2022-2023學年北京市順義區高一上冊期末質量監測數學模擬試題

(含解析)

一、單選題

I.已知集合A={l,2},B={2,3,4},則AB=()

A.{1,2}B.{2,3}C.{2}D.{3,4}

【答案】C

【分析】根據交集的概念，直接求解，即可得出結果.

【詳解】因為A={l,2},5={2,3,4},所以AC8={2}.

故選：C.

2.已知函數"x)=log3(x-2),那么/(x)的定義域是()

A.{x∣Λ>0}B.{Λ∣x<2}

C.{x∣x*2}D.[x?x>2]

【答案】D

【分析】根據真數大于0求解可得.

【詳解】由x-2>()解得x>2,

所以函數/(x)的定義域為{x∣x>2}.

故選：D

3.命題“WxwR,/>2”的否定為()

A.3x∈R,X2≤2B.3x∈R,JV2>2

C.VxeR,x2≤2D.3xgR,X2≤2

【答案】A

【分析】根據全稱量詞命題的否定形式直接判斷可得.

【詳解】全稱量詞命題的否定為特稱量詞命題，

所以TXeR,W>2的否定為ΞreR,Y≤2.

故選：A

4.下列函數中，在區間(0,+8)上是減函數的是()

A.y=Iog3xB.y=4x

C.y=3xD.y-—x2

【答案】D

【分析】由解析式直接得到函數的單調性，選出正確答案.

【詳解】y=iog3》在(。,+8)上單調遞增，A錯誤；

y=√7在(0,+8)上單調遞增，B錯誤；

J=3'在(0,+8)上單調遞增，C錯誤：

卜=-^在(-8,0)上單調遞增，在(0,+8)上單調遞減，D正確.

故選：D

5.已知函數"x)=e”,+4x-4.在下列區間中，包含/(x)零點的是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】A

【分析】依次求出“0)，/⑴,/(2)，”3)的符號，由零點存在定理判斷即可.

【詳解】7(0)=g-4<0J(l)=l>0J⑵=e+4>0,∕(3)=e2+8>0,由零點存在定理可知，包含“X)零

點的是(0,l)?

故選：A

6.己知”=g3,6=2'=(；］，則()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<a<bD.b<c<a

【答案】B

【分析】由對數運算直接求出a=-IvO,由y=2'為增函數可得0<c<'即可判斷.

【詳解】O=Iogzg=-IvO,由y=2*為增函數可知0<2-忘<2《，即a<0<c</?.

故選：B

7.已知a>b,貝∣Jc>d是a+c?>力+4的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】由不等式的可加性可以直接推出α+c>h+d;反之，可以賦值驗證c>d不成立.

【詳解】已知若c>d,由不等式的可加性，則α+c>>+d成立；

已知〃>力，若α+c>b+d成立，則c>d不一定成立，例如，令。=Io,b=l,c=09d=?,a+c=lθ,

b+d=2,滿足ɑ>",a+c>b+d,(Se?vd.

所以c>d是。+c"+d的充分不必要條件.

故選：A.

8.若函數〃x)=sin(2x-?J的圖象關于直線χ=f對稱，則r的值可以是(

)

ππ

B.cD.

T?≡~2

【答案】C

【分析】令2x-1JT=]TT+E∕∈Z,然后對Z賦值可得.

【詳解】由2X-E=5+E,%∈Z,WX=?+?Λ∈Z

32122

5Jr

取4=0可得X='.

12

故選：C

9.已知/(x)=2χ2一(α-l)χ+b(”,6∈R),且存在6>e(使得/(COSe)=f(cos(。一兀))，則”的

值是()

A.0B.1C.2D.-1

【答案】B

【分析】利用誘導公式得到了(cos。)="YOSe),代入函數解析式即可得到2g-l)cos6=0,從而

求出”的值.

【詳解】解：因為存在de(g,?使得"cos6)=∕(cos(e-兀)),

即存在θ∈'^f《J使得/(cos6,)=/(YoSO)，

即2cos?6一(Q-I)COS夕+h=2cos2e+(α—I)COSe+Z?,

即2(α-l)cos6=0,

因為0e,?∣,∣?),所以COSoe(0,1],

所以a—1=0,所以α=l.

故選：B

二、解答題

10.中國傳統折扇文化有著極其深厚的底蘊，一般情況下，折扇可看作是由從一個圓面中剪下的扇

形制作而成.設制作扇子的扇形面積為5,圓面中剩下部分的面積為邑，當今=去1=0.618時，扇

面看上去形狀較為美觀.那么，此時制作扇子的扇形圓心角約為()

C5兀3兀C2π

A.πB.—C.—D.一

643

【答案】C

【分析】設扇子的扇形的圓心角為岡，圓面中剩下部分的圓心角為鬼,半徑為廠，根據扇形的面積

公式得到e=空4,再由q+%=2π,求出名，即可得解.

【詳解】解：設扇子的扇形的圓心角為四，圓面中剩下部分的圓心角為a?,半徑為『

1J

則卷=產-=與^0?618,即與1%,

邑//22-

又al+α2=2π,

縣lɑ,+α,=2*

2"

故%=焉=M-I卜，

所以α∣=與?ɑ?=(3-有)w,α,=(3-√5)×180o≈137.5o≈^；

故選：C.

11.已知函數/(x)=√Γ與定義域為集合A,集合8={x∣2<x<9}.

⑴求集合4

(2)求AUB,?κβ.

【答案】(1)[3,-)；

(2)(2,+∞),(→o,2][9,+∞).

【分析】(1)定義域滿足x-320即可；

(2)按定義直接進行并集、補集運算即可

【詳解】（1）由己知得，A={xlx-3N0},.?.A=[3,y）;

(2)B=(2,9),.?.AuB=(2,yo),43=(γo,2][9,M).

lnx,1<%<e,“一

12.己知函數/(X)=其中，≈2.71828

-X2+2x+2,x≤l.e

⑴求〃e)與〃-1)的值;

(2)求/(x)的最大值.

【答案】(l)f(e)=IJ(T)=-L

(2)3

【分析】(1)根據分段函數的解析式可求出結果；

(2)利用函數的單調性分段求出最大值，再比較可得結果.

【詳解】(1)/(e)=Ine=I,

/(-1)=-(-1)2+2?(-l)+2=-l.

(2)當l<x≤e時,/(x)=InX為增函數，/(x)πm=∕(e)=l,

當x41時，/(x)=-f+2x+2=-(x-iy+3為增函數，/(x)maχ=/(1)=3,

因為3>1,所以/(x)的最大值為3.

13.己知函數"x)=2sin(2x+e)(-?∣<夕滿足"O)=

⑴求。的值；

(2)求函數/(x)的單調遞增區間.

【答案】(嗚

(2)——+kπ,-+kπ(keZ)

''1212v,

【分析】(1)根據/(O)=6代入計算可得；

(2)由(1)可得/(x)的解析式，再根據正弦函數的性質計算可得.

【詳解】(1)解：因為/(x)=2sin(2x+e)且/(0)=6,

所以/(0)=2sins=G,即sine=#,又4所以S=5?

(2)解：由⑴可得〃x)=2sin(2x+1

令一二+2kπ≤2x+2≤二+2Zπ(k∈Z),解得一2+E≤x≤-^-+Λπ(?∈Z),

2321212

Sσrττ

所以函數的單調遞增區間為--+E,R+E(?∈Z).

14.在平面直角坐標系XOy中，角α的頂點與原點重合，始邊與X軸的非負半軸重合，終邊與單位

圓交于第一象限的點唱y

(1)求％的值;

將角的終邊繞坐標原點按逆時針方向旋轉角后與單位圓交于點，再從條件①、條

(2)a0βQ(Λ2,%)

件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，求&的值.

了2

Φ^=∣;②4=兀；③￡=日.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

3

【答案】(Iq

(2)若選①，則&?=-］；若選②，則&=］；若選③，則

x?y3%,4X23

【分析】(1)根據點尸(1,yj為單位圓上位于第一象限的點，直接求解即可；

(2)根據三角函數的定義，先得到Sina=cosα=∣,sin(α+夕)=%,cos(αr+/?)=x2；再結合

所選條件，利用誘導公式，即可求解.

【詳解】(I)(I)因為角α的終邊與單位圓交于第一象限的點p(%yj,

所以?H+*=ι,解得％=(；

Jl>0

(2)(2)由(1)根據三角函數的定義可得，sinc=?∣,cosa=∣,sin(α+∕)=%,cos(<z+⑶=芻；

若選條件①/

cosa_4

-sina3

若選條件②夕=兀,

Vsin(α+兀)

則匹o=T一^；---si-n-c-r=一3

X2COS卬+兀)-cosα<4

若選條件③夕=號,

3π-

sin2

一CoSa4

則&=—---------=——

?2COS3πsina3

2

15.懸鏈線是生活中常見的一種曲線，如沾滿露珠自然下垂的蜘蛛絲；如兩根電線桿之間的電線；

如橫跨深澗的觀光索道的電纜等等.這些現象中都有相似的曲線形態.這些曲線在數學上常常被稱為

懸鏈線.這類懸鏈線對應的函數表達式為/(x)="e'+加々aS是非零常數，無理數e=2?71828).

(1)當α=l,6=-l時，判斷了(x)的奇偶性并說明理由；

(2)如果/(x)為R上的單調函數，請寫出一組符合條件的值；

(3)如果/(x)的最小值為2,求α+Z>的最小值.

【答案】(1)奇函數，理由見解析；

(2)a=l,b=-?(αbWO均可)

(3)2

【分析】(1)由奇偶函數的定義判斷即可；

(2)為R上的單調函數，則必=0或y="e*,y=加T單調性相同即可，結合指數函數單調性

判斷即可；

(3)當他WO時:/(x)單調無最小值，再結合均值不等式分別討論。>0">0、”<0,6<0時是否

有最小值，即可得“、b的關系式，從而進一步求α+b的最小值.

【詳解】(1)/(x)為奇函數.理由如下：

當α=l,6=-l時，/(x)=e'-e^x,XeR,；/(-x)=eτ-e*=-∕(x),為奇函數.

(2)..?∕(x)為R上的單調函數，則必=O或y="e',>=從7單調性相同即可，故必WO.

一組符合條件的”,方值為α=L6=-1(αbWO均可).

(3)f(x)的最小值為2,由(2)得當必WO時，/(x)單調無最小值，故必>0.

當α>0,方>0時，〃司=沈,+處92力1厭-*=2而，當且僅當e?，=—時取等號，且當必=1時,

/(x)的最小值為2,此時〃+人≥2√^=2,當且僅當Q=h=l時取等號；

當“<0,Z?<0時，/(χ)=-(-ɑev-be~x)≤-2^-∞Λ?(-?e^v)=2?[ab,無最小值，不合題意.

綜上，a+6的最小值為2.

16.已知A是非空數集，如果對任意x,yeA,?∣5Wx+yeA,xyeA,則稱A是封閉集.

⑴判斷集合3={O},C={-1,O,1}是否為封閉集，并說明理由；

(2)判斷以下兩個命題的真假，并說明理由：

命題P：若非空集合A，4是封閉集，則474也是封閉集；

命題4：若非空集合A，4是封閉集，且ACa≠0,則ACA也是封閉集；

(3)若非空集合A是封閉集合，且AxR,R為全體實數集，求證：aA不是封閉集.

【答案】⑴集合3={()},。={-1,(),1}都是封閉集，理由見解析；

(2)命題。為假命題，命題q為真命題，理由見解析；

(3)見解析.

【分析】(1)根據封閉集的定義判斷即可：

(2)對命題P舉反例A={x|x=2&,AreZ},4={x|x=34,&eZ}說明即可；

對于命題4：設“為e(4c4),由4,&是封閉集，可得α+力G(AC&),Me(ACA2),從而判斷為

正確；

(3)根據題意，令A=Q,只需證明?Q不是封閉集即可，取AiQ中的±0即可證明.

【詳解】(1)解：對于集合B={0},因為0+0=0e3,OxO=OeB,

所以B={0}是封閉集；

對于集合C={T,0,l},因為-1+O=-1∈C,-IxO=OeC,-1+1=OeC,-l×l=-1∈C,

0+l=l∈C,0×l=0∈C,

所以集合c={-1,0,1}是封閉集；

⑵解:對命題P：4?A={x?x=2k,keZ},A2={x?x=3k,keZ],

則集合A，4是封閉集,如A={0L2},A2={0,3},但A□4={0,-2,3}不是封閉集，故錯誤;

對于命題心設a,〃e(Ac&),則有a∕eA,又因為集合A是封閉集,

所以α+beA∣,“匕eA,

同理可得α+beA2,"eA2,

所以α+Z>s(A∣nA,),a?∈(Alnλ2),

所以ACA2是封閉集，故正確；

(3)證明：因為非空集合A是封閉集合，且A≠R,

所以物≠0,R4≠R,

假設ekA是封閉集，

由(2)的命題夕可知：若非空集合兒,人是封閉集，且ACaH0,則ACA2也是封閉集,

又因為Ac&4)=0,

所以OA不是封閉集.

得證.

三、雙空題

4ττ

17.計算：(D∣og∣62=；(2)cos—=.

【答案】[##0.25-L##-0.5

42

【分析】(1)由對數運算性質即可求.

(2)由誘導公式即可求.

111

4

【詳解】(1)Iog162=Iog1616=-Iog1616=-；

故答案為：?；-?.

四、填空題

18.不等式-2V+χ≤-3的解集是.

【答案】{χ∣χ≥∣或X≤T}

【分析】將不等式變形為(2x-3)(x+l)≥0,即可求出不等式的解集.

【詳解】解：不等式一2∕+x≤-3,即2f-X-3≥0,即(2x-3)(x+l)≥0,

3

解得x≥;或χ≤-1,

2

3

所以不等式的解集為{X∣尤*5或x≤T}.

故答案為：{χ∣χ≥∣或X≤-1}

19.函數y=2sin(3x)的最小正周期是.

【答案】y

【分析】直接由周期公式得解.

rr

)π)

【詳解】函數y=2sin(3x)的最小正周期是：T=~=y

2

故填：-π

3

【點睛】本題主要考查了y=Asin(s+0)+B的周期公式，屬于基礎題.

20.A、B、C三個物體同時從同一點出發向同向而行，位移>關于時間X(X>0)的函數關系式分別為

x

力=2-?,yβ=log,x,無=1，則下列結論中，所有正確結論的序號是.

①當x>l時，A總走在最前面；

②當()<xvl時，C總走在最前面；

③當x>4時，B一定走在C前面.

【答案】①②

【分析】畫出三函數的圖象，結合三種類型函數的增長速度，數形結合得到結論.

x

【詳解】在同一坐標系內畫出yA=2-l,yB=log,x,yc=的函數圖象，

當x>1時，指數函數以=2*-1的增長速度>幕函數為=」的增長速度>對數函數無=%的增長速

度,

2

當冗=1時，yι=2-l=l,γc=I=1，故當x>l時，A總走在最前面，①正確;

當OVXVl時，由圖象可知：C總走在最前面，②正確；

2,

當x=4時，%=log24=2,??=4=2

?

,

當X=16時，yβ=Jog216=4,yc=16^=4

由于'基函數y,=X；的增長速度>對數函數為=1的增長速度,

故4<x<16時，8走在C前面，

當x>16時，B走在C后面，③錯誤.

故答案為：①②

21.下表是某班10個學生的一次測試成績，對單科成績分別評等級:

學生學號12345678910

數學成績140136136135134133128127124m

語文成績10211()Ill126102134979598n

在這10名學生中，己知數學成績為“A等”的有8人，語文成績為“A等”的有7人，數學