專題10與等比數列相關的結論-【二級結論

速解】備戰2023年高考數學高效速解突破技

巧

專題11與等比數列相關的結論

一、結論

已知等比數列｛%｝,公比為4,前〃項和為邑.

m

⑴a“=amq"~(m,neN*).

aa

(2)若加+"=P+夕，則~p'q(m,n,p,qeN*);反之,不一定成立.

⑶。田2a3…am+iam+2。2M>a2m+iaim+243m>成等比數列(7MGN*).

⑷公比它一1時，S”,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n…成等比數列

⑸若等比數列的項數為2〃(〃wN*),公比為q,奇數項之和為s奇,偶數項之和為s偶，則.=q.

3奇

(6)｛%｝，也J是等比數列，則｛"｝,｛，｝,｛3｝,令｝也是等比數列(北0,〃eN*).

(7)通項公式=qq"T=幺.7.從函數的角度來看,它可以看作是一個常數與一個關于〃的指數函數的

q

積,其圖象是指數函數圖象上一群孤立的點.

(8)只有同號的兩個數才能有等比中項;兩個同號的數的等比中項有兩個,它們互為相反數.

JQXX

(9)三個數成等比數列,通常設為二，x,X4;四個數成等比數列,通常設為二，一,xq,xq3.

qqq

二、典型例題

例題1.(2023秋?河南駐馬店?高三統考期末)在正項等比數列｛%｝中，若％,%是關于x的方程

/-〃?x+4=0的兩實根，則log：4+log?%+臉％+…+log2a9=()

A.8B.9C.16D.18

例題2.(2023春?重慶沙坪壩?高二重慶南開中學?？奸_學考試)已知等比數列｛%｝的前〃項和S,滿足

55=10,Sw=40,則邑。=()

A.130B.160C.390D.400

例題3.(2023?全國?高三專題練習)已知一個等比數列首項為1,項數是偶數，其奇數項之和為85,偶

數項之和為170,則這個數列的項數為()

A.2B.4C.8D.16

三、針對訓練舉一反三

一、單選題

1.（2023秋?浙江杭州?高二浙江省杭州第二中學?？计谀┮阎獢盗校?｝是遞增的等比數列，

a,+a2+a3=14,64,則公比9=（）

A.yB.1C.2D.4

2.（2023秋?廣東汕頭?高二統考期末）已知正項等比數列｛%｝滿足log^,+log2a2+……+log2a2022=2022,

則1。82（4+。2022）的最小值為（）

A.1B.2C.1011D.2022

3.（2023?全國?高三專題練習）等比數列｛?。?，已知%+%+%+4=20,牝+&+。7+%=10,則數列

的前16項和S.為

.7512575

A.20B.—C.---D.---

222

4.（2023?全國?高三專題練習）已知數列｛%｝的前〃項和S,,=2"T+1,則數列｛a,｝的前10項中所有奇數項

之和與所有偶數項之和的比為（）

,1172341

A."B.2C.---D.

2341172

5.（2023?全國?高二專題練習）已知項數為奇數的等比數列｛a,,｝的首項為1,奇數項之和為21,偶數項之

和為10,則這個等比數列的項數為（）

A.5B.7C.9D.11

6.（2023?全國?高二專題練習）設等比數列｛%｝的公比為4,其前〃項和為S,,前”項積為1,且滿足條件

4%>1，”<0,則下列結論錯誤的是（）

%一］

A.0<^<1B.0<a6a8<1

c.s”的最大值為5?D.1的最大值為［

7.（2023?高三課時練習）設等比數列｛?！埃墓葹?,其前〃項和為E,,前〃項積為并且滿足條件

0<%<1<%，則下列結論正確的是（）

A.9>1B.0<a,<1C.S”的最大值為邑D.。的最大值為［

二、多選題

8.（2023春?安徽?高二合肥市第八中學校聯考開學考試）記等比數列｛勺｝的前〃項和為5“，前〃項積為

T”,且淵足4>1,。2022>1，。2023<1，則（）

A?.2022'42024-1<0B.52022+]<52023

C.心叱是數列｛1｝中的最大項D.北045>1

9.（2023?全國?高三專題練習）已知等比數列｛%｝滿足卬>0,公比4>1,且…生⑼<1，

"|"2…°2022>1，則（）

A.。2021>1B.當”=2021時，?？?…最小

C.當"=1011時，最小D.存在“<1011,使得與《向=%+2

三、填空題

10.（2023秋?廣東廣州?高二統考期末）在各項均為正數的等比數列｛%｝中，若%為+2。3%+的6=4,則

%+。5=.

11.（2023秋?廣東?高二校聯考期末）若等比數列｛4｝的各項均為正數，且則

Ina,+\na2+…+1叫.

12.（2023?高三課時練習）已知5“是正項等比數列｛4｝的前〃項和，兒=20,則%-ZS?。+九的最小值

為.

13.（2023?全國?高三專題練習）設正項等比數列｛〃“｝的前”項和為S"，若$4=1052,則率的值為.

14.（2023?高二課時練習）設等比數列｛%｝共有3〃項，它的前2"項的和為100,后2”項之和為200,則該

等比數列中間〃項的和等于.

四、解答題

15.（2023秋廣東汕頭?高二統考期末）己知數列｛/｝是等差數列，5,是等比數列低｝的前“項和，

46=4=16,g=4,$3=12.

⑴求數列｛%｝,低｝的通項公式；

⑵求邑的最大值和最小值.

專題11與等比數列相關的結論

一、結論

已知等比數列｛4｝,公比為4,前〃項和為邑.

⑴%=《應”"(用,〃eN*).

(2)若加+"=P+夕，則％,?%=。屋%(加,p,qeN*);反之,不一定成立.

⑶%。2a3…am+iam+2%n，。2"+1。2m+2'"a3m>成等比數列(7M€N*).

(4)公比時，Sn,S2n-Sn,S3,,-S2,,,S^—S3,,…成等比數列(〃GN*).

⑸若等比數列的項數為2〃(〃eN*),公比為4,奇數項之和為S奇,偶數項之和為S偶，則:魚=4.

3奇

(6)｛%｝,依｝是等比數列，則｛血,｝,｛，｝,｛。也｝,也是等比數列(/two,nwN*).

(7)通項公式="?/'.從函數的角度來看,它可以看作是一個常數與一個關于〃的指數函數的

q

積,其圖象是指數函數圖象上一群孤立的點.

(8)只有同號的兩個數才能有等比中項;兩個同號的數的等比中項有兩個,它們互為相反數.

JQXX

(9)三個數成等比數列,通常設為二，x,X"；四個數成等比數列,通常設為二，-,xqtxq\

qqq

二、典型例題

例題1.(2023秋?河南駐馬店?高三統考期末)在正項等比數列｛0“｝中，若出,%是關于x的方程

V-/?x+4=0的兩實根，則嘎瑪+嘎2%+1幅%+“-+總%=()

A.8B.9C.16D.18

【答案】B

【詳解】由題意及韋達定理可得的的=4,由等比數列性質可得力。2a3…。9=2'，

故log,q+log2a2+log2%+…+log?a9=log,ata2a,■■-a9=9.

故選：B

【反思】若〃?+〃=P+4,則?%=%/4(M,〃,p,qeN*),等比數列中，注意利用角標和性質.

例題2.(2023春?重慶沙坪壩?高二重慶南開中學校考開學考試)已知等比數列｛4｝的前〃項和S,,滿足

§5=10,S］。=40,貝(IS20=()

A.130B.160C.390D.400

【答案】D

【詳解】因為等比數列｛《,｝的前〃項和S,滿足怎=10,兀=40,

所以$5-S$,$-Sl0,520-與依然成等比數列，

則尾（$-&）=（與-1）2,即10（兒-40）=（40-10y,解得：幾=130,

貝J邑（昆0-$）=區。一邑）（九一%）,即10⑸。-130）=30x90,解得:520=400,

故選：D.

【反思】公比"一1時，S“，S2n-Sn,S3ll-S2n,S4“—S3”…成等比數列（〃eN*），本例中，

55,5l0-S5,S15-S10,S20-S15依然成等比數列此結論可快速解題.

例題3.（2023?全國?高三專題練習）已知一個等比數列首項為1,項數是偶數，其奇數項之和為85,偶

數項之和為170,則這個數列的項數為（）

A.2B.4C.8D.16

【答案】C

【詳解】設這個等比數列｛4“｝共有殊小€義.）項，公比為夕，

則奇數項之和為S奇=6+%+…+a2k-i=85，

偶數項之和為S偶=%+〃4+%=d奇=170,

等比數列｛《,｝的所有項之和為%="[I）=產_1=170+85=255，則2"=256,

*1-2

解得人=4,因此，這個等比數列的項數為8.

故選：C.

【反思】利用結論若等比數列的項數為2〃（〃eN*）,公比為4,奇數項之和為S奇，偶數項之和為S埠則

$=4,可直接根據結論求出4,進而求出其它量.

3奇

三、針對訓練舉一反三

一、單選題

1.（2023秋?浙江杭州?高二浙江省杭州第二中學校考期末）已知數列｛可｝是遞增的等比數列，

+a2+a3=14,qa2a3=心，則公比9=（）

A.yB.1C.2D.4

【答案】C

【詳解】已知/“2%=64,所以色=64,解得4=4,即qg=4①；

又卬+%+%=14,則q+%=10,即為（l+g2）=10②；又gHO,

由①②得匕/=：,所以2d-5g+2=0,解得4=2或q=[.

q22

因為數列｛%｝是遞增的等比數列，所以4=2.

故選：C.

2.（2023秋?廣東汕頭?高二統考期末）已知正項等比數列｛叫滿足log2〃1+log2a2+.....+lo§2a2022=2022-

則10g2（q+。2022）的最小值為（）

A.1B.2C.1011D.2022

【答案】B

a2022

【詳解】10gM+log2a2+......+l°g2a2022=>Og2（?|?2■■-2022）=

2022

所以的2…a2022=2,又數列｛4｝是正項等比數列,

a2

所以ata2022=02a2021=。3a2020=.....=°ionioi2=2=4

所以log2m+%022）2log2（2師二）=log24=2,當且僅當數列為常數列時，等號成立.

故選：B.

3.（2023?全國?高三專題練習）等比數列（d）中，已知4+%+%+4=20,牝+應+。7+4=10,則數列

的前16項和為

7512575

A.20B.—C.——D.——

222

【答案】B

Ss-SA1

【詳解】試題分析：由題意得，S4=20,5-54=10,則f=弓，根據等比數列的性質可知

S4,國一S4,Sy2-5R,SI6-幾構成公比為y等比數列，S4=20,以一邑=10,5l2-58=5,S16-Sl2=|,且

75

$8=30,品=35,品=萬，故選B.

4.（2023?全國?高三專題練習）已知數列｛%｝的前〃項和S“=2"T+1,則數列｛““｝的前10項中所有奇數項

之和與所有偶數項之和的比為（）

,1172341

A."B.2C.----D.----

2341172

【答案】C

2

【詳解】當，此2時，an=Sn-S^=T-,又4=S]=2,

即前10項分別為2,1,2,4,8,16,32,64,128,256,

所以數列｛“,｝的前1。項中“=學=341,s）=2+止2=2+空=172,所以茅=含，

1-43向]-43Q偶

故選：c.

5.（2023?全國?高二專題練習）已知項數為奇數的等比數列｛”,｝的首項為1,奇數項之和為21,偶數項之

和為10,則這個等比數列的項數為（）

A.5B.7C.9D.11

【答案】A

【詳解】根據題意，數列｛4｝為等比數列，設

又由數列｛《,｝的奇數項之和為21,偶數項之和為10,則4=平=2,

故S“=21+10=如山=2"-1=31=〃=5；

1一夕

故選：A

6.（2023?全國?高二專題練習）設等比數列｛勺｝的公比為/其前"項和為S"，前〃項積為且滿足條件

?,>1,4%>1，忙7<°，則下列結論錯誤的是（）

%一1

A.0<（/<1B.0<a6as<1

c.S”的最大值為邑D.刀,的最大值為"

【答案】C

【詳解】若夕<0,則&<0，?7>0,所以4%<0,與％%>1矛盾;

若q”則因為q>1,所以。6>1，%>1，則生二|>0,與"三<0矛盾，

a7-1a7-1

因此0?<1,所以A正確.

Q—1

因為力<0,所以4>1>%>0，因此%%=嫉€（0,1）,即B正確.

因為見>0,所以S,單調遞增，即5,的最大值不為$，C錯誤.

因為當"27時，e（O,l）,當時，e（l,+oo）,

所以Z,的最大值為八，即D正確.

故選：C

7.（2023?高三課時練習）設等比數列｛《,｝的公比為其前〃項和為S,,前“項積為北，并且滿足條件

0<%<1<4,則下列結論正確的是（）

A.4>1B.0<a,<1C.S”的最大值為S?D.9的最大值為［

【答案】D

【詳解】解：由于得0<4=&<1,同時4>1：由于卬>1,0<夕<1,則S“無最大值：由

了％>1，。<%<1，則北的最大值為

故選：D.

二、多選題

8.（2023春?安徽?高二合肥市第八中學校聯考開學考試）記等比數列｛”“｝的前〃項和為S,,,前〃項積為

T*,且滿足>1，。2022>1>。2023<1，則（）

A.a2022'“2024—?。B.52022+'<^2023

C.心儂是數列｛1｝中的最大項D.7;045>1

【答案】AC

【詳解】數列的公比為4.

對于A,>1,02023<1,0<“2023<1'又a2022>1，0<<7<1.

a2022'a2024=a2O23<1，,,,"2022,02024一]<°，故A正確;

對于B,'''。2023<1,二^2023=$2023-^2022<1，即$2022+1>$2023，故B錯t天；

對于C,q>l,.?.數列｛。,｝是遞減數列，?.?內。22>1，。2023<1，

二馬掇是數列｛ZJ中的最大項，故C正確；

對于。，［045=W洶…?4045=卬（。闖）（《/）…（。"皿”）

=端，血3-4044=產2*4。45=（4產2戶5=4023戶5,

?.?0<%。23<1，"/23蘆‘〈I，即小5<1.故D錯誤.

故選AC.

9.（2023?全國?高三專題練習）已知等比數列｛/｝滿足《>0,公比g>l,且的2…4必<1，

…々022>1，則（）

A.a202l>1B.當〃=2021時，。百…勺最小

C.當“=1011時，a。…%最小D.存在”<1011,使得a“a"+i=a“+2

【答案】AC

【洋命卜】乂寸A,q>0,q>1,?-a”>。，乂q%'"2噂i<1，"1"2''*"2022>1，

■■.a2?22>------------'------------->1,

…〃2021

故A正確.

對B,C,由等比數列的性質,。|。2021=。2。2020=…=。10104012=喻1，

故司的…。2021=<1，%011<1，'?'〃2%022=〃3〃2021=…=^1011^1013=。1012，

2Q2]1八1.

???。2。3。4?一。2022=。1012>一，丫《電…。2021<1，%>0,>1,J6<1,—>]，

46

，。1012>1，故當〃=1011時、。陷2…4最小，B錯誤，C正確;

對D,當“<1011時,<“IOU<1，故a"a”+i<。"+1<a”+2，故D錯i天.

故選：AC

三、填空題

10.(2023秋?廣東廣州?高二統考期末)在各項均為正數的等比數列｛%｝中，若的4+2%牝+4。6=4,則

a3+as=.

【答案】2

【詳解】等比數列｛%｝各項均為正數，

2

a2a4+2a｝a5+a4a6=aj+2aya5+aj=(a3+a5)=4,a3+a5=2(負值舍去)

故答案為：2.

11.(2023秋?廣東?高二校聯考期末)若等比數列｛4｝的各項均為正數，且。：+%必=2/，則

Inq+Ina,■)---FIn%.

【答案】21

【詳解】由等比數列的下標和性質有竭=生6，所以裙=5.

因為數列｛“,｝的各項均為正數，所以%=e)

因為=%。5，所以Inq+In與+…+In%=ln(ala2---a7)=lna4=71na4=7x3=21.

故答案為：21.

12.(2023?高三課時練習)已知，，是正項等比數列｛%｝的前”項和，510=20,貝ljS3。-2s8+，。的最小值

為.

【答案】-5

【詳解】解：設｛。"｝公比為9.

當q=1時,Sl0=lOaj=20,則。[=2,此時有S30-2s20+S10=30q-2x20q+10q=0；

當gwl時，

因為S30一S20=%|+a22+L+。30，§20—Eo=%[+的+…+〃20，^10=〃1+〃2+…+。10，

所1以§30—§20_021+022+L+〃30="°邑040_+《2+L+々O=

$2()-A。"n+qz+L+“2OSo4-a2+L+〃io

所以S2。-九=與x，。=20或。,S30-S20^(S20-Slo)xq'°=sioXL=20/°,

2010

所以S30—2邑0+&=S30—S20—(S20—?S