2020年(廣東)中考數(shù)學壓軸題專題訓練

1.如圖，AB為。。的直徑，P為54延長線上一點，點C在。。上，連接PC,。為半徑

OA上一點，PD=PC,連接C。并延長交。0于點E,且E是標的中點.

(1)求證：Pe是OO的切線；

(2)求證：CD?DE=2OD?PD;

(3)若AB=8,CD?DE=15,求%的長.

2.已知:矩形ABCD內(nèi)接于。0,連接BD,點E在00上,連接BE交AO于點F,∕BDC+45°

=∕BFD,連接ED

(1)如圖1,求證：NEBD=NEDB；

(2)如圖2,點G是AB上一點，過點G作AB的垂線分別交BE和BO于點〃和點K,

若HK=BG+AF,求證：AB=KG;

(3)如圖3,在(2)的條件下，。。上有一點N,連接CN分別交BQ和AQ于點M和

(圖1)(圖2)(圖3)

3.如圖，AB是。。的直徑，CDLAB,交。。于C、。兩點，交AB點E、尸是弧8。上一

點，過點尸作一條直線，交C。的延長線于點G,交AB的延長線于點M.連結(jié)A凡交

CQ于點兒GF=GH.

(1)求證：MG是00的切線：

(2)若弧AF=弧CF,求證：HC=AC;

(3)在(2)的條件下，若tanG=3,AE=6,求GM的值.

4

4.如圖，已知AC是半徑為2的Oo的一條弦，且AC=2?,點B是。。上不與A、C重

合的一個動點，

(1)請計算AABC的面積的最大值；

(2)當點B在優(yōu)弧南上，∕BAC>∕AC8時，NABC的平分線交Ae于￡),且。C

BD,請計算4。的長；

(3)在(2)條件下，請?zhí)骄烤€段AB、BC、8。之間的數(shù)量關系.

5.如圖，△ABC為。。的內(nèi)接三角形，BC為。。的直徑，在線段Oe上取點。(不與端點

重合)，作。G_L8C,分別交AC、圓周于E、F,連接AG,已知AG=EG.

(1)求證：AG為00的切線；

(2)已知AG=2,填空：

①當四邊形ABO尸是菱形時，ZAEG=°；

②若OC=2DC,Z?AGE為等腰直角三角形，則AB=.

6.如圖，ZkABC內(nèi)接于。0,AB=AC,A。是。0的弦，AD=BC,AO與BC相交于點E.

(1)求證：CB平分NACz)；

(2)過點B作BGLAC于G,交AQ于點F.

①猜想AC、AG、Cn之間的數(shù)量關系，并且說明理由:

②若SMBG^SΛACD,OO的半徑為15,求OF的長.

7.如圖，點P在y軸的正半軸上，OP交X軸于8、C兩點，交y軸于點4,以AC為直角

邊作等腰RtAACD,連接8。分別交y軸和AC于E、F兩點，連接48.

(2)若BF=4,DF=6,求線段C。的長；

(3)當。尸的大小發(fā)生變化而其他條件不變時，些的值是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，

AO

請求出其值；若發(fā)生變化，請說明理由.

8.如圖，在BC中，乙4CB=90°,點。在BC邊上(不包括端點B,C),過A,C,。

三點的G)O交AB于另一點E,連結(jié)40,DE,CE,且CE,A力于點G,過點C作C尸〃

OE交4。于點凡連結(jié)EF.

(1)求證：四邊形OCFE是菱形；

(2)當tan∕4EF=S,4C=4時，求。。的直徑長.

4

X軸交于A，B兩點,與y軸交于點C,若A(-1,0),且

OC=304.

(1)求拋物線的解析式;

(2)若點M為拋物線上第四象限內(nèi)一動點，順次連接AC,CM,MB,是否存在點M,

使四邊形M8AC的面積為9,若存在，求出點M的坐標，若不存在，請說明理由.

(3)將直線BC沿X軸翻折交y軸于N點，過8點的直線/交y軸、拋物線分別于￡＞、E,

且。在N的上方，將A點繞0順時針旋轉(zhuǎn)90°得M,若NNBD=NMBO,試求E的的

坐標.

10.已知：如圖，直線y=-X-3交坐標軸于A、C兩點，拋物線y=x2+bx+c過4、C兩點,

(1)求拋物線的解析式;

(2)若點P為拋物線位于第三象限上一動點，連接∕?,PC,試問△出C的面積是否存

在最大值，若存在，請求出aAPC面積的最大值，以及此時點尸的坐標；若不存在，請

說明理由:

(3)點M為拋物線上一點，點N為拋物線對稱軸上一點，的NMC是以NNMC為直

角的等腰直角三角形，請直接寫出點"的坐標.

圖1備用圖1留用圖2

11.如圖，二次函數(shù)y="(x1+2ιwc-3w2)(其中α,是常數(shù)α<0,，">0)的圖象與X軸

分別交于A、8(點A位于點B的右側(cè))，與y軸交于點C(0,3),點。在二次函數(shù)的

圖象上，CD//AB,連結(jié)AD.過點A作射線AE交二次函數(shù)的圖象于點E,AB平分ND4E.

(1)求α與加的關系式；

(2)求證：處為定值；

AD

(3)設該二次函數(shù)的圖象的頂點為凡探索：在X軸的正半軸上是否存在點G,連結(jié)GF,

以線段GF、AD.AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一個

滿足要求的點G即可，并用含，〃的代數(shù)式表示該點的橫坐標；如果不存在，請說明理由.

12.如圖，拋物線y=Οr2+4at+旦與X軸交于點A、B(A在B的左側(cè))，過點4的直線y=

4

丘+3k交拋物線于另一點C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)連接BC,過點B作8CBC,交直線AC于點。，若BC=5BD,求A的值；

(3)將直線y=fcv+3k向上平移4個單位，平移后的直線交拋物線于E、F兩點，求AAEF

13.如圖1,二次函數(shù)y=-L2+L+3的圖象交X軸于A、B兩點(點A在點8的左側(cè))，

84

交y軸于C點，連結(jié)AC,過點C作COLAC交AB于點D

(1)求點D的坐標；

(2)如圖2,已知點E是該二次函數(shù)圖象的頂點，在線段A。上取一點F,過點F作F”

LCD,交該二次函數(shù)的圖象于點H(點”在點E的右側(cè))，當五邊形FCEHB的面積最

大時，求點H的橫坐標；

(3)如圖3,在直線Be上取一點M(不與點B重合)，在直線CD的右上方是否存在這

樣的點M使得以C、M、N為頂點的三角形與ABCQ全等？若存在，請求出點N的坐

標；若不存在，請說明理由.

14.如圖，已知二次函數(shù)y=以2-84x+6(?>0)的圖象與X軸分別交于A、B兩點，與y

軸交于點C,點。在拋物線的對稱軸上，且四邊形ABOC為平行四邊形.

(1)求此拋物線的對稱軸，并確定此二次函數(shù)的表達式；

(2)點E為X軸下方拋物線上一點，若aODE的面積為12,求點E的坐標；

(3)在(2)的條件下，設拋物線的頂點為點P是拋物線的對稱軸上一動點，連接

PE、EM,過點P作PE的垂線交拋物線于點Q,當NPQE=NEMP時，求點Q到拋物

線的對稱軸的距離.

15.如圖，已知拋物線y=α(X+2)(X-4)(〃為常數(shù)，且α>0)與X軸從左至右依次交于

A,B兩點,與)，軸交于點C,經(jīng)過點8的直線y=-Y3+±S與拋物線的另一交點為

33

D,且點。的橫坐標為-5.

(1)求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)該二次函數(shù)圖象上有一點P(x,y)使得SABCD=S“BP,求點P的坐標；

(3)設尸為線段8。上一點(不含端點)，連接4尸，求2AF+O尸的最小值.

16.二次函數(shù)y=YEr2-Jr-色區(qū)與X軸分別交于4、B兩點，與y軸交于點C,點。

22

為拋物線的頂點，連接8。.

(1)如圖1,點P為拋物線上的一點，且在線段BD的下方(包括線段的端點)，連接

PA,PC,AC.求△/?C的最大面積；

(2)如圖2,直線/1過點8、D.過點A作直線/2〃八交y軸于點E,連接點A、E,得

至IJZSOAE,將aOAE繞著原點。順時針旋轉(zhuǎn)α°(0<a<180)得到404Eι,旋轉(zhuǎn)過程

中直線OEl與直線/1交于點M,直線AiEi與直線/1交于點M當aEiMN為等腰三角形

時，直接寫出點El的坐標并寫出相應的a值.

17.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形ABCO是平行四邊形，點A、B在X軸上，點C、

。在第二象限，點M是8C中點.已知AB=6,AQ=8,∕D4B=60°,點8的坐標為

(1)求點D和點M的坐標；

(2)如圖①，將“ABCC沿著X軸向右平移4個單位長度，點。的對應點和點M的

對應點M'恰好在反比例函數(shù)y=K(x>0)的圖象上，請求出”的值以及這個反比例函

X

數(shù)的表達式；

(3)如圖②，在(2)的條件下，過點M,M'作直線/,點P是直線/上的動點，點Q

是平面內(nèi)任意一點，若以8',C',P、Q為頂點的四邊形是矩形，請直接寫出所有滿

足條件的點。的坐標.

18.如圖，過原點的直線y?=mx(,π≠0)與反比例函數(shù)”=區(qū)(?<0)的圖象交于4、B

X

兩點，點A在第二象限，且點A的橫坐標為-1,點。在X軸負半軸上，連接AO交反比

例函數(shù)圖象于另一點E,AC為NBA。的平分線，過點B作AC的垂線，垂足為C,連接

CE,若AD=2DE,ZVlEC的面積為旦.

2

(1)根據(jù)圖象回答：當X取何值時，γι<>,2;

(2)求的面積；

(3)若點P的坐標為(機，k),在y軸的軸上是否存在一點使得AOMP是直角三角

形，若存在，請直接寫出點例的坐標；若不存在，請說明理由.

我們知道：-條直線經(jīng)過等腰直角三角形的直角頂點，過另外兩個頂點分別向該直線作

垂線，即可得三垂直模型"如圖①：在AABC中，∕ACB=90°,AC^BC,分別過A、

8向經(jīng)過點C直線作垂線，垂足分別為。、E,我們很容易發(fā)現(xiàn)結(jié)論：XADgXCEB.

(1)探究問題：如果AeWBC,其他條件不變，如圖②，可得到結(jié)論；∕?ADC^∕?CEB.請

你說明理由.

(2)學以致用：如圖③，在平面直角坐標系中，直線y=L與直線CO交于點M(2,

2

1),且兩直線夾角為α,且tana=旦，請你求出直線CD的解析式.

2

(3)拓展應用：如圖④，在矩形ABC。中，AB=3,BC=5,點E為BC邊上一個動點，

連接BE,將線段AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°,點A落在點P處，當點P在矩形ABCD

外部時，連接尸C,PD.若△￡＞「＜?為直角三角形時，請你探究并直接寫出BE的長.

圖①圖②圖③圖④

20.笛卡爾是法國數(shù)學家、科學家和哲學家，他的哲學與數(shù)學思想對歷史的影響是深遠

的.1637年，笛卡爾發(fā)表了《幾何學》，創(chuàng)立了直角坐標系.其中笛卡爾的思想核心是:

把幾何學的問題歸結(jié)成代數(shù)形式的問題，用代數(shù)的方法進行計算、證明，從而達到最終

解決幾何問題的目的.

某學習小組利用平面直角坐標系在研究直線上點的坐標規(guī)律時，發(fā)現(xiàn)直線y=區(qū)+MA≠O)

上的任意三點A(XI,?l),B(X2,"),C(X3,*)(x1≠x1Wx3),滿足為~~—=———

xl-x2xl~x3

=丫2-了3=鼠經(jīng)學習小組查閱資料得知，以上發(fā)現(xiàn)是成立的，即直線y=區(qū)+方(?≠0)

x2^x3

上任意兩點的坐標M(xι,yι)N(Λ2,J2)(xι≠x2),都有紋工2的值為k,其中k叫

xl^x2

直線y=履+Z＞的斜率.如，P(1,3),Q(2,4)為直線y=x+2上兩點，則J?Q=1二芻=

1-2

1,即直線y=x+2的斜率為1.

(1)請你直接寫出過E(2,3)、F(4,-2)兩點的直線的斜率ZEF=.

(2)學習小組繼續(xù)深入研究直線的“斜率”問題，得到如下正確結(jié)論：不與坐標軸平行

的任意兩條直線互相垂直時，這兩條直線的斜率之積是定值.

如圖1,直線GaJ_G/于點G,G(1,3),“(-2,1),/(-1,6).請求出直線GH

與直線G/的斜率之積.

(3)如圖2,己知正方形OKRS的頂點S的坐標為(6,8),點K,R在第二象限，OR

為正方形的對角線.過頂點R作RTLOR于點R.求直線RT的解析式.

圖1

參考答案

一.解答題(共20小題)

1.(1)證明：連接OCOE1

OC=OE,

：.ΛE=AOCE,

?IE是褊的中點，

???AE=BE>

.*.ZAOE=ZBOE=90o,

ΛZE+ZODE=90o,

VPC=PDf

：.ZPCD=ZPDC,

?：/PDC=/ODE,

：.ZPCD=ZODEf

：.ZPCD+ZOCD=ZODE+ZE=90o,

：.OCA-PC,

???PC是。。的切線；

(2)證明：連接ACBE,BC,

,

.?ZACD=ZDBE9NCAo=ZDEB1

：.AACDsAEBD,

?AD=CD

"DEBD,

ICD?DE=AD?BD=(AO-OD)(AO+OD)=AO2-ODLy

TAB為。。的直徑，

-8=90°,

VZPCO=90o，

：.ZACP+ZACO=ZACO+ZBCO=90o,

???ZACP=ZBCO,

?.?ZBCO=ZCBO9

：./ACP=/PBC,

：ZP=ZP9

.,.XACPsχcBP,

?PCPA

??—^―=”.一，

PBPC

：.PdI=PB?PA=(PD+DB)(PD-AD)=(PD+OD+OA^(PD+OD-OA)=(PD+OD)

2-OA2=PD2+2PD?OD+OD2-OA2,

*：PC=PD,

：.PD1^PD1+2PD?OD+OD2-OA2,

.".OA2-0D1^20D?PD,

.?CD?DE=20D?PD;

(3)解：VΛB=8,

.".0A=4,

由(2)知，CD-DE=AO1-0D2；

VCD-DE=15,

Λ15=42-OD1,

.?.OO=1(負值舍去)，

.?.AZ)=3,

由(2)知,CD?DE=20D?PD,

?Po=CD“DE=15

‘''20D~2,

.".PA=PD-AD=^-.

2

2.(1)證明：；四邊形ABCD是矩形，

.?AB∕∕CD,NBAD=90°,

JNBDC=/DBA,BQ是。。的直徑,

；.NBED=90°,

?：/BFD=∕ABF+NBAD,ZBFD^ZBDC+45o,

.?ZABF+90o=ZDBA+45o,

ΛZDBA-ZABF=45o,

，/EBD=45°,

???△BED是等腰直角三角形，

：.ZEBD=ZEDB↑

(2)證明：過點K作KSLBE垂足為R,交A3于S,如圖2所示：

?,KGLAB,

：./BGH=/KRH=NSRB=NKGS=90°,

.*.NSBR=NHKR,

VZBED=Wo,

：?ZRBK=4RKB=45°,

：,BR=KR,

'/SBR=NHKR

在ASRB和4"RK中,BR=KR，

NSRB=NHRK=90°

:.ASRB會/XHRK(ASA),

：.SB=HKf

?：SB=BG+SG,HK=BG^AF,

t

..BG+SG=BG+AFf

.'.SG=AF1

'NABF=NGKS

在和AGKS中，＜∕BAF=NKGS=90°，

AF=SG

Λ∕?ABF^∕?GKS(AAS),

ZAB=KG;

(3)解：過點O分別作AO與CN的垂線，垂足分別為。和T,連接OC如圖3所示:

??ZAPO=ZCPO9

：.OQ=OT,

在Rt∕?OQD和Rt△OTC中，1°Q=°T,

IOD=OC

???RtZ?OQQ義Rt△OTC(HL),

：.DQ=CT9

：.AD=CNf

???四邊形ABC。是矩形，

IAD=CN=BC,

連接ON,

'ON=OB

在ZXNOC和Z?30C中，IOC=OC,

CN=BC

1.△NOgABOC(SSS),

J.ZBCO=ZNCO,

設NoBC=ZOCB=NNCO=α,

.?.NMOC=2α,

過點M作MWl.OC于W,在OC上取一點L使WL=OW,連接ML

：.MO=ML9

：,/MOL=∕ML0=2a,

：,/LCM=∕LMC=a,

：.ML=CL9

設OM=ML=LC=α,則0f)=α+8=0C,

ΛOL=SfOW=WL=4,

.?.CW=4+〃，

11I222

由勾股定理得：。加2-OW=MW=MC-CW2,即a2-4=(3√7Q)-(4+α)

整理得：a2+4α-45=0,

解得：m=-9(不合題意舍去)，及=5,

.?.0M=5,

：.MW=3,WC=9,

ΛOB=OC=OD=U,BO=26,

?.?ZGKB=ZCBD=ZADB=ZBCO=ZMCWftanNMCW=則=g=」，

VC93

ΛtanZGKB=tanZCBO=tanZADB=IanZBCO=UnZMCW=-?,

3

設AB=b,則AD=3∕%

由勾股定理得：廿+(3?)2=262,

解得?=-1^-Λ∕10,

5

.?.CD=GK=

5

在RtZXGKB中，tan∕GKB=空=工，

GK3

.?.GB=AG^=A×A^√io=^-√io?

33515

NE

圖3

圖2

3.(1)證明：連接OF.

.".ABlCD,

：.ZAEH=90Q,

ΛZEAH+ZAHE=W,

YGF=GH,

：.ZGFH=ZGHF=ZAHE,

'COA=OF,

.".ZOAF=ZOFA,

：.ZOFA+ZGFH=9Qo,

ΛOF±GM,

MG是G)O的切線.

(2)證明：VAF=CF,

???OF垂直平分線段AC

?/OFLMG,

：.AC//GM,

I∕CAH=∕GFH,

9

?ZCHA=ZGHFfZHGF=ZGFHf

"CAH=NCHA,

：.CA=CH.

解:9

(3)JAC//GM9

JNG=NACH,

.*.tanZCAH=UnZG=g=

4EC

?.?AE=6,

ΛC22220,

.?,EC=8,=7EC+AE=7S+6=?

設GF=G"=κ貝IJCG=C7∕+G"=AC+GH=10+x,

?：CD=2EC=\6,

.?GD=↑0+x-16=χ-6,

VGF2=GD?GC,

，/=(x-6)(x+10),

解得X=I5,

.?EG=CG-CE=25-8=17,

?.?ianNG=@l=2，

EG4

,EM=風

4________________

λGM=YEG2+EH2=Jl7?+號)2=等

鼠

4.解：（1）如圖1中，當點B在優(yōu)弧AC的中點時，AABC的面積的最大，連接AB,BC,

OB,延長Bo交AC于凡

圖1

：忘=前，

：.BHLAC,

：.AH=HC=g

?'-0//=VOA2-AH2=1,

：.BH=OB+OH=2+T=3,

：.AABC的最大面積=JLX4CXB〃=JL><2“X3=3?.

22

(2)如圖2中，延長B。交C)O于E,連結(jié)OE交AC于尸，連結(jié)。C.

由B。平分/ABC可得，E為弧AC中點,

OELAC,

JAF=CF=M

?'?0F=q℃2γF2=74-3=?=EF,

OF垂直平分0E,

又；ODi.BD,

...△ODE是等腰直角三角形，

"F=JiOE=I,

2

ΛAD=Vs-I.

(3)如圖3,連結(jié)AE、CE,由已知得AE=CE,ZAEC=120,將AEAB繞點E順時

針旋轉(zhuǎn)120得4ECR

a

L<Jc

E

圖3

?.?ZBAE=ZECF,NBAE+NBCE=180,

.9.ZECF+ZBCE=180,

,BF=BC+CF,

TAB=CR

.?.BF=AB+BC,

<BE=FE,ZBEF=ZAEC=120,

,BF=MBE,

?/ODLBD,

.??BE=2BD,

/.BF=2√3BD,

:?BA+BC=2yf^BD.

5.(1)證明：連接04.

三

圖1

?9OA=OC,

.9.ZOAC=ZOCAf

YGA=GE,

：.ZGAE=ZGEA9

,:DG.LBC,

ΛZEDC=90o,

.'.ZOCA+ZDEC=90o,

,

.?ZCED=ZGEA=ZGAE9

：.ZOAC+ZGAE=Wo,

.?ZOAG=90o,

：.OALAG,

.??AG是。。的切線.

(2)①如圖2中，連接。A,AFfOF.

圖2

???四邊形480廠是菱形，

：.AB=BO=OF=AF=OA,

,△ABO是等邊三角形，

ΛZB=60o,

TBC是直徑，

.?ZBAC=90o

：.ZACB=90o-60°=30°,

,

?EDLBCf

：.ZDEC=90o-ZACB=60o,

ΛZAEG=ZDEC=60Q.

故答案為60.

②如圖3中，當A8=4√5時，^AGE是等腰直角三角形.

；AAGE是等腰直角三角形，

.".NAEG=NDEC=NDCE=45°,

.??EDC,aABC都是等腰直角三角形,

?：OB=OC,

：.AO±OC,

ΛZAOD=ZODG=ZG=90o,

四邊形40。G是矩形，

：.AG=OD=I,

：.OC=2OO=4,

.?.BC=2OC=8,

.?.A8=AC=4圾，

故答案為4√2?

6.(1)證明：如圖1中，

G

?：AD=BC,

???翁=前，

?AC=BD-

"：AB=AC,

.?.窟=余，

AAB=BD-

：?NACB=/BCD,

JCB平分NACn

(2)①結(jié)論：AC-IAG=CD.

理由：如圖2中，連接80,在GC上取一點“，使得G"=G4?

?：BGLAH,GA=GH,

：.BA=BHf

"BAH=NBHA,

?9ZBAH+ZBDC=?SO°,NBHG+/BHC=180°,

：.ZBDC=NBHC,

/BCH=/BCD,CB=CB,

：?ABCH4ABCD(AAS),

ICD=CH,

：.AC-2AG=AC-AH=CH=CD.

②如圖3中，過點G作GALLAB于G,過點。作OMi.AC交AC的延長線于M,連接

AO9延長A。交BC于/,連接OC

圖3

VAC=BD,

：.ΛBAD=AADC,

：.AB//CDf

.*.SMCD=SABCD,

V?BCH^?BCD,

SABeH=SNCD,

AG=GHi

.*.SAABG=SABGH,

,**SAABG=SMCD,

.β.SAABG=S4BGH=SABCH,

?*?AG=GH—CH1設AG=GH=HC=a>則AB=AC=3α,BG=2-?ɑ2=

√(3a)2-a2=2^>

'：BGrAC,

.?λ?BG?AG^^?AB?GN,

22

...GN=T2?∕?=2&q,

3a3

在RtABGC中,βc=√BG2+CG2=7(2√2a)2+(2a)2=2^^f,'

'：AB=AC,

?AB=AC.

：.AJLBC,

?*?BJ~~JC~，

?'aj^?∣AB2-BJ2^√9a2-3a

在Rt?OJC中，??OC2=OJ2+JC1,

Λ152=(Λ∕?Z-15)2+(√3α)2,

?ɑ-10√6

3

λ

:S^ABG=S^ACDfAB=ACfGN工AB,DMZAC,

。M=GN=冬反7=變返，

39

"?BC=AD=2√3o=20√2>

?MM=VAD2-DM2=J的啦)2-(^^)2=]0毅,

`:FG//DM,

.AF=AG

"ADAM^,

]Q√^

.AF-3

^"20√2IOO促'

9

ΛAF=6√2>

ΛDF=AD=ΛF=20√2-6√2=14√2.

7.(1)證明：LBC,且OA過圓心點P,

，OB=OC,

fOA=OB

在^AOB和44oC中，,NAOB=NAOC,

OA=OA

：.XAoB9XAOC(SAS),

.?.AB=AC,

,.?以AC為直角邊作等腰Rt?ACD,

：.AD=AC,

：.AB=AD-,

(2)如圖1,過點A作AMl.BO于M,

由(1)知,AB=AD,

DM=LBD,

2

VBF=4,DF=6,

；.BD=I0,

：.DM=5,

'：ZAMD=90c,=ZDAF,ZADM=ZFDA,

.?.∕?ADMsXFDA,

.ADDM

'^DF=AD'

?.?AD―5f

6AD

?'?AD=yJ30"

在等腰直角三角形A。C中，CD=√2ΛD=2√15;

(3)班的值是不發(fā)生變化，

AO

理由：如圖2,過點。作軸于4,作OQLX軸于Q,

.,.ZAHD=90o=ZCOA,

；.NADH+NDAH=90°,

VZCAD=90o,

.?.NC40+NoAH=90°,

ZADH=ZCAO,

'：AD=AC,

：.ΛADH^ΛACO(AAS),

：.DH=AO,AH=OC,

,.?ZOHDZQOH^ZOQD=90°,

.?.四邊形OQOH是矩形，DH=OQ,DQ=OH,

又,.?H0=AH+A0=0C+DH=OB+DH=0B+0Q=BQ,

.".DQ=BQ,

...△QBQ為等腰直角三角形，

：.ZDBQ=45°,

：.NDEH=NBEo=45°,

AsinZDfH=Dll,

DE

?DH=√2

"DE~2~,

?DE

"DH=vr2,

?DE

?,A0=Vr2?

圖1

8.解：（1）證明：'JCELAD,

.,.EG=CG,

?,CF∕∕DE,

：.ZDEG=ZFCG,

?：∕FGC=∕DGE,

：.XDEG”AFCG(ASA),

：?ED=FC,

???四邊形DCFE為平行四邊形，

又CE工DF,

???四邊形DC正是菱形；

(2)VAG±EC,EG=CG,

.?AE=AC=4f

Y四邊形AEQC內(nèi)接于O。，

,NBED=N8CA=90°,

???四邊形OCFE是菱形，

.?EF∕∕DC,DE=DCf

：.ZAEF=ZABCf

.*.tanZABC=tanNAEF=2，

4

在RtZ?BED中，設OE=3m貝∣J5E=4m

?*?DC=3citBD=+DE2=5"，

t222

?BC+AC=ABf

/.(5α+34)2+42=(4〃+4)2,

解得α=2或α=0(舍去)，

3

：.DE=DC=I,

ΛΛD=√DC2+AC2=^22+42=2√5?

即OO的直徑長為2√W

9.解：⑴VA(-L0),

：.OA=\,OC=3OA=3,

：.C(O,-3),

將A(-1,0)、C(0,-3)代入y=/+〃w+〃中，得，lF+n=0,解得∫m=-2

In=-3In=-3

Λy=x2-2x-3；

（2）存在，理由：

令y=0,則/-2χ-3=0,解得Xl=-1,X2=3,

：.B（3,0）,

.?.直線BC的解析式為）=x-3,

設M（機，nr-2m-3）,

過點M作MN〃y軸交BC于N,如圖1,

圖1

：?N(k3加-3),

：.MN=m-3-(川-2m-3)=-ιn2+3nι,

2

?'?S四邊形M8AC=SZV1BC+SABCM=工χAB×OC+-χMN×OB=-×4×3」X(-m+3ιn)

2222

×3=9,

解得："2=1或2,

故點M的坐標為（1,-4）或（2,-3）；

(3)VOB=OC=ON1

???ZkBON為等腰直角三角形，

?：NOBM+NNBM=45°,

：?∕NBD+/NBM=NDBM=45°,

：?MB=MF,

過點M作M凡LBM交BE于F,過點產(chǎn)作軸于點從如圖2,

圖2

；.NHFM+NBMO=90°,

,：ZBMO+ZOMB=90o,

.?.NOMB=/HFM,

；NBOM=NMHF=90°,

：.ABOMqAMHF(AAS),

：.FH=OM=I,MH=OB=3,故點F(1,4),

由點5、F的坐標得，直線BF的解析式為y=-2x+6,

磔+fy=-2x+6(=-3

聯(lián)上＜,解得《x，

V=X-2χ-3lv=12

：.E(-3,12).

10.解：(1)y=-X-3交坐標軸于A、C兩點，則點A、C的坐標分別為：(-3,0)、(0,

-3)；

將點A、C的坐標代入拋物線表達式得：［""+C",解得［b=2,

lc=-3lc=-3

故拋物線的表達式為：y=∕+2r-3;

(2)存在，理由：

如圖1,過點P作y軸的平行線交AC于點H,

設點產(chǎn)(x,/+2χ-3),則點H(X,-X-3),

△APC面積S=S"HA+S&PHC=工XPHXOA=LX-Λ-3-?-2x+3)X3=-Wr2-

222

V-l<o,故S有最大值，

2

當X=-3時，s的最大值為21,此時點尸(-3,--??.);

2824

(3)如圖2,設點N(-l,s),點、M(m,〃)，n=m2+2m-3,

過點M作y軸的平行線交過點C與X軸的平行線于點H,交過點N與X軸的平行線于點

G,

圖2

??ZGMN+ZGNM=90o,NGMN+NHMC=90°,

：.NHMC=/GNM,

?：NMGN=∕CHM=90°,MN=MC,

.".∕?MGN^ΛCHM(AAS),

.,.GN=MH,

即GN=?-1-m?=MH=?n+3?,

①當-I-m=n+3時，

即〃?+〃+4=0,即∕Π2+3∕W+1=0,

7±5

解得：ιn=3±電故點P（3±巡,Vs）;

222

②當-I-m=-（〃+3）時，即〃?=〃+2,

同理可得：點、P（二1±豆,-5±匹）：

22__

故點尸的坐標為：（J3曜,7+5叵或（3-在,2±/5）或（二喧二5%）

222222

或（1-、叵:±S）.

22

11.解：（1）將點C的坐標代入拋物線表達式得：-3","2=3,

解得：am2=-1；

（2）對于二次函數(shù)y=4（X2+2AWC-3w2）,令y=0,則X=M或-3加,

:?函數(shù)的對稱軸為：%=-m9

9

?CD∕/ABi

???點。、C的縱坐標相同，故點Q(-2m,3),

故點AB的坐標分別為:(m,0)、(-3m,0),

設點E(x,y),y=a(x2+2z∕tr-3τπ2),

9CAB平分NzME

：?/DAM=/EAN,

.?RtADM^Rt∕?ANE1

?AEANNE即In-X_「y

**AD??'m÷2m~

解得：y=×∑ΞL,

m

故點E(x,???l),

m

將點E的坐標代入拋物線表達式并解得：???-?n=-4m,

am

則y=tΞL=-5,

m

故點E(-4m,-5),

故嶇=迎=型也=互為定值：

ADAM3m3

(3)存在，理由：

函數(shù)的對稱軸為X=-m，當X=-m時，y=a(x2+2λτtr-3W2)=4,即點尸(-〃［，4),

由點尸、C的坐標得，直線FC的表達式為：y=-L+3,令y=0,則x=3m,即點G(3"?,

m

0),

GF1=C3m+m)2+42=16∕7i2+16,

同理A。2=%/+%AE2=25∕Π2+25,

故4E2=AO2+GF2,

GF、AD.AE的長度為三邊長的三角形是直角三角形，

點G的橫坐標為3〃?.

12.解:(1)直線y=fcc+3：過點A,

.?.y=0時,0=λx+34,解得X=-3,

ΛA(-3,0),

2

把點A的坐標代入y=ax+4ax+-t得9a-12α+3=0,

44

解得。=工，

4

.?.拋物線解析式為y=y+X+?∣;

(2)如圖1,過點。作。F,X軸于F,過點C作CGLX軸于G,

VA

圖1

.?.NDFB=NCGo=90°=ZDBC,

.?.NDBF+NBDF=90",

又；NDBF+NCBG=9Q°,

：.NBDF=NCBG,

：./XBDFS叢CBG,

?BCBGCG

"DB"BF'DF'

VCB=5BD,

：.CG=5BF,BG=5DF,

y=kx+3k

聯(lián)立方程組4

解得：卜=4k[,,'Y(舍去),

,y=4kz+2kIY=O

點CUk-I,4必+28,

ΛCG=4A2+2?,OG=4k-1,

設BF="?,貝IJCG=5〃?，DF=2k-km,BG=5(2k-km),

.4k-l+l=5(2k-km)

?,∩2，

5m=4k"+2k

解得“=-3(舍去)或k=0(舍去)或Z=1,

2

的值為1；

(3)

：將直線y="+3Z向上平移4個單位，

**?平移后解析式為>="+3攵+4,

/.Ax+3?+4=AΛ2+X+A,

44

??xE+xF=4k-4,XE9XF=-12&-13,

??∣XF-ΛE∣-J&E+XF)2-4>E?xjJ16&V)2÷64,

?.?△AEF的面積?x4xJi6(k÷∣)2+64,

/.當仁-工時，XkEF的面積的最小值為16.

2

13.解：(1)令X=0,則y=3,

：.C(0,3),

.?.OC=3.

令y=0,則-ΛX2+ΛX+3=0,

84

解得：Xi=-4,X2=6,

?"(-4,0),B(6,0),

.?.OA=4,OB=6.

VCD±AC,

ΛZACD=90o,

VCO.LAD1

：.Oe2=OA?OQ,

.?.oo=a,

4

：.D(?,0).

4

(2)Vy=-Λr2+Λr+3=-JL(X-I)2+2≡,

8488

：.E(1,空).

8

由B、E兩點坐標可求得直線BE的解析式為：y=-∑r+l∑.

84

?H(，小-AM72+Δ√W+3)>則PCm,--∑nz+.i^.).

8484

.*.HG---1√H2+-1√M+3,HP=VH-VP=-Azn2+.Z√M-?.

S4-884

?*.5ΔBHE=?(XB-XE')?HP=-(--1ΛJ2+-Z√M--)=--A√n2+-3∑w-ΔΣ.

228841616S

'：FHLCD,ACVCD,

.'.AC//FH,

：.AHFG=ΛCAO,

：NAOC=∕FG"=90°,

.".ΛACO-?FHG,

?ZG=OA=Ai

"HGOC3^,

：.FG=9HG=--lm2+‰+4,

363

.,.AF=AG-FG=m+4+-m2-Ln-4=-^-m2+-ιn,

6363

?,?SAAFC=^AF*OC=?()=^-m^+m,

22624

VSWiiiK,ACEB=SΛACO+SΛOCE+SM)EB=?×4×3+A×3×1+JL6×-^-=-^^^,

22288

?'?S砌形FCEHB=SWih.K.ACEH+S^BHE-SWC=型5,+(---1^-)-(-ni1+m)

8161684

=--^-√n2+J^-∕n+15=-?Cm--)^??θ?-,

16161618576

.?.當加=空時，Sji邊彩FCEHB取得最大值曬L.

18576

此時，”的橫坐標為aa.

18

(3)'：B(6,O),C(0,3),D(9,0),

4

ΛCD=BD=Ii,BC=3√5,

4

：.NDCB=NDBC.

①如圖3-1,ACMNqADCB,MN交y軸于K,

貝IJCM=CN=OC=OB=匹，MN=BC=3娓,NCMN=NCNM=NDBC=/DCB,

4

.?MN∕∕AB,

.?.MMLy軸，

：.NCKN=NCOB=90°,MK=NK=LMN=^

22

.?ΛCKN-∕?COB,

.CK-C0.√5

CNCB5

：.CK=

4_

.?.OK=OC+CK=U+J豆,

_4

：.N(