第07講一元二次方程目錄TOC\o"1-2"\n\p""\h\z\u題型01識別一元二次方程題型02由一元二次方程的概念求參數的值題型03一元二次方程的一般形式題型04由一元二次方程的解求參數的值題型05由一元二次方程的解求代數式的值題型06已知一元二次方程的一個根，求另一個根題型07選用合適的方法解一元二次方程題型08錯看或錯解一元二次方程問題題型09配方法的應用題型10判斷不含字母的一元二次方程根的情況題型11判斷含字母的一元二次方程根的情況題型12由方程根的情況確定字母的值或取值范圍題型13應用根的判別式證明方程根的情況題型14與根的判別式有關的新定義問題題型15由根與系數的關系直接求代數式的值題型16由根與系數的關系和方程的解通過代換求代數式的值題型17由方程兩根滿足關系求字母或代數式的值題型18與根與系數有關的新定義問題題型19構造一元二次方程求代數式的值題型20根與系數的關系和根的判別式的綜合應用題型21分裂（傳播）問題題型22碰面（循環）問題題型23增長率問題題型24營銷問題題型25與圖形有有關的問題題型01識別一元二次方程1．（2023瀘縣一診）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x2=5C．x-3x2．（202.無為市一模）下列方程是一元二次方程的是（

）A．x2-2xC．x2-1=0題型02由一元二次方程的概念求參數的值1．（2022上·湖南長沙·九年級統考期末）若關于x的方程m-3x2+A．m≠3 B．m=3 C．m≥32．（2023·山東青島·統考二模）關于x的方程x|a|-1-33．（2022西咸新區五模）若方程(m-1)x2+m題型03一元二次方程的一般形式1．（2023株洲市三模）一元二次方程2x2+1=3x的二次項系數是A．3 B．-3 C．1 D．2．（2022上·福建泉州·九年級晉江市第一中學校聯考階段練習）一元二次方程2y2-A．2，﹣3，﹣7 B．2，﹣7，﹣3 C．2，﹣7，3 D．﹣2，﹣3，73．（2022上·廣西柳州·九年級統考期中）一元二次方程x2-3題型04由一元二次方程的解求參數的值1．（2022·廣東廣州·統考一模）若關于x的一元二次方程（a-1）x2-ax+a2=1的一個根為0．則a=．題型05由一元二次方程的解求代數式的值1．（2022·浙江金華·統考一模）已知a是方程2x2-3xA．10 B．－10 C．2 D．－402．（2022上·福建泉州·九年級期末）已知實數a是一元二次方程x2+x﹣8＝0的根，則a4+a3+8a﹣1的值為（）A．62 B．63 C．64 D．653．（2020·江蘇泰州·統考一模）已知，m，n是一元二次方程x2+x-2021=0題型06已知一元二次方程的一個根，求另一個根1．（2021·山東濟南·統考中考真題）關于x的一元二次方程x2+x-a2．（2020高州市一模）已知x=1是方程x2+3．（2022·北京順義·統考一模）已知關于x的一元二次方程mx(1)求m的取值范圍；(2)若方程有一個根是0，求方程的另一個根．4．（2022·北京海淀·校考一模）關于x的一元二次方程x2(1)求m的取值范圍；(2)若方程有一根為4，求方程的另一根．題型07選用合適的方法解一元二次方程1．（2023·河南周口·統考一模）計算：解方程：5x57．（2023·山東淄博·統考二模）請分別用公式法和配方法兩種方法解方程：x22．（2023·江西吉安·校考模擬預測）解方程：(1)(2x(2)3x3．（2023·青海·統考一模）提出問題為解方程x2-22-11x2-2+18=0，我們可以將x當y1=2時，x2-2=2，當y2=9時，x2-2=9，∴原方程的解為x1=2，x2=-2，以上方法就是換元法解方程，從而達到了降次的目的，體現了轉化的思想．解決問題（1）運用上述換元法解方程x4延伸拓展（2）已知實數m，n滿足m+3nm題型08錯看或錯解一元二次方程問題1．（2023·河南信陽·校考三模）小明在解方程x2方法如下：xx2-2xx2-2xxx-2=x=1

第④老師看到后，夸小明很聰明，方法很好，但是有一步做錯了，請問小明出錯的步驟為（填序號）．2．（2023·浙江杭州·統考二模）以下是圓圓解方程的具體過程：x-32=2x-3的具體過程，方程兩邊同除以3．（2023·福建泉州·統考一模）小明在解方程x2解：∵a=1，b=∴b∴x∴x(1)問：小明的解答是從第________步開始出錯的；(2)請寫出本題正確的解答．題型09配方法的應用1．（2023·江蘇揚州·統考一模）已知y2-2x+4=0A．8 B．-8 C．-9 D2．（2021·安徽馬鞍山·統考二模）已知a,b,c為實數，且b+A．a<b≤c B．b<a3．（2023·浙江臺州·統考一模）已知點A(a,b)在一次函數y4．（2023·浙江嘉興·統考一模）設x，y都是實數，請探究下列問題，(1)嘗試：①當x=-2，y=1時，∵x2+②當x=1，y=2時，∵x2+y2③當x=2，y=2.5時，∵x2+y④當x=3，y=3時，∵x2+y2=18(2)歸納：x2+y(3)運用：求代數式x2題型10判斷不含字母的一元二次方程根的情況1．（2023殷都區一模）一元二次方程x2-3A．有兩個相等的實數根 B．有兩個不相等的實數根 C．沒有實數根 D．無法確定2．（2023秦皇島開發區一模）不解方程，判別方程2x2﹣32x＝3的根的情況（）A．只有一個實數根 B．有兩個相等的實數根C．有兩個不相等的實數根 D．無實數根題型11判斷含字母的一元二次方程根的情況1．（2022·河南商丘·統考三模）關于x的方程2x2-A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根C．沒有實數根 D．不能確定2（2022·廣東廣州·統考一模）若16m+2＜0，則關于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣1＝0的根的情況是（）A．沒有實數根 B．只有一個實數根C．有兩個相等的實數根 D．有兩個不相等的實數根3．（2022·云南玉溪·統考一模）對于任意的實數m，關于x的方程x2-mxA．有兩個相等的實數根 B．有兩個不相等的實數根C．無實數根 D．無法確定題型12由方程根的情況確定字母的值或取值范圍1．（2023·廣東肇慶·統考二模）若關于x的一元二次方程x2+2x+mA．0 B．1 C．2 D．32．（2021·山東泰安·統考中考真題）已知關于x的一元二次方程kx2-A．k>-14C．k>-14且k≠0 D3．（2023武鳴區二模）關于x的一元二次方程(k+1)x2-A．k≥0 B．k≤0 C．k<0且k≠-1 D題型13應用根的判別式證明方程根的情況1．（2023·北京昌平·統考二模）關于x的一元二次方程x2(1)求證：方程總有兩個實數根；(2)若方程有一個根小于0，求k的取值范圍．2．（2021上·北京·九年級北京市十一學校校考階段練習）已知關于x的一元二次方程x2(1)求證：方程總有兩個實數根；(2)若方程有一個根小于-4，求m3．（2020·湖北孝感·中考真題）已知關于x的一元二次方程x2（1）求證：無論k為何實數，方程總有兩個不相等的實數根；（2）若方程的兩個實數根x1，x2滿足x14．（2023·江蘇揚州·統考二模）已知關于x的一元二次方程x(1)求證：該方程總有兩個實數根．(2)若該方程兩個實數根的差為3，求m的值．5．（2023·北京大興·統考二模）已知關于x的方程x2(1)求證：該方程總有兩個實數根；(2)若該方程有一個根小于1，求m的取值范圍．題型14與根的判別式有關的新定義問題1．（2023·河南信陽·統考一模）定義新運算：a◎b=ab-b2A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根C．沒有實數根 D．只有一個實數根3．（2022·河北·校聯考一模）新定義運算：a※b=a2-abA．沒有實數根 B．有一個實數根 C．有兩個相等的實數根 D．有兩個不相等的實數根3．（2023·山東煙臺·統考二模）對于實數a，b定義新運算：a※b=ab2-b，若關于題型15由根與系數的關系直接求代數式的值1．（2021·江蘇泰州·統考中考真題）關于x的方程x2﹣x﹣1＝0的兩根分別為x1、x2則x1+x2﹣x1?x2的值為．2．（2021·江西·中考真題）已知x1，x2是一元二次方程x2-3．（2023上·四川成都·九年級統考期末）若a，b是方程x2+2x4.（2023上·全國·九年級專題練習）若方程x2-3x+1=0的兩個實數根為aA．﹣9 B．9 C．﹣7 D．7題型16由根與系數的關系和方程的解通過代換求代數式的值1（2021·山東濟寧·統考中考真題）已知m，n是一元二次方程x2+x-2021=0A．2019 B．2020 C．2021 D．20222．（2023·廣東廣州·統考一模）已知方程x2-2023x+1=0的兩根分別為m、nA．1 B．-1 C．2023 D．3.（2021上·江西南昌·九年級校聯考階段練習）設m、n分別為一元二次方程x2+2x﹣13＝0的兩個實數根，則m2+3m+n的值為．題型17由方程兩根滿足關系求字母或代數式的值1．（2023·福建龍巖·統考模擬預測）關于x的一元二次方程x2-2m+1x+A．-2或0 B．2或0 C．2 D．2．（2019·廣東廣州·統考中考真題）關于x的一元二次方程x2-(k-1)x-k+2=0有兩個實數根A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．23．（2021上·貴州遵義·九年級統考階段練習）已知關于x的方程x2－2x＋2k－1＝0的兩根分別是x1、x2，且x2x1+x1x2=x4．（2020·湖北鄂州·中考真題）已知關于x的方程x2（1）求k的取值范圍；（2）設方程兩實數根分別為x1、x2，且3x題型18與根與系數有關的新定義問題1．（2021·河南洛陽·統考三模）定義a★b=a2+ab-A．-2 B．-3 C．-42．（2022·四川宜賓·校考一模）對于任意實數a，b，我們定義新運算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的兩根，則nm+m3．（2022·湖南湘西·校考模擬預測）對于實數m、n，定義運算“※”：m※n=mn(m+n)．例如，4※2=4×2×（4+2）=48．若x1,x2題型19構造一元二次方程求代數式的值1．（2023·河南新鄉·河南師大附中校考三模）如果m，n是兩個不相等的實數，且滿足m2+m=4，n2A．19 B．18 C．16 D．152．（2021·浙江麗水·統考中考真題）數學活動課上，小云和小王在討論張老師出示的一道代數式求值問題：已知實數a,b同時滿足a2結合他們的對話，請解答下列問題：（1）當a=b時，a的值是（2）當a≠b時，代數式ba3．（2023·湖北襄陽·統考一模）閱讀材料，解答問題：材料一：已知實數a，ba≠b滿足a2+3a-1=0，材料二：已知實數a，bab≠1滿足2a2-3a+1=0，b2-3b+2=0，將b請根據上述材料，利用一元二次方程根與系數的關系解答下列問題：(1)已知實數a，ba≠b滿足a2-(2)已知實數a，b滿足3a2-5a+1=0，題型20根與系數的關系和根的判別式的綜合應用1．（2022·北京大興·統考一模）已知關于x的方程x2(1)求證：此方程有兩個不相等的實數根；(2)設此方程的兩個根分別為x1,x2，若2．（2012·四川南充·中考真題）關于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的兩個實數根分別為x1,x2．（1）求m的取值范圍．（2）若2（x1+x2）+x1x2+10=0．求m的值.3．（2023·北京石景山·統考二模）已知關于x的一元二次方程x2(1)求證：該方程總有兩個不相等的實數根；(2)若m>1，且該方程的一個根是另一個根的2倍，求m題型21分裂（傳播）問題1．（2019·黑龍江伊春·統考中考真題）某校“研學”活動小組在一次野外實踐時，發現一種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干、支干和小分支的總數是43，則這種植物每個支干長出的小分支個數是（）A．4 B．5 C．6 D．72．（2022上·福建福州·九年級福建省福州第一中學校考期末）某種植物的主干長出若干數目的支干，每個支干又長出同樣數目的小分支，主干、支干和小分支的總數是43，設每個支干長出x個小分支，則下列方程中正確的是（

）A．1+x2=43 B．1+x+x3．（2023·安徽六安·統考三模）春季是傳染病多發季節．2023年3月，我國某地甲型流感病毒傳播速度非常快，開始有4人被感染，經過兩輪傳播后，就有256人患了甲型流感．若每輪傳染的速度相同，求每輪每人傳染的人數．題型22碰面（循環）問題1．（2020·廣西河池·統考中考真題）某年級舉辦籃球友誼賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，共要比賽36場，則參加此次比賽的球隊數是（）A．6 B．7 C．8 D．92．（2022·黑龍江雞西·雞西市第一中學校校考一模）畢業前夕，九年級（11）班的同學每人將一份禮物與其他每一位同學互贈，作為珍貴的紀念，全班共增出1980件禮物，那么這個班級共有學生（

）A．40人 B．42人 C．44人 D．45人3．（2022·廣西柳州·統考模擬預測）參加足球聯賽的每兩支球隊之間都要進行兩場比賽，共要比賽72家，設參加比賽的球隊有x支，根據題意，下面列出的方程正確的是（

）A．12x(x+1)=72 B．12題型23增長率問題1．（2022·廣西河池·統考中考真題）某廠家今年一月份的口罩產量是30萬個，三月份的口罩產量是50萬個，若設該廠家一月份到三月份的口罩產量的月平均增長率為x．則所列方程為(

)A．30（1+x）2＝50 B．30（1﹣x）2＝50C．30（1+x2）＝50 D．30（1﹣x2）＝502．（2020·浙江衢州·統考中考真題）某廠家2020年1～5月份的口罩產量統計如圖所示．設從2月份到4月份，該廠家口罩產量的平均月增長率為x，根據題意可得方程（）

A．180（1﹣x）2=461 B．180（1+x）2=461C．368（1﹣x）2=442 D．368（1+x）2=4423．（2023·廣東廣州·統考二模）我市某景區今年3月份接待游客人數為10萬人，5月份接待游客人數增加到12.1萬人．(1)求這兩個月游客人數的月平均增長率；(2)若月平均增長率不變，預計6月份的游客人數是多少？題型24營銷問題1．（2023·山東濰坊·統考一模）某服裝銷售商用48000元購進了一批時髦服裝，通過網絡平臺進行銷售，由于行情較好，第二次又用100000元購進了同種服裝，第二次購進數量是第一次購進數量的2倍，每件的進價多了10元．(1)該銷售商第一次購進了這種服裝多少件，每件進價多少元？(2)該銷售商賣出第一批服裝后，統計發現：若按每件300元銷售，每天平均能賣出80件，銷售價每降低10元，則多賣出20件．依此行情，賣第二批服裝時，讓利促銷，并使一天的利潤恰好為3600元，銷售價應為多少？2．（2023·廣西桂林·統考一模）小王計劃經營某種時尚產品的專賣店，已知該產品的進貨價為70元/件，售價不能低于80元/件，專賣店每月有800元的固定成本開支，根據市場調研，產品的銷售量y（件）隨著產品的售價x（元/件）的變化而變化，銷售量y與售價x之間的部分對應關系如表：售價x（元/件）80828486…銷售量y（件）500490480470…(1)求銷售量y（件）與售價x（元/件）的函數關系式；(2)小王預計每月盈利8200元，為盡可能讓利于顧客，則該產品的售價每件應定為多少元？題型25與圖形有有關的問題1．（2022·山東德州·統考二模）如圖1，將一張長20cm，寬10cm的長方形硬紙片裁剪掉圖中陰影部分之后，恰好折成如圖2的有蓋長方體紙盒，紙盒底面積為48cm2A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm2．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學校考模擬預測）2023亞洲花卉產業博覽會于2023年5月10至12日，在中國進出口交易會展館舉辦，為了迎接盛會的到來，組委會想利用一塊長方形空地建了一個小型的惠民停車場，其布局如圖所示，已知停車場的長為52m，寬為28m，陰影部分設計為停車位，其余部分是等寬的通道，已知停車位占地面積為640m3．（2023·福建泉州·統考一模）我國古代數學家梅鼓成在其著作《增刪算法統宗》中，有詩如下：今有門廳一座，不知門廣高低，長竿橫進使歸室，爭奈門狹四尺，隨即豎筆過去，亦長二尺無疑兩隅斜去恰方齊，請問三色各幾？意思是；今有一房門，不知寬與高，長竿橫起進門入室，門的寬度比長竿小4尺；將長竿直立過門，門的高度比長竿小2尺．將長竿斜放穿過門的對角，恰好進門，試問門的寬、高和長竿各是多少尺？1．（2023·遼寧錦州·統考中考真題）若關于x的一元二次方程kx2-2xA．k<13 B．k≤13 C．k<2．（2023·山東聊城·統考中考真題）若一元二次方程mx2+2x+1=0A．m≥-1 B．m≤1 C．m≥-1且m≠0 D3．（2023·天津·統考中考真題）若x1,x2是方程A．x1+x2=6 B．x14．（2023·北京·統考中考真題）若關于x的一元二次方程x2-3x+A．-9 B．-94 C．95．（2023·新疆·統考中考真題）用配方法解一元二次方程x2-6A．x+62=28 B．x-626．（2023·四川樂山·統考中考真題）若關于x的一元二次方程x2-8x+m=0兩根為xA．4 B．8 C．12 D．167．（2023·吉林·統考中考真題）一元二次方程x2-5A．33 B．23 C．17 D．178．（2023·甘肅蘭州·統考中考真題）關于x的一元二次方程x2+bx+cA．－2 B．2 C．－4 D．49．（2023·四川巴中·統考中考真題）我國南宋時期數學家楊輝于1261年寫下的《詳解九章算法》，書中記載的圖表給出了(a1

(1

1

(1

2

1

(1

3

3

1

(當代數式x4-12x3+54xA．2 B．-4 C．2或4 D．2或10．（2023·內蒙古·統考中考真題）若實數m，n是一元二次方程x2-2x-3=0的兩個根，且A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．（2023·黑龍江·統考中考真題）如圖，在長為100m，寬為50m的矩形空地上修筑四條寬度相等的小路，若余下的部分全部種上花卉，且花圃的面積是3600m

A．5m B．70m C．5m或7012．（2023·湖南婁底·統考中考真題）若m是方程x2-2x13．（2023·湖南懷化·統考中考真題）已知關于x的一元二次方程x2+mx-2=0的一個根為-1，則14．（2023·江蘇鎮江·統考中考真題）若x=1是關于x的一元二次方程x2+mx-15．（2023·四川達州·統考中考真題）已知x1,x2是方程2x2+16．（2023·重慶·統考中考真題）某新建工業園區今年六月份提供就業崗位1501個，并按計劃逐月增長，預計八月份將提供崗位1815個．設七、八兩個月提供就業崗位數量的月平均增長率為x，根據題意，可列方程為．17．（2023·江蘇無錫·