3.2函數的基本性質

基礎鞏固

1.（2021秋?高一校考課時練習）下列四個函數中，在（0,+8）上是增函數的是（）

A.〃尤）=3-尤B./（x）=x2-3x

c小）=-+D-/⑺4-1

【答案】C

【分析】根據一次函數，二次函數，及反比例函數的單調性逐一判斷即可.

【詳解】對于A,函數/（x）=3-x在（0,+8）上是減函數，故A不符題意；

對于B,〃x）=/-3x在（-甩，上單調遞減，在（|,+"上單調遞增，故B不符題意；

對于C,函數/"）=-七的定義域為{X|XN-1},

則〃無）=-占在（。,+8）上是增函數，故C符合題意；

/\IIfx-l,x>1

對于D,,x<l，

則函數/（x）在（1,+8）上單調遞增，在（-8,1）上單調遞減，故D不符題意.

故選：C.

2.（2017秋?四川綿陽?高一三臺縣蘆溪中學校考階段練習）下列四個函數中，在區間（0,+"）上為增函數的

是（）

A.〃x）=3-xB./（x）=x2-2x

C./（x）=-1D./（x）=2x+l

【答案】D

【分析】根據反比例函數，一次函數以及二次函數的單調性便可判斷出每個選項的函數在（0,+。）上的單調

性，從而找出正確選項.

【詳解】解：A.一次函數〃x）=3-x在（0,+8）上為減函數，.?.該選項錯誤；

B.二次函數/（x）=x2-2x在（0,1）上為減函數，（1,+功為增函數，.?.該選項錯誤;

C.反比例函數〃x）=:在（0,+力）上為減函數，二該選項錯誤；

D.一次函數“X）=2x+l在（0,+“）上為增函數，該選項正確.

故選：D.

【點睛】考查反比例函數，一次函數，二次函數的單調性，是基礎題.

3.（2020秋?遼寧大連?高一大連八中校考期中）以下函數中，在（0,+e）上單調遞減且是偶函數的是（）

A.〃x)=2'B./(%)=|x|

C.f(x)=—lx1D./?=--

【答案】C

【詳解】由指數函數的性質，可知〃刈=2,在（0,+“）上單調遞增，故A錯誤;

x>0

由于/(x)=W=當xe（O,+s）時，/⑴單調遞增，故B錯誤;

-x,x<0

由二次函數的性質可知，函數〃x）=-2/的定義域為尺，且在（0,+8）上單調遞減,

又/1（—x）=—2（—x）=—2x'—f（x）,所以/（x）是偶函數，故C正確；

因為〃尤）=-‘的定義域為（-叫。）。（。，+8），又〃-無）=工=-/（乃，所以〃無）=-，是奇函數，且〃幻=-,

在（0,+8）上單調遞增，故D錯誤.

故選：C.

【點睛】本題主要考查函數的奇偶性和單調性的應用，屬于基礎題.

4.（2022春?北京海淀?高二中關村中學校考期中）若函數/（幻=--蛆+10在（-2,-1）上是減函數，則實數加

的取值范圍是（）

A.[2,+oo）B.[-2,+oo）

C.（一0°,2]D.（-oo,-4]

【答案】B

【分析】先求出函數的對稱軸，結合函數的單調性得到不等式解出即可.

【詳解】函數的對稱軸是：X=

2

若函數/（》）=--g+10在（-2,-1）上是減函數,

只需萬3-1,即〃讓-2即可，

故選：B.

5.(2021秋?江蘇蘇州?高一統考期中)“函數/(無)=("2h+3在R上為減函數”是“ae(O,l)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】B

【分析】根據函數/(x)在R上為減函數求出實數。的取值范圍，再利用集合的包含關系判斷可得出結論.

【詳解】若函數〃x)=("2)x+3在R上為減函數，則”2<0,解得”2,

又因為{@<2}[同0<。<1},

因此，“函數/(x)=(。-2卜+3在R上為減函數”是“ae(0,1)”的必要不充分條件.

故選：B.

6.(2021秋?江蘇蘇州?高一統考期中)已知函數/(x)=s2+2x+加在(-1,+動上單調遞增，則實數加的取

值范圍是()

A.(0,1]B.[0,1]C.[1,+⑹D.(-?,1]

【答案】B

【分析】分別=0、m=0兩種情況討論，在旭=0時，直接驗證即可；在加力0時，利用二次函數的單調性

可得出關于實數加的不等式組，綜合可得出實數加的取值范圍.

【詳解】當旭=0時，函數/(x)=2x在(-1,+動上單調遞增，合乎題意；

當加/0時，則二次函數+2x+m圖象的對稱軸方程為x=-,，

m

m>0

若函數=+2x+加在(-1,+8)上單調遞增，貝IpI,解得0〈加W1.

-----S-1

、m

綜上所述，實數加的取值范圍是[0川.

故選：B.

-x2-ax-5,x<1

7.(2022秋?廣西桂林?高一校考期中)已知函數/(%)=a是R上的增函數，則。的取值范圍

一,x>1I

是()

A.[-3,0)B.(-叫-2]

C.(y,0)D.[-3,-2]

【答案】D

【分析】由分段函數的單調性，結合二次函數和反比例函數的性質列不等式求參數范圍即可.

【詳解】函數/0)是R上的增函數，則/(x)在(-叫1]上單調遞增，故-

此時滿足函數/⑴在(1,+動上也是單調遞增；

最后，只需在％=1處滿足一產-4—5?Q=>Q2—3,

綜上：。的取值范圍是

故選：D

f2xx<2

8.(2021秋?北京?高一北京交通大學附屬中學校考期中)設函數/(x)=2'>,，若〃

IX,X8/

則實數。的取值范圍是()

A.(-°°,1]B.(-<?,2]

C.[2,6]D.[2,+co)

【答案】B

【分析】判斷出的單調性，由此化簡不等式從而求得。的取值范圍.

【詳解】畫出/(無)的圖象如下圖所示，結合圖象可知/(x)在R上遞增，

由+1)2/(2。-1)得a+122a—1,解得a?2.

9.(2023春?上海寶山?高三上海交大附中校考期中)函數/(x)=(l+x)(1的奇偶性為()

A.奇函數B.偶函數C.非奇非偶函數D.既奇又偶函數

【答案】C

【分析】求出/(x)的定義域不關于原點對稱，即可判斷/(x)為非奇非偶函數.

【詳解】由函數“x)=(l+x)jF的定義域可得公20,

(l+x)(l-x)20,,

則'八'nT<x41,

xw—1

由于定義域不關于原點對稱，故/(x)為非奇非偶函數.

故選：C.

10.(2022秋?江西撫州?高一臨川一中校聯考期中)下列四個函數中是偶函數，且在(-8,0)上單調遞減的是

A.y(x)=pB.f(x)=l-x2

C.=l一2xD.=

[x-2x,x<0

【答案】D

【分析】根據奇偶性的定義和單調性的定義求解.

【詳解】對于A,/(r)=A『=]=/(》)是偶函數，當xe(-co,0)時是增函數；

對于B,〃f)=l-(一步=1-是偶函數，當xe(-8,0)時是增函數；

對于C,-x)=l+2x*/(x),不是偶函數；

對于D,設x<0,則一x>0,f(—x)=(-x)2+2(-x)=x2-2x=/(.x),

當x>0時，-x<0,/(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x=/(x),是偶函數，

當x<0時，f(x)=x2-2x,是對稱軸x=l,開口向上的拋物線，是減函數；

故選：D.

11.(2022秋?江西贛州?高一統考期中)函數/(X)="3-，-2且/(2)=2,貝1]/(-2)=()

A.-6B.-2C.0D.2

【答案】A

【分析】令g(x)=/(x)+2,可證明g(x)是奇函數，再利用奇函數的性質計算即可.

【詳解】由/(x)="3-2一2,令g(x)=/(x)+2,

X

則g(x)=辦3—,g(—x)=a(—x)3-----=—ax3H—=—g(x),

x—xx

故g(x)是奇函數，

所以g(-2)=-g(2)=-[/(2)+2]=-(2+2)=-4,

所以/(-2)=g(-2)-2=-6.

故選:A.

12.(2021秋?陜西西安?高一西安中學校考期中)函數V=/(x)在(0,2)上是增函數，函數了=〃x+2)是偶

函數，則下列結論正確的是()

A"⑴“圖(佃B.佃"⑴〈喧

【答案】B

【分析】分析可知函數〃x)的圖象關于直線x=2對稱，可得出,電=/出，利用函數

“X)在(0,2)上的單調性可得出了匕＞〃1)、f[5)的大小關系，即可得出結果.

【詳解】因為函數V=/(x+2)是偶函數，則〃2-x)=/(2+x),

所以，函數/(x)的圖象關于直線x=2對稱，

因為唱寸圖，佃U且。《＜】＜1＜2,

即佃＜"1)＜佃.

因為函數〃x)在(0,2)上為增函數，所以，

故選：B.

2

13.(2022秋?重慶沙坪壩?高一重慶八中校考期中)已知函數/")=2-國+“仃，則使得不等式

〃2加)＜〃加+1)成立的實數加的取值范圍是(：)

A.團B.]一/

1

C.卜8,一；)D(1,+OO)D.—00—U(l,+oo)

3

【答案】c

【分析】利用偶函數的對稱性結合單調性即可求解.

【詳解】因為/(1=2-國+房五=/(一力,

所以“X)為偶函數，圖像關于y軸對稱，

2

又因為當x>0時，片2-%和片工不單調遞減,

X+11

所以〃%)=2-國+內行在x>0時單調遞減，

因為/(2加)</(加+1),

所以滿足何+1|<127nl,即(%+1)2<(2柏

展開可得3療-2m-1>0,解得加eU(l,+℃),

故選：C

14.(2022秋?廣西桂林?高一校考期中)奇函數在(0,+。)上的解析式是〃力=無x),則在(-8,0)上

〃x)的函數解析式是()

A./(x)=-x(l-x)B.〃x)=x(l+x)

C./(X)=-X(1+JC)D./(x)=x(x-l)

【答案】B

【分析】Vxe(-co,0),則-xe(0,+oo),求出/(-x).根據奇函數的性質可得,

/(x)=-/(-x),即可求得結果.

【詳解】Vxe(-co,0),則-xe(0,+oo),由已知可得〃-x)=-x(l+x).

因為/(無)為奇函數，所以/(-X)=-/(%),

所以/(x)=-/(-x)=x(l+x).

故選：B.

15.（2022秋?湖南衡陽?高一衡陽市一中校考期中）（多選題）已知函數/（工人63瓦在［2,3］上單調遞減,

則?的取值范圍錯誤的是（）

A.0<Q?-B.ci>—C.0<qV—D.0v。<1

322

【答案】BCD

【分析】根據給定的函數，利用單調性結合函數有意義的條件求出參數。的取值范圍即可求解作答.

【詳解】因為函數/（可="^在［2,3］上單調遞減，則/（x）在x=3處取得最小值，此時1-亦取最小

1—3a,

［a>Q1

因此?2、c，解得0<0",

［1-36/>03

所以。的取值范圍是。<。4；,顯然選項A正確，選項BCD都是錯誤的.

故選：BCD

a”,x<一1

16.（2022秋?廣西桂林?高一桂林市第一中學校考期中）（多選題）已知函數/（x）='是R

（^l-2a）x+3a,x>-i

上的增函數，則實數。的值可以是（）

A.4B.3C.-D.-

34

【答案】CD

【分析】利用分段函數單調性建立不等關系，從而求出參數的取值范圍.

CL*,X<—1

【詳解】由函數“尤）=八.|是R上的增函數，

^l-2a）x+3a,x>-1

0<Q<1

0<。<1

1

所以<1-2〃>0=><U<一

2

（T）<Q-2<7）x（-lj+3tz

1

a>—

所以！,

42

故選：CD.

17.（2022秋?黑龍江七臺河?高一勃利縣高級中學校考期中）（多選題）已知函數/（x）=——加x+1在區間

［3,8］上單調，則實數加的值可以是（）

A.0B.8C.16D.20

【答案】ACD

【分析】求出函數的對稱軸，結合函數的單調性，得到不等式解出即可.

【詳解】函數/0)=--加X+1的對稱軸為％=萬，

若函數/(%)=%2一加工+1在區間[3,8]上單調，則萬(3或萬28,解得加＜6或加216.

故選：ACD.

18.(2023春?湖南長沙?高一長沙市明德中學校考期中)(多選題)已知函數/(x)的定義域為R,/Q+；

為奇函數，且對于任意xeR,都有“2-則()

C.〃x+2)為偶函數D./[x-為奇函數

【答案】BCD

【分析】由題意可得〃2-x)=f(x),結合+為奇函數可得〃x+2)=/(x),從而可判斷選項A；由

=得/&]=O，在/(x+l)=—/(x)中，令》=一；可判斷選項B；由〃x+2)=/(x),

/(2-力向(x)可判斷選項C；由=〃x+2)=〃x)可判斷選項D.

【詳解】由為奇函數，可得/卜+￡|=-/1工+5,即/(x)=-〃i一X),

又因為/(2-x)m'(X),所以/(2-x)=—/(l-x),即/(x+l)=—/(x),

所以f(x+2)=-/(x+1),所以/(x+2)=/(x),故選項A錯誤;

由=得/弓卜。，由/(x+l)=-f(x),得

所以/卜￡|=0,故選項B正確；

由“x+2)=/(x),f(2-x閆(x),得〃2-x)=/(x+2),

所以/(x+2)為偶函數，故選項C正確；

由=,/(x+2)=/(x),可得-/(l-x)=-/(-l-x),

所以=

即/〔XT卜一/[r-S'故/、一為奇函數，故選項D正確.

故選：BCD

19.(2023春?湖南?高一校聯考期中)(多選題)己知定義在R上的函數7=/(x)滿足條件/(x+l)=-/(x),

且函數y=/(x-i)為奇函數，則下列說法中正確的是()

A.函數是周期函數

B.函數/(x)為R上的偶函數

C.函數“X)的圖象關于點(-1,0)對稱

D.函數〃x)為R上的單調函數

【答案】AC

【分析】由題可得〃x+2)=〃x)即可判斷A；由y=〃x-l)為奇函數可得〃-x-l)+〃x-l)=0,即可

判斷B；由〃-x)=-〃x-2)、〃苫-2)=〃尤)可得"-工)=-/卜)，即可判斷C；根據/(x)為R上的奇

函數，結合單調函數的定義即可判斷D.

【詳解】A選項，由/(x+1)=-/(%),得/(x+2)=—/(x+l)=/(x),即7=2,故A正確;

B選項，因為V=/(x-l)為奇函數，=,

用x-l換x,W/H)=-/(X-2),又〃X-2)=/(X),

所以=即函數/⑺為R上的奇函數，故B錯誤；

C選項，因為＞為奇函數，

所以-+=

則y=/(x)的圖象關于點(T0)對稱，故c正確；

D選項，因為函數/(X)為R上的奇函數，其圖象關于原點對稱，

函數/(X)在(-8,0)和(0,+功的單調性相同，

但函數/(無)在R上不一定為單調函數，故D錯誤.

故選：AC.

Jr2-Y4

20.(2020秋?福建龍巖?高一校考期中)(多選題)關于函數/(x)=7xx的性質的描述,正確的是()

A.的定義域為[7,0)501]B.“X)的值域為(-1,1)

C./(X)的圖象關于了軸對稱D.7(x)在定義域上是增函數

【答案】AC

【解析】首先求出函數的定義域，將函數解析式化簡〃x)=m，即可判斷函數的奇偶性，再根據復合

函數的單調性法則判斷函數的單調性，再求出函數的值域；

ylY2-Y4%2%420

【詳解】解：因為y(x)="X,所以解得-lWx<0或0<x<l,即函數的定義域為

|X|斤0

[-1,0)50刀，故A正確；

/2_4_______

所以/(%)=————=V1-X2xe[-l,0)u(0,l],

|尤|

所以/(-X)=7i=？=/(x),即函數是偶函數，函數圖象關于了軸對稱，故C正確；

因為了=1--在上單調遞增，(0,1]上單調遞減，y=正在定義域上單調遞增，根據復合函數的單調

性可得/(x)在[T，。)上單調遞增，(0川上單調遞減，故D錯誤；

因為1-/40,1),所以/(x)e[0,l),故B錯誤;

故選：AC

21.(2022秋?廣東深圳?高一深圳市羅湖高級中學校考期中)(多選題)設函數“X),g(x)的定義域都為

R,且“X)是奇函數，g(x)是偶函數，則下列結論錯誤的是()

A./(x)-g(x)是偶函數B.是奇函數

C.是奇函數D.是奇函數

【答案】ABD

【分析】根據函數奇偶性的性質即可得到結論.

【詳解】???/(》)是奇函數,g(x)是偶函數,

/(-X)=-f(x),g(-x)=g(x),

/(-x)?g(-x)=-/(x)?g(x),故函數是奇函數，故A錯誤，

"(-x)卜g(-x)=|f(x)卜g(x)為偶函數，故B錯誤,

/(r)?|g(-x)|=-/(x)?|g(x)|是奇函數，故C正確.

I/(-X).g(-x)I="(x).g(x)|為偶函數，故D錯誤，

故選：ABD

22.(2023秋?廣東肇慶?高一統考期末)(多選題)下列函數中是偶函數，且在(0,+8)上是減函數的是(

A.kcosxB.y=-x2

C.y=HD.7=4

X

【答案】BD

【分析】直接根據函數的性質逐一判斷即可.

【詳解】對于A：N=cosx是偶函數，但在(0,+“)上不是單調函數，A不符；

對于B：y=是偶函數，且在(0,+e)上單調遞減，B符合；

對于C：>=國是偶函數，且在(0,+。)上單調遞增，C不符；

對于D：y=±=x-2是偶函數，且在(0,+8)上單調遞減，D符合.

故選：BD.

23.(2022秋?江西贛州?高一統考期中)函數/(x)=巴工在區間(-叱1)上單調遞減，則實數。的取值范圍

X-L

為.

【答案】a>2/(2,+s)/(a(a)>2)

【分析】利用函數的單調性，即可求出實數。的取值范圍.

【詳解】由題意，

法一：

在/(X)~~中,設存在再,乙￡(—8,1)，且再<看'

x-l

則再一1<0,%2—1〈。再一次2V0，

???函數在區間(-*1)上單調遞減，

-x(a-2)(9-%)

〃xj一/■（X2）=W一絲]ax{x2-axx-2X2+2-axxx2+ax2+2再一2_tz(x2i)+2-x2)

(再T)(%2T)(再T)(%2T)(^-1)(%2-1)

解得：a>2,

故答案為：（2,+8）.

法二:

ax-2—a+2

在〃x)=中,

x-1

???在區間（-8,1）上單調遞減,

Ar(x)<0,解得：a>2

故答案為：（2,+8）.

24.（2022秋吶蒙古包頭?高一校考期中）若函數〃x）=r2+2辦-2在（3,+動上是減函數，則實數。的取

值范圍是.

【答案】（-*3]

【分析】由二次函數的對稱軸與開口，結合單調性求解即可

【詳解】函數/（X）=+2辦一2的對稱軸為X=a,

又函數/（》）=-尤2+2辦-2在（3,+8）上是減函數，

所以。43,

故答案為：（-8,3].

25.（2022秋?吉林長春?高一東北師大附中校考期中）若函數/。）=[歸：4：5,龍"1在R上單調遞增，則實

1—x+2ax,x<1

數。的取值范圍是.

【答案】[1,7]

【分析】根據題意，分段函數在R上單調遞增，則每一段函數在相應的區間上必須單調遞增，再結合分段

函數在x=l處需滿足的條件，列出不等式組即可得到答案.

【詳解】函數〃x)="X：4：5,X2：在R上單調遞增，

［一x+2ax,x<1

當時，/(x)=|x+a|+5單調遞增，故x+〃20恒成立，解得此時/(x)=%+。+5；

當時，/(%)=-工2+2辦單調遞增，故-三二。之1,解得a21,

—2

a>-\

要使/。)在R上單調遞增，需滿足*21,解得1V0V7,即a的取值范圍是［1,7］.

1+6/+52—1+2a

故答案為：工刀.

26.(2022秋?福建三明?高一校聯考期中)已知函數〃耳=。/+》-3,若對任意的再,馬式1,+8),且

x尸zJ.)一/0)<3成立，則實數。的取值范圍是________.

xx-x2

【答案】(-8,0］

【分析】不妨設士>無2，則不等式可變為/(再)-3再</(%)-3馬，令g(x)=<(x)-3x,從而可得出函數g(x)

在［1,+8)上的單調性，再分。=0和aw0兩種情況討論，結合二次函數的單調性即可得解.

【詳解】解：不妨設為>%,

則不等式/(%)一小)<3,

xx-x2

即為，(%)-，(工2)<3%-3%,§P/(x1)-3x1</(X2)-3X2,

令g(x)=f(x)-3x=ax2-2x-3,

則g(xj<g(x2)，

所以函數g(x)在［1,+OO)上遞減，

當a=0時，g(x)=-2x-3在［1,+⑹上遞減，符合題意，

當QW0時，

a<0

則11〃，解得。<0,

一s1

綜上所述，實數。的取值范圍是(F,0］.

故答案為：(-8,。］.

27.(2022秋?遼寧?高一沈陽市第十一中學校聯考期中)已知函數〃無)=4-4對

------(x<-2),

Ix

Vx15x2GR(XL*X2),x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2/(xI),則實數a的取值范圍為.

【答案】{?|4<?<5}

【分析】由已知條件得出函數為增函數，然后由分段函數為增函數求得參數取值，注意函數的定義域.

【詳解】xJ(無1)+尤2/(工2)>XJ(尤2)+(xJO(再-尤2)(/(%)-f(x2)>0,

所以若再<%,則〃再)</(%),因此函數“X)實數集上是增函數，

4一。<0

<，解得4<〃45.

4-2?+6>0

故答案為：缶14<。45}.

28.(2023春?河北保定?高一保定一中校考期中)已知函數/(》)=0?+-3+3且/(2023)=16,則/(-2023)

的值為________

【答案】-10

【分析】由函數/(x)的解析式發現，它是由一個奇函數加一個常數的形式，再注意到已知的函數值和要求

的函數值，它們的自變量互為相反數，所以可以直接代入利用奇函數的性質求解.

【詳解】因為/(工)=0?+加3+3,/(2023)=ax20235+bx20233+3=16,

所以4x20235+6x20233=13,

所以/(-2023)=ax(-2023)5+bx(-2023)3+3

=-(ax20235+6x2023,)+3=-13+3=-10,

故答案為：-10.

29.(2023春?上海?高一上海市敬業中學校考期中)已知函數/(x)是定義在R上的奇函數，當xNO時，

f(x)=2x+2x+b(6為常數)，則〃-1)=.

【答案】-3

【分析】根據給定條件，利用"0)=0求出6,再利用奇函數定義求出/'(-1)作答.

【詳解】R上的奇函數〃x),當xW。時，f(x)=T+2x+b,則/(0)=l+b=0,解得6=-1,

所以〃T=-〃1)=-(2+2X1+6)=-3.

故答案為：-3

30.(2023秋?寧夏吳忠?高一統考期中)若/(x)="：詭耳是奇函數，則。=

【答案】3

【分析】先利用奇函數的定義域關于原點對稱求得。=3,再代入檢驗即可得解.

【詳解】因為“I%一贏+)

所以(x_l)(3x+a)/0,解得xwl且

則/(x)的定義域為卜|"1且

因為函數/(x)=(x+])：2x_0)為奇函數，

所以“X)的定義域關于原點對稱，故-三=-1,貝加=3,

當。=3時，/(X)=(X_I)(3X+3)=3(XT(X+1)，

所以“r)=3(r-十x+l)=-3(X-1；(X+1)=一〃x),滿足題意，

所以。=3.

故答案為：3.

31.(2022秋?浙江溫州?高一校考期中)已知g(x)=/(x)+|x-l|是奇函數，且=則g(l)=.

【答案】-3

【分析】根據已知條件求出g(T)的值，再根據奇函數的性質可求得g⑴的值.

【詳解】因為函數g(x)=/(x)+|x-l|是奇函數，且〃-1)=1,

貝>Jg(T)=〃T)+HT|=l+2=3,故g⑴=_g(T)=_3.

故答案為：-3.

32.(2022秋?山西大同?高一大同一中校考期中)已知函數/(幻是定義在R上的奇函數，且當x<0時，

/(x)=-x2+2x.當尤20時，求函數/(x)的解析式.

［答案1/(x)=x2+2x

【分析】根據奇函數的定義即可求解.

【詳解】因為函數/(X)是定義在R上的奇函數，所以"0)=0；

當x>0時，一x<0,貝lj/(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x,

因為函數/(x)為奇函數，所以/(-x)=-/(x),貝|/(X)=-/(-X)=X2+2X,

當x=0時，上式也滿足"0)=0,

所以當x20時，函數/⑴的解析式為〃x)=/+2x,

故答案為：f(x)=x2+2x.

33.(2022秋?四川成都?高一石室中學校考期中)己知函數/(幻=/+一

(1)判斷/(x)在(。川上的單調性，并用定義加以證明；

⑵設函數g(x)=———+-+3,x>l,求g(x)的值域.

x+2x+1x

【答案】(1)單調遞減，證明見解析

【分析】(1)根據函數單調性的定義，即可證明；

(2)首先將g(x)拆分成內外層函數，/=*,A(/)=f2+1+l,結合(1)的結論求出〃⑺的值域，即可

得解.

【詳解】(1)“X)在(0』上的單調遞減，證明如下：

22

設0"'I，則。(再)一/(%2)=%；+---X2

占x2

二(石+/)(再一”2)+

=（石一超）西+超-----，

I項X2）

因為0<再<l2<1,所以再一工2<。，0<+x2<2,0<XjX2<1,

22

--->2,gpxx+x2-----<0,

所以/(%)一/口2)>0,即/(網)>/卜2),

所以函數/（X）在（0,1］上的單調遞減;

上『+上+1

x22

(2)g(x)=,+—+3X+1)X

x+2x+1x

X+1

Y11

設"——=1-----,t=1-----在上單調遞增，當Xf+8時，tT

x+1x+1x+1

所以fej

令〃（f）=〃+?+1,tSI'），

由（1）可知，〃⑺在g,1）上單調遞減，

乂唱］=g"1）=4,所以浸，

所以g（x）的值域為（4,日.

34.（2023春?湖北黃岡?高一黃岡中學校聯考期中）求證：函數〃x）=（。＞1）在區間（T，+e）上是減函

數.

【答案】證明見解析

【分析】利用函數單調性的定義即可求證.

【詳解】設也戶2e（-l,+s）,且玉＜々,

則/(再)-小)=^^x2+a_(1一。)(/一12)

x2+1(Xj+l)(x2+1)

vx1?x2e(-l,+00),且不<12，

+1>0,x2+1>0,-x2<0X?>1,

1—a<0,

二去需K>。,即/(xj-〃z)>。

＞〃X2）,

故函數y（x）在區間（-1,+8）是減函數.

2r+1

35.（2023秋?寧夏吳忠?高一統考期中）已知/（x）=--

x-2

（1）根據單調性的定義證明函數/（X）在區間（2,+CO）上是減函數

(2)若函數g(x)="2r+,1無e[3,a](?>3)的最大值與最小值之差為1,求實數。的值

x-2

【答案】(1)證明見解析

13

⑵°。

【分析】⑴田戶2€(2,+。)且網</，利用作差法證明/(再)>/(￡)即可;

(2)由(1)求出函數的最值，再根據題意即可得解.

【詳解】(1)VX],/e(2,+e)且再ex2,

2X+1_5(X-xj

則/(再)-/(>2)=22

2花"一12-2)(%-2)

因為VX1,%e(2,+oo),所以玉-2>0,超-2>0,

又因為王<X2，所以龍2-%>°，

因此/'(再)-/(%)>0,/(x1)>/(%),

所以/(X)在(2,+8)是減函數；

(2)由(1)可知,g(x)是減函數，

所以x=3時,g(x)取得最大值為g(3)=7,

x=a時，g(x)取得最小值為g(a)=",

因為最大值與最小值之差為1,

所以7-"=1,解得。=?

a-24

36.(2022秋?江蘇常州?高一江蘇省前黃高級中學校考期中)已知函數/■(力=咚」是定義在(-2,2)上的奇

X十4

函數,且/出=3

⑴求6的值；

(2)用單調性定義證明：函數/(x)在區間(-2,2)上單調遞增；

⑶若〃a+l)+〃l-2a)>0,求實數。的取值范圍.

【答案】6=0

(2)證明見解析

【分析】（1）利用奇函數的性質/㈠卜-/⑴求得6,再由/[￡]=靜求得。、6的值;

（2）利用單調性的定義，結合作差法即可證明；

（3）利用奇函數的性質得到再利用（2）中結論去掉了即可求

【詳解】（1）由題意可知/（r）=-/（x）,.?.手耳=一竽

即-ax+b=-ax-b,

/.b=0,.\f(x)=

又???/

(2)Vxj,x2e(-2,2),且再<%,有

%(x；+4)-無2(x；+4)（毛一占）（占馬—4）

/(x)-/(x)=

12x；+4x；+4.+4）（考+4）（尤；+4乂考,+4）

由于一2<&<X2<2,x2-X[>0,x}x2-4<0,/(x；)-/(x2)<0,即/(&)</(x2),

所以函數〃x)在區間(-2,2)上單調遞增.

(3)因為“X)為奇函數，所以由/(。+1)+〃1-2a)>0,

得〃0+1)>-〃1一2°)="2"1),

又因為函數/(x)在區間(-2,2)上單調遞增，

—2<Q+1<2

所以<-2<2a—1<2,

Q+1>2Q—1

-3<a<1

131

解得卜]<°<于故一,<a<l,

a<2

所以實數0的取值范圍是\;J

37.（2022秋?江西撫州?高一臨川一中校聯考期中）已知函數/（x）的定義域為（0,+8）,且對任意的正實數

都有，3)=/(x)+“v)且當X>1時J(x)>0J(4)=l.

⑴求7w

⑵求證:“X)為(o,+8)上的增函數；

(3)解不等式/(x)+/(x-3)Vl.

【答案】(1)-2

(2)證明見解析

⑶(3,4]

【分析】(1)利用賦值法，先令x=?=1求出〃1)；令x=V=4，可求得了(16)；再令x=16/=士，可求得

16

(2)設國Ax?>0,根據單調性定義結合當x>l時,/(x)>0證明即可；

(3)將〃x)+/(x-3)Vl轉化為/[x(x-3)]v/(4),再根據(2)的結論，列不等式組求解即可.

【詳解】(1)因為，(孫)=/(x)+/(y),/(4)=1,

令》=>=1,則/(1)=/(1)+/(1),解得/(1)=0,

令x=y=4,則〃16)=/(4)+/(4)=2,

令x=16)=[則/⑴=”16)+/住],

16

所以/(2)=/(1)一/(16)=-2.

(2)設石>%2

因為當X>1時J(x)>0,則2]>0,

kX27

令y則〃1)=〃x)+dJ,即(J=一/⑴，

所以/(%)-〃%)=〃網)+/[工]=/[&]>0,

\X2J\X2J

根據單調性定義J(x)為(0,+司上的增函數.

(3)因為/(x)在(0,+8)上為增函數，

又〃x)+/(x_3)=/[x(x_3)]vl=/(4),

x>0

所以，x-3>0解得3<xV4?

x(x-3)<4

即原不等式的解集為(3,4].

38.(2022秋?安徽馬鞍山?高一安徽工業大學附屬中學校考期中)定義在(0,+/)的函數/(X),滿足

f(mn)=f{m)+f[ri)+\,且當x>l時，

⑴求了⑴的值；

(2)判斷函數/(x)的單調性，并說明理由；

(3)若/(2)=1,解不等式/(x+3)+/(x)>2.

【答案】⑴/■⑴=一1;

(2)函數/(x)在(0,+動上單調遞增，詳見解析；

⑶{木>1}.

【分析】(1)利用賦值法結合條件即得；

(2)利用函數單調性的定義證明即可；

(3)將原不等式等價轉化為打x(x+3)]>〃4),結合定義域和單調性即可得結果.

【詳解】(1)因為〃俏〃)="")+〃〃)+1,

令…=1,可得/⑴+/?⑴+1,

所以〃1)=T;

(2)函數/(x)在(0,+8)上單調遞增，

任取X1,x26(0,+CO),且再<々，則三>1,/[|>-1,

石\x\J

所以/（%）=/[再,?]=/（玉）+/'[1+1>/（X1）,

\/（X）在（0,+“）上單調遞增；

（3）,."（2）=1,

.?./（4）=/（2）+/（2）+1=3,

由/（x+3）+〃x）>2,可得/（x+3）+〃x）+l=/[x（x+3）]>3=〃4）,

又；/（x）在（0,+e）上為增函數，

x+3>0

所以<x>。，

x（x+3）>4

解得x>l,

故不等式+3）+/（尤）>2的解集為何x>1}.

能力提升B組

39.(2022秋?山東青島?高一山東省青島第一中學校考期中)已知函數/(x-l)(xeR)是偶函數，且函數，(幻

的圖像關于點(1,0)對稱，當時，f(x)^ax-l,則“2022)=()

A.-1B.-2C.0D.2

【答案】A

【分析】先由題給條件求得函數/(x)的最小正周期為8,再利用周期、對稱軸的性質即可求得/(2022)的值.

【詳解】根據題意，函數〃xT)(xeR)是偶函數，則函數/*)的對稱軸為產-1,

則有/(尤)=/(-2-x),又由函數f(x)的圖像關于點(1,0)成中心對稱，

貝I]/'(瓊鼠一/(2—x),貝IJ有/(一2-x)=-/(2-x),則〃尤+4)=-/(無)，

則有/(x+8)=-/(》+4)力x),則函數/(x)是周期為8的周期函數，

則/(2022)=/(-2+253x8)=/(-2)=/(0)=-1

故選：A.

40.(2020春?浙江寧波?高二效實中學校考期中)設函數/(幻的定義域為R,滿足2/(x+l)=/(x),且當