陜西省西安市立國學(xué)校2022年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.在△ABC中，已知，，則A等于(

)A. B. C. D.參考答案：D【分析】由正弦定理可得，利用余弦定理表示出，即可求出角。【詳解】由正弦定理可得，由余弦定理可得：，，，，又在中，，，故答案選D。【點睛】本題考查利用正弦定理進(jìn)行邊角互化以及余弦定理的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。2.四棱錐的三視圖如圖所示，則最長的一條側(cè)棱的長度是（）

A． B．5 C． D．2參考答案：A【考點】由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖可知幾何體是底面為直角梯形的四棱錐，通過三視圖的數(shù)據(jù)，求出最長的側(cè)棱長度即可．【解答】解：由題意可知幾何體是底面為直角梯形，直角邊長為：4，2，高為3的梯形，棱錐的高為2，高所在的棱垂直直角梯形的上直角頂點，所以側(cè)棱最長為，底面梯形下底邊銳角頂點與棱錐頂點連線，所以長度為：=．故選：A．3.在△ABC中，若a=1，b=2，cosA=，則sinB=（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】正弦定理．【分析】由A的范圍和平方關(guān)系求出sinA的值，由條件和正弦定理求出sinB的值．【解答】解：∵0＜A＜π，且cosA=，∴sinA==，由正弦定理得，，則sinB===，故選D．【點評】本題考查了正弦定理，以及平方關(guān)系的應(yīng)用，注意內(nèi)角的范圍，屬于基礎(chǔ)題．4.已知向量，則（

）A、

B、

C、

D、參考答案：B5.甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示，則

A．甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)B．甲的成績的方差小于乙的成績的方差C．甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)D．甲的成績的極差小于乙的成績的極差參考答案：B略6.設(shè)函數(shù)f（x）在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)f′（x），且函數(shù)f（x）在x=﹣2處取得極小值，則函數(shù)y=xf′（x）的圖象可能是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；3O：函數(shù)的圖象．【分析】由題設(shè)條件知：當(dāng)x＞﹣2時，xf′（x）＜0；當(dāng)x=﹣2時，xf′（x）=0；當(dāng)x＜﹣2時，xf′（x）＞0．由此觀察四個選項能夠得到正確結(jié)果．【解答】解：∵函數(shù)f（x）在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)f′（x），且函數(shù)f（x）在x=﹣2處取得極小值，∴當(dāng)x＞﹣2時，f′（x）＞0；當(dāng)x=﹣2時，f′（x）=0；當(dāng)x＜﹣2時，f′（x）＜0．∴當(dāng)x＞﹣2時，xf′（x）＜0；當(dāng)x=﹣2時，xf′（x）=0；當(dāng)x＜﹣2時，xf′（x）＞0．故選A．【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)和函數(shù)極值的性質(zhì)的合理運用．7.右圖是一個幾何體的三視圖，其中正視圖和側(cè)視圖都是一個兩底長分別為2和4，腰長為的等腰梯形，則該幾何體的體積是（）A． B． C．28π D．7π參考答案：B【考點】由三視圖求面積、體積．【專題】計算題．【分析】正視圖和側(cè)視圖都是一個兩底長分別為2和4，腰長為的等腰梯形俯視圖是兩個圓中間的圓是虛線，得到幾何體是一個圓臺，圓臺的上底是一個直徑為2，下底的直徑為4，母線長是的圓臺，做出圓臺的高，得到體積．【解答】解：正視圖和側(cè)視圖都是一個兩底長分別為2和4，腰長為的等腰梯形俯視圖是兩個圓中間的圓是虛線，∴幾何體是一個圓臺，圓臺的上底是一個直徑為2，下底的直徑為4，母線長是的圓臺，圓臺的高是=1∴圓臺的體積是=故選B．【點評】本題考查由三視圖確定幾何圖形，根據(jù)條件中所給的數(shù)據(jù)求幾何體的體積，考查圓臺的體積公式，本題是一個基礎(chǔ)題．8.已知集合，則“”是“”的（

）條件A．充要

B．充分不必要

C．必要不充分

D．既不充分也不必要參考答案：B9.不等式的解集為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D10.假設(shè)吉利公司生產(chǎn)的“遠(yuǎn)景”、“金剛”、“自由艦”三種型號的轎車產(chǎn)量分別是1600輛、6000輛和2000輛，為檢驗公司的產(chǎn)品質(zhì)量，現(xiàn)從這三種型號的轎車中抽取48輛進(jìn)行檢驗，這三種型號的轎車依次應(yīng)抽取（） A．16，16，16 B．8，30，10 C．4，33，11 D．12，27，9參考答案：B【考點】分層抽樣方法． 【專題】計算題． 【分析】由題意先求出抽樣比例，再由此比例計算出在三種型號的轎車抽取的數(shù)目． 【解答】解：因總轎車數(shù)為9600輛，而抽取48輛進(jìn)行檢驗，抽樣比例為=， 而三種型號的轎車有顯著區(qū)別，根據(jù)分層抽樣分為三層按比例， ∵“遠(yuǎn)景”型號的轎車產(chǎn)量是1600輛，應(yīng)抽取輛， 同樣，得分別從這三種型號的轎車依次應(yīng)抽取8輛、30輛、10輛． 故選B． 【點評】本題的考點是分層抽樣，即保證樣本的結(jié)構(gòu)和總體的結(jié)構(gòu)保持一致，按照一定的比例樣本容量和總體容量的比值，在各層中進(jìn)行抽取． 二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.隨機抽取某中學(xué)甲、乙兩個班各10名同學(xué)，測量他們的身高（單位：cm）獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如下圖甲，在樣本的20人中，記身高在，的人數(shù)依次為、、、．圖乙是統(tǒng)計樣本中身高在一定范圍內(nèi)的人數(shù)的算法流程圖，由圖甲可知甲、乙兩班中平均身高較高的是

班；圖乙輸出的

．（用數(shù)字作答）參考答案：乙，1812.在等差數(shù)列中，若，則有成立，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列中，若，則存在的等式

參考答案：13.已知橢圓的離心率，則的值為

；參考答案：3或.14.如圖,正方體的棱長為1,P為BC的中點,Q為線段上的動點,過點A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是_____(寫出所有正確命題的編號).①當(dāng)時,S為四邊形;②當(dāng)時,S為等腰梯形;③當(dāng)時,S與的交點R滿足;④當(dāng)時,S為六邊形;⑤當(dāng)時,S的面積為.參考答案：①②③⑤15.設(shè),則代數(shù)式=_________參考答案：【分析】由二項展開式，兩邊求導(dǎo)得，令，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，可知，兩邊求導(dǎo)可得：，令，可得，故答案為：.【點睛】本題主要考查了二項式定理的性質(zhì)及其應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，其中解答中對二項展開式兩邊求導(dǎo)，再，準(zhǔn)確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題.16.正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且（），設(shè)，則數(shù)列{cn}的前2016項的和為

．

參考答案：,,∴當(dāng)時,,解得.

當(dāng)時,,可化為:,

,∴數(shù)列是等差數(shù)列,公差為1,首項為1.

，.,

則數(shù)列的前2016項的和

.

17.在面積為S的正三角形ABC中，E是邊AB上的動點，過點E作EF//BC，交AC于點F，當(dāng)點E運動到離邊BC的距離為高的時，的面積取得最大值為類比上面的結(jié)論，可得，在各條棱相等的體積為V的四面體ABCD中，E是棱AB上的動點，過點E作平面EFG//平面BCD，分別交AC、AD于點F、G，則四面體EFGB的體積的最大值等于

V。參考答案：C略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某高校對生源基地學(xué)校一年級的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行摸底調(diào)查，已知其中兩個摸底學(xué)校分別有1100人、1000人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從兩個學(xué)校一共抽取了105名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，并作出了頻數(shù)分別統(tǒng)計表如下：（一年級人數(shù)為1100人的學(xué)校記為學(xué)校一，一年級人數(shù)為1000人的學(xué)校記為學(xué)校二）學(xué)校一分組[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)頻道231015分組[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)頻數(shù)15x31

學(xué)校二分組[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)頻道1298分組[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)頻數(shù)1010y3

（1）計算x，y的值．（2）若規(guī)定考試成績在[120,150]內(nèi)為優(yōu)秀，請分別估計兩個學(xué)校數(shù)學(xué)成績的優(yōu)秀率；（3）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面2×2列聯(lián)表，并判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為兩個學(xué)校的數(shù)學(xué)成績有差異．

學(xué)校一學(xué)校二總計優(yōu)秀

非優(yōu)秀

總計

附：0.100.0250.0102.7065.0246.635

參考答案：（1），（2）甲校優(yōu)秀率為，乙校優(yōu)秀率為（3）填表見解析，有的把握認(rèn)為兩個學(xué)校的數(shù)學(xué)成績有差異【分析】（1）利用分層抽樣方法求得甲、乙兩校各抽取的人數(shù)，從而求出、的值；（2）利用表中數(shù)據(jù)計算甲、乙兩校的優(yōu)秀率各是多少；（3）由題意填寫列聯(lián)表，計算觀測值，對照臨界值得出結(jié)論．【詳解】（1）利用分層抽樣方法知，甲校抽取人，乙校抽取人，則，；（2）若規(guī)定考試成績在內(nèi)為優(yōu)秀，則估計甲校優(yōu)秀率為；乙校優(yōu)秀率為；（3）根據(jù)所給的條件列出列聯(lián)表，

甲校乙校總計優(yōu)秀非優(yōu)秀總計計算，又因為，所以有的把握認(rèn)為兩個學(xué)校的數(shù)學(xué)成績有差異．【點睛】本題考查了列聯(lián)表與獨立性檢驗的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．19.已知復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位.（1）求z1；（2）若復(fù)數(shù)z滿足，求的最大值.參考答案：解：（1）（2）設(shè)，因為，所以在復(fù)平面中，復(fù)數(shù)對應(yīng)點，復(fù)數(shù)對應(yīng)點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓；因為AO=,所以的最大值為．

20.（本小題12分）設(shè)數(shù)列的前項和為，點均在函數(shù)的圖象上。

（I）求數(shù)列的通項公式；

（II）設(shè)，求的前項和。參考答案：21.2000年我國人口為13億，如果人口每年的自然增長率為7‰，那么多少年后我國人口將達(dá)到15億？設(shè)計一個算法的程序.參考答案：A=13R=0.007i=1DO

A=A*（1+R）

i=i+1

LOOP

UNTIL

A＞=15

i=i－1PRINT

“達(dá)到或超過15億人口需要的年數(shù)為：”；iEND22.“大眾創(chuàng)業(yè)，萬眾創(chuàng)新”是李克強總理在本屆政府工作報告中向全國人民發(fā)出的口號.某生產(chǎn)企業(yè)積極響應(yīng)號召，大力研發(fā)新產(chǎn)品，為了對新研發(fā)的一批產(chǎn)品進(jìn)行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格試銷，得到一組銷售數(shù)據(jù)，如下表所示：

試銷單價x(元)456789產(chǎn)品銷量y(件)q8483807568

（已知，）.（1）求出的值；（2）已知變量具有線性相關(guān)關(guān)系，求產(chǎn)品銷量（件）關(guān)于試銷單價（元）的線性回歸方程；（3）用表示用正確的線性回歸方程得到的與對應(yīng)的產(chǎn)品銷量的估計值.當(dāng)銷售數(shù)據(jù)的殘差的絕對值時，則將銷售數(shù)據(jù)稱為一個“好數(shù)據(jù)”.現(xiàn)從6個數(shù)據(jù)中任取2個，求抽取的2個數(shù)據(jù)中至少有1個是“好數(shù)據(jù)”的概率.參考答案：（1）；（2）；（3）.

解析：（1），可求得．（2），，所以所求的線性回歸方程為．（3）當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．與銷售數(shù)據(jù)對比可知滿足（1,2，…，6）的共有3個“好數(shù)據(jù)”：、、．從6個銷售數(shù)據(jù)中任意抽取2個的所有可能結(jié)果有（4，90）（5，84），（4，90）（6，83），（4，90）（7，80），（4，90）（8，75），（4，90）（9，68），（5，84）（6，83），（5，84）（7，80），（5，84）（8，75），（5，84）（9，68），（6，83）（7，80），（6，83）（8，75），（6，83）（9，68），（7，80）（8