三統(tǒng)計案例

知識要點,易錯提醒

概念速記，

1.最小二乘法

對于一組數(shù)據(jù)（%，％）,i=l,2,…，n,如果它們線性相關(guān)，則線性回歸方程為尸6x+a,

其中少

苫（%-%）（力7）tx.y.-nxy_

------；-----——二.....-,a=y-bx.

￡（4.一%）“￡先.-nx

i=[1（=1i

2.2X2列聯(lián)表

2X2列聯(lián)表如表所示:

BB總計

Aaba+b

Acdc+d

總計a+cb+dn

其中〃=a+6+c+d為樣本容量.

3.片檢驗

常用隨機變量r=（a+方）（：**）"+d）來檢驗兩個變量是否有關(guān)系?

易誤辨析，一

1.回歸分析的兩個關(guān)注點

（1）回歸分析是建立在兩個具有相關(guān)性的變量之間的一種模擬分析，因此先判斷其是否具有

相關(guān)性.

（2）并非只有線性相關(guān)關(guān)系，還可能存在非線性相關(guān)關(guān)系.

2.獨立性檢驗的兩個注意點

（1）通過獨立性檢驗得到的結(jié)論未必正確，它只是對一種可靠性的預測.

（2）2X2列聯(lián)表中，當數(shù)據(jù)a,b,c,d都不小于5時，才可以用*檢驗.

4_主__題__串__講__，_綜__合__提_高__■nacrm4

主題1回歸分析

曲某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費近單位：千元）對年

銷售量y（單位：力和年利潤Z（單位：千元）的影響.對近8年的年宣傳費為和年銷售量％（i

=1,2,…，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.

年銷售量y/i

620

600???

580.*

560?

540.

520

500?

4801—?—?—?—?—?—?—?—?—?—?—i—?

343638404244464850525456

年宣傳費”千元

8888_

XyW￡(一丁25-工2(x-%)(>->)y(IT-w)(y-y)

1=1ii=lii=liii=lii

46.65636.8289.81.61469108.8

8

表中啊=

(1)根據(jù)散點圖判斷，尸a+"與y=c+3那一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的

回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)

(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；

(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與％y的關(guān)系為zy—x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題：

①年宣傳費x=49時，年銷售量及年利潤的預報值是多少？

②年宣傳費x為何值時，年利潤的預報值最大？

附：對于一組數(shù)據(jù)Vi),(如V2),…，(0"%),其回歸直線/=〃+￡〃的斜率和截

距的最小二乘估計分別為

￡(%-〃)(4-”)

人<C—一人

B=----------：-------------------2-------=1Bu.

2

y(?i-M)

1=1

【解】(1)由散點圖可以判斷，適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方

程類型.

(2)令，仁正，先建立y關(guān)于田的線性回歸方程.

8

￡(w.-w)(y.-y)

由于己=上一j-----------------------=畢滑=68,

V(2L6

Z(w.-W一)、

1=1

c=y-dW=563—68X6.8=100.6,

所以y關(guān)于甲的線性回歸方程為/=100.6+68科

因此y關(guān)于x的回歸方程為y+68y

(3)①由(2)知，當*=49時,

年銷售量y的預報值尸100.6+68749^576.6,

年利潤z的預報值z=576.6X0.2—49=66.32.

②根據(jù)⑵的結(jié)果知，年利潤z的預報值

z=0.2(100.6+68百)-x=-x4x+20.12.

所以當/=岑=6.8,即x=46.24時，z取得最大值.

故年宣傳費為46.24千元時，年利潤的預報值最大.

園圖畫幽

解決回歸分析問題的一般步驟

(1)畫散點圖.根據(jù)己知數(shù)據(jù)畫出散點圖.

(2)判斷變量的相關(guān)性并求回歸方程.通過觀察散點圖，直觀感知兩個變量是否具有相關(guān)關(guān)

系；在此基礎上，利用最小二乘法求回歸系數(shù)，然后寫出回歸方程.

(3)回歸分析.畫殘差圖或計算"，進行殘差分析.

(4)實際應用.依據(jù)求得的回歸方程解決問題.

0:跟蹤訓練在一段時間內(nèi)，某種商品的價格x元和需求量y件之間的一組數(shù)據(jù)為：

x(元)1116182022

y(件)1210753

且知x與y具有線性相關(guān)關(guān)系，求出y關(guān)于x的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞.

—1

解：(14+16+18+20+22)=18,

5

一1

y=-X(12+10+7+5+3)=7.4,

□

Ix2=142+162+182+2O2+222=1660,

?=i1

Zx.y.=14x12+16x10+18x7+20x5+22x3=620,

5------

所以3^620-5x18x74^_L15

Lx2-5?1660-5x18-

1=11

所以a=7.4+1.15X18=28.1,

所以y對x的回歸直線方程為yx+28.1.

列出殘差表為

0

K—必

y\—y

5個

所以之（兀-兀）2=0.3,

￡（兀-y）~=53.2,

1=11

57

Z（r-y.）2

R2=1-~^-?0.994.

斗（兀-y）2

所以**0.994,擬合效果較好.

主題2獨立性檢驗

倒畫某學生對其30位親屬的飲食習慣進行了一次調(diào)查，并用莖葉圖表示30人的飲食指

數(shù)，如圖所示.（說明：圖中飲食指數(shù)低于70的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)大于等于

70的人，飲食以肉類為主.）

甲（50歲以下）乙（50歲以上）

-r2015676

323796

534452

858

61

6784758

5328

09

（1）根據(jù)莖葉圖，幫助這位同學說明其30位親屬的飲食習慣;

⑵根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成如表所示的2X2列聯(lián)表.

主食蔬菜主食肉類總計

50歲以下

50歲以上

總計

下認為“其親屬的飲食習慣與年齡有關(guān)”？

【解】（1）30位親屬中50歲以上的人飲食多以蔬菜為主，50歲以下的人飲食多以肉類為

主.

（2）2X2列聯(lián)表如表所示:

主食蔬菜主食肉類總計

50歲以下4812

50歲以上16218

總計201030

BOX(4X9—Qx1)2

(3)隨機變量片的觀測值k=?仃，d3萬乂備一=1。>6.635,

Ai1oAZUAiU

所以在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“其親屬的飲食習慣與年齡有關(guān)”.

四周回困

獨立性檢驗問題的求解策略

(1)等高條形圖法：依據(jù)題目信息畫出等高條形圖，依據(jù)頻率差異來粗略地判斷兩個變量的

相關(guān)性.

(2)片統(tǒng)計量法：通過公式

//7X2

*=-(汴〃)言忒一(：工、)"工石-先計算觀測值N再與臨界值表作比較，最后得出

結(jié)論.

處跟蹤訓練在考查黃煙是否經(jīng)過藥物處理與發(fā)生青花病的關(guān)系時，得到如下數(shù)據(jù)：在試

驗的470株黃煙中，經(jīng)過藥物處理的黃煙有25株發(fā)生青花病，60株沒有發(fā)生青花病；未經(jīng)

過藥物處理的有185株發(fā)生青花病，200株沒有發(fā)生青花病.試推斷經(jīng)過藥物處理跟發(fā)生青

花病是否有關(guān)系.

解：由已知，得2X2列聯(lián)表如下：

經(jīng)過藥物處理未經(jīng)過藥物處理總計

青花病25185210

無青花病60200260

總計85385470

提出假設餌經(jīng)過藥物處理跟發(fā)生青花病無關(guān)系.

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可以求得隨機變量A2的觀測值為

470X(25X200-185X60)2

k=--------------------------仁

210X260X85X3859二7，8。8。.

因為當外成立時，/27.879的概率約為0.005,而此時片的觀測值左79.788>7.879,

認為經(jīng)過藥物處理跟發(fā)生青花病是有關(guān)系的.

課后訓練，鞏固提升.

,[A基礎達標]

1.對兩個變量y和x進行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)：(①，弘),(熱，及)，…，(工，％),

則下列說法中不正確的是()

A.由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程y=6x+a必過樣本點的中心(x,y)

B.殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好

C.用相關(guān)指數(shù)〃來刻畫回歸效果，〃的值越小，說明模型的擬合效果越好

D.若變量y和x之間的相關(guān)系數(shù)r=-0.9362,則變量y與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系

解析：選C."的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果越好，故選C.

2.下列說法中正確的有：（）

①若r>0,則x增大時，y也相應增大；

②若r<0,則x增大時，y也相應增大；

③若r=l或r=-1,則矛與y的關(guān)系完全對應（有函數(shù)關(guān)系），在散點圖上各個散點均在一

條直線上.

A.①②B.②③

C.①③D.①②③

r>0,表示兩個相關(guān)變量正相關(guān)，x增大時，y也相應增大，故①正確，rVO,表示兩個變

量負相關(guān)，x增大時，y相應減小，故②錯誤.|萬越接近1,表示兩個變量相關(guān)性越高，61

=1表示兩個變量有確定的關(guān)系（即函數(shù)關(guān)系），故③正確.

3.若兩個變量的殘差平方和是325,Z（%一亍）2=923,則隨機誤差對預報變量的貢獻率

i=l

約為（）

A.64.8%B.60%

C.35.2%D.40%

325

—^0.352.

yzj

4.有下列數(shù)據(jù)

X123

y3

下列四個函數(shù)中，模擬效果最好的為（）

A.y=3X2'_1B.y=log2X

C.y=3xD.y=x

解析：選4分別把x=l,2,3,代入求值，求最接近y的值，即為模擬效果最好，故選4

5.通過隨機詢問100名性別不同的小學生是否愛吃零食，得到如下的列聯(lián)表：

男女合計

愛吃104050

不愛吃203050

合計3070100

P(百心

k

2nQad-be)2,100(10X30-20X40)2

由*=(a+b)(c+d)(a+c)Qb+d)'計算得*=50X50X30X70七4762.

參照附表，得到的正確結(jié)論為()

A.在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認為“是否愛吃零食與性別有關(guān)”

B.在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認為“是否愛吃零食與性別無關(guān)”

C.有97.5%以上的把握認為“是否愛吃零食與性別有關(guān)”

D.有97.5%以上的把握認為“是否愛吃零食與性別無關(guān)”

解析：選4因為*比4.762>3.841,尸(/>3.841)=0.05.所以在犯錯誤的概率不超過5%的前

提下，認為“是否愛吃零食與性別有關(guān)”，故選4

6.某種活性細胞的存活率7(%)與存放溫度”(℃)之間有如下幾組樣本數(shù)據(jù)：

存放溫度x(℃)104-2-8

存活率7(%)20445680

6°C時，該種細胞的存活率的預報值為%.

解析：設回歸直線方程為yx+a,因為7=1,7=50,則a=*x=6時，y=-3.2X6+53.2

=34.

答案:34

7.已知具有相關(guān)關(guān)系的兩個隨機變量的一組觀測數(shù)據(jù)的散點圖分布在函數(shù)y=3#+i的圖象

附近，則可通過轉(zhuǎn)換得到的線性回歸方程為.

解析：由了=3產(chǎn)+‘，

得Iny=/〃(3e”+'),

即Iny=ln3+2x+l,

令u=lny,v—x,則線性回歸方程為u=l+ln3+2匕

答案：u=l+ln3+2x(其中u=lny)

8.為了調(diào)查患慢性氣管炎是否與吸煙有關(guān)，調(diào)查了100名50歲以下的人，調(diào)查結(jié)果如下表:

患慢性氣管炎未患慢性氣管炎總計

吸煙202040

不吸煙55560

總計2575100

根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)，求得*=(保留3位有效數(shù)字)，根據(jù)下表，在犯錯誤的概率不超

過的前提下認為患慢性氣管炎與吸煙有關(guān).

附:

尸（片24）

ko

n(ad-be)2__________

*=

(a+Z?)(c+d)(a+c)(/?+4).

解析：〃的觀測值人吟粽W展-22.2>I0.82&

所以在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為患慢性氣管炎與吸煙有關(guān).

9.某學校高三年級有學生1000名，經(jīng)調(diào)查，其中750名同學經(jīng)常參加體育鍛煉（稱為A

類同學），另外250名同學不經(jīng)常參加體育鍛煉（稱為夕類同學），現(xiàn)用分層抽樣方法（按/

類、8類分兩層）從該年級的學生中共抽查100名同學，如果以身高達165c/作為達標的標

準，對抽取的100名學生，得到以下列聯(lián)表：

［」身高達標身高不達標總計

經(jīng)常參加體育鍛煉40

不經(jīng)常參加體育鍛煉15

總計100

（1）完成上表；

（2）能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為經(jīng)常參加體育鍛煉與身高達標有關(guān)系（/

的觀測值精確到0.001）?

解：（1）填寫列聯(lián)表如下：

身高達標身高不達標總計

經(jīng)常參加體育鍛煉403575

不經(jīng)常參加體育鍛煉101525

總計5050100

（2）由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得「的觀測值為

M二mg

333<3.841.

75X25X50X50

常參加體育鍛煉與身高達標有關(guān)系.

10.某城市理論預測2011年到2015年人口總數(shù)與年份的關(guān)系如表所示:

年份2011+x（年）01234

人口數(shù)y(十萬)5781119

(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；

(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程y="+a；

(3)據(jù)此估計2018年該城市人口總數(shù).

解：(1)散點圖如圖：

人口數(shù)十萬

20-?

15-

10-??,

1234~~

0+1+2+3+4

(2)因為3=

5

5+7+8+11+19

----------:----------=10,

*p；=0x5+1x7+2x8+3x11+4x19=132,

tx2=02+12+22+32+42=30,

i=1I

的,、，士132-5x2x10Q6

所以6=--------------------=3.2,

30-5x22

a=y-bx—3.6；

所以線性回歸方程為yx+3.6.

(3)令x=7,則y=3.2X7+3.6=26.

即估計2018年該城市人口總數(shù)為26十萬.

[B能力提升]

11.(2018?河南洛陽3月模擬)某省電視臺為了解該省衛(wèi)視一檔成語類節(jié)目的收視情況，抽

查東、西部各5個城市，得到觀看該節(jié)目的人數(shù)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)(單位：千人)，并畫出如下莖葉

圖，其中一個數(shù)字被污損.

東部西部

988337

2109?9

(1)求東部各城市觀看該節(jié)目的觀眾的平均人數(shù)超過西部各城市觀看該節(jié)目的觀眾的平均人

數(shù)的概率；

(2)該節(jié)目的播出極大地激發(fā)了觀眾對成語知識學習積累的熱情，現(xiàn)從觀看節(jié)目的觀眾中隨

機統(tǒng)計了4位觀眾學習成語知識的周均時間(單位：小時)與年齡(單位：歲)，并制作了如下

對照表：

年齡才20304050

周均學習成語知識時間y34

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，試求線性回歸方程尸"+a,并預測年齡為60歲的觀眾周均學習成語知識

的時間.

n---

-nxy__

參考公式：6=-----------=y-bX.

V22

2%-nx

i=l1

解：(1)設被污損的數(shù)字為a,則a有10種情況.

由88+89+90+91+92>83+83+87+90+a+99,得a<8,

所以有8種情況使得東部各城市觀看該節(jié)目的觀眾的平均人數(shù)超過西部各城市觀看該節(jié)目

的觀眾的平均人數(shù)，

84

所求概率為

1U□

4--

__-4xy

(2)由表中數(shù)據(jù),計算得％=35,y=3.5,1==一~—=

Zx2-4x2

1=11

525-4x35x3.5_7

5400-4x352一10°'

-721

a=y-bx=3.5——X35=—

-721

所以尸麗x+麗.

當x=60時，y=5.25.

即預測年齡為60歲的觀眾周均學習成語知識的時間為5.25小時.

12.(選做題)為了調(diào)查某地區(qū)成年人血液的一項指標，現(xiàn)隨機抽取了成年男性、女性各20

人組成一個樣本，對他們的這項血液指標進行了檢測，得到了如下莖葉圖.根據(jù)醫(yī)學知識，

我們認為此項指標大于40為偏高，反之即為正常.

男性女性

89750

98134

5973121558

87542312458

721403789

452567

(1)依據(jù)上述樣本數(shù)據(jù)研究此項血液指標與性別的關(guān)系，列出2義2列聯(lián)表，并判斷能否在犯

錯誤的概率不超過0.0