求向量組的極大無關組_第1頁
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文檔簡介

求向量組的極大無關組思路之一:

定義法.(2)向量組中含向量個數最多的線性無關部分組都是向量組的極大無關組;(1)假定是某向量組中的r個向量,如果線性無關,且向量組中任一向量都可由線性表示,則是向量組的一個極大無關組;此方法比較煩瑣,較少用求向量組的極大無關組的方法總結思路之二:

初等行變換法.(1)將向量組中的各向量作為矩陣A的各列;(2)對A施行初等行變換(注意僅限初等行變換);(3)化A為階梯形,在每一階梯中取一列為代表,則所得向量組即為原向量組得一個極大無關組.用初等行變換求極大無關組是最基本的方法.思路之三:

利用等價性.設為某向量組的一個極大無關組,則任意r個線性無關的部分組均為極大無關組.例1求下列向量組的一個極大無關組分析:按定義向量個數最多的線性無關部分組都是向量組的極大無關組.思想:(i)通過觀察找出一個無關組;(ii)往前面找出的無關組中增加一個向量,若得到新的向量組仍然線性無關,則得到了新的線性無關組,否則,繼續考慮下一個向量(iii)重復步驟(ii)直到考慮完所有的向量為止,這樣最后得到的線性無關組便是原向量組的一個最大無關組.解:線性無關.1)2)因為的對應分量不成比例,所以線性無關.3)下面考慮向量組線性相關.4)下面考慮向量組設存在一組數使得即從而解得即也即所以是向量組的一個極大無關組.例2考慮向量組求此向量組的一個極大線性無關組,并把其余向量分別用該極大無關組線性表示.解:用這些向量作為矩陣A的列向量，并對矩陣A作初等行變換可見,為一個極大無關組.事實上,均為極大無關組.進一步有所以有注:這里用到初等行變換不改變列向量之間的線性關系.分析:若能證明向量組例3試證:若n維單位向量可以由n維向量線性表示,則線性無關.I:II:等價,則又從而因此,線性無關.證明:由于n維單位向量可以由故向量組n維向量線性表示,又顯然有n維向量可以由n維單位向量線性表示,I:II:等價,則又從而因此,線性無關.例4設為齊次線性方程組的基礎解系,試判別下述向量組是否仍是的基礎解系.分析:本題實際上已知為的解空間的極大無關組,要求證明是否仍是的解空間的極大無關組.由于已知極大無關組為三個向量,所以任意三個線性無關向量均為極大無關組,這只要證明與是否等價即可.注意:作為基礎解系,應說明為解向量.解:只需證明線性無關即可,顯然均為的解,而這又轉化為證明與等價.(1)由知記為A又從而因此秩(注:

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