計數原理與概率分布

1計教原理，二項式定理

1.(2023西城一模04)在“一2)5的展開式中，JC的系數為

X

A.40B.10C.-40D.-1O

2.(2023東城一模12)在(x+0)6的展開式中，/的系數為60,則實數〃=.

X

3.(2023石景山一模13)若(1+4)〃的展開式中含有常數項，則正整數〃的一個取值為

4.(2023海淀一模05)若(X-1),+%/+O?/+4工+。0，則4一名+生一4=

A.-lB.lC.15D.16

n2t,

5.(2023朝陽一模03)?(1+x)=tι0+a}x+a2x÷???+anx,若a?=a3,則〃=

A.5B.6C.7D.8

6.(2023豐臺一模13)從這5個數中任取2個不同的數，記“兩數之積為正數”為事件A,“兩數均為

負數”為事件8,則P(BM)=.

2概率分布列

1.(2023東城一模17)甲、乙兩名同學積極參與體育鍛煉，對同一體育項目，在一段時間內甲進行了6次測試，乙

進行了7次測試.每次測試滿分均為100分，達到85分及以上為優秀.兩位同學的測試成績如下表:

\^欠數

第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次

同學

甲807882869593—

乙76818085899694

(I)從甲、乙兩名同學共進行的13次測試中隨機選取一次，求該次測試成績超過90分的概率；

(II)從甲同學進行的6次測試中隨機選取4次，設X表示這4次測試成績達到優秀的次

數，求X的分布列及數學期望改；

(III)從乙同學進行的7次測試中隨機選取3次，設F表示這3次測試成績達到優秀的次

數，試判斷數學期望研與(II)中歐的大小.(結論不要求證明)

2.(2023石景山一模17)某高?！爸参餇I養學專業”學生將雞冠花的株高增量作為研究對象，觀察長效肥和緩釋肥

對農作物影響情況.其中長效肥、緩釋肥、未施肥三種處理下的雞冠花分別對應1,2,3三組.觀察一段時間后，分別

從1,2,3三組隨機抽取40株雞冠花作為樣本，得到相應的株高增量數據整理如下表.

株高增量（單位：厘米）(4,7](7,IOJ(1O,I3J(13,16J

第1組雞冠花株數92092

第2組雞冠花株數416164

第3組雞冠花株數1312132

假設用頻率估計概率，且所有雞冠花生長情況相互獨立.

（I）從第1組所有雞冠花中各隨機選取1株，估計株高增量為（7,10］厘米的概率；

（II）分別從第1組，第2組，第3組的所有雞冠花中各隨機選取1株，記這3株雞冠花中恰有X株的株高增量為

（7,10］厘米，求X的分布列和數學期望歐：

（In）用“芻=1”表示第k組雞冠花的株高增量為（4,10］,“芻=0”表示第k組雞冠花的株高增量為（10,16］厘米，

Α=1,2,3,直接寫出方差幺,。與,％的大小關系.（結論不要求證明）

3.（2023朝陽一模18）某地區組織所有高一學生參加了“科技的力量”主題知識競答活動，根據答題得分情況評選

出一二三等獎若干.為了解不同性別學生的獲獎情況，從該地區隨機抽取了500名參加活動的高一學生，獲獎情況

統計結果如下：

獲獎人數

性別人數

一等獎二等獎三等獎

男生200101515

女生300252540

假設所有學生的獲獎情況相互獨立.

（I）分別從上述200名男生和300名女生中各隨機抽取1名，求抽到的2名學生都獲一等獎的概率；

（H）用頻率估計概率，從該地區高一男生中隨機抽取1名，從該地區高一女生中隨機抽取1名，以X表示這2名學

生中獲獎的人數，求X的分布列和數學期望EY；

（III）用頻率估計概率，從該地區高一學生中隨機抽取1名，設抽到的學生獲獎的概率為

%；從該地區高一男生中隨機抽取1名，設抽到的學生獲獎的概率為四；從該地區高一女生中隨機抽取1名，設抽

到的學生獲獎的概率為P2,試比較P。與旦土&的大小.（結論不要求證明）

4.（2023西城一模17）根據《國家學生體質健康標準》，高三男生和女生立定跳遠單項等級如下（單位：cm）：

立定跳遠單項等級高三男生高三女生

優秀260及以上194及以上

良好245-259180-193

及格205~244150-179

不及格204及以下149及以下

從某校高三男生和女生中各隨機抽取12名同學，將其立定跳遠測試成績整理如下(精確到ICm)：

男生：180205213220235245250258261270275280

女生：148160162169172184195196196197208220

假設用頻率估計概率，且每個同學的測試成績相互獨立.

(I)分別估計該校高三男生和女生立定跳遠單項的優秀率：

(H)從該校全體高三男生中隨機抽取2人，全體高三女生中隨機抽取1人，設X為這3人中立定跳遠單項等級為優

秀的人數，估計X的數學期望￡X；

(III)從該校全體高三女生中隨機抽取3人，設“這3人的立定跳遠單項既有優秀，又有其它等級”為事件A,“這

3人的立定跳遠單項至多有1個是優秀”為事件3.判斷A與5是否相互獨立.(結論不要求證明)

5.(2023海淀一模18)網購生鮮蔬菜成為很多家庭日常消費的新選擇.某小區物業對本小區三月份參與網購生鮮蔬

菜的家庭的網購次數進行調查，從一單元和二單元參與網購生鮮蔬菜的家庭中各隨機抽取10戶，分別記為A組和3

組，這20戶家庭三月份網購生鮮蔬菜的次數如下圖：

A組/組

9805

87531124

9621478

03359

假設用頻率估計概率，且各戶網購生鮮蔬菜的情況互不影響.

(I)從一單元參與網購生鮮蔬菜的家庭中隨機抽取1戶，估計該戶三月份網購生鮮蔬菜次數大于20的概率；

(II)從一單元和二單元參與網購生鮮蔬菜的家庭中各隨機抽取1戶，記這兩戶中三月份網購生鮮蔬菜次數大于20

的戶數為X,估計X的數學期望E(X):

(III)從A組和3組中分別隨機抽取2戶家庭，記。為A組中抽取的兩戶家庭三月份網購生鮮蔬菜次數大于20的

戶數，幺為3組中抽取的兩戶家庭三月份網購生鮮蔬菜次數大于20的戶數，比較方差￡>?)與。(乙)的大小.(結論

不要求證明)

6.(2023豐臺一模18)交通擁堵指數(TPI)是表征交通擁堵程度的客觀指標，TPl越大代表擁堵程度越高.某平臺

計算TPl的公式為：TPl=建噌駟，并按TPl的大小將城市道路擁堵程度劃分為如下表所示的4個等級：

暢通行程時間

TPI[1,1.5)[1.5,2)[2,4)不低于4

擁堵等級暢通緩行擁堵嚴重擁堵

某市2023年元旦及前后共7天與2022年同期的交通高峰期城市道路TPl的統計數據如下圖:

2$2.2S6-

(I)從2022年元旦及前后盧7#日逝/二??.1產交通高峰期城市道路擁堵程度為.「二2二-竺12

“擁堵”的概率；].5L9082:~~~~ZZ

(II)從2023年元旦及前后其十天中任取τ3關廠將這5檢超高峰期皴市道路??1廣

2022年同日TPl高的天敵吸X,求X的分布列及數學期望E(X)；

(III)把12月29日作為第黑：將用29年完H應瑣臨心2由到交通匐血期麗遇MlIrPI依欣蹴)q,疝4我「將

2022年同期TPI依次記為仇也,…,偽，記G=4-6H號”7),二二鬻矗寫出Ij取得最大值時舊

7i=ι

值.

計數原理與機率分布

1計數原理，二項式定理

1.(2023西城一模04)在(X-2)5的展開式中，X的系數為

X

A.40B.10C.-40D.-10

【答案】A

【解析】因為=C∫x5^r(--)r=GXi(-2)-T=C；(-2)r√2r,令5-2r=1,，?=2,

X

所以l=G(-2)2χ=40x,故選A.

2.(2023東城一模12)在(x+@)6的展開式中，』的系數為60,則實數(Z=.

X

【答案】±2

【解析】由二項式定理可知

G=C*i(4*=C"/2?,

X

令6-2%=2,k=2

22

T3=ClaX

GH=60

/=4，a=±2

3.(2023石景山一模13)若(工+4)”的展開式中含有常數項，則正整數〃的一個取值為

【答案】3（只要是3正整數倍即可）

4432

4.（2023海淀一模05）^?（?-l）=a4x+a3x+?x+tz1x+a0,則%一%+%-"=

A.-lB.lC.15D.16

【答案】C

【分析】利用賦值法結合條件即得.

431

【詳解】因為（九一I）"=a4x+a3x+a2x++a0,

令X=O得，4=1,

令X=-I得，aA-ay+?-ax+/=（-2）4=16,

所以，應一名+牝一4=16-I=I5.

n2n

故選：C.5.（2023朝陽一模03）?（1÷x）=a0+aλx+a2x-I----Fanx9若出=生，則〃=

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】先求出(l+x)"展開式第r+1項，再由“2=%列出方程，即可求出”的值.

【詳解】(1+x)"展開式第『+1項心=CK,

a=a

'?'23>?'?Cj=Cn,

"=2+3=5.

故選：A.

6.(2023豐臺一模13)從-2,-1,1,2,3這5個數中任取2個不同的數，記”兩數之積為正數”為事件A,“兩數均為

負數”為事件B,則P(BIA)=.

【答案】-

4

2概率分布列

1.(2023東城一模17)甲、乙兩名同學積極參與體育鍛煉，對同一體育項目，在一段時間內甲進行了6次測試，乙

進行了7次測試.每次測試滿分均為Kx)分，達到85分及以上為優秀.兩位同學的測試成績如下表：

數

同小\第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次

甲807882869593—

乙76818085899694

(I)從甲、乙兩名同學共進行的13次測試中隨機選取一次，求該次測試成績超過90分的概率；

(II)從甲同學進行的6次測試中隨機選取4次，設X表示這4次測試成績達到優秀的次

數，求X的分布列及數學期望￡X；

(III)從乙同學進行的7次測試中隨機選取3次，設F表示這3次測試成績達到優秀的次

數，試判斷數學期望Ey與(II)中EX的大小.(結論不要求證明)

【答案】

(I)從甲、乙兩名同學共進行的13次測試中隨機選取一次，有13種等可能的情形，其中有4次成績超過90分.則

從甲、乙兩名同學共進行的13次測試中隨機選取一次，該次成績超過90分的概率為

4

—.…3分(II)隨機變量X的所有可能取值為1,2,

13

3.

22

P(X=2)=?CC?=3

45

則隨機變量X的分布列為:

故隨機變量X的數學期望

131

EY=l×-÷2×-+3×-=2.11分

555

(III)EX>EY.13分

2.(2023石景山一模17)某高校“植物營養學專業”學生將雞冠花的株高增量作為研究對象，觀察長效肥和緩釋肥

對農作物影響情況.其中長效肥、緩釋肥、未施肥三種處理下的雞冠花分別對應1,2,3三組.觀察一段時間后，分別

從1,2,3三組隨機抽取40株雞冠花作為樣本，得到相應的株高增量數據整理如下表.

株高增量(單位：厘米)(4,7](λ10](10,13](13,16]

第1組雞冠花株數92092

第2組雞冠花株數416164

第3組雞冠花株數1312132

假設用頻率估計概率，且所有雞冠花生長情況相互獨立.(I)從第1組所有雞冠花中各隨機選取1株，估計株高增

量為(7/0］厘米的概率；

(II)分別從第1組，第2組，第3組的所有雞冠花中各隨機選取1株，記這3株雞冠花中恰有X株的株高增量為

(7,10］厘米，求X的分布列和數學期望歐；

(III)用“4=1”表示第k組雞冠花的株高增量為(4,10］,“4=0”表示第k組雞冠花的株高增量為(10,16］厘米，

Z=1,2,3,直接寫出方差心,￡＞『。品的大小關系.(結論不要求證明)

【答案】

(I)設事件A為“從第1組所有雞冠花中各隨機選取1株，株高增量為(7,10］厘米”，根據題中數據，第1組所有

雞冠花中，有20株雞冠花增量為(7,10］厘米.

所以P(A)估計為"=J

402

(II)設事件B為“從第2組所有雞冠花中各隨機選取1株，株高增量為(7,10］厘米”，設事件C為“從第3組所

有雞冠花中各隨機選取1株，株高增量為(7,10］厘米”，根據題中數據，P(B)估計為3=2,P(C)估計為工=3

4054010

根據題意，隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3,且

P(X=O)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C),

P(X=I)=P(ABC+ABC+ABC)

=P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)

P(X=3)=P(ABC)=P(A)P(8)P(C)P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3).

所以，P(X=O)估計為ZL；P(X=I)估計為u；

10025

P(X=3)估計為上；P(X=2)估計為22.

50100

所以X的分布列為

X0123

2111293

P

Ioo25WO50

r-r-μ∣斗八2111_29_36

所以EX估計為0X---F11×---F2X----F3X—=_-

10025100505

(III)1Jξi<Dξ3<Dξ2.

3.(2023朝陽一模18)某地區組織所有高一學生參加了“科技的力量”主題知識競答活動，根據答題得分情況評選

出一二三等獎若干.為了解不同性別學生的獲獎情況，從該地區隨機抽取了500名參加活動的高一學生，獲獎情況

統計結果如下：

獲獎人數

性別人數

一等獎二等獎三等獎

男生200101515

女生300252540

假設所有學生的獲獎情況相互獨立.

(I)分別從上述200名男生和300名女生中各隨機抽取1名，求抽到的2名學生都獲一等獎的概率；

(H)用頻率估計概率，從該地區高一男生中隨機抽取1名，從該地區高一女生中隨機抽取1名，以X表示這2名學

生中獲獎的人數，求X的分布列和數學期望￡X；

(III)用頻率估計概率，從該地區高一學生中隨機抽取1名，設抽到的學生獲獎的概率為

P。；從該地區高一男生中隨機抽取1名，設抽到的學生獲獎的概率為小；從該地區高一女生中隨機抽取1名，設抽

到的學生獲獎的概率為P2,試比較p。與丐包的大小.(結論不要求證明)

【答案】

(I)設事件A為“分別從上述200名男生和300名女生中各隨機抽取1名，抽到的2名學生都獲一等獎”,

則P(A)==工......4分

。200。300240

(II)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2.

記事件B為“從該地區高一男生中隨機抽取1名，該學生獲獎”，

事件C為“從該地區高一女生中隨機抽取1名，該學生獲獎”.

由題設知，事件B,C相互獨立，

且P(或估計為"+15欄=LP(C)估計為25+25+40=3.

200530010

____1?OR

所以P(X=O)=P(BC)=P(B)P(C),估計為(1一？X(1-75)=方

P(X=1)=P{BCBC)=P(B)P(C)+P(B)P(C),

任4出1〃3、八1、319

5IO51050

133

P(X=2)=P(BC)=P(B)P(C),估計為-×-j^=^?

所以X的分布列為

X012

28193

P

505050

故估計X的數學期望EX=OX2I8^+Ix*19+2x合3=]1......10分

(III)為>%絲......13分

4.(2023西城一模17)根據《國家學生體質健康標準》，高三男生和女生立定跳遠單項等級如下(單位：cm)：

立定跳遠單項等級高三男生高三女生

優秀260及以上194及以上

良好245-259180~193

及格205-244150~179

不及格204及以下149及以下

從某校高三男生和女生中各隨機抽取12名同學，將其立定跳遠測試成績整理如下(精確到Iem)：

男生：180205213220235245250258261270275280

女生：148160162169172184195196196197208220

假設用頻率估計概率，且每個同學的測試成績相互獨立.

(I)分別估計該校高三男生和女生立定跳遠單項的優秀率；

(H)從該校全體高三男生中隨機抽取2人，全體高三女生中隨機抽取1人，設X為這3人中立定跳遠單項等級為優

秀的人數，估計X的數學期望EY；

(III)從該校全體高三女生中隨機抽取3人，設“這3人的立定跳遠單項既有優秀，又有其它等級”為事件A,“這

3人的立定跳遠單項至多有1個是優秀”為事件B.判斷A與B是否相互獨立.(結論不要求證明)

【答案】

(I)樣本中立定跳遠單項等級獲得優秀的男生人數為4,獲得優秀的女生人數為6,

所以估計該校高三男生立定跳遠單項的優秀率為24=」1；.....2分

123

估計高三女生立定跳遠單項的優秀率為9=』......4分

122

(II)由題設，X的所有可能取值為0,1,2,3.P(X=O)估計為(2)2χl=2;...........5分

329

P(X=I)估計為C)XJχ2χ?L+(2)2χ"L=3;...........6分

-332329

P(X=2)估計為C)XJX2x_L+(，)2*_L=9；...........7分

-3323218

「(*=3)估計為《)\(=；......8分

估計*的數學期望￡￥=0*2+卜3+2、9+3乂，=2............10分

9918186

(IIl)A與8相互獨立......13分

5.(2023海淀一模18)網購生鮮蔬菜成為很多家庭日常消費的新選擇.某小區物業對本小區三月份參與網購生鮮蔬

菜的家庭的網購次數進行調查，從一單元和二單元參與網購生鮮蔬菜的家庭中各隨機抽取10戶，分別記為4組和B

組，這20戶家庭三月份網購生鮮蔬菜的次數如下圖：

A組B組

9805

87531124

9621478

03359

假設用頻率估計概率，且各戶網購生鮮蔬菜的情況互不影響.

(I)從一單元參與網購生鮮蔬菜的家庭中隨機抽取1戶，估計該戶三月份網購生鮮蔬菜次數大于20的概率；

(II)從一單元和二單元參與網購生鮮蔬菜的家庭中各隨機抽取1戶，記這兩戶中三月份網購生鮮蔬菜次數大于20

的戶數為X,估計X的數學期望E(X);

(III)從A組和5組中分別隨機抽取2戶家庭，記。為A組中抽取的兩戶家庭三月份網購生鮮蔬菜次數大于20的

戶數，4為3組中抽取的兩戶家庭三月份網購生鮮蔬菜次數大于20的戶數，比較方差與。(芻)的大小.(結論

不要求證明)

【答案】

(l)?

10

(2)1

(3)D(?)=D(?)【分析】(1)根據古典概型的概率公式即可求出；

(2)由題可知，X的可能取值為0,1,2,再分別求出對應的概率，由期望公式即可求出;

(3)根據方差公式計算可知,D(O)=D低).

【詳解】(I)設“該戶三月份網購生鮮蔬菜次數大于20”為事件C,在A組10戶中超過20次的有3戶，由樣本頻

3

率估計總體概率，則P(C)=言

3

(2)由樣本頻率估計總體概率，一單元參與網購家庭隨機抽取1戶的網購生鮮蔬菜次數超過20次概率為歷，二

7

單元參與網購家庭隨機抽取1戶的網購生鮮蔬菜次數超過20次概率為m，X的可能取值為0,1,2,所以,

7729

P(X=O)=×P(X=D1X—

焉備K)÷['-?1050

……3721…、八21I29c21

P(X=2)=—X—=----E(X)=OX-------J-1×-----F2X----=1

1010100f10050100

(3)依題可知，$的可能取值為0，1，2,且。，42服從超幾何分布,

*=。)=*=《，p(*i)=等=卷尸(*2)=3$

jolj?O??vιo??

P值=。)=卷=gPe=I)=等4'尸?=2)C；7

15

3377

因為E(4)=2X15=7E(?)=2X-=-,所以,

2

-7^×∣0-—I+二7χ∣11

D(O)÷1×k-?

155