南京師范大學附屬中學2022-2023學年度第一學期高三期中考試

數學試題

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.設全集為R,集合/={x|N—2》一3>0},集合8=W[y=lg(x2+l),xGR},則(CRJ)CB

A.{x|x>3或xV-l}B.{x|0WxW3}C.{x|0WxWl}D.{x|-3〈xWl}

【答案】B

【解析】J=(-oo,-l)kj(3,-K?)=>CR/f=[-1,3],5=[0,+?>),所以Cj!c8=[0,3]

2.已知z=9(i是虛數單位)的共鈍復數為3,則5的虛部為

1—i

A.3B.-3C.1D.-1

【答案】B

4+2/-

【解析】二二-^=(2+i)(l+j)=l+3in二=1一3，

e國

3.函數人x)=^的圖象大致為

4.已知數列｛斯｝是各項均為正數的等比數列，S”是它的前〃項和，若〃2〃3=64,且〃5+2〃6

=8,則$6=

A.128B.127C.126D.125

【笞案】C

【解析［a洶=64n4=8,%+24=叼+16/=8ng=丄，所以q===26,即126

2qi_l

2

5.給出下列命題：

①垂直于同一直線的兩條直線相互平行；

1

②如果兩條平行直線中的一條垂直于直線m,那么另一條直線也與直線m垂直;

③如果一個平面內的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面互相平行；

④如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直.

以上命題中真命題的序號是

A.①②B.③④C.①③D.②④

【答案】D

【解析】三條直線兩兩垂直則為①反例，由空間中兩直線夾角的定義可知②對，故有②制

6.己知拋物線V=4x的焦點為尸，直線/過點尸且與拋物線交于4,8兩點，過點4作拋

物線準線的垂線，垂足為M,NM4尸的角平分線與拋物線的準線交于點P,線段45的中點

為0.若|/網=16,則|PQ=

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【解析】設L：「=A(x-l),則

y1=4.r''k-

所以網=|明+|幽=2+x,+x8=2+三尹=16,解得爐J,即0(7,±2碼

A3

由對稱性，僅研究A=手時，此時NA/M=?即2

所以函=卩硒哈=(l+x,)??工=(8+4⑸.(2_m=4,即力,=26

所以戶(-1,2舊)、2億2萬)，即歸0|=8

7.如圖，在正三棱臺NBC—481cl中，AB=204叢=6,44|=43，則正三棱臺/8C

一小當。的外接球體積為

A.—B.當iC.64D.64兀

33

【答案】B

2

【解析】設三棱臺外接球球心為0,半徑為r,O到面ABC距離為h

易得棱臺的高為26+2,則有，,廠、2,解得/?=%即外接球體積為，戸=筌

〃=12+(26+2叫33

8.己知正實數x,y滿足x+丄+4?+丄=10,則x+4y的最大值為

xy

A.-B.1C.2D.9

9

【答案】D

【解析】l+丄+4歹+丄=10=>10-(^+4^)=—+—

xyxy

(丄+丄)n(K+4J，)[10-(x+4)，)]=5+比馬9

=>(x+4y)[10_(x+4y)]=(,r+4y)

=(x+4y)--10(r+4y)+940=(x+4>)?9.當且僅當x=2y時取等

二、多項選擇題：本題共4小題，每小顆5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項

符合題目要求，請把答案填涂在答題卡相應位置上.全部選對的得5分，有選錯的得0分，

部分選對的得2分.

9.設a,b,。都是實數，下列說法正確的是

A.是的充要條件

B.\na>\nb是a2>b2的充分不必要條件

C.厶"。中，角力，B,。對應邊分別為〃，b,c,則siM>sin5是。>6的充要條件

D.tanO=亜是sin26=重的必要不充分條件

32

【答案】BC

【解析】A.c=0時不成立，故錯

B.\na>lnb=>a>b>01序>必=冋>網，故對

C在三角形中4+8<〃，故對

=>6=弓+而(ZeZ),故sin26=sin|0+2l〃

D.tan。==Y>所以充分性得證，故錯

3

10.已知Hx)是定義在R上的奇函數，滿足大X)=一/(x+2),當OWxWl時，貝x)=x2,則下

列結論正確的有

A.函數兀0的圖象關于直線x=l對稱B.函數人x)是周期函數

C.函數/(x)在［2020,2022］上單調遞增D.函數/(x)有最小值一1

【答案】ABD

3

爲二腎"、+2)=/冋=小力/(1)，故對

【解析】A.

B./(x)=-/(x+2)n/(x+4)=/(x)n7=4,故對

C由已知可知/(x)在［0,2］不單調，則又由周期性可知錯

。由題意可知/(x)1111n=/(-1)=一/(1)=-1,故對

11.已知川,尸2分別為橢圓C：￡+產=1的左、右焦，不過原點。且斜率為1的直線/與

橢圓C交于P,0兩點，則下列結論正確的有

A.橢圓C的離心率為羋B.橢圓C的長軸長為2

C.若點M是線段PQ的中點，則的斜率為一：D.△OP。的面積的最大值為學

【答案】ACD

1

2

【解析】A.a2=2,b2=1c=1=>e=—=—F==——,故對

aV22

B.a=^2=>2a=2>/2,故錯

S.W9=；|〃小辰一"|=*嚇J啜-^±=冬Jj(3_〃j)

當m-=g時，取最大值孝,故對

12.已知函數./(x)=lnx—a/,則下列結論正確的有

A.當丄時，y=/(x)有2個零點

2e

B.當a>丄時，/(x)W0恒成立

2e

c.當。=；時，1=1是y=/a)的極值點

D.若Xi,X2是關于X的方程大力=0的2不等實數根，則xm>e

4

【答案】BC

【解析】/(x)=On豐=a,易知g(x)=豐在(0,月增，在(&+oo)減,如圖，故/錯，8對,

—,故對

XXX

D/(x)=0n厶(x)=]^-a=O,即不妨設0cxi＜厶＜x?

In—

<e,則為<￡,則厶($)<〃—,則厶—I,貝|］見，■<./飛,

x2IW丿I占丿者、三(金］

貝|jInx2-422＜0

x-＞+e

設f=x：＞/,則孚--二＜0,

-4/+r

設両(/)=*一方，則〃/(/)=(一

-^＞0,即，〃(/)在(/,+8)上單調遞增,

/+e2)

又"?/)=0,所以〃，(，)>0,故其±>6,即xj2<e錯

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.請把答案填寫在答題卡相應位置上.

13.已知向量。=(2,3),6=(—1,2),c=ka+h,則E=.

4

【答案】一一

13

【解析】c=ka+b=(2k-\,3k+2),alc=>a-c=O=>2(2A-l)+3(3A+2)=O=>A=--^-

14.已知函數y=/U)的定義域為R,當x>0時，段)=2'—1,且函數y=/(x+l)關于點7(一

1,0)對稱，則滿足人2》-3)+人『)?0的取值范圍是.

【苕案】［-3』

【解折】y=/(x+l)關于T(-l,0)對稱，則/(x)為奇函數，且由題意可得/0)單調遞増，

聽以/(2x-3)+/(.P)40=/(Y)4/(3-2x)=x243-2xn-34x41

5

15.對如下編號為1,2,3,4的格子涂色，有紅，黃，藍，綠四種顏色可供選擇，要求相

鄰格子不同色，則在1號格子涂紅色的條件下，4號格子也涂紅色的概率是.

4

1_]

【答案】-

3

（解析】設I號涂紅色事件為A,4號涂紅色事件為B,則尸伊|/1）=-^―7=1

16.已知尸2分別為雙曲線C：三一片=l（a>0,Q0）的左，右焦點，過點尸2且斜率為

CTD1

1的直線/與雙曲線C的右支交于P,0兩點，若△KP。是等腰三角形，則雙曲線C的離

心率為.

［答案］-&+疝

2

【解析】設PF?=m,QF2=%由雙曲線定義可得/V；=2〃+也。6〃

jrir

①尸石=P。時，m+2a=m+n,即2a=”,因為直線斜率為I,所以傾斜角為了，即2。月"=7,

44

在三角形QEE中，由余弦定理可得（『=（08/+（6片）2-2°鳥?E8?cosNQ片片

即/+"-3=0,解得e=絲巫，此時直線于雙曲線的兩支相交，舍；

-V2+Vl4

②。￡=P。時，同理可得e=*22二,此時滿足題意；

③QK=P"時，由對稱可得不存在，舍.

四、解答題：本題共6小題，共70分.請在答題卡指定區域內作答，解答應寫出必要的文

字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分10分）

已知等差數列｛“”｝與正項等比數列出“｝,滿足m=bi=3,63-田=12,s+岳=14.

（1）求數列｛。“｝和仍“｝的通項公式；

（2）在①c.=」一；@cn=anb?；③厶=圓吐工這三個條件中任選一個補充在下面的問題中，

aA+i（冊%+1）-

并完成求解.

若,求數列｛為｝的前〃項和.（注：若多選，以選①評分）

6

%=A=3

‘3/-3-6d=12。=2ul”一一“

【倂析】(1)由已知得bj-a?=12=<={3所以4=2〃+1也=3;

3+d+3g=14[q=3

a2+b2=14

⑵選①’則有*￡=(2〃+応“+3)出木羨

Ifl11112〃+3)=5(5-2〃+3)=6〃+9

蛔nn+-5旨+袞/.?+,一

18.(本小題滿分12分)

點。為△Z8C邊48上一點，滿足力0=2,DB=8,記4BC=a,NBAC=p.

(I)當CD丄48,且夕=2a時，求CO的值；

⑵若a+片:,求△“CO的面積的最大值.

CDCD

tana=---tana=---

BDn8

【答案】(1)由已知得

、CDcCD

tan2a=---tanla=---

AD2

20

——丄.2tanaC。

又因為tan2a=----------,所以一=,8c,解得C。=4竝；

1-tan2a2CD

1-

(2)?￡三角形ABC中，ZCAB="a-0=W.

4

由正弦定理得=即4C=10&sina,

sina宀5

sin——

4

所以S..“7)=g40sinp=io/sinasin[(-a)

=10>/2sina——cosa-------sina=10(sin?cosa-sin2a)=56in2a+cos2a-1)

22

=5Qsin(2a+?

當2a+?=',即a=^■時，取最大值5夜-5.

19.(本小題滿分12分)

如圖，在等腰梯形中，AB=BC=CD=2,4。=4,點￡為線段4。的中點，將

/\CDE沿著CE折起到△CPE位置，M為EC的中點.

(1)求證：平面8PA/丄平面ABCE；

(2)當平面CPE丄平面ABCEVPi,求二面角B-PC-E的余弦值.

7

【解析】(I)由已知得三角形PEC和三角形BEC均為等邊三角形

因為M是EC中點，所以BM丄EC,PM1EC

又因為BMcPM=A/,BMu而P8W,尸A/<=而PB,”,所以CE1面P8.”

又因為CEu面/8C￡,所以面/SCE丄面P8V;

(2)以M為原點,MB所在直線為x軸，ME所在直線為y軸，MP所在直線為z軸建立空間直角坐標系,

由已知得B(6,0,0),P(0,0,6),C(0,TO),即麗=(-V3,0,V3),BC=(-^-I,0)

?而=0n卜&+戊=0

設面3PC的法向量1=(n,6,c),則

n-BC=0[-yfia-6=0

令a=1有"=

由⑴可知麗=(G,o,o)為面PC￡的一個法向量，所以cos,而戶市侖=7%

答：二面角B-PC-E的余弦值為y-.

20.(本小題滿分12分)

史明理，學史增信，學史崇德，學史力行.近年來，某市積極組織開展黨史學習教育的

活動，為調查活動開展的效果，市委宣傳部對全市多個基層支部的黨員進行了測試，并從中

抽取了1000份試卷進行調查，根據這1000份試卷的成績(單位：分，滿分100分)得到如下

頻數分布表：

成績份[65,70)[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)

頻數40902004001598040

(1)求這1000份試卷成績的平均數?(同-一組中的數據用該組區間的中點值為代表).

(2)假設此次測試的成績X服從正態分布M"，標)，其中〃近似為樣本平均數，〃近似為樣本

方差s2,已知s的近似值為6.61,以樣本估計總體，假設有84.14%的學生的測試成績高于

市教育局預期的平均成績，則市教育局預期的平均成績大約為多少(結果保留一位小數)？

(3)該市教育局準備從成績在［90,100］內的120份試卷中用分層抽樣的方法抽取6份，再從

8

這6份試卷中隨機抽取3份進行進一步分析，記丫為抽取的3份試卷中測試成績在［95,100］

內的份數，求y的分布列和數學期望.

參考數據：若X~N@。2),則尸(//-cVXW"+c)Q0.6827,P(/t-2a<X^/i+2CT)=?0.9545,

pQ-3o<XW〃+3<7)"0.9973.

【解析】（I）由已知得

405u90fU200rru400=150___80ecu40cruoc.u

x=-------*67.5H----------72.5H---------77.5+-------*82,5+-------*87.5+-------*92.5H---------*97.5=82.15

1000100010001000100010001000

(2)由已知得P(x>p-a)=P(x>75.54)=1+""-bvxv’ib)%0.84135,

答：市委宣傳部預期平均成績大約為75.5分;

（3）由分層抽樣得抽取的6分試卷中2份在［95,100）內，4份在［90,95）內，Y的可能取值為0,1,2,

則p（y=o）=等=/（丫=1）=等］，?（丫=2）=等J

即Y的分布列為:

Y012

P丄3

555

所以E（y）=i.

21.（本小題滿分12分）

已知拋物線八y=42的焦點為E

4

（1）求拋物線「的準線方程：

（2）若過點/的直線/與拋物線r交于4B兩點,線段的中垂線與拋物線「的準線交于點

C,請問是否存在直線/,使得tan//C8==?若存在，求出直線/的方程；若不存在，請說

明理由.

【解析】（I）由已知得-=4），，即拋物線的準線方程為y=7;

（2）由題意得F（0,l）,且/斜率一定存在，設/:y=h+l,

設4（不,弘）,8（々,必），AB中點為M,設ZACF=a,NBCF=0,則N4CB=a+。，

AMB\fAB

tana+tan夕彳十彳二斤

即tanZ.ACB=tan(a+夕)=

1-tana-tan/?AMBKf-AB2

4

的誑，則tan（a+0）=］,即4。尸？一348.。/一482=。，

9

所以(4CF+AB){CF-/B)=0,又因為CF>0,48>0,即CF=/IB

因此有/1+/一|%-力|=>/1+&卞「4|，即kIf|=2