體PHOG-NCMB,四面體的各棱為正萬體的面對角線,

則正方體棱長為?a，

?.?球。與三棱錐P-BCO的6條棱相切，則。點即為正方體的中心，

連接PM,則。為正方體體對角線PM的中點，

PNJL平面MBNC,BCu平面MBNC,APN1BC,

?-?BC1MN,PNCiMN=N,二BC上平面PMN,

■:PMu平面PMN,???BCA.PM,

同理可證BD1PM,BCCBD=B,

：.PM平面BCD,即P。1平面BCD,故A正確；

???球。與三棱錐P-BCD的6條棱都相切，

???球。即為正方體PHDG-NCMB的內切球，球的直徑為正方體棱長為Ca，

則球半徑為華a，???球。的表面積為4兀義(0a)2=:7m2,故B錯誤；

4v472

球。被平面截得的截面圓為正三角形BCD的內切圓，

BC=a,故正三角形BCD的內切圓半徑為gx室a=^-a，

???內切圓周長即為球。被平面截得的截面周長為27rxTa=?兀G

???球。被三棱錐P-BCD表面截得的截面周長為4x?兀a=殍;ra，故C正確;

連接HM,???PH〃BM,PH=BM,.?.四邊形P/7M8是平行四邊形，

PB//HA,■■■HMA.CD,:.PBLCD,

取空間一點S作PB,CD的平行線P'B',CD',如圖，

則和P'8',C'。'所成角均為弓的直線即為它們形成的角的角平分線

假設平面a過k且垂直于且垂直于P'B',C'。'所確定的平面，當。繞點S且在a內轉動時，

直線I與P'B',C'。'所成角相等，但會變大，大于今

??.在P'B',C'。’所確定的平面外過點S不存在直線［與P'8',C'。'所成角為全

???過點。與直線PB,CD所成角均為:的直線可作2條，故。錯誤.

故選：AC.

利用余弦定理求得P4=a,推導出三棱錐P-BCD為正四面體，進而補成正方體，推導出。點為正方體的中

心，結合線面垂直的判定可判斷4求出球。的半徑可判斷B；求出球。被三棱錐一個側面所截得的截面的周

長，即可求得球。被三棱錐P-BCD表面截得的截面周長，判斷C；根據平行公理以及直線所成角的概念可

判斷￡>.

本題考查余弦定理、補形法、線面垂直、異面直線所成角等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.

12.【答案】ACD

【解析】解：由于g(x-l)為偶函數，圖象關于y軸對稱，所以g(x)圖象關于％=-1對稱，

所以g(x-2)=9(-1+(x-1))=g(-l-(x-1))=g(-x)，

所以f(%+1)+g(x-2)=f(x+1)+g(—x)=3①,

而/(x-1)-g(T)=1②，

兩式相加得/"(x-1)+/(x+1)=4,則/'(X)+/(x+2)=4③，

所以f(x+4)=/(%+24-2)=4-/(x+2)=4-(4-/(%))=/(x),

所以4是/(》)的一個周期，力選項正確；

由③令％=1得/(1)+/(3)=4,

由①令x=2得/(2)+g(-1)=/(2)+2=3,/(2)=1,

由②令x=1得/(0)-g(-l)=/(0)-2=l,/(0)=3,則/(4)=f(0)=3,

所以/⑴+f(2)+/(3)+/(4)=8)/(I)+/(2)+f(3)=5,

所以￡思:3](￡)=2020x8+/(I)+/(2)+/(3)=4040+5=4045,C選項正確;

由①令x=-1得f(0)+g(l)=3+g(l)=3,g(l)=0,

由/'(x+1)+g(x—2)=3,/(x-1)-.g(-x)=1,

得/'(x)+g(x-3)=3,/(x)-g{-x-1)=1,

兩式相減得g(x—3)+g(—x—1)=2>即g(x—3)+g[x—1)=2,

且g(x)關于(一2,1)對稱，g(—2)=1,

所以g(x)+g(x+2)=2④，

所以g(x+4)=g(x+2+2)=2—g(x+2)=2—(2-g(x))=g(x),

所以g(x)是周期為4的周期函數，所以g(3)=5(-1)=2,所以8選項錯誤；

由④令x=2得g(2)+g(4)=2,所以g(l)+g(2)+g(3)+g(4)=4,

由于g(2)=5(-2+4)=g(-2)=1,所以g(l)+g(2)+g(3)=3,

所2蹌f9(卜)=竽*4+3=2023,所以D選項正確?

故選：ACD.

根據函數的奇偶性、周期性進行分析，從而確定正確答案.

本題主要考查抽象函數及其應用，考查運算求解能力，屬于中檔題.

13.【答案】12

【解析】解：由于儆幸福少與，鄉村振興唱起來/相鄰，所以兩者“捆綁”，

則不同的排列種數為尚朗=12種.

故答案為：12.

利用捆綁求得正確答案.

本題考查排列組合的應用，屬于基礎題.

14.【答案】\c-2a

【解析】解：根據題意知：EF=AC=AB+AD=DC-DA=b-a>喬=前+麗=一而+；西=

11

西K

+T一

一CQ

-DA-DC2-一2--

???BP+EF=^c-a—b+b—a=-c—2a.

故答案為：1c-2a.

根據題意得出前=而，然后根據向量加法的平行四邊形法則，向量加法的幾何意義及向量的數乘運算即可

得解.

本題考查了相等向量的定義，向量加法的平行四邊形法則，向量加法的幾何意義，向量的數乘運算，考查

了計算能力，是中檔題.

15.【答案】?,+8)

【解析】解：依題意，當xe(0,+8)時，/(x)=(e'；；)tx—加工>0恒成立,

EP(etx+2)tx>(x+2)Enx恒成立,

即(/%+2)-lnetx>(x+2)2nx①恒成立,

設9(%)=(%+2)in%,g'(x)=1+-4-Inx,

令九(%)=g'(x)=1+-4-Inx,h(x)=諄

所以九(x)在區間(0,2)上/i'(x)<0,九。)單調遞減；

在區間(2,+8)上"(%)>0,九(%)單調遞增，

所以八(%)>九(2)=24-Zn2>0,也即g'(%)>0,g(%)在(0,+8)上單調遞增，

所以由①得>%,即比>lnx,t>等，

設m(x)=若M(x)=號

所以m(%)在區間(0,e)上?n'(%)>0,zn(x)單調遞增；

在區間(e,+8)上MQ)v0,?n(%)單調遞減，

所以m(X)<m(e)=~~=

所以t>p即t的取值范圍是C，+8).

故答案為：(工,+8).

由f(%)>0進行轉化，利用構造函數法，結合多次求導來求得t的取值范圍.

本題考查了函數的單調性，最值問題，考查導數的應用以及轉化思想，是中檔題.

16.【答案】y2=4x

【解析】解：由C：y2=2p%(0vp<2Q)可知尸g,0),

設|NF|=設(t>0),則師|=t,\AB\=2yT5\RF\=2底t.

則|NR|=3t,故9-獷+(粵)2=|NR|2,即(a+)2+(Ct)2=9t20

又點N(a,2，V)(Q>0)在拋物線C：y2=2px(0<p<2a)上，

p

a+-

故|NF|2=4t②，且12=2pa,即pa=6③,

②聯立得12小-20ap+3P2=0,得2Q=3P或6a=p,

由于0VpV2a,故2Q=3p,結合pQ=6③，

解得p=2,故拋物線方程為y?=4x.

故答案為：y2=4%.

設|NF|=>0),表示出|RF|=t,|4=2-5/?F|=2/虧匕利用拋物線定義、點在拋物線上以及圓的

弦長的幾何性質列出關于a,p的方程，即可求得p,即得答案.

本題考查拋物線的性質，考查利用垂徑定理求圓的弦長，找出參數a,p間的等量關系，從而列出方程組，

即可求解，屬中檔題.

17.【答案】解：⑴由題意得,

(2(。2+6)=Q]+。3

???2(a2+6)+a2=39,解得@2=9,

***Q]+Q3=30,

￡(1+^)=30'則3q2-10q+3=0,解得q=醬=3，

又q>1,則q=3,

,:Qi3,

故a九=3x3nt=3n；

1ii

(2)由(1)得%=3%則以=iog3a2n.rlog3a2n+1=癡淖F礪麗=(2n-l)(2n+l)

=X擊一焉%

故｛%｝的前71項和4t=1(1-|+|-|+-"+一白Q

—2(1_2n+P-2n+l*

【解析】(1)根據題意列出方程組，求出首項和公比，即可得出答案；

(2)由(1)得a=3%則垢=而一—(ne/V*),利用裂項求和法，即可得出答案.

n1，og3a2n-l〔og3a2n+l

本題考查等差數列和等比數列的綜合，考查轉化思想，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)在△ABC中，由ccos/—acosC=a+匕得sinCcosA-s譏4cosc=sizM+s譏B,

S^sinCcosA-sinAcosC=sinA+sin(4+C),

故一2si九4cosc=sinA,由于4G(0,TT),???sinAW0,

故cosC=-g,而C￡(0,7T),故2=：.

(2)由C=:可得c?=a2+h24-ah,而c=5,

故/+川=25—。從貝I](Q+b)2=25+ab,

由△ABC的內切圓半徑丁=?,可得+b+c)?r=1absinC,

即華(a+b+5)=華ab，即Q+b=2ab-5,

故(2ab—5)2=25+ab,解得ab=?,

故^ABC的面積S=\absinC=/x=x

224216

【解析】(1)利用正弦定理邊化角，結合兩角和的正弦公式化簡，可得cosC的值，即可得答案；

(2)利用余弦定理得(^+及=25-ab,配方得(a+=25+ab,再結合△4BC的內切圓半徑，利用等面

積法推出a+b=2ab-5,即可求得ab==,從而求得答案.

4

本題考查的知識要點：正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬

于中檔題.

19.【答案】解：(1)證明：如圖所示:

取AD中點Q,連接MQ,NQ,

M,N分別為PC、BC的中點，且底面力BCD為矩形，

所以MQ〃P4,MQ=gPA,且NQ//力B,

又因為MQu平面MQN,MQC平面P4B,NQcnMQN,NQ<t^PAB,

所以MQ〃平面PAB,且QN〃平面P4B,

又因為MQflNQ=Q,MQu平面MQN,NQu平面MQN,

所以平面MQN〃平面H4B,

因為MNu平面MQN,

所以由面面平行的性質可知MN〃平面P4B

(2)如圖所示：

因為側面P4。為正三角形以及M為P。的中點，所以由等邊三角形三線合一得AM1PD,

又因為AMIPC,且PDu面PDC,PCu面PDC,PDnPC=P,

所以力Ml面PDC,又因為CDu面PDC,所以CDJLAM,

又因為底面4BC0為矩形，所以C0J.4D,

因為4Z)nAM=4,AMa^PAD,A。u面PAO,

所以CD_L面PAD,因為PQu面PAD,

所以CC1PQ,義CD//NQ,

所以NQ1PQ,又由三線合一PQd.AD,又AD1NQ,

所以建立上圖所示的空間直角坐標系；

因為/W=2AB=4,

所以4(0,-2,0),N(2,0,0),P(0,0,2O),C(2,2,0),D(0,2,0),

又因為M為PD的中點，PC=3PH,

所以M(0,l，C(|,|,苧)，

所以初=(0,—3,一＜3)，而=(2,—1,一＜3)，麗=(|,-g,?),

不妨設平面4MN與平面HMN的法向量分別為元=(刈邛?),布=(x2,y2,z2),

所以有叵絲二°,即［一3曠1-1"°,令％=1,可得汨

由但?亞=°,即辟-石+92=。，令“I,可得布=(i,2,0),

定力/=0(2x2-y2-＜3z2=0

不妨設平面AMN與平面HMN的夾角為仇

八.ny-nj..-1X1+1X2-口x0.1

所以皿"?而面?=1㈠…口可―22+M=M

綜上所述：平面4MN與平面HMN的夾角的余弦值為土

【解析】(1)取AD中點Q,連接MQ,NQ,要證MN〃平面P4B,只需平面MQN〃平面P4B,結合已知條件

即可得證.

(2)當4M1PC時并結合已知條件即可建立如圖所示坐標系，根據AD=2AB=4以及中點關系、PC=3PH即

可寫出各個點的坐標，進而求出法向量即可求解.

本題考查空間中平行關系的證明，考查利用空間向量求解二面角的余弦值，考查邏輯推理能力及運算求解

能力，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)易知X的所有可能取值為0,1,2,3,

此時P(X=0)=9/盍=嬴

n”411,16111919

P(X=l)=-x-x-+-x-x-+-x-x-=—

nzv461,419,16911457

P(X=2)=-x-x-+gX-x-+-x-x-=—175)

「療_4、_4乂69_216108

175；

則X的分布列為:

X0123

119108

P(X)57

350350175175

(2)不妨設抽取第k(l<k<n-l,n>2)次時取到優質產品，

此時對應的概率為P(k)=0.025x(0.975)k-i,

而第n次抽到優質產品的概率為P(n)=(0.975)/1,

則E(n)=躋;k-P(k)]+nP(n)=0.025xk-(0.975/-1]+“0.975尸=0.025x[1+2x

0.975+???+(n-1)x(0.975尸-2]+n(0.975)n-1,

又0.975-E(n)=0.025x[1x0.975+??■+(n-2)x(0.975)n-2+(n-1)x(0.975)n-1]+n(0.975)n,

兩式相減得0.025-E(n)=0.025x[1+0.975+…+(0.975)n-2-(n-1)x(0.975)"-1]+0.025X

n(0.975)f

所以E(n)=早需:=40[l-(0.975),]，

因為E(n)<5,

所以40[l-(0.975)n]<5,

即(0.975嚴>0,875,

因為當n=5時，0.975S=0.881>0.875,

所以當n=6時,有0.9756=0.859<0.875,

綜上所述：n的最大值為5.

【解析】(1)由題意，先得到X的所有可能取值，求出相對于的概率，進而可列出分布列；

(2)不妨設抽取第k(l<kWn-1)次時取到優質產品，此時對應的概率為P(k)=0.025x(0.975)1-1,而第

n次抽到優質產品的概率為P(n)=(0.975尸t,得到抽取次數的期望值E(n)的表達式，對其求和并結合

E(n)<5以及參考數據即可求解.

本題考查離散型隨機變量分布列及期望，考查了邏輯推理和運算能力.

21.【答案】解：(1)由。；/+丫2—2V10x—6=0得C：(x-710)2+y2=16,其半徑為4,

因為線段4B的垂直平分線與直線4c交于點D,

故|DB|=\DA\,貝IJ|DC|-|DB|=\DC\-\DA\=AC\=4,而|BC|=8>4,

故點。的軌跡E為以B,C為焦點的雙曲線，則2a=4,a=2,2c=c=CU，

.-.b2=c2-a2=6,故點。的軌跡E的方程為史一比=1；

46

(2)證明：由題意知&(-2,0),&(2,0),

若直線I斜率為0,則其與雙曲線的交點為雙曲線的兩頂點，不合題意;

故直線1的斜率不能為0,設其方程為x=ty+3,

x=ty+3

聯立身_尤_/得(3尸-2)y2+18ty+15=0,

.T-T-1

A=144t2+120>0,

設M(%i，yi),/V(x2,y2),故丫1+%=^^，

則直線41M的方程為y=島。+2)=券(％+2),

直線4N的方程為y=芻。-2)=急yO-2),