微

微點特訓?數學（新）

壁立千仞，無欲則剛。

26.空間點、線、面的位置關系

完成日期：月日

［考點對點練］一保分必拿7.（多選）如圖是正方體的平面展開圖.則在這個正方體

中.卜一列命題正確的是)

［考點一］平面的基本性質及應用

1.茬三版建ABC-AiB?市,E,F分別為棱AA|.CC

的中點,則在空間中與直線A|BI.EF.BC都相交的

直線（）

A.不存在B.有且只有兩條

C.有且只有三條D.有無數條

2.（多選題）如圖所示，在正方體D,c

ABCD-AiBiC^Di中，O為

DB的中點，直線A】C交平面

C.CE=MED.AM與DF是異面直線

C}BD于點M.則下列結論正

確的是（）8.如圖.正方體ABCD-A}BiC}D}中.M,N分別為棱

A.CI,M,O三點共線QD,,QC的中點，有以下四個結論：

①直線AM與CC）是相交直線；P.Mc.

B.g,M,O,C四點共面②直線AM與BN是平行宜線；/Y\

C.G，O,A,M四點共面③直線BN與MB?是異面直線；/'才

D.D-D,O,M四點共面④直線AM與DO1是異面直線.產……ZJc

3.如圖所示，在四面體ABCD中作

其中正確的結論為（把你A--------B

截面PQR，若PQ與CB的延長

認為正確的結論的序號都填上）.

線交于點M.RQ與DB的延長

9.在正方體ABCD-A|BCD|中.點EC平面

線交于點N.RP與DC的延長

點F是線段AAi的中點，若D|E_LCF,則

線交于點K.給出以下命題：

當的面積取得最小值時，△甌=

①直線MNU平面PQR；②點KZXEBC°S

3四邊形ABCD

在直線MN上；③M,N,K*A四點共面.

其中正確結論的序號為.［考點三］異面直線所成的角

4.空間任意4點，沒有任何3點共線,它們最多可以確定10.宣磁I寫乖畝a而威而鬲息45。,若直線I在a內的射

個平面，空間5點，其中有4點共面，它們沒影與a內的直線,"所成的角是45°.則/與,"所成的

有任何3點共線，這5個點最多可以確定——個角是（）

平面.A.30°B.45°C.60°D.90°

［考點二］空間兩直線位置關系的判斷11.（多選題）如圖是正方體的平面展開圖，在這個正方

5：以禾四L通;…體中.錯誤的命題是（）

①三個平面最多可以把空間分成八部分；

②若直線aU平面a,直線6U平面由則"a與"相交”

與“a與f相交”等價；

③若&（"）/?=/.直線aU平面a,直線〃U平面仇且afU

=p.則pe/；

④若"條直線中任意兩條共面.則它們共面.其中正A.AB與CF成60°角B.BD與EF成60°角

確的是（）C.AB與CD成60°D.AB與EF成60°角

A.①②B.②③C.③④D,①③12.在長方體A8C￡>A］B|GD|中，二面角D-AB-D1的

6.已知a./?為不同的平面，a,〃,c為不同的直線.則下列大小為60°,DC|與平面ABCD所成角的大小為30°,

說法正確的是（）那么異面直線AD|與DC,所成角的余弦值是

A.若aUa./XZ仇則a與b是異面直線

B.若a與〃是異面直線，〃與,是異面直線.則a與c72?73,,72?73

?彳民彳。?至"至

也是異面直線A

C.若aJ）不同在平面a內，則a與。是異面直線13.正三棱柱ABGAi&G,AB=2.AA}=2為棱

D.若a.b不同在任何一■個平面a內.則a與b是異面AiB,的中點.則異面直線AD與CB?成角的大小為

直線

62

微點特訓?數學（新）

［素養提升練］一高分必搶二、多項選擇題［答題欄］

9.如圖ABCD-ABCD為正方體，下列說法中正確

一、單項選擇題l1ll

1.若aS是異面直線,則下列命題中的假命題為（）的是）點練

A.過直線a可以作一個平面并且只可以作一個平面a

與直線f平行1

B.過直線"至多可以作一個平面a與直線4垂直

C.唯一存在一個平面a與直線a、6等距2

D.可能存在平面a與直線aJ）都垂直

2.如圖，正方體ABCD-Q.r5

AiBiGDi中，若E.F,G分別/—-o2ZI'

為棱BC,CG,BiG的中點，^.6—i----------A.三棱錐b6

。1，（%分別是四邊形.:B.31C與AD1互為異面直線且所成的角為45°

ADDiA,AiBiCi"的中心，0'iC.ADi與AB互為異面直線且所成的角為60°1..

C

則下列說法不正確的是（）/D..WD.AA］與B［D［互為異面直線且所成的角為90°

A.A,C,O］，D|四點共面--------憶金10.如圖所示,在棱長為1的正方體ABCD-A|B】GD|-1°

B.D.E,G,F四點共面中.過對角線BQ的一個平面交棱AAi于點E.交“

C.A.E.F,D,四點共面棱CG于點F,得四邊形BFD］E.在以下結論中，正

D.G.E.O,,02四點共面

3.用一個平面截定方體，所得的截面可能是（）

A.銳角三角形

B.直角梯形

C.有一個內角為75°的菱形

D.正五邊形

4.,〃.",才是三條不同的直線，a.f是兩個不同的平面，則

下列判斷正確的是（）

A.若則

B.若，"〃a,，?Ua.則m//nA.四邊形3FD|E有可能是梯形

C.若兩兩相交.且交于同一點.則"八，，./共面B.四邊形BFD|E在底面ABCD內的投影一定是正4

D.若”，則a〃p方形

5.如圖，正三角形ABC為圓錐的軸截C.四邊形BFD］E有可能垂直于平面5

面,D為AB的中點.E為弧BC的

四邊形E面積的最小值為骼6

中點.則直線DE與AC所成角的D.BFD,

余弦值為（）

三、填空題7

A.B.911.如圖，在四面體ABCD中,AB=CD.M、N、P、Q分工......

別是、、、的中點，則MN和所成角

,,72BCADACBDPQ8

C-T為，若A13與CD所成角為30°,則MN和~

6.在長方體中ABCIAAiBiGDi,AB=3.AD=2,CD所成角為.9

AAj=l.M為線段AD（不含端點）上的動點，過5、

M、。的平面截長方體ABCD-AiBiGD所得截面

記為Q.設Q在該長方體的六個面上的正投影的面積

之和為S,則S可能的值為（）

A.9B.10C.12D.18

7.如圖.平面四邊形ABCD中.

E.F是AD.BD中點，AB=

AD=CD=2,BD=2

/BDC=90°.將AABD沿對12.如圖.已知平面四邊形AB-

角線BD折起至△A'BD.使平面A'BD_L平面BCD.則CD,AB=J3C=3,CD=1,AD

四面體A'BCD中，下列結論不正確的是（）

=展,ZADC=90°.沿直線

A.EF〃平面A'BC

AC將/XACD翻折成C

B.異面直線CD與A'B所成的角為90°

△直線與所

C.異面直線EF與A'C所成的角為60°ACD',ACBD'

D.直線A'C與平面BCD所成的角為30°成角的余弦值的最大值是

8.如圖，已知圓錐CO的軸截面是正三人

角形,AB是底面圓O的直徑，點D在［真題體驗練］一實戰搶分

?上，且ZAOD=2ZBOD.則異面

（2021?全國乙卷，5）在正方體ABCD-AiBiCtDi

直線AD與BC所成角的余弦值為/一廠—

中，P為小D|的中點，則直線PB與AD|所成的角

為（）

A岑

BCDA—B—C—F）—

-1-T-f2346

?63

微點特訓?數學(新)

11.16K1如畝.由題靠存,XSAC微點特訓26空間點、線、面的核置關系

與ASBC為全等的等■腰直角三

考點對點練——保分必拿

角形，故SC的中點O為三棱錐1.D［如圖,在EF上任意取

S-ABC外接球的球心.設QS=一點M,直線A,B,與M確

OB=OA=(X：=R.久SC±OB,定一個平面，這個平面與

SC±OA,OAnOB=O.OA,OB3c有且僅有1個交點N,

<Z平面AOB.故SCJ.平面當M的位置不同時.確定不

AOB,設等■腰三角形AOB底邊同的平面，從而與BC有不

同的交點N,而直線MN與

AB上的高為八，則h=-J衣一1,所以=VSA()B+

A}B},EF,BC分別有交點

，R一■2R

V(,,W)B=y?SAW?SC=yXyX2?P、M、N,故有無數條直線與直線4與、EF、BC都

相交.［

=《?畬，解得R=2,故三棱錐S-ABC外接球的表面

2.ABC［在題圖中，連接A|C「

積為47r?=16x.］AC.則八CD3D=O,又A,Cn

平面GBO=M.所以三點C,,

12.257r［設直角三角形的兩邊分別為a,〃.則a+4M.O在平面C］BD與平面

的交線上，即，O

=3,以長度為力的直角邊為軸旋轉形成的旋轉體的體ACC,A1GM.

三點共線，所以A.B,C均正確，

積為V=yKtz26=yKa2(3-a)(0<a<3),^D不正確.故選ABC.］

3.①②③［由PQHCB=M.RQ

力=3~冗(6。一31)，令/=0,解得a=0或a=2,

C\DB=N.RPr\DC=K得MG平面PQR.MG平面

平面PQR.NG平面平面PQR.K

所以當0VaV2時，V'>0；當2VaV3時，WVO,所以BCD,NGBCD.KG

6平面BCD,從而直線MNU平面PQK,故①正確.因為

當a=2時,體積最大.最大值為T■式,此時圓錐的底面

點M.N.K既在平面PQR上,又在平面I3CD上.因此

點M.N.K在兩個平面的交線上,故②正確.設點M,N,

半徑為2.高為1,設外接球的半徑為K,則R2=(R~

K在直線/上.因為八莊/,則M,N,K,八四點共面.故③

1尸+22,所以外接球的半徑為其表面積為25K.］正確

4.45［可以想象三棱錐的4個頂點,它們總共確定4個

［真題體驗練」一實戰搶分

平面.可以想象四棱錐的5個頂點.它們總共確定5個平

1.B［根據底面周長等于側面展開圖弧長.設母愛為/.底

1on0面.］

面半徑為廣，則有2b=揣?2以?化簡得/=2r=2戲'，答案5.D［對于①，正確；對于②，逆推“a與B相交”推不出“a

360

與b相交“，也可能a〃心對于③，正確；對于④，反例：正

選

B.1方體的側枝任意兩條都共面,但這4條側棱并不共面，故

2.C［考查信息問題.考查衛星信號覆蓋的問題.計算過④錯.所以正確的是①③.］

程結合簡單的三角函數和球的表面積公式.屬于中檔6.D［對于A：若aUa,6U0,則a,小可平行，可異而，可相

?_6400_8S_1—cosa_45交.故錯誤；對于：若與〃是異面直線，〃與c是異

題.c°s0=6400+3600()=其，訴=~T~=106ABa

面直線，則a與c可平行，可異面?可相交.故B錯誤；對

―42%；于C：若a?〃不同在平面a內，則a與〃可平行?可異面.

3.D［考查棱臺體積的計算.如圖.高可相交.故C錯誤；對于D：根據異面直線的定義可知D

h=4*一①S=",.?"=!(S上是正確的?故選D.1

7.ABC［還原正方體，畫出正方體

的直觀圖.如圖FENM-AI3-

+/S上Sf+S)/=yXV2

T(CD.由圖可知，AM與DF是相交

(42+4X2+22)=~^.］直線.D錯誤；設正方體的棱長為

.?則CE=ME=&?,C正確；由

4.A［記△ABC的外接圓圓心為(入,由AC_L8C.AC=正方體的性質可得A3與MN平

p>行且相等，所以ABNM是平行

BC=1,知01為AB的中點，且"=怎。。=與，又球

四邊形，可得AM〃3N,A正確；由正方體的性質可得

的半徑為1,所以OA=OB=OC=1,所以OA2+OB2=BC與MF平行且相等，所以BCMF是平行四邊形，可得

CM〃3F,在正方形CDMN中，CVLLDN,所以BF±DN,

AB2g=y,于是OOJ+JC2=OC?,所以有QQi_j_

B正確，故選ABC.］

8.③④［直線AM與Cg是異面直線，直線AM與BN

O|C,a)1_LA從進而OO］_L平面ABC,所以匕…坎.=4

也是異面直線，故①②錯誤.］

S&ABC.OO1=y?y?1?1?孝=落故選A.39.［如圖所示.連接鄉口,取A3的中點G,連接QG.

5.39兀［設圓錐的高為〃，母線長為/.則B.G,由題意得CF_L平面場QG,所以當點E在直線

V=-1-SA=-穴產?/i=12穴h=30n=>h=5，BQ上時，RE_LCF,設BC=a,則S^BC=yEB?BC

所以/亍后尸=/田』傳)：T'

=yZ:B?a,當△EBC的面積取最小值時.線段EB的

長度為點3到直線的距離，所以線段EB長度的最

1Q

所以Sw=7tr/=6Xy7T=39幾，

小值為冬.所以S—=一乎_=吟.［

故答案為39兀1

v5b四邊形Cl1U

?152?

微點特訓?數學（新）

CB,>=-、=萼，且（AD,CBi>€［0,K］.A<AD,

3X2有2

國）=看....異面直線AD與CB,成角的大小為亭］

素養提升練——高分必搶

1.D［在A中.由于&、〃是異面直線.把直線。平移與直

線a相交，可確定一個平面.這個平面與直線〃平行，A

選項正確；在B中.若過直線a能作平面a、f使得A_La、

0_L￡,則a〃d這與aCB=a矛盾.所以，過直線。最多只

［如圖?在平面內，

10.Ca/Da能作一個平面a與直線〃垂直，由aUa,可得〃_La,當直

=A,過/上一點B作BC±

線a與。不垂直時，過直線a不能作平面與直線。垂直，

a.垂足為C,則直線AC即為

B選項正確；

/在a內的射影/',N3AC=

在C中.由于a、〃是異面直線，則兩直線的公垂線段只

45°.設AC=1?則BC=1MB

有一條，過該公垂線段的中點作平面a與該公垂線垂直，

=7?■，過C作CDJ_〃??由題可這樣的平面a有且只有一個,且這個平面a與直線a、〃

知則AD=CD

NCAD=45°,等距，C選項正確；

=券,在RtABCD中?_8。=在I）中,若存在平面a與直線a、〃都垂直,由直線與平面

垂直的性質定理可得a〃〃，D錯誤.］

/夙'+5=容v/BAD是/與/〃所成的角，在2.B［對于A,由。是四邊形ADD}Ai的中心，知（\是

AQ］的中點，所以在平面ACQ1內，所以A,C,a,

AB2-\-AD--BD2Dj四點共面,故A正確；對于B,由E,F,G分別為棱

△BAD中cosNBAD=1

2ABXAD~2BC.CQ,B,C,的中點，知E,F,G在平面BCG5內，D

AZBAD=60°.故選C.1不在平面BCGB內?所以D,E,G,F四點不共面.故B

11.ABD［由正方體的平面展開錯誤；對于C,由已知可知EF〃AD］，所以A,E,F,D1四

圖,還原成如圖所示的正方體，點共面.故C正確；對于D.連接GQ并延長，交4n于

由CF_L平面ABC,AI3U平面H,則H為的中點.連接，則？a〃GE,所以

ABC,所以CF_LA3,所以ABG,E,（）「（）2四點共面.故D正確；故選B］

與CF成90°的，故A錯誤；由

BD±平而A1EDF.EFU平面

AiEDF,所以3D與EF成90°

角.故B錯誤；又AE〃（:D,所以

N3AE是A3與CD所成角.又

△ABE是等邊三角形.則/3AE=60°,所以AB與CD

成60°角.故C正確；因為A3〃A|D,又A|D_LEF?所

以A8與EF成90°角.故D錯誤.故選ABD.］

12.B［連接A/小，由AB}//DC,

可得NB/Di為異面直線A2

3.A［用一個平面裁正方體，只截正方體三個面，得銳角

與所成角.如圖，由二面角

DC,三角形，截四個面得四邊形，四邊形可以是矩形.正方

D-AB-D,的大小為60°,可知

形,可以是菱形，如圖中A3CD,但內角不是75°,圖中菱

NDiAD=60°,???痣AD=AA］，形銳角內角的余弦值為:,可以是梯形?如圖中AEFG.

又Dg與平面ABCD所成角

的大小為30°.ADC,=2CC,=但不可能是直角梯形，截六個面得六邊形,如果過一個

2AA,,DC=V3CC1=后4］,連頂點截面可為五邊形（也可不過頂點）?但不會是正五邊

接AB,出D,,設AD=^AA1=ya.則AB=VIa,形.故選A.］

...ADi=^a,AB|=2a,B]D1=竽.在4八810中，

J2I4242

4a±—a---a反

由余弦定理可得，cosNB/Di=---------------=4，

2底4

ZXZaX—a

.,.異面直線AQ與DC,所成角的余弦值是號

4.D［對于選項A,若成立還需要添加條件〃Ua,故A不

13.y[如圖.俞二有+1方二正確；對于選項B,由m〃a,〃Ua,還可能得到in.ii是異

面直線，故B不正確；對于選項C,可舉反例.如三棱錐同

-?---1------??1—?一頂點出發的三條棱，故C不正確；對于選項D,???w_La.

AA~rAiBi=AAi+丁AB,

}"i〃〃，???〃_La,又〃_LS，??.a〃氏故D正確.故選D.1

---AA--?---A-AB

15.C［如圖所示?取BC中點0.60中點F,連接OD.OE,

CB,=CA+AB+BBX=AA1-

公+族.且Ab=AC=3C=2?FE,DF.則（）D〃AC,所以NODE就是直線。E與AC

所成角，設AB=4,則OD=2,OF=1,OE=2,可得DF

AA!=242,側棱和底面垂直.

=VOD2-OF2=V3,EF=4）爐+OF=展、則DE=

：.AD?C3=(A4+冷人3)?

VDF2+EF2=2^2,因為E為弧BC的中點，可得OE

進而可得平面八因為平面ABC.

(AA)-AC+AB)=-y”_LBC,OE_LBCODU

所以（）E_LOD.在直角^ODE中，可得cos/ODE=^

————>?1—?111

AB?AC+yAB2=8-yX2X2Xy+yX4=9,

=春，即直線DE與AC所成角的余弦值為孝，故選C.］

AD=78TT=3,CBi=ym=2痣，，cos<AD,

?153?

微點特訓?數學(新)

角范圍為(0.冷卜，異面直線AD與BC所成角的余

弦值為§.]

9.ACD[對于A,因為三棱錐當一ACQ的各條枝都是

正方體表面正方形的對角線,即各條核相等.故三棱錐

B,-ACD｝為正四面體,故A正確；對于B,連接3(；,可

知在正方體中，四邊形AbC'Di是平行四邊形，所以

//AD且)因為故異面直線

6.C[由面面平行的性質可知.過B、M、0的平面截長方BC,｝BC1AD.BC,J_8(,

體ABCD-AiB,GD,所得截面即為平面M8ND].則3C與AD1所成角為90°?故B錯誤；

設AM=-①6(0,2),平面

MBND｝在平面DC；的正投影面積為3X1=3,同理在

面AS】的正投影面積為3XI=3,平面M3NR在平面

AC的正投影面積為3X(2—1),同理在面A,C