線性規劃企業利潤最大化線性規劃主要用于處置生活、消費中的資源應用、人力分配、消費布置等效果，它是一種重要的數學模型．復雜的線性規劃指的是目的函數含兩個自變量的線性規劃，其最優解可以用數形結合方法求出。觸及更多個變量的線性規劃效果不能用初等方法處置。線性規劃效果的難點表如今三個方面：一是將實踐效果籠統為線性規劃模型；二是線性約束條件和線性目的函數的幾何表征；三是線性規劃最優解的探求。線性規劃的開展史法國數學家J.-B.-J.傅里葉和C.瓦萊－普森區分于1832和1911年獨立地提出線性規劃的想法，但未惹起留意。1939年蘇聯數學家Л.В.康托羅維奇在?消費組織與方案中的數學方法?一書中提出線性規劃效果，也未惹起注重。1947年美國數學家G.B.丹齊克提出線性規劃的普通數學模型和求解線性規劃效果的通用方法──單純形法，為這門學科奠定了基礎。1947年美國數學家J.von諾伊曼提出對偶實際,開創了線性規劃的許多新的研討范圍，擴展了它的運用范圍和解題才干。1951年美國經濟學家T.C.庫普曼斯把線性規劃運用到經濟范圍，為此與康托羅維奇一同獲1975年諾貝爾經濟學獎。50年代后對線性規劃停止少量的實際研討，并涌現出一大批新的算法。例如，1954年C.萊姆基提出對偶單純形法，1954年S.加斯和T.薩迪等人處置了線性規劃的靈敏度剖析和參數規劃效果，1956年A.塔克提出互補松弛定理，1960年G.B.丹齊克和P.沃爾夫提出分解算法等。線性規劃的研討效果還直接推進了其他數學規劃效果包括整數規劃、隨機規劃和非線性規劃的算法研討。由于數字電子計算機的開展，出現了許多線性規劃軟件，如MPSX，OPHEIE，UMPIRE等，可以很方便地求解幾千個變量的線性規劃效果。1979年蘇聯數學家L.G.Khachian提出解線性規劃效果的橢球算法，并證明它是多項式時間算法。1984年美國貝爾實驗室的印度數學家N.卡馬卡提出解線性規劃效果的新的多項式時間算法。用這種方法求解線性規劃效果在變量個數為5000時只需單純形法所用時間的1/50。現已構成線性規劃多項式算法實際。50年代后線性規劃的運用范圍不時擴展。隨著經濟的開展，關于線性規劃在企業中的運用越來越普遍。林海明早在1996年就立足于較強的普及性，從經濟知識的角度來認知線性規劃效果的解法，初步論述這一效果；熊福力、張曉東等在2004年作了?基于利潤最大化的油田開發非線性規劃?一文，他們依據油田開發的實踐狀況，將油田和利潤細分為幾個局部，以取得最大利潤為目的，樹立了油田開發的數學模型；吳海華和王志江在?關于影子價錢作為企業資源配置依據的討論?依據線性規劃模型資源影子價錢的經濟意義，討論了在企業以支出最大化和利潤最大化兩種狀況下，影子價錢作為企業資源配置依據時存在的效果。胡徐勝、劉娟和汪發亮在?最優控制在汽車企業利潤最大化中的運用?一文中從汽車企業職工結構角度動身，研討在企業提供職工工資總量不超越某一限定值的狀況下,如何分配汽車企業中普通職工與初級職工的比例來到達完成汽車企業利潤最大化的目的。隨著經濟社會的開展，線性規劃在資源配置和企業管理方面發揚著共同的作用。在企業的各項管理活動中，例如方案、消費、運輸、技術等效果，從各種限制條件的組合中，經過對實踐數據的剖析處置和數學模型的樹立，選擇出最為合理的計算方法，樹立線性規劃模型從而求得最正確結果，給出了更多的決策參考信息。這也將成為未來企業消費與管理的普遍方法。不單如此，企業現如今更著重于對各種條件組合中限制條件作局部調整以到達對取得利潤的一種控制，而這恰恰也是線性規劃效果中靈敏度剖析所研討的對象。本文共分為四章。在第一章，引見本文的背景和線性規劃的開展狀況；在第二章，引見線性規劃自身和一系列相關性質效果及企業利潤最大化數學模型的基礎知識；在第三章，引見應用線性規劃樹立企業利潤最大化數學模型；最后，求解模型最優解。

第2章線性規劃效果本章主要引見線性規劃自身和一系列相關性質效果，并相應舉出一些復雜的例子更好的論述了線性規劃效果。本章主要自創于胡運權、郭耀煌等編著，清華大學出版社出版的?運籌學教程〔第二版〕?的內容。2.1線性規劃模型及規范型2．1．1線性效果的數學模型例1：美佳公司方案制造Ⅰ，Ⅱ兩種家電產品。各制造一件時區分占用的設備A，B的臺時、調試工序及每天可用于這兩種家電的才干、各售出一件時的獲利狀況，如表1所示。問該公司應制造兩種家電各多少件，使獲取的利潤為最大。表1項目ⅠⅡ每天可用才干設備A〔h〕0515設備B〔h〕6224調試工序〔h〕113利潤〔元〕21對上例用和區分表示美佳公司制造家電Ⅰ和Ⅱ的數量。這時此例數學模型可表示為由此例可以看出，規劃效果的數學形式型由三個要素組成：⑴變量，或稱決策變量，是效果中要確定的未知量，它用以說明規劃中的用數量表示的方案、措施，可由決策者決議和控制；⑵目的函，它是決策變量的函數，按優化目的區分在這個函數前加上或；⑶約束條件，指決策變量取值時遭到的各種資源條件的限制，通常表達為含決策變量的等式或不等式。假定線性規劃效果中含個變量，區分用〔〕表示，在目的函數中的系數為〔通常稱為價值系數〕，的取值受項 資源的限制，用〔〕表標第種資源的擁有量，用表示變量取值為1個單位時所消耗或含有的第種資源的數理量，通常稱為技術系數或工藝系數。剛上述線性規劃效果的數學模型可表示為：上述模型的簡寫方式為用向量方式表達時，上述模型可寫為：式中；；；用矩陣和向量方式來表示可寫為：稱為約束方程組〔約束條件〕的系數矩陣。變量的取值普通配為非負，即；從數學意義上可以有。又假設變量表示第種產品期內產量相關于前期產量的添加值，那么的取值范圍為，稱取值不受約束，或無約束。2．1．1．2線性規劃效果的規范方式線性規是效果的規范方式如下：規范方式的線性規劃模型中，目的函數為求極大值，約束條件全為等式，約束條件右端常數項全為非負值，變量的取值全為非負值。對不契合規范方式的線笥規劃效果，可區分經過以下方法化為規范方式。1〕目的函數為求極小值，即為：由于求等價于求，令，即化為：2〕約束條件的右端項時，只需將等式或不等式兩端同乘〔-1〕，那么等式右端項必大于零。3〕約束條件為不等式。當約束條件為〝≤〞時，如，可令，得，顯然。當約束條件為〝≥〞時，如有，可令，得，。和是新加上去的變量，取值均為非負，加到原約束條中去的變量其目的是使不等式轉化為等式，其中稱為松弛變量，普通配稱為剩余變量，但也有稱松弛變量的。松弛變量或剩余變量在實踐效果中區分表示未被充沛應用的資源和超出的資源數，均未轉化為價值和利潤，所以引進模型后它們在目的函數中的系數均為零。4〕取值無約束的變量是。假設變量代表某產品當年方案數與上一年方案數之差，顯然的以值能夠是正也能夠是負，這時可令，其中，，將其代入線性規劃模型即可。5〕對的狀況，令，顯然。2．2線性規劃模型的求解2．2．1線性規劃效果的基與解①②③線性有關：關于n維空間的一組向量，假定數域F中有一組不全為0的數〔〕，使成立，那么稱這組向量在F上線性相關。否那么稱這組向量在F上線性有關。秩：設A是m×n矩陣。假定A的n個列向量中有r個線性有關〔〕，而一切個數大于r的列向量組都線性相關，那么稱數r為矩陣A的列秩。相似可定久矩陣A的行秩。矩陣A的列秩與行秩一定相等，它也稱為矩陣A的秩?；篈是約束條件的m×n系數矩陣，其秩為m。假定B是A中m×m非奇特子矩陣〔即可逆矩陣，有〕，那么稱B是線性規劃效果的一個基，B是由A中m個線性有關的系數列向量組成的。基向量：B中一列〔共m個〕→基變量非基向量：B外〔A中〕一列〔共n－m個〕→非基變量可行解：滿足①、②的解最優解：滿足③的可行解基本解：令一切非基變量=0，求出的滿足①的解基本可行解：滿足②的基本解最優基本可行解：滿足③的基本可行解基本解退步的基本解：有基變量=0的基本解退步的基本可行解退步的最優化基本可行解2．2．2線性規劃的圖解法適于求解二維效果不用化為規范型2．2．1．1圖解法步驟例2：1〕由全部約束條件作圖求出可行域2〕作出一條目的函數的等值線3〕平移目的函數等值線，作圖得最優點，再算出最優值圖1最優點Q：；最優值Z：.2．2．1．2從圖解法看線性規劃效果解的幾種狀況1〕有獨一最優解〔普通狀況〕2〕有無量多組最優解〔平行；最優值相反〕對例2，修正為：無可行解〔可行域空集〕對例2，添加一個約束條件：無有限最優解〔無界域；取決于求還是？〕對例2，去掉第一個約束條件線性規劃的可行域為凸集，特殊狀況下為無界域〔有有限個頂點〕或空集。線性規劃假定有最優解，一定可在可行域頂點上失掉。2．2．3單純形法2．2．3．1單純形法迭代原理1〕確定初始基可行解①當線性規劃效果的一切約束條件均為≤號是，松弛變量對應的系數矩陣即為單位矩陣，以松弛變量為基變量可確定基可行解。②對約束條件含≥或＝號時，可結構人工基，人為發生一個單位矩陣，用大法或兩階段法取得初始基可行解。2〕最優性檢驗與解的判別〔目的函數極大型〕①當一切變量對應的檢驗數均非正時，現有的基可行解即為最優解。假定存在某個非基變量的檢驗數為零時，線性規劃效果有無量多最優解；當一切非基變量的檢驗數均嚴厲小于零時，線性規劃效果具有獨一最優解。②假定存在某個非基變量的檢驗數大于零，而該非基變量對應的系數均非正，那么該線性規劃效果具有無界解〔無最優解〕。③當存在某些非變量的檢驗數大于零，需求找個一個新的基可行解，即要停止基變換。2．2．3．2單純形法迭代步驟1〕求出初始可行解，列出初始單純形表。設～為基變量，～為非基變量基100001002〕計算檢驗數停止最優性檢驗。假定已取得最優解〔或確定無最優解〕，那么中止；否那么停止下一步。3〕換基。依據的原那么，確定為換入變量，計算〔〕，按規那么，確定為換出變量。4〕經過初等行變換將系數矩陣中變量對應列變換為第個元素為1的單位列向量，用代為新的基變量，列出新的單純形表，回到第二步驟。例3：用單純形法求解線性規劃效果解先將上述效果化成規范方式有其約束條件系數矩陣的增廣矩陣為是單位矩陣，構成一個基，對應變量是基變量。令非基變量等于零，即找到一個初始基可行解以此列出初始單純形表記作表2如下：表221000基01505100024[6]2010051100121000因表中有大于零的檢驗數，故表中基可行解不是最優解。因，故確定為換入變量。將列除以的同行數字得，由此6為主元素，作為標志對主元素6加上方括號[]，主元素所內行基變量為換出量。用交流基變量，失掉一個新的基，按上述單純形法計算步驟第三步，可以找到新的基可行解，并列出新的單純形表，記作表3如下：表321000基015051002412/601/60010[4/6]0-1/6101/30-1/30由于上表中還存在大于零的檢驗數，故重復上述步驟得下表，記作表4：表421000基015/20015/4-15/227/21001/4-1/213/2010-1/43/2000-1/4-1/2上表中一切，且基變量中不含人工變量，故表中的基可行解為最優解，代入目的函數得。2．2．3對偶單純形法2．2．3．1單純形法計算的矩陣描畫對稱方式線性規劃效果的矩陣表達式加上松弛變量后為：(1)上式中為松弛變量，，為單位矩陣。單純形法計算時，總選取為初始基，對應基變量為。設迭代假定干步后，基變量為，在初始單純形表中的系數矩陣為。將在初始單純形表中獨自列出，而中去掉后的假定干列后剩下的列組成矩陣，這樣(1)的初始單純形表可列成如表5的方式。表5項目非基變量基變量00當迭代假定干步，基變量為時，那么該步的單純形表中由系數組成的矩陣為。又因單純形法的迭代是對約束增廣矩陣停止的行的初等變換，對應的系數矩陣在新表中應為。故當基變量為時，新的單純形表具有表6方式。表6項目基變量非基變量10從表5和表6看出，當迭代后基變量為時，其在初始單純形表中的系數矩陣為，那么有：1〕對應初始單純形表中的單位矩陣，迭代后的單純形表中為；2〕初始單純形表中基變量,，迭代后的表中；3〕初始單純形表中約束系數矩陣為[，]＝[，，]，迭代后的表中約束系數矩陣為[，]＝[，，]＝[，，]。4〕假定初始矩陣中變量的系數向量為迭代后為，那么有 〔2〕5〕當為最優解時，在表6中應有〔3〕〔4〕因的檢驗數可寫為〔5〕故(3)～(5)式可重寫為〔6〕〔7〕稱為單純乘子，假定令那么〔6〕、〔7〕式可改寫為〔8〕2．2．3．2對偶效果的基本性質1〕弱對偶性。假設是原效果的可行解，是其對偶效果的可行解，那么恒有由弱對偶性，可得出以下推論：①原效果任一可行解的目的函數值是其對偶效果目的函數值的下界；反之對偶效果任一可行解的目的函數值是其原效果目的函數值的上界。②如原效果有可行解且目的函數值無界(具有無界解)，那么其對偶效果無可行解；反之對偶效果有可行解且目的函數值無界，那么其原效果無可行解(留意：本點性質的逆不成立，當對偶效果無可行解時，其原效果或具有無界解或無可行解，反之亦然)。③假定原效果有可行解而其對偶效果無可行解，那么原效果目的函數值無界；反之對偶效果有可行解而其原效果無可行解，那么對偶效果的目的函數值無界。2〕最優性。假設是原效果的可行解,是其對偶效果的可行解，且有那么是原效果的最優解，是對偶效果的最優解。3〕強對偶性(或稱對偶定理)。假定原效果及其對偶效果均具有可行解，那么兩者均具有最優解，且它們最優解的目的函數值相等。4〕互補松弛性。在線性規劃效果的最優解中，假設對應某一約束條件的對偶變量值為非零，那么該約束條件取嚴厲等式；反之假設約束條件取嚴厲不等式，那么其對應的對偶變量一定為零。也即假定，那么有，即，假定，即，那么有，因此一定有。將互補松弛性質運用于其對偶效果時可以這樣表達：假設有，那么；假設有,那么。2．2．3．3對偶單純形法的基本思緒求解線性規劃的單純形法的思緒是：對原效果的一個基可行解，判別能否一切檢驗數。假定是，又基變量中無非零人工變量，即找到了效果最優解；假定為否，再找出相鄰的目的函數值更大的基可行解，并繼續判別，只需最優解存在，就不時循環停止到找出最優解為止。依據對偶效果的性質，由于，當，即有或，也即其對偶效果的解為可行解，由此原效果和對偶效果均為最優解。反之，假設存在一個對偶效果的可行基，即對，有或，這時只需有，即原效果的解也為可行解，即兩者均為最優解。否那么堅持對偶效果為可行解，找出原效果的相鄰基本解，判別能否有，循環停止，不時使原效果也為可行解，從而兩者均為最優解。對偶單純形法的基本思緒：先找出一個對偶效果的可行基，并堅持對偶效果為可行解條件下，如不存在，經過變換到一個相鄰的目的函數值較小的基本解(因對偶效果是求目的函數極小化)，并循環停止，不時到原效果也為可行解(即)，這時對偶效果與原效果均為可行解。2．2．3．4對偶單純形法的計算步驟設某規范方式的線性規劃效果〔10〕存在一個對偶效果的可行基，無妨設，列出單純形表〔見表7〕。表7基100010001000表7中必需有，的值不要求為正。當對，有時，即表中原效果和對偶效果均為最優解。否那么，經過變換一個基變量，找出原效果的一個目的函數值較小的相鄰基本解。1〕確定換出基的變量由于總存在＜0的，令，其對應變量為換出基的變量。2〕確定換入基的變量①為了使下一個表中第行基變量為正值，因此只要對應的非基變量才可以思索作為換入基的變量。②為了使下一個表中對偶效果的解仍為可行解，令〔11〕稱為主元素，為換入基的變量。設下一個表中的檢驗數為，由式〔12〕分兩種狀況說明滿足〔11〕式來選取主元素時，式〔12〕中〔對〕。〔a〕對，因故，又因主元素，故，由此式〔12〕方括弧內的值≤0，故有?！瞓〕對，因，故有。3〕用換入變量交流換出變量，失掉一個新的基。對新的基再反省能否一切。如是，找到了兩者的最優解，如為否，回到第1步再循環停止。由于由對偶效果的基本性質知，當對偶效果有可行解時，原效果能夠有可行解，也能夠無可行解。對出現后一種狀況的判別準那么是：對，而對一切有。由于這種狀況，假定把表中第行的約束方程列出有〔13〕因，又，故不能夠存在的解。故原效果無可行解，這時對偶效果的目的函數值無界。

第三章線性規劃中靈敏度剖析3．1含義和研討對象3．1．1什么是靈敏度剖析？是指研討線性規劃模型的某些參數〔〕或限制量〔，約束條件〕的變化對最優解的影響及其水平的剖析進程〈也稱為優化后剖析〉。3．1．2靈敏度剖析的研討對象目的函數的系數變化對最優解的影響；約束方程右端系數變化對最優解的影響；約束方程組系數矩陣變化對最優解的影響；綜合表達在兩個效果上：這些系數在什么范圍內發作變化時，最優解不變？系數變化超出上述范圍，如何用最簡便的方法求出新的最優解？3．2停止靈敏度剖析的基本原那么①在最終單純形表的基礎上停止。②盡量增加附加的計算任務量。3．3靈敏度剖析的步驟1〕將參數的改動經過計算反映到最終單純形表下去；2〕反省能否仍為原效果的可行解；3〕反省能否仍為對偶效果的可行解；4〕依據表8所列狀況決議繼續計算或失掉結論。表8原效果對偶效果結論或繼續計算的步驟可行解可行解效果的最優解或最優基不變可行解非可行解用單純形法繼續迭代求最優解非可行解可行解用對偶單純形法繼續迭代求最優解非可行解非可行解引進人工變量，編制新的單純形表重新計算3．4靈敏度剖析的主要內容3．4．1剖析的變化線性規劃目的函數中變量系數的變化僅僅影響到檢驗數的變化.所以將的變化直接反映到最終單純形表中,只能夠出現如表8中的前兩種狀況.下面舉例說明。例3在例1的美佳公司例子中，〔1〕假定加電Ⅰ的利潤降至1.5元/件，而家電Ⅱ的利潤增至2元/件時，美佳公司最優消費方案有何變化；〔2〕假定加電Ⅰ的利潤不變，那么加電Ⅱ的利潤在什么范圍內變化時，那么該公司的最優消費方案將不發作變化。解〔1〕將家電Ⅰ，Ⅱ的利潤變化直接反映到最終單純形表〔表4〕中得表9。表91.52000基015/2001[5/4]-15/21.57/21001/4-1/223/2010-1/43/20001/8-9/4因變量的檢驗數大于零，故需繼續用單純形法迭代計算得表10。表10基06004/51-61.5210-1/50123011/50000-1/100-3/2即美佳公司隨加電Ⅰ，Ⅱ的利潤變化應調整為消費Ⅰ2件，Ⅱ3件。〔2〕設家電Ⅱ的利潤為〔〕元，反映到最終單純形表中，得表11。表11項目2000基015/20015/4-15/227/21001/4-1/23/2010-1/43/2000為使表11中的解仍為最優解，應有,解得即加電Ⅱ的利潤的變化范圍應滿足3．4．2剖析的變化右端項的變化在實踐效果中反映為可用資源數量的變化。由式看出變化反映到最終單純形表上將惹起列數字的變化，在表8中能夠出現第一或第三的兩種狀況。出現第一種狀況時，效果的最優基不變，變化后的列值為最優解。出現第三種狀況時，用對偶單純形法迭代繼續找出最優解。例421000基035/20015/4-15/2211/21001/4-1/21-1/2010[-1/4]3/2000-1/4-1/2因表12中原效果為非可行解，故用對偶單純形法繼續計算得表13。表1321000基015051002511001020-401-60-100-2由此美佳公司的最優方案改為只消費加電Ⅰ5件?！?〕設調試工序每天可用才干為〔〕小時，因有事先效果的最優基不變，解得。由此調試工序的才干應在4小時～6小時之間。3．4．3添加一個變量的剖析添加一個變量在實踐效果中反映為添加一種新的產品。其剖析步驟為：1〕計算2〕計算3〕假定，原最優解不變，只需將計算失掉的和直接寫入最終單純形表中；假定，那么按單純形法繼續迭代計算找出最優。例5在美佳公司例子中，設該公司又方案推出新型號的家電Ⅲ，消費一件所需設備、及調試工序的時間區分為3小時、4小時、2小時，該產品的預期盈利為3元／件，試剖析該種產品能否值得投產；如投產，對該公司的最優消費方案有何變化。解設該公司消費家電Ⅲ件，有，。將其反映到最終單純形表〔表4〕中得表14。表14210003基015/20015/4-15/2-727/21001/4-1/2013/2010-1/43/2[2]000-1/4-1/21因，故用單純形表繼續迭代計算得表15。表15210003基b051/407/213/8-9/4027/21001/4-1/2033/401/20-1/83/410-1/20-1/8-5/40由表15，美佳公司新的最優消費方案應為每天消費件家電I，件家電Ⅲ。3．4．4剖析參數的變化的變化使線性規劃的約束系數矩陣發作變化。假定變量在最終單純形表中為非基變量，其約束條件中系數的變化剖析步驟可參照本節之三，假定變量在最終單純形表中為基變量，那么的變化將使相應的和發作變化，因此有能夠出現原效果和對偶效果均為非可行解的狀況。出現這種狀況時，需引進人工變量將原效果的解轉化為可行解，再用單純形法求解，下面舉例說明。例6在美佳公司的例子中，假定家電Ⅱ每件需設備，，和調試工時變為8小時、4小時、1小時，該產品的利潤變為3元／件，試重新確定該公司最優消費方案。解先將消費工時變化后的新家電Ⅱ看作是一種新產品，消費量為，仿本節三的步驟直接計算和并反映到最終單純形表中。其中：將其反映到最終單純形表(表4)中得表16。表16213000基015/20011/215/4-15/227/2101/201/4-1/213/201[1/2]0-1/43/2003/20-1/4-1/2因已變換為，故用單純形法將交流出基變量中的，并在下一個表中不再保管，得表17。表1723000基0-90014-24221001/2-233010-1/230001/2-5表17中原效果與對偶效果均為非可行解，故先設法使原效果變為可行解。表17第1行的約束可寫為〔14〕式〔14〕兩端乘以〔-1〕，再加上人工變量得〔15〕將式〔15〕交流表17的第l行得表18。表1823000基900-1-4[24]1221001/2-2033010-1/230000因對偶效果為非可行解，用單純形法計算得表19。表1923000基03/800-1/24-1/611/24211/410-1/121/601/12315/8011/800-1/800-5/24-1/30由表19知，美佳公司的最優消費方案為每天消費件家電Ⅰ，件新家電Ⅱ。3．4．5添加一個約束條件的剖析添加一個約束條件在實踐效果中相當增添一道工序。剖析的方法是先將原效果最優解的變量值代入新增的約束條件，如滿足，說明新增的約束未起到限制造用，原最優解不變。否那么，將新增的約束直接反映到最終單純形表中再進一步剖析。例7仍以美佳公司為例，設家電Ⅰ，Ⅱ經調試后，還需經過一道環境實驗工序。家電Ⅰ每件須環境實驗3小時，家電Ⅱ每件2小時，又環境實驗工序每天消費才干為12小時.試剖析添加該工序后的美佳公司最優消費方案。解先將原效果的最優解,代入環境實驗工序的約束條件。因，故原效果最優解不是本例的最優解。在實驗工序的約束條件中加松弛變量得〔16〕以為基變量，將式(16)反映到最終單純形表(表4)中得表20。表20210000基015/20015/4-15/20①27/21001/4-1/20②13/2010-1/43/20③012320001④000-1/4-1/20上表中、列不是單位向量，故需停止變換，得表21。表21中第①’，②’，③’行同原表第①②③行，表中第④’行由以下初等變換失掉④’=④－3×②－2×③。表21210000基015/20015/4-15/20①’27/21001/4-1/20②’13/2010-1/43/20③’0-3/2000-1/4[-3/2]1④’000-1/4-1/20因表21中對偶效果為可行解，原效果為非可行解，故用對偶單純形法迭代計算得表22表22210000基0150015/20-5241001/30-1/310010-1/201010001/61-2/3000-1/60-1/3由表22知，添加環境實驗工序后，美佳公司的最優消費方案為只消費4件家電Ⅰ。3．5靈敏度剖析的運用1〕投入產出法中靈敏度剖析可以用來研討采取某一項嚴重經濟政策后將會對國民經濟的各個部門發生怎樣的影響。例如，美國政府曾經應用投入產出表研討了提高職工工資10％對國民經濟各部門商品價錢的影響。研討的結果說明，在職工工資添加10％時，修建業產品的價錢將下跌7％，農產品的價錢將下跌1.3％，其他各部門產品價錢將下跌1.3～7％不等,生活費用將上升3.8％，職工的實踐得益為6.2％。2〕方案評價中靈敏度剖析可以用來確定評價條件發作變化時備選方案的價值能否會發作變化或變化多少。例如，在應用評價表停止評價時，需求確定每一個分目的的權重系數和各分目的的評分數。這中間或多或少地會存在當事人的客觀看法，不同的人能夠會有一模一樣的價值觀念。因此就必需思索當分配的權重系數或評分數在某一個范圍內變化時，評價的結果將會發生怎樣的變化。3〕定貨批量的靈敏度剖析在剖析整批距離進貨模型中，經濟訂貨批量可用下式計算：式中為單位時間需求量，為每次訂貨的固定費用，為單位時間內每單位物資的保管費。它們普通都是依據統計資料預算的，與實踐狀況有所出入，需求停止靈敏度剖析。用，，和區分表示實踐的需求量、訂貨量、保管費和調整后的經濟訂貨批量。，,和區分代表需求量、訂貨量、保管費和經濟訂貨批量的相對變化值，即：經過計算后可得代入詳細的數值后便可用上式說明,和對訂貨批量的綜合影響水平。

第四章應用線性規劃樹立企業利潤最大化數學模型企業管理是一種典型的復雜系統，應用模型描畫這類系統是一件十分困難的任務，為此建模和求解進程中對研討對象做出一些簡化是十分必要的，這也各類線性模型遭到注重和普遍運用的緣由之一，雖然經濟系統是十分復雜的，但運用線性模型依然可以描畫和處置少量的實踐效果。本章就企業運營管理中的目的利潤最大化和目的本錢最小化效果數學模型的結構作了引見，并舉出一些相應的例子論述這一效果。4．1企業利潤最大化原那么廠商從事消費或出售商品的目的是為了賺取利潤。假設總收益大于總本錢，就會有剩余，這個剩余就是利潤。值得留意的是，這里講的利潤，不包括正常利潤，正常利潤包括在總本錢中，這里講的利潤是指超額利潤。假設總收益等于總本錢，廠商不虧不賺，只取得正常利潤，假設總收益小于總本錢，廠商便要發作盈余。廠商從事消費或出售商品不只要求獲取利潤，而且要求獲取最大利潤，廠商利潤最大化原那么就是產量的邊沿收益等于邊沿本錢的原那么。邊沿收益是最后添加一單位銷售量所添加的收益，邊沿本錢是最后添加一單位產量所添加的本錢。假設最后添加一單位產量的邊沿收益大于邊沿本錢，就意味著添加產量可以添加總利潤，于是廠商會繼續添加產量，以完成最大利潤目的。假設最后添加一單位產量的邊沿收益小于邊沿本錢，那就意味著添加產量不只不能添加利潤，反而會發作盈余，這時廠商為了完成最大利潤目的，就不會添加產量而會增加產量。只要在邊沿收益等于邊沿本錢時，廠商的總利潤才干到達極大值。所以成為利潤極大化的條件，這一利潤極大化條件適用于一切類型的市場結構。4．2利潤最大化模型4．2．1效果提出：某工廠用甲，乙兩種原料消費A，B，C，D四種產品，每種產品的利潤現有原料數量及每種產品消耗原料的定額如下表：每萬件產品所用原料〔KG〕ABCD現有原料〔KG〕甲3210418乙0020.53每件產品利潤985019問應怎樣組織消費才干使總利潤最大？假設產品A的價錢有動搖問動搖應限制在什么范圍內，才干使原最優解不變？4．2．2效果剖析：這個效果的目的是在滿足條件的狀況下，使得工廠就消費出的產品取得的總利潤最大，所要做的決策是組織消費的方案，即工廠區分要消費多少數量的A，B，C，D四種產品。決策主要遭到2個條件的限制：原料甲的數量、原料乙的數量。4．2．3模型樹立：4．2．3．1決策變量組織消費A、B、C、D四種產品的數量區分記作〔單位萬件〕4．2．3．2目的函數記工廠就消費出的產品取得的總利潤為,產品A、B、C、D每件利潤區分是9元、8元、50元、19元，故。4．2．3．3約束條件消費四種產品所消耗的原料甲不超越現量18KG，即。消費四種產品所消耗的原料乙不超越現量3KG，即。當然還有非負實數約束，為非負實數。綜上可得：為非負實數。這就是該效果的基本模型，由于目的函數和約束條件均為線性且決策變量是延續的非負實數，所以這是一個純線性規劃模型〔LP〕。4．2．4模型求解原效果普通方式轉化為規范形：應用單純形法可得其最優解基對應單純形表如下98501900基19224/3012/3-10/3501-1/2-1/310-1/64/3-4-2/300-13/3-10/3從上表我們得出最優解是消費1萬件產品C，消費2萬件產品D，不消費A，B兩種產品問可得最大總利潤為88萬元。討論：1〕現假定上題的工廠要引進新產品E，消費E產品1萬件要消耗資料甲3KG，資料乙1KG，問E的利潤應為多少時，投入才有利？解：設消費E產品萬件，1萬件產品E的利潤是萬元。那么原效果的數學模型變為：規范化后變為由于是原題規范型的一個最優解，那么是這個新效果的一個可行解。事先，即也就是時，E的投入才有利。.下面討論該變化的最優解。假定，那么失掉對應的單純形表如下：9850190017基19224/3012/3-10/3-4/3501-1/2-1/310-1/64/35/6-4-2/300-13/3-10/32/3上表中，所以不是最優解。運用單純形法停止換基迭代得新基對應的單純形表如下：9850190017基1918/56/54/58/512/5-6/50176/5-3/5-2/56/50-1/58/51-18/5-2/5-4/50-21/5-22/50那么最優解為對應的目的函數值為即當每萬件新產品E的利潤為17萬元時，應消費品18/5萬件產品D，6/5萬件產品E，不消費A，B，C，這時可得最大總利潤萬元，比原最優方案添加利潤4/5萬元。2〕假設原效果中產品的利潤發作改動，即模型目的函數中變量系數變化時，又會給最優解形成怎樣樣的影響。由原題的最優解知：現假定目的函數中有改動，令那么對應的單純形表：8501900基19224/3012/3-10/3501-1/2-1/310-1/64/3-2/300-13/3-10/3假設要原最優解不變，依據最優判別準那么，應有即又于是即事先，原效果的最優解依然是新效果的最優解，最大總利潤仍為88萬元。當每萬件產品A的利潤超越13萬元，即時，那么，原優解已不是最優的，用單純形法停止換基迭代，可得新基對應的單純形表如下表：8501900基112/301/21/3-5/3503/20011/401/200假設使為最優基，應有得即事先最優解變是對應的目的函數值為：即因此，每萬件產品A的價錢在13-15萬之間變化時，原最優消費方案應改動為消費1萬件產品A，消費1.5萬件產品C，這時最大總利潤在88-90萬元之間。3〕我們再來討論原料限制發作改動的狀況，例如：假定有變化時，令。由于得改動與最優判別準那么有關，只影響最優基B，對應的單純形表中能否非負。假設非負，那么B仍為最優基。因此，當變化時，假設原來的所得的基仍為最優基，應有。此時：解方程組那么①時，原來的基仍為最優基，但是最優解和目的函數最優解都是的函數。此時，最優方案為消費萬件D，萬件C，可得最大總利潤萬元②〔或〕時，由對偶單純形法失掉對應單純形表：98501900基19600410283/21-301/2-4-30-20-4-6要使成為新的最優基，應有：，即或時新失掉的基變為最優基：對應的目的函數值為：例如：資料甲的限用量為50KG〔即〕時，資料乙的限用量不變時，就應該消費13萬件產品B，6萬件產品D，這時最大額利潤為218萬元。③事先時，上表中，相似前面剖析。4〕最后假設模型又有新的約束條件出現時，如今假定原題中的這個工廠又添加用電不能超越8KW的限制，而消費A，B，C，D四種產品各一萬件區分需求用電4KW，3KW，5KW，2KW，問能否需求改動原來的最優方案。此時，原效果的數學模型變為：先將原效果的最優解代入用電限制的約束條件。因，故原效果最優解不是如今效果的最優解。規范化后：對應的單純形表：985019000基19224/3012/3-10/30501-1/2-1/310-1/64/30084352001-4-2/300-13/3-10/30經過初等變換后985019000基19224/3012/3-10/30501-1/2-1/310-1/64/300-15/2200-1/201-4-2/300-13/3-10/30由于表中對偶效果為可行解，原效果為非可行解，所以運用對偶單純形方法，以為軸心項停止換基迭代得：985019000基192/316/34010-10/34/3504/3-4/3-11004/3-1/302-5-40010-2-77/3-18000-10/3-26/3即添加新約束條件之后，最優方案消費產品D為萬件，消費產品C為萬件，可得總利潤萬元。4．3本錢最小化模型4．3．1效果提出

結論與展望局限性；1．線性規劃它是以價錢不變和技術不變