第第頁第三章三角形章節測試(時間：90分鐘滿分：120分)一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的）1．（2023·湖北鄂州·統考中考真題）如圖，直線，于點E．若，則的度數是（）

A． B． C． D．2．（2023·吉林長春·統考中考真題）如圖，工人師傅設計了一種測零件內徑的卡鉗，卡鉗交叉點O為、的中點，只要量出的長度，就可以道該零件內徑的長度．依據的數學基本事實是（

）A．兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等 B．兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等C．兩余直線被一組平行線所截，所的對應線段成比例 D．兩點之間線段最短3．（2023·江蘇徐州·統考中考真題）如圖，在中，為的中點．若點在邊上，且，則的長為（

）

A．1 B．2 C．1或 D．1或24．（2023·重慶·統考中考真題）如圖，已知，，若的長度為6，則的長度為（

）

A．4 B．9 C．12 D．5．（2023·山東東營·統考中考真題）如圖，，點在線段上（不與點，重合），連接，若，，則（

）

A． B． C． D．6．（2023·云南·統考中考真題）如圖，兩點被池塘隔開，三點不共線．設的中點分別為．若米，則（

）

A．4米 B．6米 C．8米 D．10米7．（2023·浙江·統考中考真題）如圖，在四邊形中，，以為腰作等腰直角三角形，頂點恰好落在邊上，若，則的長是（

）

A． B． C．2 D．18．（2023·四川南充·統考中考真題）如圖，數學活動課上，為測量學校旗桿高度，小菲同學在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小菲的眼睛離地面高度為，同時量得小菲與鏡子的水平距離為，鏡子與旗桿的水平距離為，則旗桿高度為（

）

A． B． C． D．9．（2023·四川內江·統考中考真題）如圖，在中，點D、E為邊的三等分點，點F、G在邊上，，點H為與的交點．若，則的長為（）

A．1 B． C．2 D．310．（2023·福建·統考中考真題）閱讀以下作圖步驟：①在和上分別截取，使；②分別以為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點；③作射線，連接，如圖所示．根據以上作圖，一定可以推得的結論是（

）

A．且 B．且C．且 D．且二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）11．（2023·江蘇連云港·統考中考真題）一個三角形的兩邊長分別是3和5，則第三邊長可以是__________．（只填一個即可）12．（2023·全國·統考中考真題）如圖，在中，，分別以點B和點C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩孤交于點D，作直線交于點E．若，則的大小為__________度．

13．（2023·湖南·統考中考真題）七巧板是我國民間廣為流傳的一種益智玩具，某同學用邊長為的正方形紙板制作了一副七巧板（如圖），由5個等腰直角三角形，1個正方形和1個平行四邊形組成．則圖中陰影部分的面積為__________．

14．（2023·湖北鄂州·統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，與位似，原點O是位似中心，且．若，則點的坐標是___________．

15．（2023·四川樂山·統考中考真題）如圖，在平行四邊形中，E是線段上一點，連結交于點F．若，則__________．

16．（2023·浙江臺州·統考中考真題）用一張等寬的紙條折成如圖所示的圖案，若，則∠2的度數為________．

17．（2023·河南·統考中考真題）矩形中，M為對角線的中點，點N在邊上，且．當以點D，M，N為頂點的三角形是直角三角形時，的長為______．18．（2023·遼寧大連·統考中考真題）如圖，在正方形中，，延長至，使，連接，平分交于，連接，則的長為_______________．19．（2023·山東·統考中考真題）如圖，是邊長為6的等邊三角形，點在邊上，若，，則_________．

20．（2023·浙江·統考中考真題）如圖，在中，的垂直平分線交于點，交于點，．若，則的長是__________．

三、解答題（本大題共8小題，共66分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）21．（2023·江西·統考中考真題）如圖，，平分．求證：．

22．（2023·四川宜賓·統考中考真題）已知：如圖，，，．求證：．

23．（2023·湖南·統考中考真題）在中，是斜邊上的高．

(1)證明：；(2)若，求的長．24．（2023·四川眉山·統考中考真題）如圖，中，點E是的中點，連接并延長交的延長線于點F．

(1)求證：；(2)點G是線段上一點，滿足，交于點H，若，求的長．25．（2023·河南·統考中考真題）綜合實踐活動中，某小組用木板自制了一個測高儀測量樹高，測高儀為正方形，，頂點A處掛了一個鉛錘M．如圖是測量樹高的示意圖，測高儀上的點D，A與樹頂E在一條直線上，鉛垂線交于點H．經測量，點A距地面，到樹的距離，．求樹的高度（結果精確到）．26．（2023·遼寧·統考中考真題）暑假期間，小明與小亮相約到某旅游風景區登山，需要登頂高的山峰，由山底A處先步行到達處，再由處乘坐登山纜車到達山頂處．已知點A，B．D，E，F在同一平面內，山坡的坡角為，纜車行駛路線與水平面的夾角為（換乘登山纜車的時間忽略不計）

(1)求登山纜車上升的高度；(2)若步行速度為，登山纜車的速度為，求從山底A處到達山頂處大約需要多少分鐘（結果精確到）（參考數據：）27．（2023·內蒙古通遼·統考中考真題）如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東方向，距離燈塔的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔P的南偏東方向上的B處．這時，B處距離燈塔P有多遠（結果取整數）？（參考數據：．）

28．（2023·北京·統考中考真題）在中、，于點M，D是線段上的動點（不與點M，C重合），將線段繞點D順時針旋轉得到線段．

(1)如圖1，當點E在線段上時，求證：D是的中點；(2)如圖2，若在線段上存在點F（不與點B，M重合）滿足，連接，，直接寫出的大小，并證明．

第三章三角形章節測試(時間：90分鐘滿分：120分)一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的）1．（2023·湖北鄂州·統考中考真題）如圖，直線，于點E．若，則的度數是（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】延長，與交于點，根據平行線的性質，求出的度數，再直角三角形的兩銳角互余即可求出．【詳解】解：延長，與交于點，

∵，，∴，∵，∴，故選：B．【點睛】本題考查平行線的性質和直角三角形的性質，正確作出輔助線和正確利用平行線的性質是解題的關鍵．2．（2023·吉林長春·統考中考真題）如圖，工人師傅設計了一種測零件內徑的卡鉗，卡鉗交叉點O為、的中點，只要量出的長度，就可以道該零件內徑的長度．依據的數學基本事實是（

）A．兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等 B．兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等C．兩余直線被一組平行線所截，所的對應線段成比例 D．兩點之間線段最短【答案】A【分析】根據題意易證，根據證明方法即可求解．【詳解】解：O為、的中點，，，（對頂角相等），在與中，，，，故選：A．【點睛】本題考查了全等三角形的證明，正確使用全等三角形的證明方法是解題的關鍵．3．（2023·江蘇徐州·統考中考真題）如圖，在中，為的中點．若點在邊上，且，則的長為（

）

A．1 B．2 C．1或 D．1或2【答案】D【分析】根據題意易得，然后根據題意可進行求解．【詳解】解：∵，∴，∵點D為的中點，∴，∵，∴，①當點E為的中點時，如圖，

∴，②當點E為的四等分點時，如圖所示：

∴，綜上所述：或2；故選D．【點睛】本題主要考查含30度直角三角形的性質及三角形中位線，熟練掌握含30度直角三角形的性質及三角形中位線是解題的關鍵．4．（2023·重慶·統考中考真題）如圖，已知，，若的長度為6，則的長度為（

）

A．4 B．9 C．12 D．【答案】B【分析】根據相似三角形的性質即可求出．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，∴，故選：B.【點睛】此題考查的是相似三角形的性質,掌握相似三角形的邊長比等于相似比是解決此題的關鍵.5．（2023·山東東營·統考中考真題）如圖，，點在線段上（不與點，重合），連接，若，，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據三角形的外角的性質求得，根據平行線的性質即可求解．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，故選：B．【點睛】本題考查了三角形的外角的性質，平行線的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．6．（2023·云南·統考中考真題）如圖，兩點被池塘隔開，三點不共線．設的中點分別為．若米，則（

）

A．4米 B．6米 C．8米 D．10米【答案】B【分析】根據三角形中位線定理計算即可．【詳解】解∶∵的中點分別為，∴是的中位線，∴米，故選：B．【點睛】本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關鍵．7．（2023·浙江·統考中考真題）如圖，在四邊形中，，以為腰作等腰直角三角形，頂點恰好落在邊上，若，則的長是（

）

A． B． C．2 D．1【答案】A【分析】先根據等腰三角形的性質可得，，，再判斷出點四點共圓，在以為直徑的圓上，連接，根據圓周角定理可得，，然后根據相似三角形的判定可得，根據相似三角形的性質即可得．【詳解】解：是以為腰的等腰直角三角形，，，，，，，點四點共圓，在以為直徑的圓上，如圖，連接，

由圓周角定理得：，，，，，在和中，，，，，故選：A．【點睛】本題考查了圓內接四邊形、圓周角定理、相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質等知識點，正確判斷出點四點共圓，在以為直徑的圓上是解題關鍵．8．（2023·四川南充·統考中考真題）如圖，數學活動課上，為測量學校旗桿高度，小菲同學在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小菲的眼睛離地面高度為，同時量得小菲與鏡子的水平距離為，鏡子與旗桿的水平距離為，則旗桿高度為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據鏡面反射性質，可求出，再利用垂直求，最后根據三角形相似的性質，即可求出答案.【詳解】解：如圖所示，

由圖可知，，，.根據鏡面的反射性質，∴，∴，，，.小菲的眼睛離地面高度為，同時量得小菲與鏡子的水平距離為，鏡子與旗桿的水平距離為，，，...故選：B.【點睛】本題考查了相似三角形的應用，解題的關鍵在于熟練掌握鏡面反射的基本性質和相似三角形的性質.9．（2023·四川內江·統考中考真題）如圖，在中，點D、E為邊的三等分點，點F、G在邊上，，點H為與的交點．若，則的長為（）

A．1 B． C．2 D．3【答案】C【分析】由三等分點的定義與平行線的性質得出，，，是的中位線，易證，得，解得，則．【詳解】解：、為邊的三等分點，，，，，，是的中位線，，，，，即，解得：，，故選：C．【點睛】本題考查了三等分點的定義、平行線的性質、相似三角形的判定與性質、三角形中位線定理等知識；熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．10．（2023·福建·統考中考真題）閱讀以下作圖步驟：①在和上分別截取，使；②分別以為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點；③作射線，連接，如圖所示．根據以上作圖，一定可以推得的結論是（

）

A．且 B．且C．且 D．且【答案】A【分析】由作圖過程可得：，再結合可得，由全等三角形的性質可得即可解答．【詳解】解：由作圖過程可得：，∵，∴．∴．∴A選項符合題意；不能確定,則不一定成立，故B選項不符合題意；不能確定,故C選項不符合題意，不一定成立，則不一定成立，故D選項不符合題意．故選A．【點睛】本題主要考查了角平分線的尺規作圖、全等三角形的判定與性質等知識點，理解尺規作圖過程是解答本題的關鍵．二、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）11．（2023·江蘇連云港·統考中考真題）一個三角形的兩邊長分別是3和5，則第三邊長可以是__________．（只填一個即可）【答案】4（答案不唯一，大于2且小于8之間的數均可）【分析】根據三角形的三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊可得，再解即可．【詳解】解：設第三邊長為x，由題意得：，則，故答案可為：4（答案不唯一，大于2且小于8之間的數均可）．【點睛】此題主要考查了三角形的三邊關系：第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．12．（2023·全國·統考中考真題）如圖，在中，，分別以點B和點C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩孤交于點D，作直線交于點E．若，則的大小為__________度．

【答案】55【分析】首先根據題意得到是的角平分線，進而得到．【詳解】∵由作圖可得，是的角平分線∴．故答案為：55．【點睛】此題考查了作角平分線，角平分線的定義，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．13．（2023·湖南·統考中考真題）七巧板是我國民間廣為流傳的一種益智玩具，某同學用邊長為的正方形紙板制作了一副七巧板（如圖），由5個等腰直角三角形，1個正方形和1個平行四邊形組成．則圖中陰影部分的面積為__________．

【答案】【分析】根據正方形的性質，以及七巧板的特點，求得的長，即可求解．【詳解】解：如圖所示，

依題意，，∴圖中陰影部分的面積為故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質，勾股定理，七巧板，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．14．（2023·湖北鄂州·統考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，與位似，原點O是位似中心，且．若，則點的坐標是___________．

【答案】【分析】直接利用位似圖形的性質得出相似比進而得出對應線段的長．【詳解】解∶設∵與位似，原點是位似中心，且．若，∴位似比為，∴，解得，，∴故答案為：.【點睛】此題主要考查了位似變換，正確得出相似比是解題關鍵．15．（2023·四川樂山·統考中考真題）如圖，在平行四邊形中，E是線段上一點，連結交于點F．若，則__________．

【答案】【分析】四邊形是平行四邊形，則，可證明，得到，由進一步即可得到答案．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∴,∵，∴，∴．故答案為：【點睛】此題考查了平行四邊形的性質、相似三角形的判定和性質等知識，證明是解題的關鍵．16．（2023·浙江臺州·統考中考真題）用一張等寬的紙條折成如圖所示的圖案，若，則∠2的度數為________．

【答案】【分析】如圖，先標注點與角，由對折可得：，求解，利用，從而可得答案．【詳解】解：如圖，先標注點與角，

由對折可得：，∴，∵，∴；故答案為：【點睛】本題考查的是折疊的性質，平行線的性質，熟記兩直線平行，同位角相等是解本題的關鍵．17．（2023·河南·統考中考真題）矩形中，M為對角線的中點，點N在邊上，且．當以點D，M，N為頂點的三角形是直角三角形時，的長為______．【答案】2或【分析】分兩種情況：當時和當時，分別進行討論求解即可．【詳解】解：當時，

∵四邊形矩形，∴，則，由平行線分線段成比例可得：，又∵M為對角線的中點，∴，∴，即：，∴，當時，

∵M為對角線的中點，∴為的垂直平分線，∴，∵四邊形矩形，∴，則，∴∴，綜上，的長為2或，故答案為：2或．【點睛】本題考查矩形的性質，平行線分線段成比例，垂直平分線的判定及性質等，畫出草圖進行分類討論是解決問題的關鍵．18．（2023·遼寧大連·統考中考真題）如圖，在正方形中，，延長至，使，連接，平分交于，連接，則的長為_______________．【答案】【分析】如圖，過作于，于，由平分，可知，可得四邊形是正方形，，設，則，證明，則，即，解得，，由勾股定理得，計算求解即可．【詳解】解：如圖，過作于，于，則四邊形是矩形，，∵平分，∴，∴，∴四邊形是正方形，設，則，∵，∴，∴，即，解得，∴，由勾股定理得，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的判定與性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質．解題的關鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．19．（2023·山東·統考中考真題）如圖，是邊長為6的等邊三角形，點在邊上，若，，則_________．

【答案】【分析】過點A作于H，根據等邊三角形的性質可得，再由，可得，再根據，可得，從而可得，利用銳角三角函數求得，再由，求得，即可求得結果．【詳解】解：過點A作于H，∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∵，∴，∴，∴，故答案為：．

【點睛】本題考查等邊三角形的性質、銳角三角函數，熟練掌握等邊三角形的性質證明是解題的關鍵．20．（2023·浙江·統考中考真題）如圖，在中，的垂直平分線交于點，交于點，．若，則的長是__________．

【答案】4【分析】由可得，由是的垂直平分線可得，從而可得．【詳解】解：∵，∴，∵是的垂直平分線，∴，∴．故答案為：4．【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質以及等角對等邊等知識，熟練掌握相關知識是解答本題的關鍵．三、解答題（本大題共8小題，共66分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）21．（2023·江西·統考中考真題）如圖，，平分．求證：．

【答案】見解析【分析】先由角平分線的定義得到，再利用證明即可．【詳解】解∵平分，∴，在和中，，∴．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定，角平分線的定義等等，靈活運用所學知識是解題的關鍵．22．（2023·四川宜賓·統考中考真題）已知：如圖，，，．求證：．

【答案】見解析【分析】根據平行線的性質得出，然后證明，證明，根據全等三角形的性質即可得證．【詳解】證明：∵，∴，∵，∴即在與中，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的性質與判定，熟練掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．23．（2023·湖南·統考中考真題）在中，是斜邊上的高．

(1)證明：；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據三角形高的定義得出，根據等角的余角相等，得出，結合公共角，即可得證；（2）根據（1）的結論，利用相似三角形的性質即可求解．【詳解】（1）證明：∵是斜邊上的高．∴，∴，∴又∵∴，（2）∵∴，又∴．【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，熟練掌握相似三角形的性質與判定是解題的關鍵．24．（2023·四川眉山·統考中考真題）如圖，中，點E是的中點，連接并延長交的延長線于點F．

(1)求證：；(2)點G是線段上一點，滿足，交于點H，若，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據平行四邊形的性質可得，，證明，推出，即可解答；（2）通過平行四邊形的性質證明，再通過（1）中的結論得到，最后證明，利用對應線段比相等，列方程即可解答．【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，，，，是的中點，，，，∴，；（2）解：四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，設,則，可得方程，解得，即的長為．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，等腰三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，熟練運用上述性質證明三角形相似是解題的關鍵．25．（2023·河南·統考中考真題）綜合實踐活動中，某小組用木板自制了一個測高儀測量樹高，測高儀為正方形，，頂點A處掛了一個鉛錘M．如圖是測量樹高的示意圖，測高儀上的點D，A與樹頂E在一條直線上，鉛垂線交于點H．經測量，點A距地面，到樹的距離，．求樹的高度（結果精確到）．【答案】樹的高度為【分析】由題意可知，，，易知，可得，進而求得，利用即可求解．【詳解】解：由題意可知，，，則，∴，∵，，則，∴，∵，則，∴，∴，答：樹的高度為．【點睛】本題考查解直角三角形的應用，得到是解決問題的關鍵．26．（2023·遼寧·統考中考真題）暑假期間，小明與小亮相約到某旅游風景區登山，需要登頂高的山峰，由山底A處先步行到達處，再由處乘坐登山纜車到達山頂處．已知點A，B．D，E，F在同一平面內，山坡的坡角為，纜車行駛路線與水平面的夾角為（換乘登山纜車的時間忽略不計）

(1)求登山纜車上升的高度；(2)若步行速度為，登山纜車的速度為，求從山底A處到達山頂處大約需要多少分鐘（結果精確到）（參考數據：）【答案】(1)登山纜車上升的高度(2)從山底A處到達山頂處大約需要【分析】（1）過B