中考數學一輪復習專題解析一圖形的變換

復習目標

1.通過具體實例認識軸對稱、平移、旋轉，探索它們的基本性質；

2.能夠按要求作出簡單平面圖形經過軸對稱、平移、旋轉后的圖形，能作出簡單

平面圖形經過一次或兩次軸對稱后的圖形；

3.探索基本圖形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多邊形、圓）的軸對

稱性質及其相關性質.

4.探索圖形之間的變換關系（軸對稱、平移、旋轉及其組合）；

5.利用軸對稱、平移、旋轉及其組合進行圖案設計；認識和欣賞軸對稱、平移、

旋轉在現實生活中的應用.

考點梳理

一、平移變換

1.平移的概念：在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖

形運動稱為平移，平移不改變圖形的形狀和大小.

（1）平移是運動的一種形式，是圖形變換的一種，本講的平移是指平面圖形在

同一平面內的變換；

（2）圖形的平移有兩個要素：一是圖形平移的方向，二是圖形平移的距離，這

兩個要素是圖形平移的依據；

（3）圖形的平移是指圖形整體的平移，經過平移后的圖形，與原圖形相比，只

改變了位置,而不改變圖形的大小，這個特征是得出圖形平移的基本性質的依據.

2.平移的基本性質：由平移的概念知，經過平移，圖形上的每一個點都沿同一

個方向移動相同的距離，平移不改變圖形的形狀和大小，因此平移具有下列性質:

經過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應角相等.

(1)要注意正確找出“對應線段，對應角”，從而正確表達基本性質的特征；

(2)“對應點所連的線段平行且相等”，這個基本性質既可作為平移圖形之間的

性質，又可作為平移作圖的依據.

例1.如圖1,兩個等邊厶ABD,△CBD的邊長均為1,將厶ABD沿AC方向向

右平移到△ABD，的位置，得到圖2,則陰影部分的周長為.

【答案】

?.?兩個等邊^(qū)ABD,△CBD的邊長均為1,WAABD沿AC方向向右平移到

△ABTT的位置，

.'.A'MuAMMN,MO=DM=DO,ODHTE=OE,EG=EC=GC,B,G=RG=RB,,

OM+MN+NR+GR+EG+OE=AD+CD=1+1=2；

二、軸對稱變換

1.軸對稱與軸對稱圖形

軸對稱：把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果能夠與另一個圖形重合，那么就

說這兩個圖形關于這條直線對稱，也叫做這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對

稱軸，折疊后重合的對應點，叫做對稱點.

軸對稱圖形：把一個圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合,

這個圖形叫做軸對稱圖形.

2.軸對稱變換的性質

①關于直線對稱的兩個圖形是全等圖形.

②如果兩個圖形關于某直線對稱，對稱軸是對應點連線的垂直平分線.

③兩個圖形關于某直線對稱，如果它們對應線段或延長線相交，那么交點在對稱

軸上.

④如果兩個圖形的對應點連線被同一直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直

線對稱.

3.軸對稱作圖步驟

①找出已知圖形的關鍵點，過關鍵點作對稱軸的垂線，并延長至2倍，得到各點

的對稱點.

②按原圖形的連結方式順次連結對稱點即得所作圖形.

例2.如圖（1）是四邊形紙片ABCD,其中NB=120。，ND=50。.若將其右下角向

內這出APCR,恰使CP〃AB,RC〃AD,如圖（2）所示，則NC=度.

【答案】VZCPR=-ZB=_xl20°=60°,ZCRP=-ZD=_x50°=25°,

2222

/.ZC=180°一60°-25°=95°.

三、旋轉變換

1.旋轉概念：把一個圖形繞著某一點O轉動一個角度的圖形變換叫做旋轉.點O

叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角.

2.旋轉變換的性質

圖形通過旋轉，圖形中每一點都繞著旋轉中心沿相同的方向旋轉了同樣大小的角

度，任意一對對應點與旋轉中心的連線都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相

等，對應線段相等，對應角相等，旋轉過程中，圖形的形狀、大小都沒有發(fā)生變

化.

3.旋轉作圖步驟

①分析題目要求，找出旋轉中心，確定旋轉角.

②分析所作圖形，找出構成圖形的關鍵點.

③沿一定的方向，按一定的角度、旋轉各頂點和旋轉中心所連線段，從而作出圖

形中各關鍵點的對應點.

④按原圖形連結方式順次連結各對應點

4.中心對稱與中心對稱圖形

中心對稱：把一個圖形繞著某一點旋轉180。，它能夠與另一個圖形重合，那么

就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心，這兩個圖形

中的對應點叫做關于中心對稱的對稱點.

中心對稱圖形：把一個圖形繞著某一點旋轉180。，如果旋轉后的圖形能夠與原

來的圖形重合，那么這個圖形就叫中心對稱圖形

5.中心對稱作圖步驟

①連結決定已知圖形的形狀、大小的各關鍵點與對稱中心，并且延長至2倍，

得到各點的對稱點.

②按原圖形的連結方式順次連結對稱點即得所作圖形.

6.圖形變換與圖案設計的基本步驟

①確定圖案的設計主題及要求；

②分析設計圖案所給定的基本圖案;

③利用平移、旋轉、軸對稱對基本圖案進行變換，實現由基本圖案到各部分圖案

的有機組合;

④對圖案進行修飾，完成圖案.

例3.如圖1,0為正方形ABCD的中心，分別延長OA、0D到點F、E,使OF

=20A,OE=2OD,連接

EF.將厶EOF繞點0逆時針旋轉a角得到△EQF[(如圖2).

(1)探究AE1與BF1的數量關系，并給予證明;

(2)當a=30。時，求證：AAOE1為直角三角形.

【答案】(1)AE|=BF1,證明如下:

VO為正方形ABCD的中心，OA=OB=OD.OE=OF.

VAE^F]是厶EOF繞點O逆時針旋轉a角得到，.*.OE]=OF「

,:ZAOB=ZEOF=90o,NEQA=9Oo—NF|OA=NFQB.

[OE=OF

在△EQA和△F|OB中，JzEOA=ZFOB,.?.△EQA四△FQB(SAS).

OA=OB'

:.AE]=BF「

(2)取OE1中點G,連接AG.

VZAOD=90<),a=30°,

ZEIOA=90o-a=60°.

?.?OE|=2OA,.\OA=OG,:.ZE,OA=ZAGO=ZOAG=60°.

AG=GE],.,.NGAE|=NGE]A=30。.

ZE1AO=90°.

...△AOE1為直角三角形.

綜合訓練

1.（2022.廣東深圳第二實驗學校九年級開學考試）如圖，△ABC沿5c方向平

移到△OEF的位置，若BE=2cm,則平移的距離為（）

【答案】B

【分析】根據平移的性質，結合圖形，可直接求得結果.

【詳解】解：根據圖形可得：線段BE的長度即是平移的距離，

二平移的距離為2cm,

故選:B.

2.（2022.武漢第三寄宿中學九年級月考）下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中

心對稱圖形的是（）

A.B.

c.D.□

【答案】B

【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解.

【詳解】解：兒是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意.

B.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故木選項符合題意；

C.不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

D.是軸對稱圖形，不是屮心對稱圖形，故本選項不符合題意.

故選：B.

3.（2022.佛山市華英學校九年級）下面圖形是用數學家名字命名的，其中是中

心對稱圖形但不是軸對稱圖形的是（）

笛卡爾心形線

D.斐波那契螺

旋線

【答案】A

【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷后利用排除法

求解.

【詳解】解：A、是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，故本選項符合題意；

8、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

C、既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項不合題意；

。、既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不合題意.故選：A.

4.（2022?全國）如圖，在△ABC中，ZACB=90°>AABC=30°,AB=2-將

繞直角頂點C逆時針旋轉60。得則點8轉過的路徑長為（）

【答案】B

【分析】先在A4BC中利用ZABC的余弦計算出8c=2cos3（T=/，再根據旋轉的

性質得4CB，=60。，然后根據弧長公式計算點B轉過的路徑長.

【詳解】解：在AABC中，?.?ZAC8=90。，ZABC=30°,

BC

cosZ.ABC

AB

BC=2cos30°=2x—=>/3

2

?/AABC繞直角頂點C逆時針旋轉60。得厶A'B'C，

，弧帥,的長=6。?兀6=6叫故選：B.

1803

5.（2020.武漢第三寄宿中學九年級月考）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是

【答案】C

【分析】根據軸對稱圖形和中心對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得解.

【詳解】解：A.不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

B.是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；

C.既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；

D.既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意.

故選：C.

6.（2022.宜興市實驗中學九年級）如圖，在正方形ABC。中，AB=6,點、H為BC

中點，點E繞著點C旋轉，且CE=4,在OC的右側作正方形。EFG,則線段7的

【答案】A

【分析】如圖，利用正方形的性質，證明凡從而得至l」PE=4a，

故點尸在以P為圓心，43為半徑的圓上，根據圓的基本性質，得到當點尸在

P"上時，取得最小值.

【詳解】如圖，延長到點P,使得PC=8C=6,

?.?四邊形ABC。是正方形，

：.BC=CD=6,NBCD=NPCD=90°,

.??△PCO是等腰直角三角形，

/.ZC￡>P=45°,￡￡="；

DP

???四邊形OEFG是正方形，

：.DE=EF,ZDEF=90°,

.?.△OEE是等腰直角三角形，

AZEDF=45°,—=72；

DF

/.￡￡=￡￡,ZCDE=ZPDF,

DFDP

：.△DECS/XDFP,

.DEDCCEr-

??-=--=--=<2,

DFDPPF

?：CE=4,

:?PF=4及,

BHCP

故點尸在以尸為圓心，4竝為半徑的圓上，

根據圓的基本性質，得到當點b在尸，上時，尸”取得最小值,

是BC的中點，BC=6,

：.CH=3,

：.PH=9,

:?FH=9-4竝,故選人

7.（2022.珠海市斗門區(qū)實驗中學）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個

頂點都在格點上.

（1）畫出△A8C關于原點。對稱的△A/iG；

（2）畫出△ABC繞點B順時針方向旋轉90。得到的△A2BC2.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）根據關于原點對稱的點的坐標特征寫出4、4、￡的坐標，然后

描點即可；

（2）利用網格特點和旋轉的性質畫出A、C的對應點A2、。2即可.

【詳解】解：（1）如圖，為所作；

（2）如圖，△A28c2為所作.

8.（2022.哈爾濱風華中學九年級開學考試）如圖，方格中每個小正方形的邊長

為1個單位長度，△ABC的頂點和線段DE的端點均在小正方形的頂點上.

（1）在方格紙中將△ABC向上平移1個單位長度，再向右平移2個單位長度后

得到△MNP（點A的對應點是點B的對應點是點N,點C的對應點是點P）,

請畫出△MNP；

（2）在方格紙中畫出以。E為斜邊的等腰直角三角形OEF（點/在小正方形的

頂點上）.連接叮，請直接寫出線段小的長.

【答案】（1）見詳解；（2）節(jié),畫圖見詳解

【分析】（1）利用網格特點和平移的性質畫出A、B、C的對應點即可；

（2）先把。E繞E點逆時針旋轉90。得到EQ,則△￡）口為等腰直角三角形，然

后取。。的中點凡則△OEE滿足條件，最后利用勾股定理計算尸上

【詳解】解：（1）如圖，△MNP為所作;

（2）如圖，△￡>￡/為所作;

FP="2+12=-75?

9.（2