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2024屆湖南省郴州市北湖區(qū)魯塘中學(xué)中考考前最后一卷數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題(每小題只有一個(gè)正確答案,每小題3分,滿分30分)1.如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分,對(duì)稱軸為直線x=,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0),下列說(shuō)法:①abc<0;②a+b=0;③4a+2b+c<0;④若(-2,y1),(,y2)是拋物線上的兩點(diǎn),則y1<y2.其中說(shuō)法正確的有()A.②③④ B.①②③ C.①④ D.①②④2.﹣2的絕對(duì)值是()A.2 B. C. D.3.-5的倒數(shù)是A. B.5 C.- D.-54.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)是線段上一點(diǎn),以原點(diǎn)為位似中心把放大到原來(lái)的兩倍,則點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為()A. B.或C. D.或5.小蘇和小林在如圖①所示的跑道上進(jìn)行米折返跑.在整個(gè)過(guò)程中,跑步者距起跑線的距離(單位:)與跑步時(shí)間(單位:)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖②所示.下列敘述正確的是().A.兩人從起跑線同時(shí)出發(fā),同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)B.小蘇跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度C.小蘇前跑過(guò)的路程大于小林前跑過(guò)的路程D.小林在跑最后的過(guò)程中,與小蘇相遇2次6.如圖,點(diǎn)O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),點(diǎn)A在x軸上,△OAB是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心,將△OAB按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°,得到△OA′B′,那么點(diǎn)A′的坐標(biāo)為()A.(2,2) B.(﹣2,4) C.(﹣2,2) D.(﹣2,2)7.若式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,則x的取值范圍是()A.x>1 B.x>﹣1 C.x≥1 D.x≥﹣18.下列運(yùn)算正確的是()A.x4+x4=2x8B.(x2)3=x5C.(x﹣y)2=x2﹣y2D.x3?x=x49.如圖,以AD為直徑的半圓O經(jīng)過(guò)Rt△ABC斜邊AB的兩個(gè)端點(diǎn),交直角邊AC于點(diǎn)E;B、E是半圓弧的三等分點(diǎn),的長(zhǎng)為,則圖中陰影部分的面積為()A. B. C. D.10.﹣2018的相反數(shù)是()A.﹣2018 B.2018 C.±2018 D.﹣二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11.小球在如圖所示的地板上自由地滾動(dòng),并隨機(jī)地停留在某塊方磚上,那么小球最終停留在黑色區(qū)域的概率是_____________________.12.計(jì)算:(﹣)﹣2﹣2cos60°=_____.13.如圖,在△ABC中,BC=7,,tanC=1,點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B重合),以點(diǎn)P為圓心,PB為半徑畫圓,如果點(diǎn)C在圓外,那么PB的取值范圍______.14.如圖,已知正六邊形ABCDEF的外接圓半徑為2cm,則正六邊形的邊心距是__________cm.15.有一組數(shù)據(jù):3,5,5,6,7,這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為_____.16.一個(gè)幾何體的三視圖如左圖所示,則這個(gè)幾何體是()A. B. C. D.17.點(diǎn)C在射線AB上,若AB=3,BC=2,則AC為_____.三、解答題(共7小題,滿分69分)18.(10分)如圖,已知⊙O是以AB為直徑的△ABC的外接圓,過(guò)點(diǎn)A作⊙O的切線交OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(1)求證:∠DAC=∠DCE;(2)若AB=2,sin∠D=,求AE的長(zhǎng).19.(5分)某水果批發(fā)市場(chǎng)香蕉的價(jià)格如下表購(gòu)買香蕉數(shù)(千克)不超過(guò)20千克20千克以上但不超過(guò)40千克40千克以上每千克的價(jià)格6元5元4元張強(qiáng)兩次共購(gòu)買香蕉50千克,已知第二次購(gòu)買的數(shù)量多于第一次購(gòu)買的數(shù)量,共付出264元,請(qǐng)問(wèn)張強(qiáng)第一次,第二次分別購(gòu)買香蕉多少千克?20.(8分)如圖,⊙O是△ABC的外接圓,AE平分∠BAC交⊙O于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)E做直線l∥BC.(1)判斷直線l與⊙O的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;(2)若∠ABC的平分線BF交AD于點(diǎn)F,求證:BE=EF;(3)在(2)的條件下,若DE=4,DF=3,求AF的長(zhǎng).21.(10分)某汽車銷售公司6月份銷售某廠家的汽車,在一定范圍內(nèi),每部汽車的進(jìn)價(jià)與銷售有如下關(guān)系,若當(dāng)月僅售出1部汽車,則該部汽車的進(jìn)價(jià)為27萬(wàn)元,每多售一部,所有出售的汽車的進(jìn)價(jià)均降低0.1萬(wàn)元/部.月底廠家根據(jù)銷售量一次性返利給銷售公司,銷售量在10部以內(nèi),含10部,每部返利0.5萬(wàn)元,銷售量在10部以上,每部返利1萬(wàn)元.①若該公司當(dāng)月賣出3部汽車,則每部汽車的進(jìn)價(jià)為萬(wàn)元;②如果汽車的銷售價(jià)位28萬(wàn)元/部,該公司計(jì)劃當(dāng)月盈利12萬(wàn)元,那么要賣出多少部汽車?(盈利=銷售利潤(rùn)+返利)22.(10分)在圍棋盒中有x顆黑色棋子和y顆白色棋子,從盒中隨機(jī)地取出一個(gè)棋子,如果它是黑色棋子的概率是;如果往盒中再放進(jìn)10顆黑色棋子,則取得黑色棋子的概率變?yōu)椋髕和y的值.23.(12分)某汽車專賣店銷售A,B兩種型號(hào)的汽車.上周銷售額為96萬(wàn)元:本周銷售額為62萬(wàn)元,銷售情況如下表:A型汽車B型汽車上周13本周21(1)求每輛A型車和B型車的售價(jià)各為多少元(2)甲公司擬向該店購(gòu)買A,B兩種型號(hào)的汽車共6輛,購(gòu)車費(fèi)不少于130萬(wàn)元,且不超過(guò)140萬(wàn)元,則有哪幾種購(gòu)車方案?哪種購(gòu)車方案花費(fèi)金額最少?24.(14分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,函數(shù)()的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn),AB⊥x軸于點(diǎn)B,點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱,CD⊥x軸于點(diǎn)D,△ABD的面積為8.(1)求m,n的值;(2)若直線(k≠0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且與x軸,y軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)E,F(xiàn),當(dāng)時(shí),求點(diǎn)F的坐標(biāo).
參考答案一、選擇題(每小題只有一個(gè)正確答案,每小題3分,滿分30分)1、D【解析】
根據(jù)圖象得出a<0,a+b=0,c>0,即可判斷①②;把x=2代入拋物線的解析式即可判斷③,根據(jù)(-2,y1),(,y2)到對(duì)稱軸的距離即可判斷④.【詳解】∵二次函數(shù)的圖象的開口向下,∴a<0,∵二次函數(shù)的圖象y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上,∴c>0,∵二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x=,∴a=-b,∴b>0,∴abc<0,故①正確;∵a=-b,∴a+b=0,故②正確;把x=2代入拋物線的解析式得,4a+2b+c=0,故③錯(cuò)誤;∵,故④正確;故選D..【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用,題目比較典型,主要考查學(xué)生的理解能力和辨析能力.2、A【解析】分析:根據(jù)數(shù)軸上某個(gè)數(shù)與原點(diǎn)的距離叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值的定義,在數(shù)軸上,點(diǎn)﹣2到原點(diǎn)的距離是2,所以﹣2的絕對(duì)值是2,故選A.3、C【解析】
若兩個(gè)數(shù)的乘積是1,我們就稱這兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù).【詳解】解:5的倒數(shù)是.故選C.4、B【解析】分析:根據(jù)位似變換的性質(zhì)計(jì)算即可.詳解:點(diǎn)P(m,n)是線段AB上一點(diǎn),以原點(diǎn)O為位似中心把△AOB放大到原來(lái)的兩倍,則點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(m×2,n×2)或(m×(-2),n×(-2)),即(2m,2n)或(-2m,-2n),故選B.點(diǎn)睛:本題考查的是位似變換、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì),在平面直角坐標(biāo)系中,如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心,相似比為k,那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或-k.5、D【解析】
A.由圖可看出小林先到終點(diǎn),A錯(cuò)誤;B.全程路程一樣,小林用時(shí)短,所以小林的平均速度大于小蘇的平均速度,B錯(cuò)誤;C.第15秒時(shí),小蘇距離起點(diǎn)較遠(yuǎn),兩人都在返回起點(diǎn)的過(guò)程中,據(jù)此可判斷小林跑的路程大于小蘇跑的路程,C錯(cuò)誤;D.由圖知兩條線的交點(diǎn)是兩人相遇的點(diǎn),所以是相遇了兩次,正確.故選D.6、D【解析】分析:作BC⊥x軸于C,如圖,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得則易得A點(diǎn)坐標(biāo)和O點(diǎn)坐標(biāo),再利用勾股定理計(jì)算出然后根據(jù)第二象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征可寫出B點(diǎn)坐標(biāo);由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得則點(diǎn)A′與點(diǎn)B重合,于是可得點(diǎn)A′的坐標(biāo).詳解:作BC⊥x軸于C,如圖,∵△OAB是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形∴∴A點(diǎn)坐標(biāo)為(?4,0),O點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),在Rt△BOC中,∴B點(diǎn)坐標(biāo)為∵△OAB按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),得到△OA′B′,∴∴點(diǎn)A′與點(diǎn)B重合,即點(diǎn)A′的坐標(biāo)為故選D.點(diǎn)睛:考查圖形的旋轉(zhuǎn),等邊三角形的性質(zhì).求解時(shí),注意等邊三角形三線合一的性質(zhì).7、A【解析】
直接利用二次根式有意義的條件分析得出答案.【詳解】∵式子在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,∴x﹣1>0,解得:x>1.故選:A.【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次根式有意義的條件,正確把握定義是解題關(guān)鍵.8、D【解析】A.x4+x4=2x4,故錯(cuò)誤;B.(x2)3=x6,故錯(cuò)誤;C.(x﹣y)2=x2﹣2xy+y2,故錯(cuò)誤;D.x3?x=x4,正確,故選D.9、D【解析】
連接BD,BE,BO,EO,先根據(jù)B、E是半圓弧的三等分點(diǎn)求出圓心角∠BOD的度數(shù),再利用弧長(zhǎng)公式求出半圓的半徑R,再利用圓周角定理求出各邊長(zhǎng),通過(guò)轉(zhuǎn)化將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為S△ABC﹣S扇形BOE,然后分別求出面積相減即可得出答案.【詳解】解:連接BD,BE,BO,EO,∵B,E是半圓弧的三等分點(diǎn),∴∠EOA=∠EOB=∠BOD=60°,∴∠BAD=∠EBA=30°,∴BE∥AD,∵的長(zhǎng)為,∴解得:R=4,∴AB=ADcos30°=,∴BC=AB=,∴AC=BC=6,∴S△ABC=×BC×AC=××6=,∵△BOE和△ABE同底等高,∴△BOE和△ABE面積相等,∴圖中陰影部分的面積為:S△ABC﹣S扇形BOE=故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查弧長(zhǎng)公式,扇形面積公式,圓周角定理等,掌握?qǐng)A的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.10、B【解析】分析:只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù).詳解:-1的相反數(shù)是1.故選:B.點(diǎn)睛:本題主要考查的是相反數(shù)的定義,掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.二、填空題(共7小題,每小題3分,滿分21分)11、2【解析】試題分析:根據(jù)題意和圖示,可知所有的等可能性為18種,然后可知落在黑色區(qū)域的可能有4種,因此可求得小球停留在黑色區(qū)域的概率為:41812、3【解析】
按順序先進(jìn)行負(fù)指數(shù)冪的運(yùn)算、代入特殊角的三角函數(shù)值,然后再進(jìn)行減法運(yùn)算即可.【詳解】(﹣)﹣2﹣2cos60°=4-2×=3,故答案為3.【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算,涉及了負(fù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值,熟練掌握相關(guān)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.13、【解析】分析:根據(jù)題意作出合適的輔助線,然后根據(jù)題意即可求得PB的取值范圍.詳解:作AD⊥BC于點(diǎn)D,作PE⊥BC于點(diǎn)E.∵在△ABC中,BC=7,AC=3,tanC=1,∴AD=CD=3,∴BD=4,∴AB=5,由題意可得,當(dāng)PB=PC時(shí),點(diǎn)C恰好在以點(diǎn)P為圓心,PB為半徑圓上.∵AD⊥BC,PE⊥BC,∴PE∥AD,∴△BPE∽△BDA,∴,即,得:BP=.故答案為0<PB<.點(diǎn)睛:本題考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、解直角三角形,解答本題的關(guān)鍵是明確題意,找出所求問(wèn)題需要的條件,利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.14、【解析】連接OA,作OM⊥AB于點(diǎn)M,∵正六邊形ABCDEF的外接圓半徑為2cm∴正六邊形的半徑為2cm,即OA=2cm在正六邊形ABCDEF中,∠AOM=30°,∴正六邊形的邊心距是OM=cos30°×OA=(cm)故答案為.15、1【解析】
根據(jù)眾數(shù)的概念進(jìn)行求解即可得.【詳解】在數(shù)據(jù)3,1,1,6,7中1出現(xiàn)次數(shù)最多,所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1,故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查了眾數(shù)的概念,熟知一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)是解題的關(guān)鍵.16、A【解析】
根據(jù)主視圖和左視圖可知該幾何體是柱體,根據(jù)俯視圖可知該幾何體是豎立的三棱柱.【詳解】根據(jù)主視圖和左視圖可知該幾何體是柱體,根據(jù)俯視圖可知該幾何體是豎立的三棱柱.主視圖中間的線是實(shí)線.故選A.【點(diǎn)睛】考查簡(jiǎn)單幾何體的三視圖,掌握常見幾何體的三視圖是解題的關(guān)鍵.17、2或2.【解析】解:本題有兩種情形:(2)當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí),如圖,∵AB=3,BC=2,∴AC=AB﹣BC=3-2=2;(2)當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖,∵AB=3,BC=2,∴AC=AB+BC=3+2=2.故答案為2或2.點(diǎn)睛:在未畫圖類問(wèn)題中,正確畫圖很重要,本題滲透了分類討論的思想,體現(xiàn)了思維的嚴(yán)密性,在今后解決類似的問(wèn)題時(shí),要防止漏解.三、解答題(共7小題,滿分69分)18、(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)由切線的性質(zhì)可知∠DAB=90°,由直角所對(duì)的圓周為90°可知∠ACB=90°,根據(jù)同角的余角相等可知∠DAC=∠B,然后由等腰三角形的性質(zhì)可知∠B=∠OCB,由對(duì)頂角的性質(zhì)可知∠DCE=∠OCB,故此可知∠DAC=∠DCE;(2)題意可知AO=1,OD=3,DC=2,由勾股定理可知AD=,由∠DAC=∠DCE,∠D=∠D可知△DEC∽△DCA,故此可得到DC2=DE?AD,故此可求得DE=,于是可求得AE=.【詳解】解:(1)∵AD是圓O的切線,∴∠DAB=90°.∵AB是圓O的直徑,∴∠ACB=90°.∵∠DAC+∠CAB=90°,∠CAB+∠ABC=90°,∴∠DAC=∠B.∵OC=OB,∴∠B=∠OCB.又∵∠DCE=∠OCB,∴∠DAC=∠DCE.(2)∵AB=2,∴AO=1.∵sin∠D=,∴OD=3,DC=2.在Rt△DAO中,由勾股定理得AD==.∵∠DAC=∠DCE,∠D=∠D,∴△DEC∽△DCA,∴,即.解得:DE=,∴AE=AD﹣DE=.19、第一次買14千克香蕉,第二次買36千克香蕉【解析】
本題兩個(gè)等量關(guān)系為:第一次買的千克數(shù)+第二次買的千克數(shù)=50;第一次出的錢數(shù)+第二次出的錢數(shù)=1.對(duì)張強(qiáng)買的香蕉的千克數(shù),應(yīng)分情況討論:①當(dāng)0<x≤20,y≤40;②當(dāng)0<x≤20,y>40③當(dāng)20<x<3時(shí),則3<y<2.【詳解】設(shè)張強(qiáng)第一次購(gòu)買香蕉xkg,第二次購(gòu)買香蕉ykg,由題意可得0<x<3.則①當(dāng)0<x≤20,y≤40,則題意可得.解得.②當(dāng)0<x≤20,y>40時(shí),由題意可得.解得.(不合題意,舍去)③當(dāng)20<x<3時(shí),則3<y<2,此時(shí)張強(qiáng)用去的款項(xiàng)為5x+5y=5(x+y)=5×50=30<1(不合題意,舍去);④當(dāng)20<x≤40y>40時(shí),總質(zhì)量將大于60kg,不符合題意,答:張強(qiáng)第一次購(gòu)買香蕉14kg,第二次購(gòu)買香蕉36kg.【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生分類討論的思想.找到兩個(gè)基本的等量關(guān)系后,應(yīng)根據(jù)討論的千克數(shù)找到相應(yīng)的價(jià)格進(jìn)行作答.20、(1)直線l與⊙O相切;(2)證明見解析;(3)214【解析】試題分析:(1)連接OE、OB、OC.由題意可證明BE=(2)先由角平分線的定義可知∠ABF=∠CBF,然后再證明∠CBE=∠BAF,于是可得到∠EBF=∠EFB,最后依據(jù)等角對(duì)等邊證明BE=EF即可;(3)先求得BE的長(zhǎng),然后證明△BED∽△AEB,由相似三角形的性質(zhì)可求得AE的長(zhǎng),于是可得到AF的長(zhǎng).試題解析:(1)直線l與⊙O相切.理由如下:如圖1所示:連接OE、OB、OC.∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE.∴BE=∴∠BOE=∠COE.又∵OB=OC,∴OE⊥BC.∵l∥BC,∴OE⊥l.∴直線l與⊙O相切.(2)∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBF.又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE,∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF.又∵∠EFB=∠BAE+∠ABF,∴∠EBF=∠EFB.∴BE=EF.(3)由(2)得BE=EF=DE+DF=1.∵∠DBE=∠BAE,∠DEB=∠BEA,∴△BED∽△AEB.∴DEBE=BEAE,即∴AF=AE﹣EF=494﹣1=21考點(diǎn):圓的綜合題.21、解:(1)22.1.(2)設(shè)需要售出x部汽車,由題意可知,每部汽車的銷售利潤(rùn)為:21-[27-0.1(x-1)]=(0.1x+0.9)(萬(wàn)元),當(dāng)0≤x≤10,根據(jù)題意,得x·(0.1x+0.9)+0.3x=12,整理,得x2+14x-120=0,解這個(gè)方程,得x1=-20(不合題意,舍去),x2=2.當(dāng)x>10時(shí),根據(jù)題意,得x·(0.1x+0.9)+x=12,整理,得x2+19x-120=0,解這個(gè)方程,得x1=-24(不合題意,舍去),x2=3.∵3<10,∴x2=3舍去.答:要賣出2部汽車.【解析】一元二次方程的應(yīng)用.(1)根據(jù)若當(dāng)月僅售出1部汽車,則該部汽車的進(jìn)價(jià)為27萬(wàn)元,每多售出1部,所有售出的汽車的進(jìn)價(jià)均降低0.1萬(wàn)元/部,得出該公司當(dāng)月售出3部汽車時(shí),則每部汽車的進(jìn)價(jià)為:27-0.1×2=22.1.,(2)利用設(shè)需要售出x部汽車,由題意可知,每部汽車的銷售利潤(rùn),根據(jù)當(dāng)0≤x≤10,以及當(dāng)x>10時(shí),分別討論得出即可.22、x=15,y=1【解析】
根據(jù)概率的求法:在圍棋盒中有x顆黑色棋子和y顆白色棋子,共x+y顆棋子,如果它是黑色棋子的概率是,有成立.化簡(jiǎn)可得y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若往盒中再放進(jìn)10顆黑色棋子,在盒中有10+x+y顆棋子,則取得黑色棋子的概率變?yōu)椋Y(jié)合(1)的條件,可得,解可得x=15,y=1.【詳解】依題意得,,化簡(jiǎn)得,,解得,.,檢驗(yàn)當(dāng)x=15,y=1時(shí),,,∴x=15,y=1是原方程的解,經(jīng)檢驗(yàn),符合題意.答:x=15,y=1.【點(diǎn)睛】此題考查概率的求法:如果一個(gè)事件有n種可能,而且這些事件的可能性相同,其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果,那么事件A的概率P(A)=.23、(1)A型車售價(jià)為1
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