年銀川市二中高二數學下學期3月考試卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）2024.03一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．某影城有一些電影新上映，其中有3部科幻片、4部警匪片、3部戰爭片及2部喜劇片，小明從中任選1部電影觀看，不同的選法共有（

）A．9種 B．12種 C．24種 D．72種2．用1，2，3，4四個數字組成無重復數字的四位數，其中比2000大的偶數共有（

）A．16個 B．12個 C．9個 D．8個3．已知隨機變量X的分布列如下表，則（

）XPA．2 B．3 C．4 D．54．質數(primenumber)又稱素數，一個大于1的自然數，除了1和它本身外，不能被其他自然數整除，則這個數為質數.數學上把相差為2的兩個素數叫做“孿生素數”，如：3和5，5和，那么，如果我們在不超過30的自然數中，隨機選取兩個不同的數，記事件：這兩個數都是素數：事件：這兩個數不是孿生素數，則（

）A． B． C． D．5．360的不同正因數的個數為（

）A．24 B．36 C．48 D．426．為了深化教育改革，堅持“五育并舉”融合育人．某學校準備組建書法、音樂、美術、體育4個不同的社團．現將甲、乙、丙、丁、戊5名同學分配到這4個社團進行培訓，每名同學只能分配到1個社團，每個社團至少分配1名同學，且甲乙兩名同學不能在同一個社團培訓，則不同的分配方案共有（

）A．192種 B．216種 C．240種 D．432種7．如圖，小華從圖中處出發，先到達處，再前往處，則小華從處到處可以選擇的最短路徑有（

）

A．25條 B．48條 C．150條 D．512條8．中國南北朝時期的著作《孫子算經》中，對同余除法有較深的研究.設a，b，m(m＞0)為整數，若和被除得的余數相同，則稱和對模同余，記為.若，，則的值可以是（

）A．2018 B．2020C．2022 D．2024二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．目前，全國多數省份已經開始了新高考改革，改革后，考生的高考總成績由語文、數學、外語3門全國統一考試科目成績和3門選擇性科目成績組成.選擇性科目是由學生從思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物6門科目中任選3門，則（

）A．不同的選科方案有20種B．若某考生計劃在物理和生物中至少選一科，則不同的選科方案有12種C．若某考生確定不選物理，則不同的選科方案有10種D．若某考生在物理和歷史中選擇一科，則不同的選科方案有12種10．若，則（

）A．B．C．D．11．甲、乙、丙、丁四名同學報名參加假期社區服務活動，社區服務活動共有“關懷老人”“環境檢測”、“圖書義賣”這三個項目，每人都要報名且限報其中一項.記事件A為“恰有兩名同學所報項目相同”，事件B為“只有甲同學一人報‘關懷老人’項目”，則（

）A．四名同學的報名情況共有種B．“每個項目都有人報名”的報名情況共有72種C．“四名同學最終只報了兩個項目”的概率是D．12．圍棋起源于中國，據先秦典籍《世本》記載：“堯造圍棋，丹朱善之”，至今已有四千多年的歷史.在某次圍棋比賽中，甲，乙兩人進入決賽.決賽采用五局三勝制，即先勝三局的一方獲得比賽冠軍，比賽結束.假設每局比賽甲勝乙的概率都為，且每局比賽的勝負互不影響，記決賽中的比賽局數為X，則（

）A．乙連勝三場的概率是B．C．D．的最大值是三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．根據歷年的氣象數據，某市5月份發生中度霧霾的概率為0.25，刮四級以上大風的概率為0.4，既發生中度霧霾又刮四級以上大風的概率為0.02．則在發生中度霧霾的情況下，刮四級以上大風的概率為．14．的展開式中的系數為（用數字作答）15．如圖為我國數學家趙爽（約3世紀初）在為《周髀算經》作注時驗證勾股定理的示意圖，現在提供5種顏色給其中5個小區域涂色，規定每個區域只涂一種顏色，相鄰區域顏色不相同，則不同的涂色方案共有種（用數字作答）.

16．如圖所示，在楊輝三角中，斜線上方箭頭所示的數組成一個鋸齒形的數列：，，，，，，，記這個數列前項和為，則．

四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17．已知的展開式中的所有二項式系數之和為．(1)求的值；(2)求展開式中的常數項．18．已知二項式的展開式中的系數為，常數項為，且．(1)求的值；(2)求展開式中系數最小的項．19．一袋中共有10個大小相同的黑球和白球.若從袋中任意摸出2個球，至少有1個白球的概率為.(1)求白球的個數；(2)現從中不放回地取球，每次取1球，取兩次，已知第二次取得白球，求第一次取得黑球的概率.20．某高校在今年的自主招生考試中制定了如下的規則：筆試階段，考生從6道備選試題中一次性抽取3道題，并獨立完成所抽取的3道題，至少正確完成其中2道試題則可以進入面試．已知考生甲能正確完成6道試題中的4道題，另外2道題不能完成．(1)求考生甲能通過筆試進入面試的概率；(2)記所抽取的三道題中考生甲能正確完成的題數為，求的分布列和數學期望．21．受環境和氣候影響，近階段在相鄰的甲、乙、丙三個市爆發了支原體肺炎，經初步統計，這三個市分別有的人感染了支原體肺炎病毒，已知這三個市的人口數之比為，現從這三個市中任意選取一個人.(1)求這個人感染支原體肺炎病毒的概率；(2)若此人感染支原體肺炎病毒，求他來自甲市的概率.22．新高考數學試卷增加了多項選擇題，每小題有A、B、C、D四個選項，原則上至少有2個正確選項，至多有3個正確選項．題目要求：“在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．”其中“部分選對的得部分分”是指：若正確答案有2個選項，則只選1個選項且正確得3分；若正確答案有3個選項，則只選1個選項且正確得2分，只選2個選項且都正確得4分．(1)若某道多選題的正確答案是AB，一考生在解答該題時，完全沒有思路，隨機選擇至少一個選項，至多三個選項，請寫出該生所有選擇結果所構成的樣本空間，并求該考生得分的概率；(2)若某道多選題的正確答案是2個選項或是3個選項的概率均等，一考生只能判斷出A選項是正確的，其他選項均不能判斷正誤，給出以下方案，請你以得分的數學期望作為判斷依據，幫該考生選出恰當方案：方案一：只選擇A選項；方案二：選擇A選項的同時，再隨機選擇一個選項；方案三：選擇A選項的同時，再隨機選擇兩個選項．1．B【分析】根據分類加法計數原理即可得解.【詳解】任選1部電影可分四類：第一類選的是科幻片，第二類選的是警匪片，第三類選的是戰爭片，第四類選的是喜劇片，由分類加法計數原理可得不同的選法共有（種）．故選：B．2．D【分析】利用分類計數原理分類討論計算即可.【詳解】比2000大，故千位為2，3，4，若千位為2，則個位為4，有（個）符合題意的四位數；若千位為3，則個位為2或4，有（個）符合題意的四位數；若千位為4，則個位為2，有（個）符合題意的四位數．根據分類加法計數原理得，一共有（個）符合題意的四位數．故選:D．3．A【分析】由離散型隨機變量取值的概率和為，解出值，再由方差公式可得.【詳解】由解得，則，.故選：A.4．D【分析】根據條件概率的計算方法求得正確答案.【詳解】不超過的自然數有個，其中素數有共個，孿生素數有和，和，和，和，共組.所以，，所以.故選：D5．A【分析】根據質因數分解，結合分步計數原理進行求解即可.【詳解】因為，所以360有個不同的正因數．故選：A6．B【分析】根據題意，先計算出所有的分配方案數，然后去掉甲乙兩名同學在同一個社團的方案數，即可得到結果.【詳解】由題意可得，將5名同學分配到這4個社團進行培訓每名同學只能分配到1個社團，每個社團至少分配1名同學，則不同的分配方案共有種，當甲乙兩名同學在同一個社團培訓，則不同的分配方案有種，綜上可得，不同的分配方案共有種.故選：B7．C【分析】利用組合、分步乘法計數原理可得答案.【詳解】從處到處的最短路徑有條，從處到處的最短路徑有條，則小華從處到處可以選擇的最短路徑有條．故選：C.8．A【分析】首先利用二項式定理化簡，再確定被10除的余數，結合選項，即可求解.【詳解】因為所以被10除得的余數為8，而2018被10除得的余數是8.故選：A．9．ACD【分析】利用分類計數原理、分步計數原理即可.【詳解】從思想政治、歷史、地理、物理、化學、生物6門科目中任選3門，不同的選科方案有種，則A正確；若某考生計劃在物理和生物中至少選一科，則不同的選科方案有種，則B錯誤；若某考生確定不選物理，則不同的選科方案有種，則C正確；若某考生在物理和歷史中選擇一科，則不同的選科方案有種，則D正確.故選：ACD.10．ACD【分析】將，，代入判斷ACD，利用二項式展開式的通項公式判斷B即可.【詳解】將代入得，解得，A正確；由二項式定理可知展開式的通項為，令得，所以，B錯誤；將代入得，即，C正確；將代入得，即①，將代入得，即②，①+②得，所以，①-②得，所以，所以，D正確；故選：ACD11．CD【分析】根據分步乘法計數原理可判斷A；將四名志愿者先分組，再分到三個活動可判斷B；先求出四名同學最終只報了兩個項目的方法總數，再結合A選項可判斷C；由條件概率可判斷D.【詳解】解：對于A，由題意可知，甲、乙、丙、丁四名同學每人有3種選擇，故四名同學的報名情況共有種，A錯誤；對于B，現將四名志愿者分為2，1，1三組，共有種情況，再將其分到三個活動中，共有種，由分步乘法計數原理得到種，故“每個項目都有人報名”的報名情況共有36種，B錯誤；對于C，“四名同學最終只報了兩個項目”的概率是，C正確；對于D，由已知有：，，所以，D正確.故選：CD.12．BD【分析】根據題意列出決賽中的比賽局數為X的概率分布列，然后對照選項逐項分析即可判斷.【詳解】乙連勝三場時比賽局數可能是3,4,5，若比賽局數為3時，乙連勝三場的概率是；若比賽局數為4時，乙連勝三場的概率是；若比賽局數為5時，乙連勝三場的概率是；故選項A錯誤；由題意可知，決賽中的比賽局數的可能取值為，則；；故選項B正確；;故選項C錯誤；令，則，因為，所以當時，，當時，；當函數在上單調遞增，在上單調遞減，則當時，函數取最大值，所以的最大值是，故選項D正確；故選：BD.13．0.08【分析】利用條件概率公式求解.【詳解】設發生中度霧霾為事件，刮四級以上大風為事件，所以,,故答案為:0.08.14．80【分析】中有2個括號提供，還有3個括號都是，求出系數即可.【詳解】可看作5個相乘，有2個括號提供，還有3個括號都是，則，系數為80.故答案為：8015．【分析】根據題意，用表示個區域，分4步依次分析區域、、、、的涂色方法數目，由分步計數原理計算答案．【詳解】如圖，用表示個區域，分4步進行分析：①，對于區域，有5種顏色可選；②，對于區域，與區域相鄰，有4種顏色可選；③，對于區域，與、區域相鄰，有3種顏色可選；④，對于區域、，若與顏色相同，區域有3種顏色可選，若與顏色不相同，區域有2種顏色可選，區域有2種顏色可選，則區域、有種選擇，則不同的涂色方案有種.故答案為：.

16．【分析】根據楊輝三角的性質，結合組合數的計算性質，可得答案.【詳解】由“楊輝三角”性質，得：.故答案為：．17．(1)(2)【分析】（1）利用二項式系數和可求得的值；（2）寫出展開式通項，令的指數為零，求出參數的值，代入通項即可得解.【詳解】（1）解：展開式中所有二項式系數之和為，解得．（2）解：由（1）知所以展開式通項為，令，解得，則，所以展開式中的常數項為．18．(1)(2)【分析】（1）首先寫出二項展開式的通項，化簡后按照要求確定字母的指數，代入求解即可；（2）結合（1）中的值，先由不等式組解出展開式中系數絕對值最大的項，再結合通項判斷系數的正負，即可求解.【詳解】（1）由題意根據二項展開式的通項，得：令，得展開式中的系數為：，令，得展開式中的常數項為：，又，，解得：或或，又，故.（2）由（1）知，故原二項式為：則展開式中第項、第項、第項的系數絕對值分別為、、，若第項的系數絕對值最大，則有，解得：，又，，且展開式中系數的絕對值最大的項是第項，，其系數為負數，此時該項的系數最小，故展開式中系數最小的項為：.19．(1)(2)【分析】（1）從袋中任意摸出2個球，至少有1個白球的反面是摸出的2個球全是黑球，表示出黑球的概率，從而求得至少有1個白球的概率，來求得白球的個數.（2）根據條件概率的定義，分別求得兩事件同時發生的概率，和前提事件發生的概率，即可求得.【詳解】（1）設白球的個數為，則黑球個數為，從袋中任意摸出2個球，至少有1個白球的概率為．，解得或（舍，白球的個數為5．（2）記“第二次取到白球”為事件，“第1次取到黑球”為事件，則，，第2次取得白球時第1次取得黑球的概率為：．20．(1)(2)分布列見解析，數學期望為【分析】（1）根據古典概型計算公式進行求解即可；（2