2023年四川省遂寧市中考數學真題試卷及答案試卷滿分150分考試時間120分鐘注意事項：1．答題前，考生務必將自己的學校、姓名、準考證號用0.5毫米的黑色墨跡簽字筆填寫在答題卡上，并檢查條形碼粘貼是否正確．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題（本大題共10個小題，每小題4分，共40分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知算式□的值為，則“□”內應填入的運算符號為（）A.＋ B.－ C.× D.÷【答案】A【解析】根據相反數相加為0判斷即可．解：∵，∴“□”內應填入的運算符號為＋，故選：A．【點撥】題目主要考查有理數的加法運算，熟練掌握運算法則是解題關鍵．2.下列運算正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據積的乘方、完全平方公式、合并同類項，同底數冪的乘法，依次進行判斷即可得出結果．解；A.，本選項不符合題意；B.，本選項不符合題意；C.，本選項符合題意；D.，本選項不符合題意；故選：C．【點撥】題目主要考查積的乘方、完全平方公式、合并同類項，同底數冪的乘法，熟練掌握各個運算法則是解題關鍵．3.納米是表示微小距離的單位，1納米毫米，而1毫米相當于我們通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1納米是多么的小．中科院物理所研究員解思深領導的研究組研制出世界上最細的碳納米管——直徑納米．納米相當于毫米，數據用科學記數法可以表示為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為，,n為第一位有效數字前面0的個數．解：故選：D．【點撥】此題主要考查了用科學記數法表示較小的數；一般形式為，，n為整數，確定a與n的值是解題的關鍵．4.生活中一些常見的物體可以抽象成立體圖形，以下立體圖形中三視圖形狀相同的可能是（）A.正方體 B.圓錐 C.圓柱 D.四棱錐【答案】A【解析】根據幾何體的三視圖形狀判定即可．A.正方體的三視圖都是正方形，符合題意；B.圓錐的主視圖是等腰三角形，左視圖是等腰三角形，俯視圖是圓（帶圓心），不符合題意；C.圓柱的主視圖是矩形，左視圖是矩形，俯視圖是圓，不符合題意；D.四棱錐主視圖是三角形，左視圖是三角形，俯視圖是四邊形，不符合題意；故選A．【點撥】本題考查了幾何體的三視圖，熟練掌握三視圖是解題的關鍵．5.《九章算術》是我國古代數學的經典書，書中有一個問題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等；交易其一，金輕十三兩．問金、銀一枚各重幾何？”意思是甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱重兩袋相等．兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計）．問黃金、白銀每枚各重多少兩？設每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，則可列方程組為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根據題意第一個等量關系為9枚黃金和11枚白銀的重量相等列二元一次方程；再根據第二個等量關系為1枚黃金和10枚白銀重量和比8枚黃金和1枚白銀重量和大13列二元一次方程，即可得二元一次方程組.解：設每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，根據題意得，.故選：C.【點撥】本題考查二元一次方程組的實際應用，找出兩個等量關系是列方程組的關鍵.6.在方格圖中，以格點為頂點的三角形叫做格點三角形．在如圖所示的平面直角坐標系中，格點成位似關系，則位似中心的坐標為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據題意確定直線的解析式為：，由位似圖形的性質得出所在直線與BE所在直線x軸的交點坐標即為位似中心，即可求解．解：由圖得：，設直線的解析式為：，將點代入得：，解得：，∴直線的解析式為：，所在直線與BE所在直線x軸的交點坐標即為位似中心，∴當時，，∴位似中心的坐標為，故選：A．【點撥】題目主要考查位似圖形的性質，求一次函數的解析式，理解題意，掌握位似圖形的特點是解題關鍵．7.為增強班級凝聚力，吳老師組織開展了一次主題班會．班會上，他設計了一個如圖的飛鏢靶盤，靶盤由兩個同心圓構成，小圓半徑為，大圓半徑為，每個扇形的圓心角為60度．如果用飛鏢擊中靶盤每一處是等可能的，那么小全同學任意投擲飛鏢1次（擊中邊界或沒有擊中靶盤，則重投1次），投中“免一次作業”的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據扇形面積公式求出免一次作業對應區域的面積，再根據投中“免一次作業”的概率免一次作業對應區域的面積大圓面積進行求解即可解：由題意得，大圓面積為，免一次作業對應區域的面積為，∴投中“免一次作業”的概率是，故選B．【點撥】本題主要考查了幾何概率，扇形面積，正確求出大圓面積和免一次作業對應區域的面積是解題的關鍵．8.若關于x的不等式組的解集為，則a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分別求出各不等式的解集，再根據不等式組的解集是求出a的取值范圍即可．解：解不等式①得：，解不等式②得：，∵關于的不等式組的解集為，∴，故選：D．【點撥】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．9.如圖，在中，，點P為線段上的動點，以每秒1個單位長度的速度從點A向點B移動，到達點B時停止．過點P作于點M、作于點N，連接，線段的長度y與點P的運動時間t（秒）的函數關系如圖所示，則函數圖象最低點E的坐標為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖所示，過點C作于D，連接，先利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，即，進而利用等面積法求出，則可利用勾股定理求出；再證明四邊形是矩形，得到，故當點P與點D重合時，最小，即最小，此時最小值為，，則點E的坐標為．解：如圖所示，過點C作于D，連接，∵在中，，∴，∴是直角三角形，即，∴，∴，∴；∵，∴四邊形矩形，∴，∴當最小時，即最小，∴當點P與點D重合時，最小，即最小，此時最小值為，，∴點E的坐標為，故選C．【點撥】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，矩形的性質與判斷，垂線段最短，坐標與圖形等等，正確作出輔助線是解題的關鍵．10.拋物線的圖象如圖所示，對稱軸為直線．下列說法：①；②；③（t為全體實數）；④若圖象上存在點和點，當時，滿足，則m的取值范圍為．其中正確的個數有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【答案】C【解析】開口方向，對稱軸，與y軸的交點位置判斷①，特殊點判斷②，最值判斷③，對稱性判斷④即可．∵拋物線的開口向下，對稱軸為直線，拋物線與y軸交點位于負半軸，∴，∴，故①正確；由圖象可知，，根據對稱軸，得，∴∴，故②正確；∵拋物線的開口向下，對稱軸為直線，∴拋物線的最大值為，當時，其函數值為，∴，∴，∵，∴，∴，故③錯誤；如圖所示，和點滿足，∴和點關于對稱軸對稱，∴,∵,∴,解得，故④正確；故選C．【點撥】本題考查了二次函數的圖象和性質，熟練掌握二次函數的性質，是解題的關鍵．二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）11.若三角形三個內角的比為1：2：3，則這個三角形按角分類是________三角形．【答案】直角【解析】設一份為，則三個內角的度數分別為，，，然后根據三角形內角和進行求解即可．解：設一份為，則三個內角的度數分別為，，．則，解得．所以，，即，．故這個三角形是直角三角形．故答案是：直角．【點撥】本題主要考查三角形內角和，熟練掌握三角形內角和是解題的關鍵．12.若A.b是一元二次方程的兩個實數根，則代數式的值為_________．【答案】2【解析】根據根與系數的關系得到，由此即可得到答案．解：∵A.b是一元二次方程的兩個實數根，∴，∴，故答案為：2．【點撥】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，對于一元二次方程，若是該方程的兩個實數根，則．13.烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機化合物，在生產生活中可作為燃料、潤滑劑等原料，也可用于動、植物的養護．通常用碳原子的個數命名為甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（當碳原子數目超過個時即用漢文數字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化學式為，乙烷的化學式為，丙烷的化學式為……，其分子結構模型如圖所示，按照此規律，十二烷的化學式為_________．【答案】【解析】根據碳原子的個數，氫原子的個數，找到規律，即可求解．解：甲烷的化學式為，乙烷的化學式為，丙烷的化學式為……，碳原子的個數為序數，氫原子的個數為碳原子個數的2倍多2個，十二烷的化學式為，故答案為：．【點撥】本題考查了規律題，找到規律是解題的關鍵．14.如圖，中，為對角線，分別以點A.B為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M、N，作直線交于點E，交于點F，若，，，則的長為_________．【答案】5【解析】連接，根據基本作圖，得到，利用平行四邊形的性質，得，在中，利用勾股定理計算即可．詳解】解：如圖所示，連接，根據基本作圖，可設，∵，，，∴，，，在中，，由勾股定理得，∴，解得，即，故答案為：5．【點撥】本題考查了平行四邊形的性質，線段垂直平分線的基本作圖，勾股定理，熟練掌握平行四邊形的性質，勾股定理是解題的關鍵．15.如圖，以的邊、為腰分別向外作等腰直角、，連結、、，過點的直線分別交線段、于點、，以下說法：①當時，；②；③若，，，則；④當直線時，點為線段的中點．正確的有_________．(填序號)【答案】①②④【解析】①當時，是等邊三角形，根據等角對等邊，以及三角形的內角和定理即可得出，進而判斷①；證明，根據全等三角形的性質判斷②；作直線于點，過點作于點，過點作于點，證明，，，即可得是的中點，故④正確，證明，可得，在中，，在中，，得出，在中，勾股定理即可求解．解：①當時，是等邊三角形，∴∴∵等腰直角、，∴∴∴；故①正確；②∵等腰直角、，∴，∴∴∴；故②正確；④如圖所示，作直線于點，過點作于點，過點作于點，∵，∴，又，∴又∵，∴同理得，，∴，，，∵，，，∴，∴，即是的中點，故④正確，∴，設，則在中，在中，∴∴解得：∴，∴，∴∴在中，∴,故③錯誤故答案為：①②④．【點撥】本題考查了等腰直角三角形的性質，勾股定理，全等三角形的性質與判定，等腰三角形的性質，等邊三角形的性質與判定，熟練掌握全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．三、解答題（本大題共10個小題，共90分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）16.計算：【答案】【解析】根據特殊角的三角函數值，零指數冪，冪的運算法則計算即可．．【點撥】本題考查了特殊角的三角函數值，零指數冪，冪的運算，熟記三角函數值，零指數冪的運算公式是解題的關鍵．17.先化簡，再求值：，其中．【答案】，【解析】先根據平方差公式，完全平方公式和分式的運算法則對原式進行化簡，然后將代入化簡結果求解即可．解：，當時，原式．【點撥】本題考查了分式的化簡求值，掌握平方差公式，完全平方公式和分式的運算法則是解題關鍵．18.為貫徹落實黨的二十大關于深化全民閱讀活動的重要部署，教育部印發了《全國青少年學生讀書行動實施方案》，于是某中學開展了以“書香潤校園，好書伴成長”為主題的系列讀書活動．學校為了解學生周末的閱讀情況，采用隨機抽樣的方式獲取了若干名學生的周末閱讀時間數據，整理后得到下列不完整的圖表：類別A類B類C類D類閱讀時長t（小時）頻數8mn4請根據圖表中提供的信息，解答下面的問題：（1）此次調查共抽取了_________名學生，_________，_________；（2）扇形統計圖中，B類所對應的扇形的圓心角是_________度；（3）已知在D類的4名學生中有兩名男生和兩名女生，若從中隨機抽取兩人參加閱讀分享活動，請用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好抽到一名男生和一名女生的概率．【答案】（1）40，18，10（2）162（3）【解析】（1）根據A類學生的人數及占比可求得抽取的學生人數，繼而求得m、n的值；（2）用乘B類人數占比即可求解；（3）列表法展示所有12種等可能的結果，找出一名男生和一名女生的結果數，然后根據概率公式求解．【小問1詳解】解：(名)，，，故答案為：40，18，10；【小問2詳解】解：，故答案為：162；【小問3詳解】解：畫樹狀圖為：共有12種等可能的結果，其中一名男生和一名女生的結果數為8，所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率．【點撥】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖展示所有可能的結果求出n，再從中選出符合事件A或B的結果數目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了統計圖．19.如圖，四邊形中，，點O為對角線的中點，過點O的直線l分別與、所在的直線相交于點E.F．（點E不與點D重合）（1）求證：；（2）當直線時，連接、，試判斷四邊形的形狀，并說明理由．【答案】（1）見解析（2）四邊形為菱形；理由見解析【解析】（1）根據證明即可；（2）連接、，根據，得出，根據，證明四邊形為平行四邊形，根據，證明四邊形為菱形即可．【小問1詳解】證明：∵點O為對角線的中點，∴，∵，∴，，在和中，，∴；【小問2詳解】解：四邊形為菱形，理由如下：連接、，如圖所示：根據解析（1）可知，，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，即，∴四邊形為菱形．【點撥】本題主要考查了三角形全等的判定和性質，菱形的判定，平行線的性質，解題的關鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法和菱形的判定方法．20.我們規定：對于任意實數A.B.C.d有，其中等式右邊是通常的乘法和減法運算，如：．（1）求的值；（2）已知關于x的方程有兩個實數根，求m的取值范圍．【答案】（1）10；（2）且．【解析】（1）根據新定義計算即可求解；（2）根據新定義得到一元二次方程，利用根的判別式列式計算即可求解．【小問1詳解】解：∵，∴；【小問2詳解】解：∵，∴，整理得，∵關于x的方程有兩個實數根，∴，且，解得且．【點撥】本題考查了新定義運算，根的判別式，牢記“當時，方程有兩個實數根”是解題的關鍵．21.端午節是我國入選世界非物質文化遺產的傳統節日，端午節吃粽子是中華民族的傳統習俗．某超市為了滿足人們的需求，計劃在端午節前購進甲、乙兩種粽子進行銷售，經了解．每個乙種粽子的進價比每個甲種粽子的進價多2元，用1000元購進甲種粽子的個數與用1200元購進乙種粽子的個數相同．（1）甲、乙兩種粽子每個的進價分別是多少元？（2）該超市計劃購進這兩種粽子共200個（兩種都有），其中甲種粽子的個數不低于乙種粽子個數的2倍，若甲、乙兩種粽子的售價分別為12元/個、15元/個，設購進甲種粽子m個，兩種粽子全部售完時獲得的利潤為w元．①求w與m的函數關系式，并求出m的取值范圍；②超市應如何進貨才能獲得最大利潤，最大利潤是多少元？【答案】（1）甲粽子每個的進價為10元，則乙粽子每個的進價為12元；（2）①w與m的函數關系式為；②購進甲粽子134個，乙粽子66個才能獲得最大利潤，最大利潤為466元．【解析】（1）設甲粽子每個的進價為x元，則乙粽子每個的進價為元，根據“用1000元購進甲種粽子的個數與用1200元購進乙種粽子的個數相同”列出分式方程，解方程即可；（2）①設購進甲粽子m個，則乙粽子個，，由題意得，再由甲種粽子的個數不低于乙種粽子個數的2倍，得；②由一次函數的性質即可得出結論．【小問1詳解】解：設甲粽子每個的進價為x元，則乙粽子每個的進價為元，由題意得：，解得：，經檢驗：是原方程的解，且符合題意，則，答：甲粽子每個的進價為10元，則乙粽子每個的進價為12元；【小問2詳解】解：①設購進甲粽子m個，則乙粽子個，利潤為w元，由題意得：，∵甲種粽子的個數不低于乙種粽子個數的2倍，∴，解得：，∴w與m的函數關系式為；②∵，則w隨m的增大而減小，，即m的最小整數為134，∴當時，w最大，最大值，則，答：購進甲粽子134個，乙粽子66個才能獲得最大利潤，最大利潤為466元．【點撥】本題考查了分式方程的應用，一元一次不等式的應用以及一次函數的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）找出數量關系，正確列出一元一次不等式．22.某實踐探究小組想測得湖邊兩處的距離，數據勘測組通過勘測，得到了如下記錄表：實踐探究活動記錄表活動內容測量湖邊A.B兩處的距離成員組長：×××組員：××××××××××××測量工具測角儀，皮尺等測量示意圖說明：因為湖邊A.B兩處的距離無法直接測量，數據勘測組在湖邊找了一處位置C．可測量C處到A.B兩處的距離．通過測角儀可測得的度數．測量數據角的度數邊的長度米米數據處理組得到上面數據以后做了認真分析．他們發現不需要勘測組的全部數據就可以計算出A.B之間的距離．于是數據處理組寫出了以下過程，請補全內容．已知：如圖，中，．_________．（從記錄表中再選一個條件填入橫線）求：線段的長．（為減小結果的誤差，若有需要，取，取，取進行計算，最后結果保留整數．）【答案】米，線段的約長為77米；米，線段的約長為77米【解析】填入數據米．作于點D，在和中，解直角三角形即可求解．（1）當填入米時：已知：如圖，在中，．米．（從記錄表中再選一個條件填入橫線）求：線段的長．解：作于點D，在中，，，∴，，在中，，，∴，∴，∴(米)，答：線段的約長為77米．（2）當填入米時：已知：如圖，在中，．米．（從記錄表中再選一個條件填入橫線）求：線段的長．解：作于點D，在中，，，∴，∴，在中，，，∴，∴(米)，答：線段的約長為77米．【點撥】本題考查了解直角三角形的應用-其他問題，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．23.如圖，一次函數的圖像與反比例函數的圖像交于，兩點．（，，為常數）（1）求一次函數和反比例函數的解析式；（2）根據圖像直接寫出不等式的解集；（3）為軸上一點，若的面積為，求點的坐標．【答案】（1）；（2）（3）【解析】（1）利用待定系數法即可求出函數解析式；（2）根據圖像位置關系即可得解；（3）設，根據關系列方程，然后解方程即可得解．【小問1詳解】解：將點代入得，∴，∴反比例函數的解析式為；將點代入得，∴，將點、分別代入得，解得，∴一次函數的解析式為；【小問2詳解】根據圖像可知，當時，直線在反比例函數圖像的上方，滿足，∴不等式的解集為；【小問3詳解】如圖過點作軸平行線與交于點，分別過點，作直線垂線，垂足分別為點、，設，則，∴，則，∵的面積為，∴，∴，即點的坐標為．【點撥】本題考查反比例函數與一次函數綜合、待定系數法求解析式、利用圖像解不等式等知識，掌握反比例函數與一次函數圖像與性質是解題關鍵．24.如圖，四邊形內接于，為的直徑，，過點的直線l交的延長線于點，交的延長線于點，且．（1）求證：是的切線；（2）求證：；（3）當，時，求的長．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）6【解析】（1）連接，，根據圓心角，弦，弧的關系可得，根據直徑所對的圓周角是90度可得，半徑相等可得，根據等腰的判定可得是等腰三角形，根據等腰三角形三線合一的性質可得垂直平分，根據平行線的判定和性質可得，即可證明；（2）連接，根據同弧所對的圓周角相等可得，根據平行線的性質可得，，推得，根據相似三角形的判定和性質可得，即可求證；（3）令與交于點，根據正弦的定義可求得，，根據勾股定理可求得，，根據矩形的判定和性質可得,，根據相似三角形的判定和性質可求得,即可求得．【小問1