7.1.2復數的幾何意義學習任務1．把握用復平面內的點或以原點為起點的向量來表示復數及它們之間的一一對應關系．(數學抽象)2．把握實軸、虛軸、模、共軛復數等概念．(數學抽象)3．把握用向量的模來表示復數的模的方法．(規律推理)我們知道，實數與數軸上的點一一對應，因此實數可以用數軸上的點來表示，復數作為數系的擴充，能不能進行幾何表示呢？讓我們來一起探究吧！學問點1復數的幾何意義1．復平面(1)復平面：建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面．(2)實軸：坐標系中的x軸叫做實軸，實軸上的點都表示實數．(3)虛軸：坐標系中的y軸叫做虛軸，除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數．1．實軸上的點表示實數，虛軸上的點表示虛數，這句話對嗎？[提示]不正確．實軸上的點都表示實數；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數，原點對應的有序實數對為(0，0)，它所確定的復數是z＝0＋0i＝0，表示的是實數．2．復數的幾何意義(1)復數集C中的數與復平面內的點一一對應：復數z＝a＋bi復平面內的點Z(a，b)；(2)復數集C中的數與復平面內以原點為起點的向量一一對應：復數z＝a＋bi平面對量OZ．學問點2復數的模1．定義：向量OZ的模叫做復數z＝a＋bi(a，b∈R)的模或確定值．2．記法：復數z＝a＋bi(a，b∈R)的模記作|z|或|a＋bi|．3．公式：|z|＝|a＋bi|＝a2學問點3共軛復數1．定義：一般地，當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數．虛部不等于0的兩個共軛復數也叫做共軛虛數．2．表示：復數z的共軛復數用z表示，即假如z＝a＋bi(a，b∈R)，那么z＝a－bi．2．共軛復數在復平面內對應的點有什么關系？[提示]它們所對應的點關于實軸對稱．1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)原點是實軸和虛軸的交點． ()(2)若OZ＝(0，－3)，則OZ對應的復數為－3i． ()(3)復數z＝－1－2i在復平面內對應的點位于第四象限． ()[答案](1)√(2)√(3)×2．已知復數z＝1＋2i(i是虛數單位)，則|z|＝________．5[∵z＝1＋2i，∴|z|＝12+23．復數z＝－3－2i的共軛復數z＝________．[答案]－3＋2i類型1復數與復平面內的點的關系【例1】求實數a分別取何值時，復數z＝a2-a-6a+3＋(a2－2a－15)i((1)在復平面的其次象限內；(2)在復平面內的x軸上方．[解](1)點Z在復平面的其次象限內，則a解得a＜－3．(2)點Z在x軸上方，則a解得a＞5或a＜－3．即當a＞5或a＜－3時，點Z在復平面內的x軸上方．[母題探究]1．本例中題設條件不變，求復數z表示的點在x軸上時，實數a的值．[解]點Z在x軸上，所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0，所以a＝5．故a＝5時，點Z在x軸上．2．本例中條件不變，假如點Z在直線x＋y＋7＝0上，求實數a的值．[解]由于點Z在直線x＋y＋7＝0上，所以a2-a-6a+3＋a2－2a即a3＋2a2－15a－30＝0，所以(a＋2)(a2－15)＝0，故a＝－2或a＝±15．所以a＝－2或a＝±15時，點Z在直線x＋y＋7＝0上．利用復數與點的對應解題的步驟(1)首先確定復數的實部與虛部，從而確定復數對應點的橫、縱坐標．(2)依據已知條件，確定實部與虛部滿足的關系．[跟進訓練]1．(1)已知a∈R，則復數(a2＋a＋1)－(a2－2a＋3)i對應的點在復平面內的第________象限．(2)已知復數x2－6x＋5＋(x－2)i在復平面內對應的點在第三象限，則實數x的取值范圍為________．(1)四(2)(1，2)[(1)由于a2＋a＋1＝a+122＋34>0，－(a2－2a＋3)＝－(a－故復數對應的點在第四象限．(2)由于復數x2－6x＋5＋(x－2)i在復平面內對應的點在第三象限，所以x2-6x+5<0，所以所求實數x的取值范圍是(1，2)．]類型2復數與復平面內向量的對應【例2】在復平面內，點A，B，C對應的復數分別為1＋4i，－3i，2，O為復平面的坐標原點．(1)求向量OA+OB和(2)求平行四邊形ABCD的頂點D對應的復數．[解](1)由已知得OA，OB，OC所對應的復數分別為1＋4i，－3i，2，則OA＝(1，4)，OB＝(0，－3)，OC＝因此OA+OB＝(1，1)，AC＝OC-OA＝故OA+OB對應的復數為1＋AC對應的復數為1－4i．(2)法一：由已知得點A，B，C的坐標分別為(1，4)，(0，－3)，(2，0)，則AC的中點為32，2，由平行四邊形的性質知BD若設D(x0，y0)，則有0+x0故D(3，7)．即頂點D對應的復數為3＋7i．法二：由已知得OA＝(1，4)，OB＝(0，－3)，OC＝(2，0)，所以BA＝(1，7)，BC＝(2，3)，由平行四邊形的性質得BD＝BA+BC＝(3，所以OD＝OB+BD＝(3，7)，于是D(3，即頂點D對應的復數為3＋7i．解決復數與平面對量一一對應的問題時，一般以復數與復平面內的點一一對應為工具，實現復數、復平面內的點、向量之間的轉化．[跟進訓練]2．在復平面內，分別用點和向量表示下列復數：4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i．[解]如圖(1)，點A，B，C，D，E分別表示復數4，2＋i，－i，－1＋3i，3－2i．如圖(2)，向量OA，OB，OC，OD，OE分別表示復數4，2＋i，－i類型3復數的模及其應用【例3】已知復數z1＝3－i，z2＝－12＋3(1)求|z1|，|z2(2)設z∈C，且z在復平面內對應的點為Z，則滿足|z2|≤|z|≤|z1|的點Z組成的集合是什么圖形？并作圖表示．[解](1)|z1|＝|3＋i|＝32+|z2|＝-12所以|z1|＞|z(2)由|z2|≤|z|≤|z1|，得1≤|z|≤2．不等式1≤|z|≤2等價于不等式組z由于滿足|z|≤2的點Z組成的集合是圓心在原點、半徑為2的圓及其內部(包括邊界)，而滿足|z|≥1的點Z組成的集合是圓心在原點、半徑為1的圓的外部(包括邊界)，所以滿足條件的點Z組成的集合是一個圓環(包括邊界)，如圖中陰影部分所示．1．復數的模的計算計算復數的模時，應先確定復數的實部和虛部，再利用模長公式計算．雖然兩個虛數不能比較大小，但它們的模可以比較大小．2．復數模的幾何意義(1)|z|表示點Z到原點的距離，可依據|z|滿足的條件推斷點Z的集合表示的圖形；(2)利用復數模的定義，把模的問題轉化為幾何問題解決．[跟進訓練]3．(1)(2022·廣西桂林期末)滿足1≤z≤3的復數z在復平面上對應的點構成的圖形的面積為()A．π B．2πC．8π D．9π(2)若復數z滿足z＋|z|＝2＋8i，則z的共軛復數z＝________．(1)C(2)－15－8i[(1)滿足1≤z≤3的復數z在復平面上對應的點構成的圖形為以原點為圓心，半徑分別為1和3構成的圓環，所以面積為π×32－π×12＝8π．故選C．(2)設z＝a＋bi(a，b∈R)，則|z|＝a2+b2，代入方程得a＋bi＋a2∴a+解得a=∴z＝－15＋8i,z的共軛復數z＝－15－8i．]1．復數z＝3－5i在復平面內對應的點的坐標是()A．(3，－5) B．(3，5)C．(3，－5i) D．(3，5i)A[復數z＝3－5i在復平面內對應的點的坐標是(3，－5)．]2．已知z＝m－1＋(m＋2)i在復平面內對應的點在其次象限，則實數m的取值范圍是()A．(－1，2) B．(－2，1)C．(1，＋∞) D．(－∞，－2)B[∵z＝m－1＋(m＋2)i在復平面內對應的點在其次象限，∴m－1<0，m＋2>0，解得－2<m<1，則實數m的取值范圍是(－2，1)．]3．在復平面內，O為原點，向量OA對應的復數為－1－2i，若點A關于虛軸的對稱點為B，則向量OB對應的復數為()A．－2－i B．2＋iC．1－2i D．－1＋2iC[由題意可知，點A的坐標為(－1，－2)，則點B的坐標為(1，－2)，故向量OB對應的復數為1－2i．]4．向量a＝(3，4)，設向量a對應的復數為z，則z的共軛復數z＝________，|z|＝________．[答案]3－4i5回顧本節學問，自主完成以下問題：1．復數與復平面內的點、復平面內的向量有什么關系？[提示]復數與復平面上點、與復平面上以原點為始點的向量是一一對應關系．即：2．設復數z＝x＋yi(x，y∈R)，則|z|等于多少？其幾何意義是什么？[提示]|z|＝x2+y2，其表示復平面內的點(x，y)到原點3．復數z＝a＋bi(a，b∈R)的共軛復數z如何表示？[提示]z＝a－bi(a，b∈R)．課時分層作業(十七)復數的幾何意義一、選擇題1．若OZ＝(0，－3)，則OZ對應的復數()A．等于0B．等于－3C．在虛軸上D．既不在實軸上，也不在虛軸上C[向量OZ對應的復數為－3i，在虛軸上．]2．若復數z＝－2＋i，則復數z的共軛復數z在復平面內對應的點位于()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限C[復數z的共軛復數z＝－2－i，在復平面內對應的點為(－2，－1)，位于第三象限．]3．設(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實數，則|x＋yi|＝()A．1 B．2C．3 D．2B[由于x，y∈R，(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝12+124．已知復數z滿足|z|2－2|z|－3＝0，則復數z對應的點Z的集合表示的圖形是()A．一個圓 B．線段C．兩點 D．兩個圓A[∵|z|2－2|z|－3＝0，∴(|z|－3)(|z|＋1)＝0，∴|z|＝3，∴復數z對應的點Z的集合是以原點O為圓心，以3為半徑的一個圓．]5．(多選)(2022·山東威海一中月考)已知m，n∈R，復數z1＝m＋3i，z2＝z1＋4－2i，且z2為純虛數，復數z1的共軛復數為z1，則(A．m＝－4B．z2＝C．z1＝－4－D．復數z1的虛部為－AC[由題可知z2＝m＋3i＋4－2i＝4+m＋i，對于A：由于z2為純虛數，所以m＝－4，故A正確；對于B：z2＝1，故B對于C：z1＝－4－3i，故C對于D：復數z1的虛部為－3，故D故選AC．]二、填空題6．若復數z1＝2＋bi與復數z2＝a－4i(a，b∈R)互為共軛復數，則a＝__________，b＝________．24[由于z1與z2互為共軛復數，所以a＝2，b＝4．]7．復數z＝x－2＋(3－x)i在復平面內對應的點在第四象限，則實數x的取值范圍是________．(3，＋∞)[∵復數z在復平面內對應的點在第四象限，∴x-2>0，8．設z為純虛數，且|z－1|＝|－1＋i|，則復數z＝________．±i[由于z為純虛數，所以設z＝ai(a∈R，且a≠0)，則|z－1|＝|ai－1|＝a2又由于|－1＋i|＝2，所以a2+1＝2，即a2＝所以a＝±1，即z＝±i．]三、解答題9．(源自北師大版教材)在復平面內作出表示下列復數的點，并分別求出它們的模和共軛復數：(1)z1＝3－2i；(2)z2＝－1＋3i．[解]在復平面作圖如圖．(1)|z1|＝|3－2i|＝32+-22＝13(2)|z2|＝|－1＋3i|＝-12+32＝2，z10．當23<m<1時，復數z＝(3m－2)＋(m－1)i在復平面內對應的點位于(A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限D[由于23<m<1，所以3m－2>0，m－1<0，所以復數z在復平面內對應的點在第四象限．11．在復平面內，把復數3－3i對應的向量按順時針方向旋轉π3，所得向量對應的復數是(A．23 B．－23iC．3－3i D．3＋3iB[復數3－3i對應的向量的坐標為(3，－3)，按順時針方向旋轉π3后得到新向量的坐標為(0，－23)，所得向量對應的復數為－2312．(多選)(2022·湖北宜昌市一中月考)已知復數z0＝1＋2i(i為虛數單位)在復平面內對應的點為P0，復數z滿足z-1=zA．P0點的坐標為(1，B．復數z0的共軛復數對應的點與點P0關于虛軸對稱C．復數z對應的點Z在一條直線上D．滿足z-z0＝5的復數z對應的點zACD[A．由于復數z0＝1＋2i，由復數的幾何意義知，P0點的坐標為(1，B．復數z0的共軛復數是z0＝1－2i，其對應的點與點P0C．設z＝x＋yi，x，y∈R，由于z-1=z-i，所以x-D．由于點P0到直線y＝x距離的最小值為d＝1-22＝22，所以滿足z-z0＝13．已知0<a<3，復數z＝a＋i(i是虛數單位)，則|z|的取值范圍是________．(1，10)[由于0<a<3，復數z＝a＋i(i是虛數單位)，所以|z|＝a2+1∈(1，10)14．已知復數z1＝cosθ＋isin2θ，z2＝3sinθ＋icosθ，求當θ滿足什么條件時：(1)z1，z2在復平面內對應的點關于實軸對稱；(2)|z2|＜2．[解](1)在復平面內，z1與z2對應的點關于實軸對稱，則cosθ=3sinθsin2θ=所以θ＝2kπ＋76π(k∈Z)(2)由|z2|＜2，得3sinθ2即3sin2θ＋cos2θ＜2，所以sin2θ