專題20概率與統(tǒng)計常考小題歸類【目錄】TOC\o"13"\h\z\u 2 3 4 5 11考點一：抽樣方法與隨機數表 11考點二：統(tǒng)計圖表及其數字特征 12考點三：傳統(tǒng)線性擬合 15考點四：非線性擬合處理 17考點五：傳統(tǒng)獨立性檢驗 18考點六：創(chuàng)新類定義統(tǒng)計 21考點七：正態(tài)分布 24考點八：超幾何分布與二項分布 25考點九：隨機變量的分布列、期望、方差 26考點十：古典概型 27考點十一：條件概率與全概率 28考點十二：概統(tǒng)結合問題 30考點十三：傳統(tǒng)規(guī)則的概率問題 31考點十四：新賽制概率問題 33考點十五：遞推型概率命題 35概率與統(tǒng)計小題是每年高考必考的內容．一是求統(tǒng)計圖表、方差、平均數；二是求古典概型；三是相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式．多以選擇、填空題的形式考查，難度容易或中等．考點要求考題統(tǒng)計考情分析統(tǒng)計圖表、方差、平均數、中位數2023年上海卷第14題，4分2022年甲卷第2題，5分2021年甲卷第2題，5分2021年I卷第9題，5分【命題預測】預測2024年高考，多以小題形式出現(xiàn)，也有可能會將其滲透在解答題的表達之中，相對獨立．具體估計為：（1）以選擇題或填空題形式出現(xiàn)，考查邏輯推理與數學運算兩大核心素養(yǎng)．（2）熱點是古典概型.古典概型2023年乙卷第9題，5分2023年甲卷第4題，5分2022年I卷第5題，5分2022年甲卷第6題，5分相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式2022年乙卷第10題，5分2021年天津卷第14題，5分回歸方程、正態(tài)分布2023年天津卷第7題，5分2021年II卷第5題，5分1、加強識圖能力，理解并記準頻率分布直方圖與眾數、中位數及平均數的關系；折線圖注意上升趨勢以及波動性；扇形圖數據可先用表格列出，再計算、判斷．2、在頻率分布直方圖中，注意小矩形的，小矩形的面積，所有小矩形的面積之和為1．3、求回歸方程（1）根據散點圖判斷兩變量是否線性相關，如不是，應通過換元構造線性相關．（2）利用公式，求出回歸系數．（3）待定系數法：利用回歸直線過樣本點的中心求系數．4、回歸方程的擬合效果，可以利用相關系數判斷，當越趨近于1時，兩變量的線性相關性越強．5、比較幾個分類變量有關聯(lián)的可能性大小的方法（1）通過計算的大小判斷：越大，兩變量有關聯(lián)的可能性越大．（2）通過計算的大小判斷：越大，兩變量有關聯(lián)的可能性越大．6、獨立性檢驗的一般步驟（1）根據樣本數據制成列聯(lián)表．（2）根據公式，計算的觀測值．（3）比較與臨界值的大小關系，進行統(tǒng)計推斷．7、概率分布與不同知識背景結合考查對實際問題的解決能力（1）與數列結合的實際問題（2）與函數導數結合的實際問題（3）與分段函數求最值、解不等式結合的實際問題（4）與統(tǒng)計結合的實際問題（5）與其他背景結合的實際問題1．（2023?天津）調查某種花萼長度和花瓣長度，所得數據如圖所示，其中相關系數，下列說法正確的是A．花瓣長度和花萼長度沒有相關性 B．花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)負相關 C．花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關 D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關系數一定是0.8245【答案】【解析】相關系數，且散點圖呈左下角到右上角的帶狀分布，花瓣長度和花萼長度呈正相關．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關系數不一定是0.8245．故選：．2．（2023?乙卷）某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文，則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題概率為A． B． C． D．【答案】【解析】某學校舉辦作文比賽，共6個主題，每位參賽同學從中隨機抽取一個主題準備作文，甲、乙兩位參賽同學構成的基本事件總數，其中甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題包含的基本事件個數，則甲、乙兩位參賽同學抽到不同主題概率為．故選：．3．（2023?甲卷）某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，則這2名學生來自不同年級的概率為A． B． C． D．【答案】【解析】某校文藝部有4名學生，其中高一、高二年級各2名，從這4名學生中隨機選2名組織校文藝匯演，基本事件總數，這2名學生來自不同年級包含的基本事件個數，則這2名學生來自不同年級的概率為．故選：．4．（2023?上海）如圖為年上海市貨物進出口總額的條形統(tǒng)計圖，則下列對于進出口貿易額描述錯誤的是A．從2018年開始，2021年的進出口總額增長率最大 B．從2018年開始，進出口總額逐年增大 C．從2018年開始，進口總額逐年增大 D．從2018年開始，2020年的進出口總額增長率最小【答案】【解析】顯然2021年相對于2020年進出口額增量增加特別明顯，故最后一年的增長率最大，對；統(tǒng)計圖中的每一年條形圖的高度逐年增加，故對；2020年相對于2019的進口總額是減少的，故錯；顯然進出口總額2021年的增長率最大，而2020年相對于2019年的增量比2019年相對于2018年的增量小，且計算增長率時前者的分母還大，故2020年的增長率一定最小，正確．故選：．5．（2022?新高考Ⅰ）從2至8的7個整數中隨機取2個不同的數，則這2個數互質的概率為A． B． C． D．【答案】【解析】從2至8的7個整數中任取兩個數共有種方式，其中互質的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共14種，故所求概率為．故選：．6．（2022?乙卷）某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤，各盤比賽結果相互獨立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，，，且．記該棋手連勝兩盤的概率為，則A．與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無關 B．該棋手在第二盤與甲比賽，最大 C．該棋手在第二盤與乙比賽，最大 D．該棋手在第二盤與丙比賽，最大【答案】【解析】選項，已知棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率不相等，所以受比賽次序影響，故錯誤；設棋手在第二盤與甲比賽連贏兩盤的概率為，棋手在第二盤與乙比賽連贏兩盤的概率為，棋手在第二盤與丙比賽連贏兩盤的概率為，，同理可得，，，，，最大，即棋手在第二盤與丙比賽連贏兩盤的概率最大．故選：．7．（2022?甲卷）從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機抽取2張，則抽到的2張卡片上的數字之積是4的倍數的概率為A． B． C． D．【答案】【解析】根據題意，從6張卡片中無放回隨機抽取2張，有，，，，，，，，，，，，，，，共15種取法，其中抽到的2張卡片上的數字之積是4的倍數有，，，，，，共6種情況，則抽到的2張卡片上的數字之積是4的倍數的概率；故選：．8．（2022?甲卷）某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識．為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖：則A．講座前問卷答題的正確率的中位數小于 B．講座后問卷答題的正確率的平均數大于 C．講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差 D．講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差【答案】【解析】對于，講座前問卷答題的正確率從小到大為：，，，，，，，，，，講座前問卷答題的正確率的中位數為：，故錯誤；對于，講座后問卷答題的正確率的平均數為：，故正確；對于，由圖形知講座前問卷答題的正確率相對分散，講座后問卷答題的正確率相對集中，講座前問卷答題的正確率的標準差大于講座后正確率的標準差，故錯誤；對于，講座后問卷答題的正確率的極差為：，講座前正確率的極差為：，講座后問卷答題的正確率的極差小于講座前正確率的極差，故錯誤．故選：．9．（2021?甲卷）為了解某地農村經濟情況，對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查，將農戶家庭年收入的調查數據整理得到如下頻率分布直方圖：根據此頻率分布直方圖，下面結論中不正確的是A．該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為 B．該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為 C．估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元 D．估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間【答案】【解析】對于，該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率為，故選項正確；對于，該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率為，故選項正確；對于，估計該地農戶家庭年收入的平均值為萬元，故選項錯誤；對于，家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的頻率為，故估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間，故選項正確．故選：．10．（2021?新高考Ⅱ）某物理量的測量結果服從正態(tài)分布，則下列結論中不正確的是A．越小，該物理量在一次測量中落在內的概率越大 B．該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5 C．該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等 D．該物理量在一次測量中結果落在與落在的概率相等【答案】【解析】因為某物理量的測量結果服從正態(tài)分布，所以測量的結果的概率分布關于10對稱，且方差越小，則分布越集中，對于，越小，概率越集中在10左右，則該物理量一次測量結果落在內的概率越大，故選項正確；對于，測量結果大于10的概率為0.5，故選項正確；對于，由于概率分布關于10對稱，所以測量結果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故選項正確；對于，由于概率分布是集中在10附近的，分布在10附近的區(qū)域大于分布在10附近的區(qū)域，故測量結果落在內的概率大于落在內的概率，故選項錯誤．故選：．11．（多選題）（2021?新高考Ⅰ）有一組樣本數據，，，，由這組數據得到新樣本數據，，，，其中，2，，，為非零常數，則A．兩組樣本數據的樣本平均數相同 B．兩組樣本數據的樣本中位數相同 C．兩組樣本數據的樣本標準差相同 D．兩組樣本數據的樣本極差相同【答案】【解析】對于，兩組數據的平均數的差為，故錯誤；對于，兩組樣本數據的樣本中位數的差是，故錯誤；對于，標準差，兩組樣本數據的樣本標準差相同，故正確；對于，，2，，，為非零常數，的極差為，的極差為，兩組樣本數據的樣本極差相同，故正確．故選：．12．（2021?天津）甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對的一方獲勝，否則本次平局．已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為和，且每次活動中甲、乙猜對與否互不影響，各次活動也互不影響，則一次活動中，甲獲勝的概率為；3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為．【答案】；．【解析】一次活動中，甲獲勝的概率為，次活動中，甲至少獲勝2次的概率為．故答案為：；．考點一：抽樣方法與隨機數表【例1】（2024·青海西寧·高三統(tǒng)考期末）用分層抽樣的方法從某社區(qū)的500名男居民和700名女居民中選取12人參與社區(qū)服務滿意度調研，則女居民比男居民多選取（

）A．8人 B．6人 C．4人 D．2人【答案】D【解析】由題可知，男居民選取人，女居民選取人，則女居民比男居民多選取2人.故選：D.【變式11】（2024·全國·高三專題練習）總體由編號為01，02，…，19，20的20個個體組成，利用下面的隨機數表選取5個個體，選取方法是從隨機數表第1行的第5列和第6列數字開始由左到右依次選取兩個數字，則選出來的第5個個體的編號為（）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A．08 B．02 C．63 D．01【答案】D【解析】根據題意，依次讀出的數據為65（舍去），72（舍去），08，02，63（舍去），14，07，02（舍去，重復），43（舍去），69（舍去），97（舍去），28（舍去），01.即第5個數字為01.故選:D.【變式12】（2024·海南省直轄縣級單位·高三校考階段練習）某飲料廠生產A，B兩種型號的飲料，每小時可生產兩種飲料共1000瓶，質檢人員采用分層隨機抽樣的方法從這1000瓶中抽取了60瓶進行質量檢測，其中抽到A型號飲料15瓶，則每小時B型號飲料的產量為（

）A．600瓶 B．750瓶 C．800瓶 D．900瓶【答案】B【解析】設每小時B型號飲料的產量為，所以有，故選：B考點二：統(tǒng)計圖表及其數字特征【例2】（多選題）（2024·江西·高三玉山一中校聯(lián)考階段練習）江西省2017年到2022年常住人口變化圖如圖所示，則（

）A．江西省2017年到2022年這6年的常住人口在2019年取得最大值B．江西省2017年到2022年這6年的常住人口的極差為148.70萬C．江西省2017年到2022年這6年的常住人口的中位數為4527.98萬D．江西省2017年到2022年這6年的常住人口的第80百分位數為4647.60萬【答案】ABD【解析】由圖可知，將江西省2017年到2022年這6年的常住人口（單位：萬）按照從小到大的順序排列為4517.40，4518.86，4527.98，4622.10，4647.60，4666.10，對于A項，這6年的常住人口在2019年取得最大值，故A項正確；對于B項，極差為萬，故B項正確；對于C項，中位數為萬，故C項錯誤；對于D項，因為，所以第80百分位數為4647.60萬，故D項正確.故選：ABD.【變式21】（多選題）（2024·廣東惠州·高三惠州一中校考階段練習）某地環(huán)境部門對轄區(qū)內甲、乙、丙、丁四個地區(qū)的環(huán)境治理情況進行檢查督導，若一地區(qū)連續(xù)10天每天的空氣質量指數均不大于100，則認為該地區(qū)的環(huán)境治理達標，否則認為該地區(qū)的環(huán)境治理不達標.根據連續(xù)10天檢測所得數據的數字特征推斷，環(huán)境治理一定達標的地區(qū)是（

）A．甲地區(qū)：平均數為90，方差為10 B．乙地區(qū)：平均數為60，眾數為50C．丙地區(qū)：中位數為50，極差為70 D．丁地區(qū)：極差為20，80%分位數為80【答案】AD【解析】設每天的空氣質量指數為（，2，…，10），則方差.對于A，由，得，若這10天中有1天的空氣質量指數大于100，則必有，矛盾，所以這10天每天的空氣質量指數都不大于100，故A正確；對于B，假設有8天為50，有1天為140，有1天為60，此時平均數為60，眾數為50，但該地區(qū)的環(huán)境治理不達標，故B錯誤；對于C，假設第1天為120，后面9天為50，此時中位數為50，極差為70，但該地區(qū)的環(huán)境治理不達標，故錯誤；對于D，如果最大值大于100，根據極差為20，則最小值大于80，這與分位數為80矛盾，故最大值不大于100，故D正確.故選：AD【變式22】（多選題）（2024·廣東珠海·高三珠海市第一中學校考期末）某單位為了解職工健康情況，采用分層隨機抽樣的方法從5000名職工中抽取了一個容量為100的樣本．其中，男性平均體重為64千克，方差為151；女性平均體重為56千克，方差為159，男女人數之比為，下列說法正確的是（

）A．樣本為該單位的職工 B．每一位職工被抽中的可能性為C．該單位職工平均體重 D．單位職工的方差【答案】BCD【解析】A項，樣本為該單位的職工的健康情況，所以A項錯誤；B項，由題可知，每一位職工被抽中的可能性為，所以B項正確；C項，D項，設設男性人數為，女性人數為，該單位全體人員體重的平均數為：，方差，所以C、D項正確；故選：BCD.【變式23】（多選題）（2024·廣東廣州·廣東實驗中學校考一模）（多選）“搜索指數”是網民通過搜索引擎，以搜索關鍵詞的次數為基礎所得到的統(tǒng)計指標．“搜索指數”越大，表示網民該關鍵詞的搜索次數越多，對與該關鍵詞相關的信息關注度也越高．如圖是2018年9月到2019年2月這半年中，某個關鍵詞的搜索指數變化的走勢圖．根據該走勢圖，下列結論正確的是（）A．這半年中，網民對與該關鍵詞相關的信息關注度呈周期性變化B．這半年中，網民對與該關鍵詞相關的信息關注度不斷減弱C．從網民對該關鍵詞的搜索指數來看，2018年10月份的方差大于11月份的方差D．從網民對該關鍵詞的搜索指數來看，2018年12月份的平均值大于2019年1月份的平均值【答案】CD【解析】在A中，這半年中，網民對該關鍵詞相關的信息關注度沒有規(guī)律，故A錯誤；在B中，這半年中，網民對該關鍵詞相關的信息關注度呈現(xiàn)出一定的波動性，而不是不斷減弱，故B錯誤；在C中，從網民對該關鍵詞的搜索指數來看，2018年10月份的方差大于11月份的方差，故C正確；在D中，從網民對該關鍵詞的搜索指數來看，2018年12月份的平均值大于2019年1月份的平均值，故D正確．故選：CD．【變式24】（多選題）（2024·河南·模擬預測）某地教師招聘考試，有3200人參加筆試，滿分為100分，筆試成績前20%（含20%）的考生有資格參加面試，所有考生的筆試成績和年齡分別如頻率分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖所示，則（

）A．90后考生比00后考生多150人 B．筆試成績的60%分位數為80C．參加面試的考生的成績最低為86分 D．筆試成績的平均分為76分【答案】BD【解析】對于A中，由年齡的扇形統(tǒng)計圖，可得90后的考生有人，00后的考生有人，可得人，所以A不正確；對于B中，由頻率分布直方圖性質，可得，解得，則前三個矩形的面積和，所以試成績的分位數為分，所以B正確；對于C中，設面試成績的最低分為，由前三個矩形的面積和為，第四個矩形的面積為，則分，所以C不正確；對于D中，根據頻率分布直方圖的平均數的計算公式，可得考試的平均成績?yōu)椋悍郑訢正確.故選：BD.考點三：傳統(tǒng)線性擬合【例3】某科學興趣小組的同學認為生物都是由蛋白質構成的，高溫可以使蛋白質變性失活，于是想初步探究某微生物的成活率與溫度的關系，微生物數量（個）與溫度的部分數據如下表：溫度481018微生物數量（個）30221814由表中數據算得回歸方程為，預測當溫度為時，微生物數量為個.【答案】9【解析】由表格數據可知，，，因為點在直線上，所以，即，故當時，，即預測當溫度為時，微生物數量為9個.故答案為：9【變式31】（2024·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）某同學收集了變量，的相關數據如下：x0.5233.545y15為了研究，的相關關系，他由最小二乘法求得關于的線性回歸方程為，經驗證回歸直線正好經過樣本點，則．【答案】69【解析】因為線性回歸方程經過樣本點，所以.因為：，所以.所以：.故答案為：69【變式32】某工廠為了對新研發(fā)的一種產品進行合理定價，將該產品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數據:單價(元)銷量(件)由表中數據，求得線性回歸方程，若在這些樣本點中任取一點，則它在回歸直線右上方的概率為【答案】/【解析】由已知，，又樣本中心在回歸直線上，即，解得，所以回歸直線方程為，當時，，所以點在回歸直線上；當時，，所以點在回歸直線左下方；當時，，所以點在回歸直線右上方；當時，，所以點在回歸直線右上方；當時，，所以點在回歸直線右上方；當時，，所以點在回歸直線左下方；所以個樣本點中在回歸直線右上方的有個，所以在這些樣本點中任取一點，則它在回歸直線右上方的概率為，故答案為：.考點四：非線性擬合處理【例4】（2024·內蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考期末）用模型擬合一組數據組，其中，設，得變換后的線性回歸方程為，則（

）A． B． C．35 D．21【答案】B【解析】由題意得，故，即，故，解得.故選：B【變式41】（2024·四川宜賓·四川省宜賓市南溪第一中學校校考模擬預測）下表為某外來生物物種入侵某河流生態(tài)后的前3個月繁殖數量（單位：百只）的數據，通過相關理論進行分析，知可用回歸模型對與的關系進行擬合，則根據該回歸模型，預測第7個月該物種的繁殖數量為（

）第個月123繁殖數量A．百只 B．百只C．百只 D．百只【答案】D【解析】由題意，兩邊取自然對數得，令，則，，，∵回歸直線必過樣本點的中心，∴，得，∴，則，當時，．故選：D.【變式42】（2024·全國·高三專題練習）蘭溪楊梅從5月15日起開始陸續(xù)上市，據調查統(tǒng)計，得到楊梅銷售價格（單位：Q元/千克）與上市時間t（單位：天）的數據如下表所示：時間t/（單位：天）102070銷售價格Q（單位：元/千克）10050100根據上表數據，從下列函數模型中選取一個描述楊梅銷售價格Q與上市時間t的變化關系：.利用你選取的函數模型，在以下四個日期末，楊梅銷售價格最低的日期為（

）A．6月5日 B．6月15日 C．6月25日 D．7月5日【答案】C【解析】根據表中數據，描述楊梅銷售價格Q與上市時間t的變化關系不可能是常數函數、也不可能是單調函數，函數在時均為單調函數，這與表格中的數據不吻合，所以應選取進行描述，將表中數據代入可得，解得，所以，，所以當時楊梅銷售價格最低，而6月5日時，6月15日時，6月25日時，7月5日時，所以時楊梅銷售價格最低.故選：C.考點五：傳統(tǒng)獨立性檢驗【例5】（2024·全國·高三專題練習）為了解喜愛足球是否與性別有關，隨機抽取了若干人進行調查，抽取女性人數是男性的2倍，男性喜愛足球的人數占男性人數的，女性喜愛足球的人數占女性人數的，若本次調查得出“在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為喜愛足球與性別有關”的結論，則被調查的男性至少有（

）人0.100.050.010.0050.0012.7063.8415.6357.87910.828A．11 B．12 C．13 D．14【答案】B【解析】設男性人數為，依題意，得列聯(lián)表如下：喜愛足球不喜愛足球合計男性女性合計則的觀測值為，因為本次調查得出“在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為喜愛足球與性別有關”的結論，于是，即，解得，而，因此故選：B【變式51】（2024·四川達州·統(tǒng)考一模）四川省將從2022年秋季入學的高一年級學生開始實行高考綜合改革，高考采用“3+1+2”模式，其中“1”為首選科目，即物理與歷史二選一.某校為了解學生的首選意愿，對部分高一學生進行了抽樣調查，制作出如下兩個等高條形圖，根據條形圖信息，下列結論正確的是（

）A．樣本中選擇物理意愿的男生人數少于選擇歷史意愿的女生人數B．樣本中女生選擇歷史意愿的人數多于男生選擇歷史意愿的人數C．樣本中選擇物理學科的人數較多D．樣本中男生人數少于女生人數【答案】C【解析】根據等高條形圖圖1可知樣本中選擇物理學科的人數較多，故C正確；根據等高條形圖圖2可知樣本中男生人數多于女生人數，故D錯誤；樣本中選擇物理學科的人數多于選擇歷史意愿的人數，而選擇物理意愿的男生比例高，選擇歷史意愿的女生比例低，所以樣本中選擇物理意愿的男生人數多于選擇歷史意愿的女生人數，故A錯誤；樣本中女生選擇歷史意愿的人數不一定多于男生選擇歷史意愿的人數，故B錯誤.故選：C.【變式52】（2024·浙江溫州·高三蒼南中學校聯(lián)考階段練習）在新高考改革中，浙江省新高考實行的是7選3的模式，即語數外三門為必考科目，然后從物理、化學、生物、政治、歷史、地理、技術（含信息技術和通用技術）7門課中選考3門.某校高二學生選課情況如下列聯(lián)表一和列聯(lián)表二（單位:人）選物理不選物理總計男生340110450女生140210350總計480320800表一選生物不選生物總計男生150300450女生150200350總計300500800表二試根據小概率值的獨立性檢驗，分析物理和生物選課與性別是否有關（

）附:A．選物理與性別有關，選生物與性別有關B．選物理與性別無關，選生物與性別有關C．選物理與性別有關，選生物與性別無關D．選物理與性別無關，選生物與性別無關【答案】C【解析】由題意，先分析物理課是否與性別有關：根據表格數據，結合題干表格數據，，因此，有充分證據推斷選擇物理學科與性別有關再分析生物課是否與性別有關：根據表格數據，結合題干表格數據，，因此，沒有充分證據推斷選擇生物學科與性別有關故選：C考點六：創(chuàng)新類定義統(tǒng)計【例6】（多選題）（2024·全國·模擬預測）教育統(tǒng)計學中，為了解某考生的成績在全體考生成績中的位置，通常將考生的原始分數轉化為標準分數．定義標準分數，其中為原始分數，為原始分數的平均數，為原始分數的標準差．已知某校的一次數學考試，全體考生的平均成績，標準差，轉化為標準分數后，記平均成績?yōu)椋瑯藴什顬椋瑒t(

)A． B． C． D．【答案】BD【解析】根據平均數與方差公式，得，，即，．故選：BD．【變式61】（2024·湖北·高三校聯(lián)考開學考試）定義空間直角坐標系中的任意點的“數”為：在點的坐標中不同數字的個數，如：，若點的坐標，則所有這些點的“數”的平均值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，點的坐標中不同數字的個數，可分為三類：（1）恰有3個相同數字的排列為種，則共有個；（2）恰有2個相同數字的排列為種，則共有個；（3）恰有0個相同數字的排列為種，則共有個；所以平均值為故選：A.【變式62】（2023·甘肅蘭州·統(tǒng)考一模）一組數據的平均數為，現(xiàn)定義這組數據的平均差.下圖是甲、乙兩組數據的頻率分布折線圖根據折線圖，判斷甲、乙兩組數據的平均差的大小關系是（

）A． B． C． D．無法確定【答案】C【解析】由給定的平均差公式可知：數據越集中于平均值附近，平均差越小.甲乙兩圖的縱坐標表示的為頻率/組距，即指數據落在此處的概率，甲圖中，不同組距區(qū)間的概率相差不大，即指數據較為均勻的分布在各區(qū)間，而乙圖數據較為集中的分布在乙圖最高處指代的區(qū)間，其他區(qū)間分布的比較少，故乙圖平均差比較小.故選：C【變式63】（2024·江西九江·統(tǒng)考一模）恩格爾系數(Engel’sCoefficien)是食品支出總額占個人消費支出總額的比重.居民可支配收入是居民可用于最終消費支出和儲蓄的總和，即居民可用于自由支配的收入.如圖為我國2013年至2019年全國恩格爾系數和居民人均可支配收入的折線圖.給出三個結論：①恩格爾系數與居民人均可支配收入之間存在負相關關系；②一個國家的恩格爾系數越小，說明這個國家越富裕；③一個家庭收入越少，則家庭收入中用來購買食品的支出所占的比重就越小.其中正確的是（

）A．① B．② C．①② D．②③【答案】C【解析】由折線圖可知，恩格爾系數在逐年下降，居民人均可支配收入在逐年增加，故兩者之間存在負相關關系，結論①正確；恩格爾系數越小，居民人均可支配收入越多，經濟越富裕，結論②正確；家庭收入越少，人們?yōu)榻鉀Q溫飽問題，收入的大部分用來購買食品，結論③錯誤.故選：C考點七：正態(tài)分布【例7】已知某社區(qū)居民每周運動總時間為隨機變量（單位：小時），且，．現(xiàn)從該社區(qū)中隨機抽取3名居民，則至少有兩名居民每周運動總時間為5至6小時的概率為（

）A．0.642 B．0.648 C．0.722 D．0.748【答案】B【解析】由題意得，則，則，則至少有兩名居民每周運動總時間為5至6小時的概率為,故選：B.【變式71】（2024·重慶·高三重慶八中校考階段練習）阿鑫上學有時坐公交車，有時騎自行車.若阿鑫坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布，其密度曲線如圖所示，則以下結論錯誤的是（

）A．Y的數據較X更集中B．若有34min可用，那么坐公交車不遲到的概率大C．若有38min可用，那么騎自行車不遲到的概率大D．【答案】D【解析】觀察圖象知，，對于A，的密度曲線瘦高、的密度曲線矮胖，即隨機變量的標準差小于的標準差，即，因此Y的數據較X更集中，A正確；對于B，顯然，則當有34min可用時，坐公交車不遲到的概率大，B正確；對于C，顯然，則當有38min可用時，騎自行車不遲到的概率大，C正確；對于D，顯然，因此，D錯誤.故選：D【變式72】（2024·全國·模擬預測）某早餐店發(fā)現(xiàn)加入網絡平臺后，每天小籠包的銷售量（單位：個），估計300天內小籠包的銷售量約在950到1100個的天數大約是（

）（若隨機變量，則，，）A．236 B．246 C．270 D．275【答案】B【解析】由題可知，，，.所以300天內小籠包的銷售量約在950到1100個的天數大約是天．故選：B．考點八：超幾何分布與二項分布【例8】（2023上·上海浦東新·高三統(tǒng)考期末）在100件產品中有90件一等品、10件二等品，從中隨機抽取3件產品，則恰好含1件二等品的概率為（結果精確到0.01）．【答案】0.25【解析】從這批產品中抽取3件，則事件總數為，其中恰好有一件二等品的事件有，所以恰好有一件二等品的概率為.故答案為：0.25【變式81】（2023·浙江金華·校聯(lián)考模擬預測）一次擲兩枚骰子，若兩枚骰子點數之和為4或5或6，則稱這是一次成功試驗．現(xiàn)進行四次試驗，則恰出現(xiàn)一次成功試驗的概率為．【答案】【解析】一次擲兩枚骰子，兩枚骰子點數之和為4的情況有3種，兩枚骰子點數之和為5的情況有4種，兩枚骰子點數之和為6的情況有5種，在一次試驗中，出現(xiàn)成功試驗的概率，設出現(xiàn)成功試驗的次數為，則，所以重復做這樣的試驗4次，則恰出現(xiàn)一次成功試驗的概率為，故答案為：．【變式82】（2023上·江蘇常州·高三常州高級中學校考開學考試）設隨機變量，記，．在研究的最大值時，某學習小組發(fā)現(xiàn)并證明了如下正確結論：若為正整數，當時，，此時這兩項概率均為最大值；若不為正整數，則當且僅當取的整數部分時，取最大值．某同學重復投擲一枚質地均勻的骰子并實時記錄點數1出現(xiàn)的次數．當投擲到第20次時，記錄到此時點數1出現(xiàn)4次，若繼續(xù)再進行80次投擲試驗，則在這100次投擲試驗中，點數1總共出現(xiàn)的次數為的概率最大．【答案】17【解析】繼續(xù)再進行80次投擲試驗，出現(xiàn)點數為1次數服從二項分布，由，結合題中結論可知，時概率最大，即后面80次中出現(xiàn)13次點數1的概率最大，加上前面20次中的4次，所以出現(xiàn)17次的概率最大.故答案為：17.考點九：隨機變量的分布列、期望、方差【例9】（2024·全國·高三專題練習）某同學參加學校數學知識競賽，規(guī)定每個同學答20道題，已知該同學每道題答對的概率為0.6，每道題答對與否相互獨立．若答對一題得3分，答錯一題扣1分，則該同學總得分的數學期望為，方差為．【答案】2876.8【解析】設該同學答對題目的數量為，因為該同學每道題答對的概率為，共答道題，所以，所以，．設該同學總得分為，則，，．故答案為：；.【變式91】（2024·全國·高三專題練習）有一批產品，其中有12件正品和4件次品，從中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次數，則，．【答案】【解析】由題意得服從二項分布，且每次取到次品的概率為，所以，所以，．故答案為：；.【變式92】（2023上·全國·高三專題練習）有一批產品，其中有6件正品和4件次品，從中任取3件，其中次品的件數記為X，則次品件數X的期望為．【答案】1.2【解析】由題意知隨機變量X服從超幾何分布，其中，，，于是次品件數X的期望，故答案為：1.2考點十：古典概型【例10】（2024·全國·模擬預測）某藝術展覽會的工作人員要將A，B，C三幅作品排成一排，則A，B這兩幅作品排在一起的概率為．【答案】【解析】根據題意A，B，C三幅作品排成一行，有ABC，ACB，BAC，BCA，CBA，CAB共6種情況，A，B這兩幅作品排在一起的情況有ABC，BAC，CBA，CAB，共4種，則A，B這兩幅作品排在一起的概率.故答案為：【變式101】（2024·全國·模擬預測）如圖，三個開關控制著號四盞燈，其中開關控制著號燈，開關控制著號燈，開關控制著1，2，4號燈．開始時，四盞燈都亮著．現(xiàn)先后按動這三個開關中的兩個不同的開關，則其中1號燈或2號燈亮的概率為．【答案】【解析】先后按動中的兩個不同的開關，有（種）按法．若要1號燈亮，則先按第一個開關時，1號燈滅，再按第二個開關時，1號燈亮，此時對應的按法有2種，即；同理可得，若要2號燈亮，有，即2種按法．綜上，要1號燈或2號燈亮有（種）按法，故所求的概率．故答案為：【變式102】（2024·全國·模擬預測）2023年10月18日，第三屆“一帶一路”國際合作高峰論壇在北京舉行．在“一帶一路”歡迎晚宴上，我國拿出特有的美食、美酒款待大家，讓國際貴賓們感受中國飲食文化、茶文化、酒文化．這次晚宴菜單中有“全家福”“沙蔥牛肉”“北京烤鴨”“什錦鮮蔬”“冰花鍋貼”“蟹黃燒麥”“天鵝酥”“象形枇杷”．假設在上菜的過程中服務員隨機上這八道菜（每次只上一道菜），則“沙蔥牛肉”“北京烤鴨”相鄰的概率為．【答案】/0.25【解析】服務員隨機上這八道菜有種排法，“沙蔥牛肉”，“北京烤鴨”相鄰有種排法，所以所求概率．故答案為：.考點十一：條件概率與全概率【例11】（2024·山東濱州·高三統(tǒng)考期末）甲和乙兩個箱子中各裝有10個除顏色外完全相同的球，其中甲箱中有4個紅球、3個白球和3個黑球，乙箱中有5個紅球、2個白球和3個黑球．先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，分別用、和表示由甲箱取出的球是紅球、白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機取出一球，用B表示由乙箱取出的球是紅球的事件，則【答案】【解析】由題意得，，，若發(fā)生，此時乙箱中有6個紅球，2個白球和3個黑球，則，先發(fā)生，此時乙箱中有5個紅球，3個白球和3個黑球，則，先發(fā)生，此時乙箱中有5個紅球，2個白球和4個黑球，則．，；.故答案為：【變式111】（2024·河南·模擬預測）設同一隨機試驗中的兩個事件A，B滿足，，，則.【答案】/0.375【解析】由，得；由全概率公式：，則.故答案是：.【變式112】某校高三1班第一小組有男生4人，女生2人，為提高中學生對勞動教育重要性的認識，現(xiàn)需從中抽取2人參加學校開展的勞動技能學習，恰有一名女生參加勞動學習的概率則為；在至少有一名女生參加勞動學習的條件下，恰有一名女生參加勞動學習的概率．【答案】【解析】由題設，抽取2人，恰有一名女生參加，其概率，至少有一名女生參加，事件含恰有一名女生、2人都是女生，其概率，所以，在至少有一名女生參加條件下，恰有一名女生的概率.故答案為：，考點十二：概統(tǒng)結合問題【例12】（2024·黑龍江大慶·鐵人中學校考模擬預測）如圖是一塊高爾頓板示意圖：在一塊木板．上釘著若干排互相平行但相互錯開的圓柱形小木塊，小木塊之間留有適當的空隙作為通道，小球從上方的通道口落下后，將與層層小木塊碰撞，最后掉入下方的某一個球槽內．若小球下落過程中向左、向右落下的機會均等，則小球最終落入④號球槽的的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設這個球落入④號球槽為時間，落入④號球槽要經過兩次向左，三次向右，所以.故選：D.【變式121】（2024·海南·統(tǒng)考模擬預測）我國實行個人所得稅專項附加扣除制度，涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息、住房租金、贍養(yǎng)老人等多項專項附加扣除．某單位老年、中年、青年員工分別有90人、270人、180人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從該單位上述員工中抽取6人調查專項附加扣除的情況，再從這6人中任選2人，則選取的2人中恰有一名是中年員工的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由分層抽樣等比例性質知：老年、中年、青年員工分別抽取了1人、3人、2人，所以6人中任選2人中恰有一名是中年員工的概率為.故選：B【變式122】（2024·四川綿陽·鹽亭中學校考模擬預測）已知、的對應值如下表所示:xy與具有較好的線性相關關系，可用回歸直線方程近似刻畫，則在的取值中任取兩個數均不大于的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由表格中的數據可得，，所以這組數據的樣本點的中心的坐標為，又因為點在回歸直線上，所以，解得，所以的取值分別為、、、、，在這個數中，任取兩個，取到的兩個數都不大于的概率為.故選：B.考點十三：傳統(tǒng)規(guī)則的概率問題【例13】（2024·浙江寧波·效實中學校考模擬預測）盒中有5個小球，其中3個白球，2個黑球，從中任取個球，在取出的球中，黑球放回，白球涂黑后放回，此時盒中黑球的個數記為，則（

）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】，，∵，∴.∵，，，∴，故選：C.【變式131】（2024·全國·高三專題練習）端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗，設一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個，則三種粽子各取到1個的概率是A． B． C． D．【答案】C【解析】由題可先算出10個元素中取出3個的所有基本事件為；種情況；而三種粽子各取到1個有種情況，則可由古典概率得；考點：古典概率的算法．【例14】（2024·廣東清遠·高二統(tǒng)考期末）盒中有a個紅球，b個黑球，c個白球，今隨機地從中取出一個，觀察其顏色后放回，并加上同色球d個，再從盒中抽取一球，則第二次抽出的是黑球的概率是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設事件“第一次抽出的是紅球”，事件“第一次抽出的是黑球”，事件“第一次抽出的是白球”，事件“第二次抽出的是黑球”.由全概率公式知由題意，，，，，，則,故選：A考點十四：新賽制概率問題【例15】（2024·河南信陽·高二統(tǒng)考期末）2022年卡塔爾世界杯決賽中，阿根廷隊與法國隊在120分鐘比賽中戰(zhàn)平，經過四輪點球大戰(zhàn)阿根廷隊以總分戰(zhàn)勝法國隊，第三次獲得世界杯冠軍．其中門將馬丁內斯撲出法國隊員的點球，表現(xiàn)神勇，撲點球的難度一般比較大，假設罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．若不考慮其他因素，在點球大戰(zhàn)中，門將在前四次撲出點球的個數X的期望為（

）A． B． C． D．2【答案】C【解析】依題意可得，門將每次可以撲出點球的概率為．門將在前四次撲出點球的個數X可能的取值為0，1，2，3，4．，，，1，2，3，4．期望．故選：C．【變式151】通過核酸檢測可以初步判定被檢測者是否感染新冠病毒，檢測方式分為單檢和混檢.單檢，是將一個人的采集拭子放入一個采樣管中單獨檢測；混檢，是將多個人