專題19最值問題中的費馬點模型

【模型展示】

□□8MTV為等邊三角形.

UBM=MN.

AM+BM+CM=EN+MN+CM.

口當￡;N、M、C四點共線時，ZΛ∕+8M+CΛ∕的值最小.

此時，匚5Λ∕C=1800-nMW5=120°;

OAMB=ENB=}80o-BNA/=120°;

□NMC=360°-口A?V∕C-AMB=IlO0.

結論形內的點到三個頂點距離之和最小的

【模型證明】

□□PCA+ZlACE=23ACE+[ZECB,=60o,

□：PCA=IECB/ACPΠB'CE,

APC=JB'EC=120o,PA=EB',

□CAPB=□APC=CBPC=120o,

□P為□ABC的費馬點，

BB,?ABe的費馬點P,且BB'=EB'+PB+PE=PA+PB+PC.

如圖,在[ABC中,以它的邊AB,AC為邊,分別在形外作等邊三角形ABD,ACE,連接

BE,CD.

求證:BE=DC.

【證明】

由已知可得A8=AO,AC=AE,NBAZ)=∕C4E=60°,

.：ZBAD+ZBAC=ZCAE+ZBAC,即ZDAC=ZBAE.

在4BAE和^DAC中，

.：△BAE比DAC,.：BE=DC.

【題型演練】

一、單選題

1.數學很多的知識都是以發明者的名字命名的，如韋達定理、楊輝三角、費馬點等，你知

道平面直角坐標系是哪一位法國的數學家創立的，并以他的名字命名的嗎？（）

A.迪卡爾B.歐幾里得C.歐拉D.丟番圖

【答案】A

【分析】根據實際選擇對應科學家-迪卡爾.

【詳解】平面直角坐標系是法國的數學家迪卡爾創立的，并以他的名字命名.

故選A

【點睛】本題考核知識點：數學常識.解題關鍵點：了解數學家的成就.

2.己知點尸是U48C內一點，且它到三角形的三個頂點距離之和最小，則尸點叫□N8C的

費馬點(FermatPoij而.已經證明：在三個內角均小于120。的□∕8C中，當

ΠAPB=DAPC=JBPC=120ol?,「就是EMBC的費馬點.若點尸是腰長為行的等腰直角三角

形DEF的費馬點，則PD+PE+PF=()

A.2√3B.l+√3C.6D.??/?

【答案】B

【詳解】解：如圖：等腰RtDEF中,DE=DF=6,過點D作DMEF丁點M,過A尸

分別作IA/EP=：；A/FP=30。，貝∣JEΛ∕=ZλW=l,故cos30。=生，解得：PE=PF=2則

EP√33

PM=皂,??DP=?-—,則PD+PE+P-=2x亞+1-3=6+1.故選B.

3333

點睛：此題主要考查了解直角三角形，正確畫出圖形進而求出尸E的長是解題關鍵.

3.已知點P是□ABC內一點，且它到三角形的三個頂點距離之和最小，則P點叫口ABC的

費馬點(FermatPOint).已經證明：在三個內角均小于120。的□ABC中，當□APB=-APC

=□BPC=120。時，P就是二ABC的費馬點.若點P是腰長為6的等腰直角三角形DEF的費

馬點，貝∣]PD+PE+PF=()

A.6B.3(√2+√6)C.68D.9

【答案】B

【分析】根據題意畫出圖形，根據勾股定理可得EF,由過點Q作DWIEF于點過E、

F分別作MEP=Μ。=30。就M以得到滿足條件的點P,易得EM=DM=MF=36，根據勾

股定理列方程求出PM、PE、PF,繼而求出PD的長即可求解.

【詳解】解：如圖：等腰RtELDE/中，DE=DF=6,

EF=y∣DE1+DF1=√62+62=6√2-

過點。作Σ>Λ∕EF于點Λ/,過E、F分別作MEP=MFp=30。，則EPF=LFPD=DPE=120o,

點P就是馬費點，

EM=DM=MF=3亞，

設PM=X,PE=PF=2x,

在RtEMPψ,由勾股定理可得：

PM2+EM-=PE2即f+18=（2xf,

解得：XI=R,X2=-R（負數舍去），

即PM=瓜,

PE=PF=2而

故DP=DM-PM=3√2-√6,

則PD+PE+PF=3√2-√6+4√6=3√2+36=3（夜+#）.

【點睛】此題主要考查了等腰直角三角形的性質、勾股定理的應用，正確畫出做輔助線構造

直角三角形進而求出PM的長是解題關犍.

4.己知點P是OABe內一點，且它到三角形的三個頂點距離之和最小，則P點叫ABC的

費馬點(FermatPOint).已經證明：在三個內角均小于120。的ABC中，當

IAPB?APC?BPC120?時，P就是ABC的費馬點.若點P是腰長為"的等腰直角

三角形Z)E尸的費馬點，則Pz)+PE+PF=()

A.6B.√3+3C.6√3D.9

【答案】B

【分析】根據題意首先畫出圖形，過點。作ZW_LEF于點M,在ΔBDE內部過E、F分別

作AMEP=NMFP=30°,則NEPF=NFPD=NEPD=120°,點戶就是費馬點，求出PE,PF,

OP的長即可解決問題.

【詳解】解：如圖：過點。作￡>A/_L￡F于點M,在ABAE內部過E、F分別作

AMEP=AMFP=30。,

則ZEPF=ZFPD=NEPD=I20點、P就是費馬點、,

D

在等腰RtZ?DEF中，DE=DF=瓜DMLEF,

.?.EF=√2DE=2√3,

EM=DM=6

a∏PEM=30o,JPME=90°,

EP=IPM,

])?^?PM2+EM2=(2PM↑,

解得：PM=1,則尸￡=2,

故。P=√5-l,同法可得尸F=2,

則PD+PE+PF=百-1+2+2=3+6-

故選：B.

【點睛】此題主要考查了等腰三角形的性質，正確畫出圖形進而求出PE的長是解題關鍵.

二、填空題

5.已知點P是□ABC內一點，且它到三角形的三個頂點距離之和最小，則P點叫口ABC的

費馬點(FermatPoint),已經證明：在三個內角均小于120。的IABC中，當

□APB=ΞIAPC=□BPC=120。時，P就是□ABC的費馬點，若P就是口ABC的費馬點，若點P

是腰長為正的等腰直角三角形DEF的費馬點，則PD+PE+PF=.

【答案】√3+l?

【詳解】如圖：等腰RtDEF中，DE=DF=&,過點D作DMEF于點M,過E、F分別

作口MEP=匚MFP=30。，貝IJEM=DM=1,?cos30°=-,解得：PE=PF=二=亞，貝IJPM=

EP√33

故DP=I-3，則PD+PE+PF=2χ亞+1-且=6+1.故答案為√5+l.

3333

6.若P為匚ABC所在平面上一點，1.APB=BPC=DCPA=120',則點P叫做ABC的費

馬點.若點P為銳角iABC的費馬點,且一ABC=60",PA=3,PC=4,則PB的值為.

【答案】2√3

【詳解】如圖，根據三角形的內角和定理可得PAB+?PBA=?S0o-APB=60o,再由

DPBC+DPBA=UABC=60o,即可得Ξ1R48=ZIP8C,又因□"8=口5PC=120°,即可判定

p?PB

ABPBCP,根據相似三角形的性質可得隹==，即PB2=PA-PC，MPA=3,PC=4,

ΓDrC

即可求得尸8=2√L

7.法國數學家費馬提出：在口力BC內存在一點P,使它到三角形頂點的距離之和最小.人

們稱這個點為費馬點，此時RI+P8+PC的值為費馬距離.經研究發現：在銳角L48C中，費

馬點尸滿足□4P8=□8PC=口α%=120o,如圖，點P為銳角EUBC的費馬點，且Λ4=3,

【分析】根據相似三角形的判定和性質，即可求解.

【詳解】解：如圖：

R

DJAPB=JBPC=GCR4=↑20,GABC=60o,

□□l+□3≈60o,□1+口2=60。，□2+□4=60o,

□□1=□4,□2=□3,

□□5PC□GAPB

PCPB

~PB~~PA

即PB?=12

PB=2追

PA+PB+PC=^l+2^>

故答案為：7+2√5

【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，解決本題的關鍵是利用相似三角形的判定和性

質.

8.已知：到三角形3個頂點距離之和最小的點稱為該三角形的費馬點.如果ABC是銳角

（或直角）三角形,則其費馬點P是三角形內一點,且滿足ZAPB=ZBPC=NCPA=120°.（例

如：等邊三角形的費馬點是其三條高的交點）.若AB=AC=幣,BC=20尸為，ABC的

費馬點，則R4+P8+PC=；若AB=2∕,BC=2,AC=4,P為ABC的費馬點,

則PA+PB+PC=.

【答案】52√7

【分析】作出圖形，過B,C分別作NnBP=4>CP=30。,勾股定理解直角三角形即可

作出圖形，將4”。繞點A逆時針旋轉60。，P為aABC的費馬點則B,P,P',C'四點共線，

即B4+P3+PC=8C',再用勾股定理求得即可

【詳解】如圖,過A作AQIBC,垂足為O.

過民C分別作NE）BP=NDcP=30。，則PB=PC,P為ABC的費馬點

AB=AC=√7,BC=2√3

.?.BD=DC=LBC=也

2

.0。=旦且

BD3

.?.PD=1

H蠡=2

???AD=VAB2-BD2=√7≡3=2

???PA+PB+PC=5

］如圖:

A

AB=2√3,BC=2,AC=4.

ΛB2+BC2=16,BC2=16

:.AB2+BC2=AC2

ZABC=90。

BC1

.sinZBAC=——=-=sin30o

AC2

.?.NBAC=30°

將PC繞點A逆時針旋轉60o

由旋轉可得：XAPC9X?FC

:.AP'=AP,PC=P'C',AC=AC'ZCAC=NPAP=60°

.?.APP'是等邊三角形，

ZBAC=90°

P為,ABC的費馬點

即B,P,P,C'四點共線時候，PA+PB+PC=BC

PA+PB+PC=BP+PP+PC=BC

=4AB1+AC1=√(2√3)2+42=2√7

故答案為：5,2√7

【點睛】本題考查J'勾股定理，旋轉的性質，銳角三角函數，等腰三角形性質，作出旋轉的

圖形是解題的關鍵.本題旋轉aPBC也可，但必須繞頂點旋轉.

三、解答題

9.如圖（1）,P為」/8C所在平面上一點，且IzMPB=口3PC=口CR4=120。，則點P叫做

/8C的費馬點.

（1）若點尸是等邊三角形三條中線的交點，點尸—（填是或不是）該三角形的費馬點.

（2）如果點P為銳角.48C的費馬點，且口/8C=60。.求證：ABPUBCP；

(3)已知銳角ABC,分別以48、ZC為邊向外作正a∕8E和正ACD,CE和8。相交于P

點.如圖(2)

□求□CP。的度數；

□求證：P點為JBC的費馬點.

【分析】(1)由等邊三角形的性質證明NA8P=NE48=3O。，可得ZAPB=I20。，同法可得：

ZAPC=ZBPC=?20o,從而可得結論；

(2)由P為銳角-ZBC的費馬點，且□4BC=6(Γ,證明□E4B=口P3C,□4P5=□3PC=I20。,

從而可得□4BP□BCP;

(3)如圖2所示：由“8E與LZCD都為等邊三角形，證明O4CEADB(SAS),利用

ApDF

余等三角形的性質可得CPD=6=：5=60°；］先證明□∕OFn□PCF,可得而=Wk

再證明AFPDFC.可得/PC=ICPD+1APF=?2O°,再證明「8PC=I20。，從而可得

結論.

【詳解】解：(1)如圖1所示：

平分ABC.

同理：4N平分口B4C,PC平分□8C4

∏∕8C為等邊三角形，

□□4BP=30°,DSAP=30°.

∕P8=120°.

同理：APC=120°,□BPC=120°.

□尸是□45C的費馬點.

故答案為：是.

(2)P為銳角力8C的費馬點，且ABC=60°.

o

???APB=BPC=UOf

O

???PAB-vPB力=180。-APB=609PBC+PBA=_ABC=600,

□□Λ45=□PBC,

UABPBCP.

(3)如圖2所示：

Π□□48E與「4C。都為等邊三角形，

ΩUBAE=QCAD=60o,AE=AB,AC=AD,

□BAE^BAC=QCAD+ΠBACi^?EAC=3BAD,

AC=AD

在ZCE和48。中，＜ΛEAC=ΛBAD

AE=AB

□□JCE□DADB(S4S),

□□1=□2,

□□3=□4,

□□CPZ)=□6=□5=60o;

證明：Z1=Z2,Z3=Z4,

/.ADFPCF,

.AFDF

'~PF~~CFy

□□^FP=□CFD,

AFPDFC.

o

□□4尸尸=ΠACD=60f

JQAPC=□CPD+?ΔAPF=120°,

,N6=60。，

□CBPC=120°,

I□4尸5=360。-UBPC-口力PC=I20。,

口尸點為力8C的費馬點.

【點睛】本題考查的是等邊三角形的性質，三角形全等的判定與性質，三角形相似的判定與

性質，確定圖中隱含的全等三角形與相似三角形是解題的關鍵.

10.背景資料：

在已知□∕8C所在平面上求一點尸，使它到三角形的三個頂點的距離之和最小.

這個問題是法國數學家費馬1640年前后向意大利物理學家托里拆利提出的，所求的點被人

們稱為“費馬點

如圖□,當口Z8C三個內角均小于120。時，費馬點P在/8C內部，止匕時」NPB=I8PC=

□CB4=120o,此時，R4+PB+尸C的值最小.

解決問題：

(1)如圖□,等邊口力8C內有一點P,若點P到頂點/、B、C的距離分別為3,4,5,求

DAPB的度數.

為了解決本題，我們可以將148P繞頂點Z旋轉到Cp處，此時□∕C尸□門48P,這樣就

可以利用旋轉變換，將三條線段為，尸8,PC轉化到一個三角形中，從而求出口NP8=；

基本運用：

(2)請你利用第(1)題的解答思想方法，解答下面問題：

如圖□,48C中，□015=90°,AB=AC,E,尸為8C上的點，且IZIE/F=45。，判斷BE,EF,

FC之間的數量關系并證明；

能力提升：

(3)如圖口,在Rf口N8C中，口C=9()o,AC=I,DΛβC=30o,點產為RfEUBC的費馬點，

連接/P,BP,CP,求/M+P8+PC的值.

圖②圖③

A

圖④

【答案】(1)150°；

(2)E,F2=CE,2+FC2,理由見解析；

(3)√7.

【詳解】試題分析：(1)

(2)首先把ACE繞點A順時針旋轉90。,得到ACEl連接EF由旋轉的性質得,AE，=AE,

CE,=BE,□CAE,=□BAE,□ACE,=[B,E]EAE，=90。,然后再證明二EAFZl口EAF可得ET=EF,,

再利用勾股定理可得結論；

(3)將AOB繞點B順時針旋轉60。至A，CrB處，連接001根據已知證明C、0、A?

0'四點共線，在Rt□ABC中，利用勾股定理求得AC的長，根據新定義即可得OA+OB+OC

-√7?

試題解析：(1)ABC為等邊三角形，

□AB=AC,□BAC=60o,

將ABP繞頂點A逆時針旋轉60。得到ACP，，如圖，連結PP',

□AP=AP>=3,□PAP'=60o,Pe=PB=4,□APB=OAP1C,

口匚APP，為等邊三角形，

□□PP,A=60o,PP,=AP=3,

在IPPC中，口PP'=3,P,C=4,PC=5,

PP'2+P'C2=PC2,

□□PP9為直角三角形，□PPC=90o,

□□AP,C=ΠPP,A+ΓPP,C=60o+90°=150°,

?APB=I50°,

故答案為150°；

(2)E,F2=CE>2+FC2,理由如下：

如圖2,把ABE繞點A逆時針旋轉90。得到ACE,,

由旋轉的性質得，AE,=AE,CE,=BE,GCAE'=ZlBAE,□ACE,=□B,0EAE,=90o.

□□EAF=45o,

O□E,AF=□CAE,+CAF=BAE+CAF=匚BAC-匚EAF=90°-45°=45°,

EAF=「E,AF,

AE=AE,

在口EAF和□E'AF中,<ZEAF=ZEtAF,

AF=AF

∏□EAF□'ErAF(SAS),

□ET=EF,

□□CAB=90o,AB=AC,

□□B=□ACB=45o,

J□E,CF=45o÷45o=90o,

由勾A殳定千里得，ET2=CEr2+FC2,即EF2=BE2+FC2;

(3)如圖3,將AoB繞點B順時針旋轉60。至UAXYB處，連接OCT,

口在Rt□ABC中，□C=90o,AC=L匚ABC=30°,□AB=2,

θɑ?VAB2-AC2=v?，

l□AOB繞點B順時針方向旋轉60°,□.AzO,B如圖所示;

□ArBC=□ABC÷60o=30o÷60o=90o,

□□C=90o,AC=I,∏ABC=30o,□AB=2AC=2,

AoB繞點B順時針方向旋轉60。，得到AOB,

□AB=AB=2,BO=BCT,AO=AO,

□□BOCT是等邊三角形，

□BO=OOf,□B00'=匚B0'0=60°,

1□AOC=COB=BOA=120°,

□□COB+BOo'=二BO'A'+匚BO,O=120o+60°=180o,

□c、o、A?Cr四點共線，

在RtA，BC中，A，C=JAF+BCy⑻+"&，

OA+OB+OC=A,O,+OO,+OC=A,C=√7.

【點睛】本題考查了旋轉、全等三角形的判定與性質等，是一道綜合性題目，正確的作出輔

助線是解題的關鍵.

11.若P為"C所在平面上一點，J≡LZAPB=ABPC=ZCPA=120°,則點。叫做/8C的

費馬點.

(1)若點尸為銳角□∕BC的費馬點，且口45C=60。，Rl=3,PC=4,則PB的值為；

(2)如圖，在銳角□∕8C外側作等邊一ACS連結BBL求證：89過048C的費馬點P,且

BB'=PA+PB+PC.

【答案】(1)2G

(2)證明見解析

【分析】(1)由題意可得ABPBCP,所以PB?=PA?PC，即P8=2√L

(2)在BB'上取點P，使BPC=UQ0,連接/P,再在PB'上截取PE=PC,連接CE.由此

可以證明PCE為正三角形,再利用正三角形的性質得到PC=CE,UpCE=60。，ZCEBz=120°，

而，ACS'為正三角形，由此也可以得到AC=B'C,ZACB'=60°,現在根據已知的條件可以

證明ACP^.B1CE,然后利用全等三角形的性質即可證明題目的結論.

(1)

PAB+L?PBA=mθ°-APB=βO°,

PBC+PBA=ABC=f>0o,

□匚RiB=IPBC,

又APB=BPC=UQ0,

ABP_BCP,

PAPB

PB-PC'

PB2=PA-PC=?2,

P5=2√3;

(2)

證明：在89上取點P,使BPC=I20°.連接/P,再在尸9上截取PE=PC,連接CE.

QBPC=UOo,

ZlLJEPC=60。，

PCE為正三角形，

PC=CE,PCE=60°,NCEBZ=I20°.

ACB'為正三角形，

AC=B,C,ZACB1=60°,

ZPCA+ZACE=ZACE+NECB=60°,

ZPCA=ZECB1,

ACPHFCE,

ZAPC=ZB'EC=120o,PA=EB",

QGAPB=APC=BPC=?20°,

□P為口48C的費馬點.

8夕過/BC的費馬點P,RBB'^EB'+PB+PE=PA+PB+PC.

【點睛】此題考查「相似三角形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，等腰三角形與等

邊三角形的性質及三角形內角和為180。等知識；此類己知三角形邊之間的關系求角的度數

的題，一般是利用等腰（等邊）三角形的性質得出有關角的度數，進而求出所求角的度數.

12.若一個三角形的最大內角小于120°,則在其內部有一點所對三角形三邊的張角均為120°,

此時該點叫做這個三角形的費馬點.如圖1,當□48C三個內角均小于120。時，費馬點尸在

口∕8C內部，1?時NAPB=NBPC=NCpA=I20。，R4+P8+PC的值最小.

圖1圖2圖3

(1)如圖2,等邊三角形/8C內有一點P,若點P到頂點Z,B,C的距離分別為3,4,5,

求ZAPB的度數.為了解決本題,小林利用“轉化”思想,將nZ8P繞頂點N旋轉到ZXACP處，

連接PP',此時,ACP絲ABP,這樣就可以通過旋轉變換，將三條線段Rl,PB,PC轉化

到一個三角形中，從而求出/4PB=.

(2汝U圖3,在圖1的基礎上延長8P,在射線BP上取點，E,連接ZE,/D使AD=AP,

ZDAE=ZPAC,求證：BE=PA+PB+PC.

(3)如圖4,在直角三角形ZBC中，ZABC=90°,NAC3=30。，AB=I,點P為直角三角

形ZBC的費馬點，連接力P,BP,CP,請直接寫出尸A+P3+PC的值.

【答案】(1)150。

⑵見解析

⑶萬

【分析】(1)由全等三角形的性質得到/P=/P=3、CP=BP=4,AP1C=UAPB,再根

據旋轉性質，證明4PP為等邊三角形,□PPC為直角三角形，最后由□ZPC=

ZPP+□PPC解答;

(2)由費馬點的性質得到NAP5=120。，ZAPD=GOo,再證明.APCRADE(ASA),山

全等三角形對應邊相等的性質解得PC=OE,最后根據線段的和差解答；

(3)將口4P8繞點3順時針旋轉60。至□HPB處，連接PP,由勾股定理解得BC=6，由

旋轉的性質，可證明匚BPP是等邊三角形，再證明C、P、4、P'四點共線，最后由勾股定理

解答.

(1)

解：ACP,^ABP,

ΠAP,=AP=3.Cp=BP=4,UAPtC=UAPB,

由題意知旋轉角匕為P'=60。，

□EUPP為等邊三角形，

,o

PP'=AP=3,?JAPP=60f

由旋轉的性質可得：AP'=AP=PP'=3,CP=4,PC=5,

□32÷42=52

□匚P產。為直角三角形，且LP尸'C=90°,

?UAPB=JAP,C=JAP,P+□PΛC=60o+90o=150o;

故答案為：150。；

(2)

證明：□點尸為□43C的費馬點，

ZAPB=UOo,

ZAPr)=60。，

又［AD=AP,

□ZPO為等邊三角形

AP=PD=AD,NPAD=ZADP=60。,

ZADE=120°,

ZADE=ZAPC,

/PAC=NDAE

在i4尸C和ADEφf'AP=AD

ZAPC=ZADE

APgADE(ASA)；

PC=DE,

匚BE=BP+PD+DE,

UBE=R4+PB+PC;

(3)

解：如圖,將□NP8繞點B順時針旋轉60。至4P3處,連接PP,

口在M口ZBC中，□C=90o,JC=I,□^5C=30o,

ΠAB=2,

BC=?∣AB2-AC2=√3,

把APB繞點B順時針方向旋轉60。得到二4P&

η?^A,BC=UABC+60°=30°+60°=90°,

□□C=90o,JC=I,□J5C=30o,

AB=2AC=2,

ZP8繞點8順時針方向旋轉60。，得到A'P'B,

□Z'5=∕8=2,BP=BP',AP=AP,

□□BPP是等邊三角形，

BP=PP',LBPP'^?BFP=60°,

APC=CPB=BPA=?20o,

aaCPB+∏BPP'=?JBP'A'+∏BP'P=↑20o+60o=i80o,

□C、尸、A?P四點共線,

在用/'8C中，A'C=√A,B2+fiC2=J(√3)2+22=√7.

PA+PB+PC=A'P'+PP'+PC=A'C=y/l.

【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、勾股定理、旋轉的

性質、費馬點等知識，是重要考點，有難度，掌握相關知識，正確做出輔助線是解題關鍵.

13.【問題背景】17世紀有著“業余數學家之王”美譽的法國律師皮耶?德?費馬，提出一個問

題：求作三角形內的一個點，使它到三角形三個頂點的距離之和最小后來這點被稱之為“費

馬點

如圖，點P是ΛBC內的一點，將AAPC繞點A逆時針旋轉60。到ApC則可以構造出等

邊，APP'，得AP=PP,CP=Cp1,所以R4+PB+PC的值轉化為∕7y+P8+尸C'的值，

當B,P,P',C四點共線時，線段BC的長為所求的最小值，即點P為，ABC的“費馬點”.

C1

(1)【拓展應用】

如圖1,點尸是等邊ABC內的一點，連接E4,PB,PC,將APAC繞點A逆時針旋轉60。

得到.AP'C'.

A

B匕---------------------AC

圖1

□若尸A=3,則點P與點P'之間的距離是______;

口當PA=3,Pfi=5,PC=4時，求/A產C的大?。?/p>

(2)如圖2,點尸是ABC內的一點，且/84C=90。,AB=6,AC=2日PA+PB+PC

的最小值.

A

B圖2C

【答案】(1)□3;□150o;

(2)2√21

【分析】(1)根據旋轉的性質即可求出火的值；

先證ABPΛACP,利用全等的性子求出對應的邊長，通過勾股定理的逆定理得到

NCPP=90。，即可求出—APzC的大小；

(2)將/PC繞C點順時針旋轉60。得到APC,先求出∕8C4'=120。，然后證明aCPP'為

等邊三角形，當B、P、產、四點共線時，A4+PB+PC和最小，用勾股定理求出A4，的

值即可.

(1)

如圖，將ARAC繞/逆時針旋轉60。，

則AP=AF,ZPAP,=60°.

工APP為等邊三角形,

：.PP'=PA=3；

/8C為等邊三角形，

UAB=AC,JBAP+QR4C=60o,

又LAP尸是等邊三角形，

PAC+ZCAP1=60°,

BAP=ACAP',

AB=AC

在ABP與XACP中，■NBAP=ZCAP1,

AP=AP'

ABPAACP1CSAS),

BP=CP'=5,PP'=3,PC=4,

PP'2+PC2=CP'2,.?.ZCPP'=90°,

.?.ZAPC=ZAPP,+ZCPP1=60°+90°=150°,

又旋轉，NAPC=NAPC==I50。；

(2)

如圖，將ZPC繞C點順時針旋轉60。得到APC,

在RLABC中，BC=yjAB2+AC2=^62+(2√3j2=4√3,

AC=-BC,:"ABC=30o,ZACB=60o,

2

:.ZACP+ZBCP=ω°,

又ZACP=ZACP,ZACP+ZACP=60o,

.?.ZACP+ZACP?60o，BCP+ZACP+ΛACP+ZACP=120o，

過A作AO8C交8。的延長線于點￡),

則ZACD=NBCD—NBCA'=180°-120°=60°,

.?.ZCAD=30o,

,AC=AC=2瓜..CD=也(30。所對的直角邊等于斜邊的一半)，

.?AD=yJAC2-CD2=3-

NPCP=60o,PC=CP',CPP為等邊三角形，

當B、P、產、A，四點共線時，Λ4+P3+PC和最小，

在R"DA'ψ,BD=BC+CD=4√3+√3=5√3,DA1=3,

:.BA'=BD2+DA'2=J(5&『+32=2√21，

PA+PB+PC的最小值為2莊.

【點睛】本題考查了旋轉變換，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵在于能夠添加輔助線

構造全等三角形解決問題.

14.如圖1,點M為銳角三角形ABC內任意一點，連接AM,8M,CM.以AB為一邊向外作

等邊三角形AABE,將BM繞點B逆時針旋轉60。得到BN,連接EN.

(I)求證:?AMB??EVB;

(2)若AM+8M+CM的值最小，則稱點M為ΛBC的費馬點.若點M為ABC的費馬點,

求此時ZAΛe,NBMC,NCMA的度數;

(3)受以上啟發，你能想出作銳角三角形的費馬點的一個方法嗎？請利用圖2畫出草圖,

并說明作法以及理由.

oo

【答案】(1)見解析；(2)ZBAlC=120°：Z4Mβ=120iZAMC=UO;(3)見解析

【分析】（1）結合等邊三角形的性質，根據SNS可證I∕Λ"ENB

（2）連接MV,由（1）的結論證明Δ8MV為等邊三角形，所以8M=KV,即

AM+BM+CM=EN+MN+CM,所以當￡、N、M.C四點共線時，4V/+8M+CM的值最小，

從而可求此時IZNA/3、BMC、ACK4的度數；

（3）根據（2）中費馬點的定義，又/8C的費馬點在線段EC上，同理也在線段8尸上,

因此線段EC和BF的交點即為口N8C的費馬點.

【詳解】解：（1）證明：AABE為等邊三角形，

AB=BE,ZABE=60°.

而NMBN=60。,

ZABM=NEBN.

在，AMB與公ENB中,

AB=BE

，ZABM=4EBN

BM=BN

一AMBMENB（SAS）.

（2）連接MN.由（1）知，AM=EN.

NMBN=&）。,BM=BN,

BMN為等邊三角形.

BM=MN.

AM+BM+CM^EN+MN+CM.

當E、N、M、C四點共線時，40+3M+00的值最小.

此時，ZBMC=180o-ZMWB=120o：ZAMB=NENB=I80°—NBNM=I20。；

ZAMC=360o-ZBMC-ZAMB=120°.

（3）如圖2,分別以，ABCAB,AC為一邊向外作等邊AWE和等邊4Ab,連接C￡,8尸,

相交于“，則點M即為&ABC的費馬點，由（2）知，ABC的費馬點在線段EC匕同理

也在線段所上.因此線段EC與8尸的交點即為一ABC的費馬點.

（方法不唯一，正確即可）

E.

A

B圖2C

【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，三角形全等的判定與性質,掌握三角形全等的判定

和性質是解題的關鍵.

15.如圖，在一ABC中，ZAeB=30。,BC=6,AC=5,在二ABC內部有一點尸，連接《4、PB、

PC.(加權費馬點)求：

(2)PA+PB+0PC的最小值

(3)Λ4+P8+√5PC的最小值;

(4)2PA+PB+&PC的最小值

(5),pA+PB+也PC的最小值；

22

(6)2P4+4P8+2gPC的最小值

(7)4PA+2PB+2√5PC的最小值；

(8)3∕?+4PB+5PC的最小值

【答案】(I)√61；(2)√91；(3)√61+30√3；(4)2√34；(5)y；(6)26；(7)4√M：

(8)—

4

【分析】(1)將45PC繞點8順時針旋轉60得到ABPC,則BP=B尸，P,C=PC,

ZPBP'=60.可以推出，BP尸為等邊三角形，得到BP=PP,則

PA+PB+PC=PA+PP+PC,即可得到4P、P、C'四點共線時，PA+PB+PC最小，

最小值為AC',然后證明/ACC'=/ACB+/8Ce=90°，由此利用勾股定理求解即可；

(2)將48PC繞點C逆時針旋轉90得到4CP'B',則可證明Pp=&PC，從而得到

PA+PB+-∕1PC=PA+PP,+P,B.則當/、P、P、夕四點共線時PA+PB+PC最小，最

小值為AB',過點A再作BtC的垂線,垂足為E,利用勾股定理求出AE=^AC2-CE2=短，

2

B'E=B'C+EC=^17-,由此即可得到答案；

(3)將?spe繞點C逆時針旋轉120得到ΛB,PC,則可證明PP'=√3CP,則

PA+PB+>∕3PC=PA+PP1+P'B',故當X、P、P'、B'四點共線時∕Λ4+P8+√5PC最小，

最小值為AQ,過點/再作B'C的垂線，垂足為區利用勾股定理求出

CE=√AC2-AE2=—,B'E=CE+CB'=12+5λ^.由此即可得到答案：

22

(4)將48PC繞點C順時針旋轉60，得到VCpA,再將VCPH以點C為位似中心放大2

倍，得到VC尸A",連接PP,先證明/p=√k?p,則可以得到

2PA+PB+√3PC=A"P"+P"P+PB,故當A",產，P,B共線時2P4+PB+&PC最小，

最小為A"8,然后證明NBc4"=NAa3+NAC4"=90°,即可利用勾股定理求解；

(5)將48PC繞點。順時針旋轉60,得到VCPA,再將VCPA以點C為位似中心縮小2

倍，得到VCp7T,同(4)原理可證得當A",P",P,8共線時LPA+PB+且PC最小，

22

最小為A"8,然后證明NBC4"=NAC8+NAC4"=90°,由此求解即可；

(6)[i]2PA+4PB+2y∣3PC=4^jPA+PB+--PC可由(5)得：2PA+4P8+2百PC的

最小值為26；

(7)山424+2尸8+26/^?=2(224+28+力尸0可由(4)得4PA+2P8+26尸C的最小值

為4后:

(8)將ABPC繞點C順時針旋轉90,得到VcPW,再將VCPA'以點C為位似中心縮小N

倍，得到VCp?",同理可以證得當4P、P"、A〃，共線時3Q4+4/歸+5PC的值最小,在

315

8C4"中，ZBCAn=ZACB+AACAT=120o,AffC=-CA=-,過點A〃作A"ELBC交BC

44

延長線于瓦然后求出E4”,8E的長，由此即可求解.

【詳解】解：(1)如圖3-2,將ABPC繞點8順時針旋轉60得到ABPU,

BP=BP,P1C=PC,ZPBP'=60,

為等邊三角形，

BP=Pp',

PA+PB+PC=PA+PP,+PC',

/、P、P、C'四點共線時，B4+P3+PC最小，最小值為AC'

同理可證,BCC為等邊三角形，

CC=BC=6,N3CC=60°,

NACC'=∕AC8+ZBCC,=90o，

AC=yjAC2+CC2=√61；

上4+PB+PC的最小值為病；

(2)如圖3-4,將ABPC繞點C逆時針旋轉90得到aCPB',

B'P=BP,PC=PC,NPCP=90"，NPCB'=NPCB,CB'=CB=6,

PP,=JPC2+PC2=叵PC，

PA+PB+?j2PC=PA+PP'+P'B，

:當4尸、P'、8'四點共線時，PA+P8+PC最小，最小值為49

□□∕lCβ=30o,

ZACP+NPCB=ΛACP+∕P'C8'=30°

ZACB'=ZPCP'+ZACP+NP'CB'=120".

過點/再作B'C的垂線，垂足為E,

3DAEC=90o,EUCE=60。，

口口。E=30。，

CE=-AC=-

22

AE=^AC2-CE2??,B'E=B(+EC=g,

Aff=y∣AE2+B'E1=√91，

PA+PB+√2PC的最小值為√91；

(3)如圖3-6,將ABPC繞點C逆時針旋轉120得到A8'PC,

B'P,=BP,PC=PC,∕PCP'=120°,NPCB'=NPCB,CB'=CB=6,

NCPP=NCP'P=30”，

過點C作CEI于E,

CE=gCP,PE=PE,

2

22

PE=√PC-CE=-CP,

2

PP'=√3CP，

PA+PB+43PC=PA+PP1+P'B',

口當/、P、P、B'四點共線時，PA+P8+KPC最小，最小值為48'

一廠XC8=30°,

ZACP+NPCB=ZACP+∕P'C3'=30°

NACB'=NPCP+ZACP+NP'CB'=150°,

過點/再作8'C的垂線，垂足為E,

□匚∕EC=90°,ACE=3°,

AE=-AC=-

22

CE=√AC2-AE2=—,

2

g,g=CE+Cg,=12-5λ^

2

AB'=>JAE2+B'E2=√61+30√3,

PA+PB+√3PC的最小值為761+3O√3；

(4)如圖3-8,將ABPC繞點。順時針旋轉60，得到VeP4,再將VCPA'以點C為位似

中心放大2倍，得到vc%r,連接PP

由旋轉的性質得Gr=C4=5,CP,=CP,PA=P1A,ZPCP,=ZACA1=GOo，

C4ff=10,CP"=2CP,P,A,=2AP=2AP,Z?PCP是等邊三角形，

PP,=P'C=P,P",NPPC=60°，

ZPP"P=ZP"PP'=3(f',

N產PC=90°，

P"P=?∣CP"2-CP2=CCP，

2PA+PB+√3PC=A"Pn+P"P+PB，

「當A",P",P,B共線時2PA+P8+GPC最小，最小為48,

ZBCA"=ZACB+ZACA"=90n,

A"B=y∣BC2+A"C2=2√34，

2PA+PB+石PC的最小值為2扃；

⑸如圖3-10,將PC繞點C順時針旋轉60,得到VCPW,再將VCPW以點C為位似

中心縮小2倍，得到VC產A",

同(4)原理可證得當A",「"，P，8共線時LPA+PB+^?PC最小，最小為A"B,

BA"=√SC2+AffC2=—,

2

LPA+PB+也PC最小為二;

222

(6)2PA+4PB+2y∕3PC=4?-PA+PB+-PC

22

由(5)得：2PA+4PB+2j5PC的最小值為26；

(7)4PA+IPB+2√3PC=2(2PA+PB+√3PC)

由(4)得4PA+2PB+2√5PC的最小值為4衣：

(8)如圖3-12,將ABPC繞點C順時針旋轉90,得到VCP4,再將VCPA以點C為位似

中心縮?。郾?，得到VC尸H,

4

同理可以證得當/、P、產、A"共線時3P4+4P8+5PC的值最小.

315

在‘BC4"中，ZBCA"=ZACB+ZACA"?120o,ATC=-CA=-,

44

過點A"作A〃￡_L8C交BC延長線于E,

ZAffCE=60t?

Ne4"E=30o,

CE=-CA!1=-