2023-2024學(xué)年浙江省溫州市高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)｛%｝是公比為4的等比數(shù)列,則“q“”是“｛4｝為遞增數(shù)列”的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

2.下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為()

1191

①若y=ln2,則y片一；②若/(刈==，貝!)/'(3)=——；③若y=2工，貝！|y'=x2-；④若y=log?x,貝U丁=:丁

2x27xln5

A.4B.3

C.2D.l

3.已知實(shí)數(shù)a,分滿(mǎn)足a<h,則下列不等式中恒成立的是()

,,11

A.a<b"B.—>-

ab

C.Ia|<屹I(mǎi)D.2"<2〃

4.某公司有320名員工，將這些員工編號(hào)為1,2,3,…，320,從這些員工中使用系統(tǒng)抽樣的方法抽取20人進(jìn)行“學(xué)

習(xí)強(qiáng)國(guó)”的問(wèn)卷調(diào)查，若54號(hào)被抽到，則下面被抽到的是()

A.72號(hào)B.150號(hào)

C.256號(hào)D.300號(hào)

5.直線(xiàn)/的方向向量為7〃=(1,0,-1),且/過(guò)點(diǎn)A。,1,1),則點(diǎn)P(L—L—1)到/的距離為()

A-^2B.亞/

C.屈D.20

6.復(fù)數(shù),+=的共朝復(fù)數(shù)的虛部為()

1+212

11

A.—B.——

1010

33

C.—D.——

1010

7.已知函數(shù)/(x)=xsinx,/'(x)為〃尤)的導(dǎo)數(shù)，則廣)

A.-l

71

C.一D.1+—

22

8.已知兩條異面直線(xiàn)的方向向量分別是“二（3,1,2）,v=（3,2,-l）,則這兩條異面直線(xiàn)所成的角。滿(mǎn)足（）

A.sin8=—B.sin6=一

414

八1八9

C.cos，=—D.cos〃=——

414

9.若直線(xiàn)2x+6y—1=0與直線(xiàn)mr—2y+7=0垂直，貝!|m=()

A6B.4

2

C.----D.—2

3

10.若函數(shù)/（力=-$4+尤3+|了2+爐-1在[—2,2]上為單調(diào)增函數(shù)，則m的取值范圍（）

A.[-2,*?）B.[5,+oo）

C.（-co,-3]D.（-oo,-5]

11.ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若c=5cosA,貝！IABC一定是（）

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

12.已知三棱錐P—ABC的各頂點(diǎn)都在同一球面上，且24,平面ABC,若該棱錐的體積為友，AB=2,AC=1,

3

ZBAC=60°,則此球的表面積等于（）

A.5nB.8"

C.16乃D.20乃

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知點(diǎn)/（。力）在直線(xiàn)3x-4y-10=0上，則行方的最小值為.

14.已知5件產(chǎn)品中有2件次品、3件合格品，從這5件產(chǎn)品中任取2件，求2件都是合格品的概率.

15.在一例中，"=6,—季一，的夕卜接圓半徑為日則邊c的長(zhǎng)為一.

3_

16.設(shè)a為第二象限角，若sina=y,則sin2cr=

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）（1）某校運(yùn)動(dòng)會(huì)上甲、乙、丙、丁四名同學(xué)在100m、400m、800m三個(gè)項(xiàng)目中選擇，每人報(bào)一項(xiàng)，共有

多少種報(bào)名方法?

（2）若甲、乙、丙、丁四名同學(xué)選報(bào)100m、400m、800m三個(gè)項(xiàng)目，每項(xiàng)均有一人報(bào)名，且每人至多報(bào)一項(xiàng)，共有

多少種報(bào)名方法？

（3）若甲、乙、丙、丁名同學(xué)爭(zhēng)奪100m、400m、800m三項(xiàng)冠軍，共有多少種可能的結(jié)果？

18.（12分）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為4（0,2）,6（4,0）,。（私0）

（1）求邊的垂直平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)/的方程；

（2）若ABC面積為5,求點(diǎn)C的坐標(biāo)

22

19.（12分）已知橢圓C：I+1=1（?！?〉0）的上頂點(diǎn)在直線(xiàn)3x+百y—3=0上，點(diǎn)4（—2,1）在橢圓上.

（1）求橢圓C的方程；

（2）點(diǎn)P,。在橢圓C上，且APLAQ,AG±PQ,點(diǎn)G為垂足，是否存在定圓恒經(jīng)過(guò)A,G兩點(diǎn)，若存在，求

出圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22

20.（12分）雙曲線(xiàn)C：，-2=1（?！?力>0）的離心率為2,經(jīng)過(guò)C的焦點(diǎn)垂直于x軸的直線(xiàn)被C所截得的弦長(zhǎng)

為12.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)A,3是C上兩點(diǎn)，線(xiàn)段A3的中點(diǎn)為4（5,3）,求直線(xiàn)A5的方程.

-3-1

21.（12分）已知命題。：方程爐—〃a+1=0有實(shí)數(shù)解，命題q：Vxe-1,-,77i>|x|.

（1）若。是真命題，求實(shí)數(shù)M的取值范圍；

（2）若尸為假命題，且4為真命題，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

22

22.（10分）已知耳，居分別是橢圓C:=+[=l（a〉6〉0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是橢圓。上的一點(diǎn)，且

ab

TT

NRMF?=3，=F[MF2的面積為1.

（1）求橢圓。的短軸長(zhǎng)；

（2）過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)/與橢圓C交于A(yíng)3兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓。上的一點(diǎn)，若4E鉆為等邊三角形，求。的取值范圍.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】當(dāng)［時(shí)，」不是遞增數(shù)列；當(dāng)?」且?一時(shí)，：：是遞增數(shù)列，但是［不成立，所

以選D.

考點(diǎn)：等比數(shù)列

2、D

【解析】根據(jù)常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0,可判斷①；根據(jù)塞函數(shù)的求導(dǎo)公式，可判斷②；根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的求

導(dǎo)公式，可判斷③④.

【詳解】由y=ln2得：y'=0,故①錯(cuò)誤；

1?2

對(duì)于/（幻==，rw=--,故/'（3）=-二，故②正確；

對(duì)于丁=2",則y'=21n2,故③錯(cuò)誤；

對(duì)于y=log,x,則,故④錯(cuò)誤，

xln2

故選：D

3、D

【解析】利用特殊值排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，利用函數(shù)單調(diào)性證明正確選項(xiàng).

【詳解】。=一1,0=1時(shí)，a<b,但/=/,所以人選項(xiàng)錯(cuò)誤.

。=-18=1時(shí)，a<b,但所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

ab

。=一13=1時(shí)，a<b,但同=網(wǎng)，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.

y=2,在R上遞增，所以。<〃02"<2"，即D選項(xiàng)正確.

故選:D

4、B

【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣分成20個(gè)小組，每組16人中抽一人，故抽到的序號(hào)相差16的整數(shù)倍，即可求解.

【詳解】???用系統(tǒng)抽樣的方法從320名員工中抽取一個(gè)容量為20的樣本

320

——=16,即每隔16人抽取一人

20

：54號(hào)被抽到

...下面被抽到的是54+16x6=150號(hào)，而其他選項(xiàng)中的數(shù)字不滿(mǎn)足與54相差16的整數(shù)倍，故答案為：B

故選：B

5、C

【解析】利用向量投影和勾股定理即可計(jì)算.

【詳解】???4(1,Ll)，

AAP=(O,-2,-2)

又加=(1,0,—1),

APrn2r-

AP在加方向上的投影AP-cosAPw=H=五

到/距離d=7lAP|2-(V2)2=后工=V6

故選：C.

6、B

1,11

【解析】先根據(jù)復(fù)數(shù)除法與加法運(yùn)算求解得一：+-=-+—i,再求共軌復(fù)數(shù)及其虛部.

l+2i2510

1il-2iil-2ii2-4i+5i2+i11.

［詳解］解：彳=—^+彳=一^+彳=———=￡+61，

T1+W21+2+-21)2521010510

所以其共軌復(fù)數(shù)為!其虛部為-工

51010

故選:B

7、B

【解析】由導(dǎo)數(shù)的乘法法則救是導(dǎo)函數(shù)/'(X)后可得結(jié)論

(7r\jrjrjr

【詳解】解：由題意，/'(x)=sinx+xcosx,所以/［不［=51115+3853=1.

故選:B

8、D

【解析】利用向量夾角余弦公式直接求解

【詳解】解：兩條異面直線(xiàn)的方向向量分別是"=(3,1,2),v=(3,2,-1),

這兩條異面直線(xiàn)所成的角e滿(mǎn)足：cos0=|cos<v>|=產(chǎn)島=?=-

I//I,Ivl,1471414

故選：D

9、A

【解析】由兩條直線(xiàn)垂直的條件可得答案.

【詳解】由題意可知2機(jī)—12=0,即加=6

故選：A.

10、B

【解析】用函數(shù)單調(diào)性確定參數(shù)，使用參數(shù)分離法即可.

【詳解】/(%)=-^4+x3+|x2+mx-l,在［—2,2］上是增函數(shù)，

即/'(%)=一爐++9%+加2。恒成立,rn>x3-3x2-9x;

設(shè)g(x)=%3-3x2-9x,g(x)=3x2-6x-9=3(x+l)(x-3)；

.?.尤e［—2,-1］時(shí)，g(x)是增函數(shù)；

xe［—1,2］時(shí)，g(x)是減函數(shù)；

故xe［-2,2］時(shí),^(%)=g(-1)=5,：.m>5；

故選:B.

11,C

【解析】利用余弦定理角化邊整理可得.

7,22_2

【詳解】由余弦定理有c=6x,整理得匕2=/+C2,故ABC一定是直角三角形.

2bc

故選：C

12、D

【解析】由條件確定三棱錐P-ABC的外接球的球心位置及球的半徑，再利用球的表面積公式求外接球的表面積.

【詳解】由已知A6=2,AC=1,NH4c=60。，可得三棱錐的底面是直角三角形，NACB=90°,由平面ABC

可得就是三棱錐外接球的直徑，SA,?C=-x2xlxsin60°=—，VSh^-x—xPA=^~,即巴4=4,

△ABC223323

則PB=VPA2+AB2=275,故三棱錐外接球的半徑為A/5，所以三棱錐外接球的表面積為S=4江=20萬(wàn)

故選：D.

【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定

有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于

球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)等于球的直徑.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、2

【解析】由已知可用。表示6,代入所求式子后，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求

【詳解】解：由題意得34-46=10,即。="吧，

2,2(46+10)22562+806+100

所以/+//=------—+b=----------,

99

Q

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)6=-《時(shí)，上式取得最小值4,

故1片+方的最小值2

故答案為：2

3

14、—##0.3

10

【解析】列舉總的基本事件及滿(mǎn)足題目要求的基本事件，然后用古典概型的概率公式求解即可.

【詳解】設(shè)5件產(chǎn)品中的次品為對(duì)名，合格品為偽為2/3，

則從這5件產(chǎn)品中任取2件，有as,ah,岫2,<2區(qū),c^bi,a2b2,a2b3,1)?,b?,b2b3共10個(gè)基本事件，

其中2件都是合格品的有44力也力2&共3個(gè)基本事件，

3

故2件都是合格品的概率為歷

3

故答案為：—.

15、瓜

【解析】由面積公式求得sinC=@,結(jié)合外接圓半徑，利用正弦定理得到邊c的長(zhǎng).

2

【詳解】S4“=La6sinC=3sinC=hy5,從而sinC=X3,由正弦定理得：,解得：°=而

ABC222一

2

故答案為：底

24

16>-----

25

【解析】先求出costz,再利用二倍角公式求Sin2a的值.

3

【詳解】因?yàn)閍為第二象限角，若sina=g,

4

所以cosa=-g.

24

所以sin2a=2sinacosa=-石.

24

故答案為----

25

【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，考查二倍角的正弦公式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平,

屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)81種；(2)24種;(3)64種

【解析】(1)利用分步計(jì)數(shù)原理可求報(bào)名方法總數(shù).

(2)利用分步計(jì)數(shù)原理可求報(bào)名方法總數(shù).

(3)利用分步計(jì)數(shù)原理可求報(bào)名方法總數(shù).

【詳解】(1)要完成的是“4名同學(xué)每人從三個(gè)項(xiàng)目中選一項(xiàng)報(bào)名”這件事，因?yàn)槊咳吮貓?bào)一項(xiàng)，4人都報(bào)完才算完成，

所以按人分步，且分為四步，又每人可在三項(xiàng)中選一項(xiàng)，選法為3種，所以共有3x3x3x3=81(種)報(bào)名方法

(2)每項(xiàng)限報(bào)一人，且每人至多報(bào)一項(xiàng)，因此100m項(xiàng)目有4種選法，400m項(xiàng)目有3種選法，800m項(xiàng)目只有2種選

法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法有4x3x2=24(種)

(3)要完成的是“三個(gè)項(xiàng)目冠軍的獲取”這件事，因?yàn)槊宽?xiàng)冠軍只能有一人獲得，三項(xiàng)冠軍都有得主，這件事才算完成,

所以應(yīng)以“確定三項(xiàng)冠軍得主”為線(xiàn)索進(jìn)行分步，而每項(xiàng)冠軍的得主有4種可能結(jié)果，所以共有4x4x4=64(種)可能

的結(jié)果

18、⑴2x-y-3=0；⑵(9,0)或(-1,0)

【解析】(1)由題意直線(xiàn)的斜率公式，兩直線(xiàn)垂直的性質(zhì)，求出/的斜率，再用點(diǎn)斜式求直線(xiàn)/的方程

(2)根據(jù)ABC面積為5,求得點(diǎn)C到直線(xiàn)？的距離，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，求得加的值

【詳解】解：⑴4。,2),5(4,0),

二A3的中點(diǎn)〃的坐標(biāo)為A(2,l),

設(shè)AB邊的垂直平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)I的斜率為k,

貝!ILw"=-1，

:.k=2,

可得/的方程為y—1=2(X—2),

即2x_y_3=0

???AB邊的垂直平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)/的方程2x-y-3=0

(2)AB邊所在的直線(xiàn)方程為x+2y-4=0.

|AB|=7(0-4)2+(2-0)2=2A/5,

,,|m-4||m-4|

設(shè)AB邊上的高為乙即點(diǎn)C到直線(xiàn)l的距離為d=

ABVI2+2275

ABC=1|ABp=5=1-2x/5-6?=5,

解得“=技

解得7"=9或7〃=一1,

二點(diǎn)。的坐標(biāo)為(9,0)或(-1,0)

22

19、(1)—+^=1；

63

(2)存在，定圓(x+g)+(y—g)=|-

L41

【解析】⑴由題可得回—3=0，4+-^=1,即求；

a'b"

2I

(2)由題可設(shè)直線(xiàn)PQ的方程，利用韋達(dá)定理及條件可得直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)。則以A。為直徑的圓適合題意,

即得.

【小問(wèn)1詳解】

由題設(shè)知，橢圓上頂點(diǎn)為(0,b),且在直線(xiàn)3x+Gy-3=0上

???揚(yáng)-3=0，即6=君

又點(diǎn)4-2,1)在橢圓上，

41/—

；?靛+乒=1解得a-A/6，

22

...橢圓C的方程為土+乙=1;

63

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)P(H%),當(dāng)直線(xiàn)PQ斜率存在，設(shè)直線(xiàn)PQ為：y=kx+m

工+21=1

聯(lián)立方程彳63，化簡(jiǎn)得(2左2+1)X2+4Q〃X+2(7〃2_3)=0

y=kx+m

.4km2(/n2-3)

.?為+%=-對(duì)，…2=2.+1，

VAP±AQ,：.APAQ=O

又???"=(芯+2,%_1),AQ=(x2+2,y2-l)

???AP-AQ=(玉+2)(9+2)+(%—1)(%—1)

=(X]+2)(x2+2)+{kxi+m-l)(kx?+m-1)

=(1+1之)&.%+*m—左+2)(芭+%)+m~-2m+5

2

=(1+左2)%+(km-k+2)(%j+x2)+m-2m+5=0

4km2(m2-3)

將X1+x-代入,

22k2+12r+1

化簡(jiǎn)得3m2-8Am—2m+4左2—1=o,即[3m-(2k-1)]x[m-(2k+1)]=0

2k-l

則租=2k+1或加二-----，

3

①當(dāng)相=2左+1時(shí)，直線(xiàn)R2：y=4x+2)+l恒過(guò)定點(diǎn)(―2,1)與A點(diǎn)重合，不符題意.

r\1-1。[O1

②當(dāng)冽二飛~一§時(shí)，直線(xiàn)尸。：y=左(冗+])-§恒過(guò)定點(diǎn)(一3，-耳)，記為點(diǎn)。，

41

???AG，P。，???以為直徑，其中點(diǎn)(=5)為圓心的圓恒經(jīng)過(guò)4G兩點(diǎn)，

則圓方程為：(x+g)+(y—g)=|；

f22

當(dāng)直線(xiàn)PQ斜率不存在，設(shè)方程為％=乙P(t,s),Q。,—s),且L+L=1

63

AGLPQ

?.AP=(%+2,s—1),AQ=(1+2,—s—1),

31

/.AP-AQ=t2+4/+4—xj2+1=—+4,+2=5(3t+2)(，+2)=0,

2221

解得％=-耳或，=—2(舍去)，G(——,1),取。以AD為直徑作圓,

圓方程為：(x+g)+(y—g)=|恒經(jīng)過(guò)&G兩點(diǎn)，

綜上所述，存在定圓［x+gj+(y—g)=|恒經(jīng)過(guò)4G兩點(diǎn).

21

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是證明直線(xiàn)PQ恒過(guò)定點(diǎn)。結(jié)合條件可得以A。為直徑的圓，適

合題意即得.

22

20、(1)---匕=1

412

(2)y-5x-22

【解析】(1)根據(jù)已知條件求得由此求得。的方程.

(2)結(jié)合點(diǎn)差法求得直線(xiàn)A5的斜率，從而求得直線(xiàn)的方程.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)镃的離心率為2,所以1+弓=2,

Va

222

可得/=3?將j=JQ2+/代入靛_3=1

b2b2

可得)=±幺，由題設(shè)幺二6.解得。=2,

aa

b1=12,Z?=2^/5,

22

所以c的方程為L(zhǎng)—匕=1.

412

【小問(wèn)2詳解】

2222

設(shè)B(x2,y2),則々—長(zhǎng)=1,=

因此上江―才一式=0,即-々)_(…)(…2)=o.

412412

因?yàn)榫€(xiàn)段A5的中點(diǎn)為M(5,3),所以為+々=10,

%+%=6,從而入二"=5,于是直線(xiàn)A5的方程是y=5x—22.

3

21、(1)mN2或mW-2；(2)-<m<2

【解析】(1)由方程有實(shí)數(shù)根則A20,可求出實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

(2)4為真命題，即加可乂厘從而得出機(jī)的取值范圍，由(1)可得出〃為假命題時(shí)實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.即可得出答案.

【詳解】解：