1函數的幾種特性初等函數小結思考題作業第三節函數的幾種特性與初等函數第一章函數21.有界性

(bounded)設函數y=f(x)在區間I上有定義,則說f(x)在區間I上有上界.(下)使得對所有若存在常數A都有函數的幾種特性與初等函數(B),一.函數的幾種特性3

若存在常數使得對所有則稱f(x)在I上有界.在I上無界;映射與函數都有

若這樣的M不存在,則稱f(x)即為對于任何總存在使則稱f(x)在I上無界.有界無界4在定義域上有界的函數叫做例是有界函數;是無界函數,但它在區間上在區間上

注

一定要把區間明確出來!即，函數的有界性與定義域有關不是有界函數,就是無界函數.顯然,映射與函數(boundedfunction)有界函數.有界等同于既有上界又有下界.有下界,有界.5六個常見的有界函數映射與函數62.單調性(monotonicity)是嚴格單調增加;映射與函數如果對恒有

monotoneincreasing7

注

應指明單調區間,否則會產生錯誤.是嚴格單調減少.映射與函數如果對恒有monotonedecreasing即，函數的單調性與定義域有關83.奇偶性偶函數的圖形稱f(x)為偶函數(evenfunction);映射與函數9奇函數的圖形稱f(x)為奇函數(oddfunction).

映射與函數10(1)不要把奇偶函數當作兩個完全相反的(2)奇偶性是對稱區間而言的,否則無從談奇偶函數的運算性質:(1)奇(偶)函數的代數和仍為奇(偶)函數;(2)偶數個奇(偶)函數之積為偶函數;奇數個奇函數的積為奇函數.(3)一奇一偶的乘積為奇函數.注映射與函數概念.奇、偶.11練習判別給定函數的奇偶性,[解題提示]奇函數的有效方法.判別下列函數的奇偶性:奇函數偶函數有時也用其運算性質.映射與函數主要是根據奇偶性的定義,12結論：定義于對稱區間上的任意函數f(x)總可以表示為一個奇函數與一個偶函數之和。于是映射與函數134.周期性(periodicity)的周期.周期函數(periodfunction).映射與函數如果存在一個正數且總有稱為f(x)通常稱周期函數的周期是指最小正周期.周期為的周期函數設函數f(x)的定義域為D,則稱f(x)是14映射與函數例狄利克雷(Dirichlet)函數狄利克雷(德)1805-1859有理數點無理數點?1xyo(當x是有理函數時)(當x是無理函數時)這是一個周期函數,任何正有理數r都是它的周期.因為不存在最小的正有理數,所以沒有最小正周期.15周期函數的運算性質:映射與函數函數,為周期的的最小公倍數為周期的函數.[解題提示]判別給定函數是否為周期函數,主要是根據周期的定義,有時也用其運算性質.16映射與函數5.函數的運算設函數的定義域分別為則可定義這兩個函數的下列運算:和(差)積商且線性組合為實數,171)

冪函數(powerfunction)

定義域與的取值有關.二.初等函數(elementaryfunction)(basicelementaryfunction)映射與函數(1)基本初等函數182)指數函數(exponentialfunction)定義域為值域為映射與函數193)對數函數(logarithmfunction)定義域為值域為映射與函數204)三角函數(trigonometricfunction)正弦函數定義域為值域為映射與函數21余弦函數定義域為值域為映射與函數22正切函數余切函數定義域值域定義域值域映射與函數235)反三角函數(inversetrigonometricfunction)定義域值域

主值映射與函數反正弦函數24定義域值域

主值映射與函數反余弦函數25

主值定義域值域映射與函數反正切函數反余切函數

主值定義域值域

冪函數、指數函數、對數函數、三角函數和反三角函數統稱為基本初等函數.26(2)初等函數(elementaryfunction)初等函數.如都是初等函數.不是初等函數.映射與函數

由常數和基本初等函數經過有限次四則運算(加、減、乘、除)和有限次的函數復合步驟所構成并可用一個式子表示的函數,稱為27注一般分段函數不叫初等函數,想一想

可看作分段函數,是否又可看作是初等函數?答:故又可看作是初等函數.是!由于映射與函數不是用一個式子表達出來的.因為它28奇函數.偶函數.1)雙曲函數

疊加法映射與函數(3)雙曲函數與反雙曲函數雙曲正弦雙曲余弦29奇函數,有界函數,映射與函數雙曲正切30雙曲函數常用公式映射與函數312)反雙曲函數奇函數,可得映射與函數

反雙曲正弦的反函數,單調增加.32映射與函數

反雙曲余弦單調增加.33奇函數,映射與函數

反雙曲正切單調增加.34三、小結初等函數.映射與函數函數的幾種特性有界性,單調性,奇偶性,周期性.35思考題映射與函數及其定義域.