9.3雙曲線及其性質

基礎篇固本夯基

考點一雙曲線的定義及標準方程

1.(2020天津,7,5分)設雙曲線C的方程為(a>0,b>0),過拋物線∕=4x的焦點和點(0,b)

arIr

的直線為1.若C的一條漸近線與1平行，另一條漸近線與1垂直,則雙曲線C的方程為()

22

c?τ-y2=ιDn.X-y-=1Λ

答案D

2.(2020浙江,8,4分)已知點0(0,0),A(-2,0),B(2,0),設點P滿足IPAl-IPBI=2,且P為函數

y=3√4-N圖象上的點，則IOPl=()

A.?B.當C.√7D.√Tθ

25

答案D

3.(2021豫南九校4月聯考,7)若雙曲線mχ2-4yz=4的左、右焦點分別為Fr也過Fl的直線交

雙曲線的左支于A,B兩點,若AAEB的周長是18,IABI=5,則實數m=()

A.1B.2C.3D.4

答案A

4.(2018天津理,7,5分)已知雙曲線5號1(a>0,b>0)的離心率為2,過右焦點且垂直于X軸

的直線與雙曲線交于A,B兩點.設A,B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d∣和d2,且

d∣+dz=6,則雙曲線的方程為()

答案C

5.(2021云南師大附中第六次月考,9)設F”F2是雙曲線的兩個焦點,點P在雙曲線

4?5

C上,P在X軸上的射影Q位于線段FFz上,且IPQr=IF@?EQl,則∣PFj+∣PFj=()

A.4B.6C.2√l0D.40

答案C

6?（2022屆河南平頂山月考，11）已知R、區為雙曲線的左、右焦點,P為雙曲線右支

上異于頂點的任意一點,若A為APFFz內切圓上一動點，當AFl的最大值為4時,aPFE的內

切圓半徑為（）

?-?B*e,?D,∣

答案C

7.（2021南昌一模,11）許多建筑融入了數學元素,更具神韻,數學賦予了建筑活力,數學的美

也被建筑表現得淋漓盡致.已知圖1是單葉雙曲面（由雙曲線繞虛軸旋轉形成立體圖形）型建

筑,圖2是其中截面最細附近處的部分圖象,上、下底面與地面平行.現測得下底直徑

AB=20√瓦米,上底直徑CD=20立米,AB與CD間的距離為80米,與上、下底面等距離的G處的

直徑等于CD,則最細部分處的直徑為（）

A.10米B.20米C.10“米D.10遙米

答案B

8.（2022屆甘肅靖遠開學考，15）已知雙曲線（m>0）的漸近線方程為y=+√2x,%、E,

4m

分別是C的左、右焦點,P為C右支上一點.若∣PE∣=m-l,則4PFE的面積為.

答案2回

考點二雙曲線的幾何性質

1.（2022屆甘肅嘉峪關第一中學開學考,3）如果雙曲線專售1的離心率為等,那么稱該雙曲

arIr2

線為黃金分割雙曲線,簡稱為黃金雙曲線.現有-黃金雙曲線C：言?-（=l（b>0）,則該黃金雙

曲線C的虛軸長為（）

Λ.2B.4C.√2D.2√2

答案D

2.（2022屆陜西渭南月考,5）已知雙曲線C?-?=l（a>0,b>0）的右焦點到它的一條漸近線的

arIr

距離為4,且焦距為10,則C的離心率為（）

2

B-IC-

答案C

3.（2022屆云南大理模擬,5）雙曲線。?今1（a>0）的離心率為手,過雙曲線右焦點F作一條直線

垂直于雙曲線的一條漸近線,垂足為A,設0為坐標原點，則i0A∣=（）

A.1B.√2C.2D.4

答案C

4.（2021全國甲，5,5分）已知F”R是雙曲線C的兩個焦點,P為C上一點,且

NEPF2=60°,IPKl=31PFzI,則C的離心率為（）

AEB.零C.√7I）.√13

答案A

5.（2019天津,5,5分）已知拋物線y2=4x的焦點為F,準線為1.若1與雙曲線:J=I（a>0,b>0）

的兩條漸近線分別交于點A和點B,且IABI=4∣0Fl（O為原點），則雙曲線的離心率為（）

Λ.√2B.√3C.2D.√5

答案D

6.（2020課標∏,8,5分）設0為坐標原點，直線x=a與雙曲線C?-?=l（a>0,b>0）的兩條漸近

線分別交于D,E兩點.若AODE的面積為8,則C的焦距的最小值為（）

A.4B.8C.16D.32

答案B

7.（2019課標III,10,5分）雙曲線。:9奪1的右焦點為F,點P在C的一條漸近線上,0為坐標

原點.若IPOl=IPFl,則aPFO的面積為（）

A.—B.-C.2√2D.3√2

42

答案A

8.（2020課標m,11,5分）設雙曲線（3:。4>11>0飛>0）的左、右焦點分別為F“F”離心率為

右.P是C上一點，且若APFE的面積為4,則a=（）

FIP±F2P.

Λ.1B.2C.4D.8

答案A

3

9.（2018課標1,ll,5分）已知雙曲線C::y2=l,0為坐標原點,F為C的右焦點,過F的直線

與C的兩條漸近線的交點分別為M,N.若aOMN為直角三角形,則IMNl=（）

Λ.∣B.3C.2√3D.4

答案B

10.（2022屆廣西玉林第H^一中學月考，10）已知雙曲線［-白l（a>0,b>0）的左、右焦點為F∣,F?,

aLT

在雙曲線上存在點P滿足21房+的IWl萬片I,則此雙曲線的離心率e的取值范圍是

（）

?.l<e≤2B.e22C.l<e≤√2D.e≥√2

答案B

11.（2022屆新疆克拉瑪依模擬，10）己知F為雙曲線M（b〉0）的左焦點，圓

Q:（x-3）2+y2=6與雙曲線M的漸近線有且僅有2個不同的公共點，則下列說法正確的是（）

A.點F到漸近線的距離為倔

B.雙曲線M的漸近線方程為x±2y=0

C.雙曲線M的虛軸長為2

D.雙曲線M的離心率為遙

答案D

12.（2022屆江西景德鎮模擬,9）已知雙曲線C:（a>0,b>0）,直線1過雙曲線的右焦點且

斜率為，直線1與雙曲線C的兩條漸近線分別交于M、N兩點（M點在X軸的上方），且條2,

則雙曲線C的離心率為（）

Λ.2B.∣√3C.√2D.√3

答案B

13.（2021河南、山西4月聯考，10）已知雙曲線U<?l（a>0,b>0）的左、右焦點分別為F∣,P

aLT

2

為雙曲線C上的一點,若線段PF1與y軸的交點M恰好是線段PF1的中點,麗?W=∣b,其中0

為坐標原點,則雙曲線的漸近線方程為（）

A.y=±；XB.y=±xC.y=±V5xD.y=±2x

答案B

4

14.（2021長春第一次質檢，11）已知雙曲線E:《-21（a>0,b>0）與斜率為4的直線相交于A、

srtr

B兩點,且弦AB的中點為（2,1）,則雙曲線E的離心率為（）

A.√2B.√3C.2D.√5

答案B

15.（2021全國乙，13,5分）已知雙曲線C1-y2=ι（∏1>0）的一條漸近線為√5χ+my=0,則C的焦距

Ol

為.

答案4

16.（2020課標［,15,5分）已知F為雙曲線C?-?l（a>O,b>0）的右焦點,A為C的右頂點,B

為C上的點,且BF垂直于X軸.若AB的斜率為3,則C的離心率為.

答案2

17.（2022屆陜西洛南中學月考，16）已知雙曲線<4=l（a>0,b>0）的左,右焦點分別為

F∣（-c,O）,R（c,O）,過Fl的直線1與圓clx-gcj+Vq相切,與雙曲線在第四象限交于一點M,

且有MF2±X軸,則直線1的斜率是雙曲線的漸近線方程為.

答案-γ=y=±x

考點三直線與雙曲線的位置關系

1.（2022屆廣東省實驗中學月考,3）若直線y=kx+2與雙曲線x2-y?6的右支交于不同的兩點，

則k的取值范圍是（）

兒（岑平）“。書

CT，。）DTf

答案D

2.（2022屆河北大名一中月考,8）過點A（l,1）作直線1與雙曲線X2-4=I交于P,Q兩點,使得

A是PQ的中點,則直線1的方程為（）

A.2χ-y-l=0B.2x+y-3=0

C.x=lD.不存在

答案D

5

3.(2022屆合肥第六中學開學考，11)已知雙曲線與-白1的左,右焦點為F“F*過R的直線交

雙曲線于M,N兩點(M在第一象限)，若AMFE與^NFE的內切圓半徑之比為3：2,則直線MN

的斜率為()

A.√6B.2√6C.√3D,2√3

答案B

4.(2022屆河南省實驗中學期中,20)已知雙曲線C=?l(a>0,b>0)的左、右焦點分別為區、

fΓtr

2

F2,雙曲線的C的右頂點A在圓Oιx+y?l上,且麗??-l.

(1)求雙曲線C的標準方程；

(2)動直線1與雙曲線C恰有1個公共點,且與雙曲線C的兩條漸近線分別交于點M、N,問

Δ0MN(0為坐標原點)的面積是不是定值?若為定值,求出該定值;若不為定值,試說明理由.

解析(D設Fl(-c,0),F?(c,0),因為A(a,0),所以誦=(-c-a,0),麗=(c-a,0),又

2222222

AFx?J?=a-c=-l,且a+b≈c,所以b=l,由題意得a=l,所以雙曲線C的標準方程為x-y=l.

(2)由題意知，當動直線1的斜率不存在時，Lx=±l,MN=2,SAoMHgXlX2=1.當動直線1的斜

率存在時,且斜率k≠±-^±l,不妨設直線Ly=kx+m,聯立

a

KU"3=(l*)χ2-2mkχ-∏M=0,

A=(-2mk)2-4(l-W)(-Bi，-1)=。,化簡得kJ∏12+l,不妨令直線1與雙曲線C的漸近線方程為y=x

交于點M,聯立:「=『二空’故點M3攝)，同理可得,N(-狼，為,所以

JI-A,

IMNrJ(e+VY+(七-捻Y衛需,又因為原點0到直線1：kx-y+m=O的距離d/,所

以又22所以

SΔ0MN?IMNid=π*,k=m+1,SΔOMN~-1.

，I1t?I?Ilxi

綜上,Δ0MN的面積是為定值,定值為1.

綜合篇知能轉換

考法一求雙曲線的標準方程

1.(2020山西晉城一模，10)已知雙曲線C：5~4=l(a>0,b〉0)的兩個頂點分別為

erIr

Λl(-a,0),A2(a,0),P,Q的坐標分別為(0,b),(0,-b),且四邊形A1PA2Q的面積為2√2,四邊形

AFAA內切圓的周長為蜉??,則C的方程為()

6

W.2

A.j-yt)=1B.x'-γ=l或萬-y=1

C??D?x號或衿1

答案B

2.(2021四川南充二模，10)雙曲線U<~?l(a>0,b>0)的離心率e邛,右焦點為F,點A是雙

artr3

曲線C的一條漸近線上位于第一象限內的點，ZAOF=ZOAF,AAOF的面積為3百,則雙曲線C

的方程為()

A.?lB,?l

3612186

C.—=lD.?-yj=l

933J

答案C

3.(2021呼和浩特二模，15)已知雙曲線C:±T：l(a>0,b>0)過點(3,訪)，其左焦點為F”過

aCr

FI的直線1與C的左支交于點P,Q,點M在y軸上,且麗?碌0,疑-4誠0為坐標原點，則C

的標準方程為.

答案?1

4.(2022屆河南部分重點中學月考，14)定義：以雙曲線的實軸為虛軸,虛軸為實軸的雙曲線

與原雙曲線互為共軌雙曲線.已知雙曲線C：t-yJl(m>0)的一條漸近線過點⑵4),則C的共

m

軌雙曲線的標準方程為.

答案y2-≠-i

4

5.(2021新高考I,21,12分)在平面直角坐標系xθy中，已知點F,(-√17,0),F2(√17,0),點M

滿足IMF1I-IMF2I=2.記M的軌跡為C.

(1)求C的方程；

(2)設點T在直線Xw上,過T的兩條直線分別交C于A,B兩點和P,Q兩點,且

∣TA∣?∣TB∣=∣TP∣?ITQ求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和.

解析(1)由題意知IFEl=2√17,因為IMF--1MFJ=2<∣F,F2∣=2√l7,所以結合雙曲線定義知，

點M的軌跡C是以R、握為焦點的雙曲線的右支.

7

設其方程為小a1(a>。,b>0,x,a),則2a=2,2c=2√∏,解得a=l,c=√∏廁

b2=c2-a2=(√17)2-l2=16,所以M的軌跡C的方程為x2-?=l(x≥l).

16

⑵如圖，設τQ,m),直線AB的方程為y-m=k(尸9,

y=k?(『J+m,

由,

、y=i(x》1),

22

得(16-APX+(A^-2k1m)χ--yA^+k∣m-m-16=0,

設A(X],y∣),B(X2,y2),

Ll府-2〃Im?+∕z？-A1m+16

貝IJX1÷X2=?Γ.XiXL『6

則ITAI="7^3,TBl=尸%(x2-3

所以∣TA∣?∣TB∣=(1+Ap(χ,-p?(X2-1小黑呻.

設直線PQ的方程為y-m=k2(χ-0,

同理得ITPl?TQl上號警

與T6

因為ITAl?ITBI=ITPI?∣TQ∣,

(渥+⑵(1+年)(/+⑵(1+寫)

所以

#T6芍T6

所以挽即K竭，由題意知LWk,,所以k∣+"0,即直線AB的斜率與直線PQ的斜率之

Aj-IoAz-Ib14

和為0.

一題多解(2)設T6,m),直線AB的傾斜角為θ?直線PQ的傾斜角為θ2,由題不妨設

力=3??TB=t2?-?,t1>0,t2>0,則IT^=3"元I=t2.

8

設A(x,y),因為為=t∣?備,所以y-m)=3(cosθ1,sinθl),W.

x=∣+tlcos01,y=m+t1sinθ1,

又因為點A在雙曲線上,

2

2

所以16θ+^iɑos%)-(m+t1sinθ1)=16,即

(16cos^θ∣-sin^θ,)]+(16CoSθ1-2msinθ,)t∣-(m'+12)=0.

2

同理可得(16CoS2θ1-sinθ∣)%+(16CoSθ1-2msinθ1)t2-(ι∕+12)=0.

22

所以t1,t2即為方程(16COS20I-Sin*θ?)t+(16cosθ1-2msinθ?)t-(m+12)=0的兩個根,

則ITAl.ITB∣=t,Vl6J?ffι,

同理ITPl.∣TQ-C

Iocos4^2-sln02

結合ITAl?ITBI=ITPI?∣TQ∣,得cos?。尸CoS2(?,

又因為AB與PQ是不同直線,

π

所以cosθ1=-cosθ2,于是θj+θ2=,則kAB+kPQ=O,

即直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0.

易錯警示解答本題第（D問時,容易出現所求C的方程為（令1的錯誤結果,從而致使第⑵

間直接做錯.

考法二求雙曲線的離心率（或其范圍）

1.（2022屆湘豫名校聯盟11月聯考,9）如圖，已知雙曲線C:?=l（a>0,b>0）的左、右焦點

o'tΓ

分別為3、F2,過點&作直線1交雙曲線C的右支于A,B兩點.若IABl=IAF11,且4F∣ABs^FzFB

則雙曲線C的離心率為（）

C2

Λ.2B.√15J2D.4

答案A

9

2.（2022屆長春月考，11）設R、Fz是雙曲線C:5-21（a>0,b>0）的左、右焦點,0是坐標原點.

atr

過Fz作C的一條漸近線的垂線,垂足為P.若IPFJ=√7OP,則C的離心率為（）

A.√5B.2C.√3D.√2

答案B

3.（2022屆河南省實驗中學11月月考，12）己知雙曲線4-?l（a>0,b>0）的左、右焦點分別為

EE,過Fl的直線分別交雙曲線的兩條漸近線于點P、Q,若點P是線段Fa的中點,且QFJQ&,

則此雙曲線的離心率為（）

A.√6B.√5C.2D.√3

答案C

4.（2018課標III,11,5分）設F”F2是雙曲線C:J-^=l（a>0,b>0）的左,右焦點,0是坐標原點.

過B作C的一條漸近線的垂線,垂足為P.若IPFJ=√5OP,則C的離心率為（）

Λ.√5B.2C.√3D.√2

答案C

5.（2021江西上饒重點中學摸底，10）已知F∣,R是雙曲線9-。1匕>04〉0）的左、右焦點，點

P（x0,%）是雙曲線右支上的一點,滿足麗?麗=0,若x0∈ga,ga）,則雙曲線的離心率的取值

范圍為（）

N/B?*）

C.律考）D.律考

答案C

6.（2021河南安陽二模，12）已知雙曲線金21（a>0,b>0）過第一、三象限的漸近線為1,過右

焦點F作1的垂線,垂足為?,線段AF交雙曲線于B,若IBFI=21ABI,則此雙曲線的離心率為

（）

A.√2B.√3C.√5D.√6

答案C

10

7.(2021山西名校4月聯考，11)已知雙曲線C:4d=l(a>0,b>0)的左、右焦點分別為

srIr

F1(-c,0),F2(c,0),點N的坐標為(-c,給.若雙曲線C左支上的任意一點M均滿足

MFj+∣MN∣>4b,則雙曲線C的離心率的取值范圍為()

A?(4M

B.(√5,√13)

C